文档内容
2025年菁优高考数学解密之填空题
一．填空题（共25小题）
1．（2024•杨浦区校级三模）对于没有重复数据的样本 、 、 、 ，记这 个数的第 百分位数为
．若 不在这组数据中，且在区间 ， 中的数据有且只有5个，则 的所有可能
值组成的集合为 ．
2．（2024•河南模拟） 的展开式中 的系数为 ．
3．（2024•蜀山区校级模拟）已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值
范围是 ．
4．（2024•广东模拟）已知函数 的最小值为 ，则 ．
5．（2024•葫芦岛二模）已知实数 ， ，则 的最大值为 ．
6．（2024•广州模拟）已知椭圆 的左右焦点为 ， ．直线 与椭圆 相交
于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
7．（2024•南湖区校级一模） 展开式中的常数项是120，则实数 ．
8．（2024•盐湖区一模）已知圆锥的高为5，其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为
．
9．（2024•河南模拟）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，若
， 为 中点，则 ．
10．（2024•回忆版）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作平行于
轴的直线交 于 ， 两点，若 ， ，则 的离心率为 ．
111．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
．
12．（2024•衡阳模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点
（点 在第一象限）， 为坐标原点）， ，则 ．
13．（2024•顺义区校级模拟） 为等边三角形，且边长为2，则 与 的夹角大小为 ，若
， ，则 的最小值为 ．
14．（2024•锦州模拟）已知 ， ， ， ，2，3， ， ， ， ， 为 ， ， ，
中不同数字的种类，如 ，1，4， ， ，4，4， ， ，2，2， 与 ，2，1， 视为不
同的排列，则 ， ， ， 的不同排列有 个（用数字作答）；所有的排列所得 ， ， ，
的平均值为 ．
15．（2024•红桥区一模） 是虚数单位，复数 ．
16．（2024•孝南区校级模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
17．（2024•南岸区模拟） ．
18．（2024•淅川县校级三模）已知集合 与集合 ， ，求集合
．
19．（2024•芝罘区校级模拟）如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 、 在圆 上，且点 位于
第一象限，点 的坐标为 ， ，若 ，则 的值为 ．
220．（2024•江西一模）斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波
那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、
1、2、3、5、8、13、21、34、 ，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： ， ，
， ， ， ， ， 且 中，则 中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
21．（2024•浙江模拟）已知双曲线 为双曲线的左右焦点，过 作斜率为正的直
线交双曲线左支于 ， ， ， 两点，若 ， ，则双曲线的离心
率是 ．
22．（2024•红谷滩区校级模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．
正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三
角形与一个正方形组成．如图，在正八面体 中， 是棱 的中点，则异面直线 与 所成
角的余弦值是 ．
23 ． （ 2024• 历 下 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 则 不 等 式
3的解集为 ．
24．（2024•黄浦区二模）在四面体 中， ， ， ，
设四面体 与四面体 的体积分别为 、 ，则 的值为 ．
25．（2024•渭南二模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题
共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6分，
有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题
正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的
考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地
选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 ．
42025年菁优高考数学解密之填空题
参考答案与试题解析
一．填空题（共25小题）
1．（2024•杨浦区校级三模）对于没有重复数据的样本 、 、 、 ，记这 个数的第 百分位数为
．若 不在这组数据中，且在区间 ， 中的数据有且只有5个，则 的所有可能
值组成的集合为 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】百分位数
【专题】函数思想；分析法；概率与统计；数据分析
【分析】根据 是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为 ， ， ，若不为整数，
则5个数分别为 ， ， ，根据 ， 的范围分类计算．
【解答】解：设 ，
则 不在这组数据，
为正整数，
， ，
在区间 ， 中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为 ， ， ，即 ，
当 ，6，7，
当 时， ， ， ，即为 ， ， ， ，共5个，符合；
当 时， ， ， ，即为 ， ， ， ， ， ，共6个，不符合；
当 时， ， ， ， ， ， ， ，共7个，不符合，
5若 为整数，可得 ，即有 ；
若 不为整数，故 ，其中 为正奇数，
设 ，其中 为正整数，
则 ，且 ，故 ，
， ，
在区间 ， 中的数据有且只有5个，
这5个数分别为 ， ， ， ，即 ，
但当 ， ，此时 ， ， 至少有6个，
，6，7，
当 时， ， ， 即为 ， ， ， ， ，共5个，符合，此时 ；
当 时， ， ， 即为 ， ， ， ， ， ，共6个，不符合；
当 时， ， ， 即为 ， ， ， ， ， ， ，共7个，不符合．
综上，符合条件的 为50，55．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查百分位数的定义和集合的表示，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024•河南模拟） 的展开式中 的系数为 ．
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；数学运算；二项式定理；综合法
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中 的系数．
【解答】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，
可得展开式中 的系数为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3．（2024•蜀山区校级模拟）已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值
6范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算
【专题】转化法；集合；数学运算；转化思想
【分析】根据已知条件，推得 ，即可求出 的取值范围．
【解答】解： ，
则 ，
， ，
则 ，
故实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
4．（2024•广东模拟）已知函数 的最小值为 ，则 2 ．
【考点】函数的最值；分段函数的应用
【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解
【分析】由题意可知当 时， ，从而得当 时， 有最小值 ，结合二次函
数的性质求解即可．
【解答】解：因为当 时， ，
易知此时， ，且 在 ， 上单调递减，
又因为函数的最小值为 ，
所以当 时， 有最小值 ，
7令 ，则有 ， ，
当 ，即 时，
由二次函数的性质可知，函数在 上单调递减，不能取到最小值 ；
当 ，即 时，
由二次函数的性质可知，函数在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 ，
解得 ，
又因为 ，所以 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的性质、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
5．（2024•葫芦岛二模）已知实数 ， ，则 的最大值为 2 ．
【答案】2
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；函数思想
【分析】将分式化简，然后结合平方均值不等式与基本不等式的相关知识即可得到结论
【解答】解：因为 ，
因为 ， ，所以根据平方均值不等式得：
，
当且仅当 时等号成立，
将上式化简得：
，
8当且仅当： 时等号成立，即 ，又因为 ，
所以当 时取得最大值．
故答案为：2
【点评】本题主要考察了基本不等式的相关内容，根据条件化简可以知道，基本不等式的灵活运用是解
题的关键
6．（2024•广州模拟）已知椭圆 的左右焦点为 ， ．直线 与椭圆 相交
于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【分析】由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，再根据椭圆的定义求出 ， ，再在
△ 中，利用余弦定理求出 ， 的关系，即可得解．
【解答】解：由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，则 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
9即椭圆的离心率 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
7．（2024•南湖区校级一模） 展开式中的常数项是120，则实数 2 ．
【答案】2．
【考点】二项展开式的通项与项的系数
【专题】综合法；二项式定理；转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算
【分析】求出 的通项公式，得到 与 ，从而得到 展开式常数项，
得到方程，求出 ．
【解答】解： 展开式的通项公式为 ，
令 得 ，即 ．
令 得 ，即 ，
展开式中的常数项为 ，
故 ，解得 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8．（2024•盐湖区一模）已知圆锥的高为5，其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为
．
10【答案】 ．
【考点】圆锥的体积
【专题】整体思想；立体几何；数学运算；综合法
【分析】求出圆锥的底面半径，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积．
【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示：
设圆锥 的外接球为球 ，易知 ，且 ， ，则 ，
故圆锥 的底面半径为 ，
因此该圆锥的体积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
9．（2024•河南模拟）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，若
， 为 中点，则 ．
【考点】余弦定理；解三角形
【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算
【分析】由已知结合余弦定理先求出 ，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：因为△ 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
即 ，
所以 ，
为 中点，则 ，
11所以
，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
10．（2024•回忆版）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作平行于
轴的直线交 于 ， 两点，若 ， ，则 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】由题意求出 ， ，利用双曲线的定义求出 和 、 ，即可求出双曲线 的离心率．
【解答】解：由题意知， ， ，
所以 ，解得 ；
又 时， ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率为 ．
故答案为： ．
12【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
11．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
．
【答案】 ．
【考点】求等差数列的前 项和
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质，基本不等式即可求解．
【解答】解：正项等差数列 中， ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及基本不等式的应用，属于基础题．
12．（2024•衡阳模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点
13（点 在第一象限）， 为坐标原点）， ，则 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】方程思想；运算求解；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】由题意可得直线 的斜率和直线方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的焦半径
公式，解方程可得 ，可得所求值．
【解答】解： 的焦点为 ， ，准线方程为 ，
由 ，可得直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
代入抛物线的方程可得 ，即为 ，
设 ， ， ， ，可得 ， ，
由 ，可得 ，
解得 ， ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能
力，属于基础题．
13．（2024•顺义区校级模拟） 为等边三角形，且边长为2，则 与 的夹角大小为 ，
若 ， ，则 的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；综合法；平面向量及应用；函数思想；转化思想
【分析】根据平面向量的夹角与数量积定义，平面向量的线性运算，函数思想即可求解．
【解答】解： 为等边三角形， 则 与 的夹角为 的补角，
14即 与 的夹角大小为 ，
， 在以 为圆心，1为半径的圆上，
又 ， 为等边三角形，且边长为2，
，且 ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
时， ， 取得最小值 ，
故答案为： ； ．
【点评】本题考查平面向量的夹角与数量积定义，平面向量的线性运算，函数思想，属基础题．
14．（2024•锦州模拟）已知 ， ， ， ，2，3， ， ， ， ， 为 ， ， ，
中不同数字的种类，如 ，1，4， ， ，4，4， ， ，2，2， 与 ，2，1， 视为不
同的排列，则 ， ， ， 的不同排列有 25 6 个（用数字作答）；所有的排列所得 ， ，
15， 的平均值为 ．
【答案】256； ．
【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数
【专题】数学运算；整体思想；综合法；排列组合
【分析】本题首先可以确定 ， ， ， 的所有可能取值分别为1、2、3、4，然后分别计算出
每一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率
即可计算出 ， ， ， 的平均值．
【解答】解：由题意可知， ， ， ， 的不同排列有 个，
当 ， ， ， 时， ；
当 ， ， ， 时， ，
当 ， ， 时， ；
当 ， ， ， 时， ，
综上所述，所有的 256 个 ， 的排列所得的 ， ， ， 的平均值为：
．
故答案为：256； ．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题．
15．（2024•红桥区一模） 是虚数单位，复数 ．
【答案】 ．
【考点】复数的运算
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解．
16【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
16．（2024•孝南区校级模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 4 4 ．
【答案】44．
【考点】等差数列的前 项和
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算
【分析】由已知条件，可推得 ，再结合等差数列前 项和公式，求解即可．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
， ，
即 ， ，
．
故答案为：44．
【点评】本题考查了等差数列前 项和公式和性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
17．（2024•南岸区模拟） ．
【答案】 ．
【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
18．（2024•淅川县校级三模）已知集合 与集合 ， ，求集合
17．
【考点】其他不等式的解法；交集及其运算
【专题】数学运算；综合法；不等式的解法及应用；集合；集合思想
【分析】先求出集合 ，再利用交集运算求解．
【解答】解：由 可得， 且 ，
解得 ，
又 集合 ， ，
集合 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．
19．（2024•芝罘区校级模拟）如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 、 在圆 上，且点 位于
第一象限，点 的坐标为 ， ，若 ，则 的值为 ．
【考点】 ：任意角的三角函数的定义
【专题】49：综合法；15：综合题；34：方程思想；56：三角函数的求值
【分析】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论．
【解答】解： 点 的坐标为 ，设
， ，
即 ， ，
18，若 ， ，
则 ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决
本题的关键．
20．（2024•江西一模）斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波
那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、
1、2、3、5、8、13、21、34、 ，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： ， ，
， ， ， ， ， 且 中，则 中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
【答案】 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【专题】数学运算；概率与统计；对应思想；定义法
【分析】记 中所有偶数组成的集合为 ，所有奇数组成的集合为 ，集合 的子集为 ，集合 中含
有奇数个元素的子集为 ，则所有元素之和为奇数的集合 可看成 ，然后可解．
【解答】解：由斐波那契数列规律可知，集合 ， ， ， 中的元素有674个偶数，1350个
奇数，
记 中所有偶数组成的集合为 ，所有奇数组成的集合为 ，集合 的子集为 ，集合 中含有奇数个
元素的子集为 ，
则所有元素之和为奇数的集合 可看成 ，
19显然集合 共有 个，集合 共有 个，
所以所有元素之和为奇数的集合 共有 个，
又集合 的非空子集共有 个，所以 中所有元素之和为奇数的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查集合、二项式系数的性质以及古典概型相关知识，属于中档题．
21．（2024•浙江模拟）已知双曲线 为双曲线的左右焦点，过 作斜率为正的直
线交双曲线左支于 ， ， ， 两点，若 ， ，则双曲线的离心
率是 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解．
【解答】解：设 ， ， ，
，又 ，
，又 ，
，
， ， ，
， ，
又 ， ，
，
20，
，
，又 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
22．（2024•红谷滩区校级模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．
正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三
角形与一个正方形组成．如图，在正八面体 中， 是棱 的中点，则异面直线 与 所成
角的余弦值是 ．
【答案】 ．
【考点】异面直线及其所成的角
【专题】空间角；数学运算；转化思想；综合法
【分析】根据正八面体的性质，异面直线所成的角的定义即可得．
【解答】解：取棱 的中点 ，连接 ， ．
21因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ，
则 或其补角是异面直线 与 所成的角．
设 ，则 ，正方形 中， ，正三角形 中， ．
在 中，由余弦定理可得 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查正八面体的性质，异面直线所成的角，属于中档题．
23 ． （ 2024• 历 下 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 则 不 等 式
的解集为 ， ．
【考点】奇偶性与单调性的综合
【专题】函数的性质及应用；数学运算；转化思想；转化法
【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点 中心对称；通过求导判断导函数为正得 在
上单调递增；再利用对称性将 进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，即 的图像关于点 中心对称，
22因为 ，
当且仅当 时取等号，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
由 可得 ，
即 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
24．（2024•黄浦区二模）在四面体 中， ， ， ，
设四面体 与四面体 的体积分别为 、 ，则 的值为 ．
【答案】 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】立体几何；综合法；转化思想；数学运算
【分析】根据题意易得 ， ， ，再作出底面图形，根据向量共线定理，三棱
锥的体积公式，化归转化，即可求解．
【解答】解： ， ， ，
， ， ，
， ， ，
作出底面图形，延长 ， 交于点 ，如图所示：
23由 ，可得 ，设 ，又 ，
，又 ， ， 三点共线，
， ， ，又 ，
， ，
又 ，且 ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查四面体的体积问题，向量的线性运算，向量共线定理的应用，化归转化思想，属中档
题．
25．（2024•渭南二模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题
共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6分，
有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题
正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的
考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地
选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 1 1 分 ．
【答案】11分．
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数
【专题】概率与统计；数学运算；整体思想；综合法
24【分析】根据题意，求出小明同学多选题所有可能总得分，再结合中位数的定义求解．
【解答】解：由题意可知，小明同学三个多选题中第一小题得6分，第二小题可能得0分或4分或6分，
第三小题可能得0分或2分或3分，
所以小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：6分，8分，9分，10分，12分，13分，
14分，15分，
所以中位数为 分．
故答案为：11分．
【点评】本题主要考查了中位数的定义，属于基础题．
25考点卡片
1．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定
义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
2．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
26联合命题．
3．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
27综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
284、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
29例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
30技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
4．其他不等式的解法
【知识点的认识】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数
和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【解题方法点拨】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点
其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝log （x﹣1），g（x）＝log （3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，
a a
讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 log （x﹣1）≥log （3﹣x），
a a
∴当a＞1时，有 ，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有 ，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
31当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然
后变成一个对数函数来求解也可以．
【命题方向】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点
希望大家好好学习．
5．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的
纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最
小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点
未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要
求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
6．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还
是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函
数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于
（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝f
（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
32例题：如果f（x）＝ 为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝ ＝﹣f（﹣x） a＝1
【命题方向】 ⇒
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重
视这一个知识点．
7．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定： ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
∈
＝ ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分∈数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
∈
②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义∈．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，∈s Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞∈0，r Q）．
∈
【解题方法点拨】
例1：下列计算正确的是（ ）
33A、（﹣1）0＝﹣1 B、 ＝a C、 ＝3 D、 ＝
\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}
{{a}^{3}}$，
∴B不正确；
∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，
∴C正确；
∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$ B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n
D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
8．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
34log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
9．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin ＝ y ，cos ＝ x ，
α α α
tan ＝ ．
2．α几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起
点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目
中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【命题方向】
已知角 的终边经过点（﹣4，3），则cos ＝（ ）
α α
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos 的值．
α
解：∵角 的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝ ＝5．
α
∴cos ＝ ＝ ＝﹣ ，
故选：αD．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
10．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个
在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，
这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
35正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．
下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，
年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征
收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件 元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为 （11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝ （11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝ （11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得 （11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝ （11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵ 在[2，10]是减函数
∴g（p） ＝g（2）＝800（万元）
max
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不
分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达
式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况
和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
3611．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S ＝na +
n 1
n（n﹣1）d或者S ＝
n
【解题方法点拨】
eg1：设等差数列的前n项和为S ，若公差d＝1，S ＝15，则S ＝
n 5 10
解：∵d＝1，S ＝15，
5
∴5a + d＝5a +10＝15，即a ＝1，
1 1 1
则S ＝10a + d＝10+45＝55．
10 1
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a 的值，然后套用公式即
1
可．
eg2：等差数列{a }的前n项和S ＝4n2﹣25n．求数列{|a |}的前n项的和T ．
n n n n
解：∵等差数列{a }的前n项和S ＝4n2﹣25n．
n n
∴a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S ＝﹣39．
3
∴n≤3时，T ＝﹣S ＝25n﹣4n2，
n n
n≥4，T ＝S ﹣2S ＝4n2﹣25n+78，
n n 3
∴ ．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论
思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察
的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
12．求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
37个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S ＝na +
n 1
n（n﹣1）d或者S ＝
n
【解题方法点拨】
﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．
﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．
﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．
已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝a ，a ＝5，则S ＝_____．
n n 3 3 4 n
解：设等差数列{a }的公差为d，
n
∵S ＝a ，
3 3
∴a +a ＝a +a +d＝0，
1 2 1 1
又∵a ＝5，∴a +3d＝5，
4 1
解得，a ＝﹣1，d＝2，
1
故S ＝n•a + •2＝n2﹣2n，
n 1
故答案为：n2﹣2n．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
38（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
39∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
40本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
形的
问题
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
41解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝ 求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理π求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后
利用A+B+C＝ ，求另一角．
3．已知两边和π其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝ 求C，再由正弦定理
或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． π
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝ ，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向π作为起始方向旋转到目标的方向线所成的
角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中
OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB；
③S△ABC ＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC ＝ ；
42⑤S△ABC ＝ ，（s＝ （a+b+c））；
⑥S△ABC ＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝
+ ＝ ﹣ ，2A+2B＝2 ﹣2C
π
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA π
b2＝a2+c2﹣2accosB cosA＝
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosB＝
cosC＝
正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
＝2R
R为△ABC的外接圆半径 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△ ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c sinA＝
sinB＝
②S△ ＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA
③S△ ＝
④S△ ＝ ，（s＝
sinC＝
（a+b+c））；
⑤S△ ＝ （a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
16．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
4317．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱 ＝sh， V锥 ＝ Sh．
18．圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为 ．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
【命题方向】
﹣圆锥的体积计算：考查如何根据底面圆的半径和高度计算圆锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆锥的体积计算．
19．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
44求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
20．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
45顶点坐标（如上图）：A （﹣a，0），A （a，0），B （0，﹣b），B （0，b）
1 2 1 2
其中，线段A A ，B B 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
1 2 1 2
半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝ ，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，
方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
22．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
46图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
23．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就
可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概
率都是 ；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝ ＝ ．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
47因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝ 求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
24．用样本估计总体的集中趋势参数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均
数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均
数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即 ．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
48（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
25．百分位数
【知识点的认识】
百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p （0，1），总体的p分位数有这样
的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p． ∈
四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百
分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是 ．因此这三个百分位数也称为总体
的四分位数．
【解题方法点拨】
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，
且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：
①按从小到大排列原始数据；
②计算i＝n×p%；
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数
为第i项与第（i+1）项数据的平均数．
【命题方向】
理解连续变量的百分位数的统计含义，考察百分位数的计算，学会用样本估计总体的百分位数．
26．排列组合的综合应用
【知识点的认识】
491、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行
分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们
“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决
“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置
的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的
解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 ；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排
50在某r个指定位置则有 ；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A
策略，排列 ；组合 ；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A
策略，排列 ；组合 ；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个
元素中的s个元素．先C后A策略，排列 ；组合 ．
27．二项式定理
【知识点的认识】
二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝ an﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次
方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.10 5 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+ •19×0.01+ •18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把 把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T ＝ × ＝120×3 i＝360 i．
8
故答案为：360 i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题
的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
性质
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
51这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数
叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
① ；
② ；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项 叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展
开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方
面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 ；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（ 1 ） 对 称 性 ： 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 ， 即
；
（2）增减性与最大值：当k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减
小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项 的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的
52两项 ， 相等，且同时取得最大值．
28．二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为 ，其中 为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接
找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，
再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参
数．
【命题方向】
﹣可能要求考生直接求解二项展开式中某一特定项的系数或幂次，或分析展开式中的通项规律．
﹣命题可能涉及二项式定理在不完全展开中的应用，要求考生逆向推导或分析已知条件．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:56:22；用户：组卷37；邮箱：zyb037@xyh.com；学号：41419000
53
