文档内容
2025年菁优高考数学解密之圆锥曲线综合
一．选择题（共10小题）
1．（2024•辽阳二模）由动点 向圆 引两条切线 ， ，切点分别为 ， ，
若四边形 为正方形，则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
2．（2024•安徽模拟）已知 ， 为圆 上的动点，且动点 满足： ，记
点的轨迹为 ，则
A． 为一条直线 B． 为椭圆
C． 为与圆 相交的圆 D． 为与圆 相切的圆
3．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹
长度为
A． B． C． D．
4．（2024•重庆模拟）长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于点 的
对称点 的轨迹方程为
1A． B． C． D．
5．（2024•河北模拟）已知 是圆 上的动点，点 满足 ，记点
的轨迹为 ，若圆 与轨迹 的公共弦方程为 ，则
A． ， B． ， C． D．
6．（2024•闵行区三模）设 为曲线 上的任意一点，记 到 的准线的距离为 ．若关于点集
和 ， ，给出如下结论：
①任意 ， 中总有2个元素；
②存在 ，使得 ．
其中正确的是
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
7．（2024•回忆版）已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线 ， 为垂足，
则线段 的中点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
8．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，
且 ，则下列说法正确的是
A．点 的轨迹为圆
B．点 到原点最短距离为2
2C．点 的轨迹是一个正方形
D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
9．（2024•德州模拟）已知点 为圆 上一动点，点 满足 ，记点 的轨迹为 ．
直线 上有一动点 ，直线 与 相切于点 ，则 的最小值为
A．2 B． C． D．
10．（2024•石景山区一模）对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
其中正确的命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二．多选题（共5小题）
11．（2024•遵义二模）已知平面内曲线 ，下列结论正确的是
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 所围成图形的面积为
C．曲线 上任意两点同距离的最大值为
D．若直线 与曲线 交于不同的四点，则
12．（2024•苏州模拟）从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转．某苏州地区（经纬度约 ，
的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽
略不计，则杆影可能的轨迹是
A．半圆形 B．双曲线 C．直线 D．椭圆
13．（2024•太原模拟）已知两定点 ， ，动点 满足条件 ，其轨迹是曲线 ，
3过 作直线 交曲线 于 ， 两点，则下列结论正确的是
A． 取值范围是
B．当点 ， ， ， 不共线时， 面积的最大值为6
C．当直线 斜率 时， 平分
D． 最大值为
14．（2024•河南模拟）在平面直角坐标系 中， ， 为曲线 上任意
一点，则
A． 与曲线 有4个公共点 B． 点不可能在圆 外
C．满足 且 的点 有5个 D． 到 轴的最大距离为
15．（2024•锦州模拟）已知曲线 ，则
A． 过原点
B． 关于原点对称
C． 只有两条对称轴
D． ， ， ，
三．填空题（共5小题）
16．（2024•长春模拟）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿 折起，使
得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．若 是线段 的中点，点 在
三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 ．
17．（2024•南昌二模）如图，有一张较大的矩形纸片 ， ， 分别为 ， 的中点，点 在
4上， ．将矩形按图示方式折叠，使直线 （被折起的部分）经过 点，记 上与 点重
合的点为 ，折痕为 ．过点 再折一条与 平行的折痕 ，并与折痕 交于点 ，按上述方法多次
折叠， 点的轨迹形成曲线 ．曲线 在 点处的切线与 交于点 ，则 的面积的最小值为
．
18．（2024•阳江模拟）已知曲线 是平面内到定点 与到定直线 的距离之和等于6的点的
轨迹，若点 在 上，对给定的点 ，用 表示 的最小值，则 的最小值为 ．
19．（2024•梅州模拟）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，定义 ， 、 ， 两点之
间的“直角距离”为 ．已知两定点 ， ，则满足 ，
， 的点 的轨迹所围成的图形面积为 ．
20．（2024•昌平区模拟）已知曲线 ， 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 关于直线 成轴对称图形；
②经过坐标原点 的直线 与曲线 有且仅有一个公共点；
③直线 与曲线 所围成的图形的面积为 ；
④设直线 ，当 时，直线 与曲线 恰有三个公共点．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称
5它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妹”圆锥曲
线， ， 分别为 ， 的离心率，且 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的动直线 交双曲线 右支于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ，
．
试探究 与 的比值 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
22．（2024•赤峰模拟）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线
交直线 于点 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，且 为线段 的中点．
证明：直线 与曲线 有且仅有一个交点；
求 的取值范围．
23．（2024•广东模拟）已知动圆过点 ，且被 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线 ．
过点 的直线 交 于 ， 两点，过 与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上
方， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）证明：直线 过定点；
24．（2024•天津）已知椭圆 的离心率 ，左顶点为 ，下顶点为 ， 是线段
6的中点，其中 ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 的动直线与椭圆有两个交点 ， ，在 轴上是否存在点 使得 恒成立．若
存在，求出这个 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
25．（2024•吉林三模）已知点 ，直线 ，动圆 与直线 相切，交线段 于点 ，且
．
（Ⅰ）求圆心 的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（Ⅱ）过点 且倾斜角大于 的直线 与 轴交于点 ，与 的轨迹相交于两点 ， ，且
，求 的值及 的取值范围．
72025年菁优高考数学解密之圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•辽阳二模）由动点 向圆 引两条切线 ， ，切点分别为 ， ，
若四边形 为正方形，则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】整体思想；直线与圆；数学运算；综合法
【分析】由题意可得 ，再结合圆的定义求解即可．
【解答】解：圆 ，圆心 ，半径 ，
因为四边形 为正方形，
所以 ，
所以动点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
即动点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了求动点的轨迹方程，属于基础题．
2．（2024•安徽模拟）已知 ， 为圆 上的动点，且动点 满足： ，记
点的轨迹为 ，则
A． 为一条直线 B． 为椭圆
C． 为与圆 相交的圆 D． 为与圆 相切的圆
【答案】
【考点】轨迹方程
8【专题】定义法；直线与圆；函数思想；逻辑推理
【分析】设 ， ，由 ，得到 点坐标，设 点坐标为 ，用 点坐标表示 点
坐标，并代入圆 ，得到 点的轨迹方程 ，再利用圆心距与半径的关系判 点的轨迹 与圆 的位置
关系．
【解答】解：设 ， ，由 ，可得 ，
所以 点坐标为 ， ，
设 点坐标为 ，则 ，即 ，
把 代入圆 ，则 点的轨迹 的方程为： ，
即 是圆心为 ，半径为1的圆，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，
即 为与圆 相切的圆．
故选： ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程，属于中档题．
3．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹
长度为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；轨迹方程
9【专题】空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；综合法
【分析】可得 平面 ，可得点 的轨迹为圆，由此即可得．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 、 、 轴，
建立空间直角坐标系， ，2， ， ，1， ，
，0， ， ，0， ， ，2， ，
故 ， ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 得， ，故 ，
因为 ，故 平面 ，
为平面 上的动点，直线 与直线 的夹角为 ，
平面 ，设垂足为 ，以 为圆心， 为半径作圆，
即为点 的轨迹，其中 ，由对称性可知， ，故半径
，故点 的轨迹长度为 ．
故选： ．
10【点评】本题考查立体中的轨迹问题，属于中档题．
4．（2024•重庆模拟）长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于点 的
对称点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；数学运算；综合法
【分析】设点 、 ， 、 ，由已知条件可得出 ，分析可知， 为 的中
点，可得出 ，代入等式 化简可得出点 的轨迹方程．
【解答】解：设点 、 ， 、 ，
则 ，可得 ，
因为点 关于点 的对称点为 ，则 为 的中点，
所以 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
即 ，
11因此，点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了求点的轨迹方程，考查了方程思想，属于基础题．
5．（2024•河北模拟）已知 是圆 上的动点，点 满足 ，记点
的轨迹为 ，若圆 与轨迹 的公共弦方程为 ，则
A． ， B． ， C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】数学运算；综合法；计算题；整体思想；直线与圆
【分析】利用相关点法求得圆 的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于
， 的方程组，解之即可得解．
【解答】解：因为点 是圆 上的动点，点 满足 ，
设 ， ， ，则 ，
所以 ，即 ，
代入圆 的方程，可得 ，即 ，
可得两圆的公共弦的方程为 ，即 ，
又因为两圆的公共弦的方程为 ，可得 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了圆的轨迹方程，属于中档题．
6．（2024•闵行区三模）设 为曲线 上的任意一点，记 到 的准线的距离为 ．若关于点集
和 ， ，给出如下结论：
①任意 ， 中总有2个元素；
12②存在 ，使得 ．
其中正确的是
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
【答案】
【考点】曲线与方程；命题的真假判断与应用
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法
【分析】根据题意可得点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，当点 在原点时，点 在点 的
轨迹圆外，即可得出结论．
【解答】解：曲线 的焦点 ，则 ，
由 得，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
的圆心 ，
当点 在原点处时， ，此时 ，
此时点 的轨迹方程为 ，
因为 ，所以点 在圆 外，
则存在 ，使得两圆相离，即 ，
故①错误，②正确，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．
7．（2024•回忆版）已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线 ， 为垂足，
则线段 的中点 的轨迹方程为
A． B．
13C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【专题】逻辑推理；数学运算；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 ， ，由题意及中点坐标公式可得点 的坐标，利用代入法，即可求得线段
的中点 的轨迹方程．
【解答】解：设 ， ，则 ，
由中点坐标公式得 ，
因为点 在曲线 上，
所以 ，
故线段 的中点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【点评】本题考查代入法求轨迹方程，属于基础题．
8．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，
且 ，则下列说法正确的是
A．点 的轨迹为圆
B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形
D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】数形结合；直线与圆；平面向量及应用；计算题；转化思想；综合法；数学运算
【分析】设 点坐标为 ，由已知条件 ，结合向量的坐标表示可用 ， 表示 ， ，
结合 可得 ， 的关系，进而可求点 的轨迹方程，再由平行四边形面积公式检验选项 ．
14【解答】解：设 点坐标为 ，由已知条件 ，可得 ，
又因为 ，所以 点坐标对应轨迹方程为 ，
，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ．
点对应的轨迹如图所示： ，
所以 点的轨迹为菱形， ， 错误；
原点到直线的距离为： ，所以 不正确．
轨迹图形是平行四边形，面积为 ； 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了点的轨迹的求解，考查了综合解决问题的能力，属于难题
9．（2024•德州模拟）已知点 为圆 上一动点，点 满足 ，记点 的轨迹为 ．
15直线 上有一动点 ，直线 与 相切于点 ，则 的最小值为
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】综合法；数学运算；直线与圆；方程思想
【分析】设 ， ，由 在圆 上，结合向量数量积的坐标表示，可得 的轨迹方程，再由圆
的切线的性质和勾股定理，结合点到直线的距离公式，可得所求值．
【解答】解：设 ， ，
由点 满足 ，可得 ， ，
即有 ， ，
由 在圆 上，可得 ，
即 ，圆心 ，半径 ，
由直角三角形的勾股定理，可得 ，
即 ，
要求 的最小值，只需求 的最小值．
由点到直线的距离公式，可得 ，
则 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10．（2024•石景山区一模）对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
16其中正确的命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】数学运算；方程思想；综合法；直线与圆
【分析】将 换为 ， 换为 ，方程 不变，可判断①；方程变为 ，由基本
不等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在定理和函数的单调性，可判
断③．
【解答】解：将 换为 ， 换为 ，方程 不变，则曲线 关于原点对称，故①正确；
由 ，可得 ，解得 即有 ，故②正确；
由曲线 和曲线 都关于原点对称，都关于 ， 轴对称，可考虑第一象限的交点个数．
由 和 ，可得 ，
设 ，由 （1） ， ， （2） ，
可得 在 和 各有一个零点，又 和 在 递减，
则第一象限的交点个数为2，
可得曲线 与曲线 有8个交点，故③错误．
故选： ．
【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能
力，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•遵义二模）已知平面内曲线 ，下列结论正确的是
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 所围成图形的面积为
17C．曲线 上任意两点同距离的最大值为
D．若直线 与曲线 交于不同的四点，则
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】转化思想；数学运算；数形结合法；直线与圆；逻辑推理
【分析】选项 中，将 换成 ， 换成 ，即可判断曲线 是否关于原点对称；
选项 中，讨论 ， 时，方程表示的曲线 是圆在第一象限的部分，由对称性可得曲线 所围成
图形的面积；
选项 中，根据圆的性质，利用数形结合法求出曲线 上任意两点间距离的最大值；
选项 中，利用数形结合法可判断直线与曲线 交于不同的四点时 的取值范围．
【解答】解：对于 ，将 换成 ， 换成 ，方程 不变，所以曲线 关于原点
对称，选项 正确；
对于 ，当 ， 时，方程可化为 ，即 ，
此时曲线 所围成的图形是圆在第一象限的部分，面积不是 ，
由对称性可得曲线 所围成图形的面积不是 ，选项 错误；
对于 ，由 知曲线 在第一象限的图形是圆 的一部分，
圆上的点到原点的最大距离为 ，
所以曲线 上任意两点间距离的最大值为 ，选项 正确；
对于 ，直线 是过定点 的直线，
由图形知： 时，直线 不过点 ， 时，直线 也不过点 ，
由此判断直线 与曲线 交于不同的四点时 的取值范围不是 ，选项 错误．
故选： ．
18【点评】本题考查了曲线与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12．（2024•苏州模拟）从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转．某苏州地区（经纬度约 ，
的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽
略不计，则杆影可能的轨迹是
A．半圆形 B．双曲线 C．直线 D．椭圆
【答案】
【考点】轨迹方程；双曲线的几何特征
【专题】逻辑推理；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运动思想
【分析】根据太阳视运动轨迹判断．
【解答】解：根据题意可知，杆影的轨迹是太阳的视运动轨迹，
即太阳视运动轨迹．
根据题意可知，该地位于北半球，且纬度为 ，太阳直射点在南北回归线之间来回移动，
因此该地正午太阳高度角在 之间，
因此杆影的轨迹为椭圆，故 正确；
那除了椭圆轨迹，可能的轨迹还有半圆形．
在较短的时间段内，比如一天中的某些时刻，杆影可能会呈现出近似半圆形的轨迹．
但从长时间的观测和综合考虑地球公转、自转以及太阳直射点的移动等因素，椭圆轨迹更为准确和常见．
所以这道题选择 和 选项．
故选： ．
【点评】本题考查太阳轨迹方程以及椭圆的几何特征．
13．（2024•太原模拟）已知两定点 ， ，动点 满足条件 ，其轨迹是曲线 ，
过 作直线 交曲线 于 ， 两点，则下列结论正确的是
19A． 取值范围是
B．当点 ， ， ， 不共线时， 面积的最大值为6
C．当直线 斜率 时， 平分
D． 最大值为
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】导数的概念及应用；逻辑推理；定义法；函数思想
【分析】对于 ，先设出 点，根据已知 求解圆的方程，再求出 的最大值和最小值；
对于 ，先设出直线方程，联立直线和圆方程，根据韦达定理和三角形面积公式求解；
对于 ，根据正弦定理推导角之间的关系；
对于 ，先根据余弦定理求出 的值，再求出 的取值范围，再根据正切函数单调递增区间
求解即可．
【解答】解：设 ，由 得： ，
化简整理得 ，
所以曲线 ，如图：
20易知点 在圆 内，则过点 作直线 ，直线 截圆 所得最长弦为直径，
所以 ，直线 截圆 所得最短弦为过点 且垂直于过点 的直径的弦，
因为 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 的取值范围是 ，故 正确．
当点 ， ， ， 不共线时，直线 的斜率不为0，设直线 ， ， ， ， ，
联立得 ，
消去 得： ，△ ，
所以 ， ，
又 ， 所 以
，
（提示 ，故 ，
故 错误．
由题意知， ，
又因为当直线 的斜率 时，
， ，
所以 ， ，
又因为 ，
21所以 ，
所以当直线 的斜率 时， 平分 ，
故 正确．
由余弦定理得：
，
当且仅当 时等号成立，
显然 ，
又因为 在 ， 上单调递增，
所以 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查轨迹方程，属于难题．
14．（2024•河南模拟）在平面直角坐标系 中， ， 为曲线 上任意
一点，则
A． 与曲线 有4个公共点 B． 点不可能在圆 外
C．满足 且 的点 有5个 D． 到 轴的最大距离为
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算
【分析】联立 和曲线 的方程，解方程可判断 ；由基本不等式可判断 ；由 ，且 ，
22， ，求得 的坐标，可判断 ；由换元法和三元均值不等式，计算可判断 ．
【解答】解：由 ，即 ，与 联立， 或 ，共有两个公共点，
故 错误；
由 ，化为 ，当且仅当 时，取得等号，故 正确；
由于 ，且 ， ， ，可得满足条件的点 有 ， ， 共3个点，故 错
误；
设 ， ，可得曲线 的方程为 ，即有 ，
由 ，可得 ，当且仅当 时，取得等号，
可得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查曲线的方程和性质，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
15．（2024•锦州模拟）已知曲线 ，则
A． 过原点
B． 关于原点对称
C． 只有两条对称轴
D． ， ， ，
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】直线与圆；数学运算；方程思想；综合法
【分析】将原点代入曲线 的方程，可判断 ；将 换为 ， 换为 ，方程不变，可判断 ；推得
曲线 关于 ， 轴和直线 对称，可判断 ；由基本不等式推得 ，可判断 ．
【解答】解：曲线 ，可得原点代入，方程成立，故 正确；
将 换为 ， 换为 ，方程不变，故曲线 关于原点对称，故 正确；
将 换为 ， 不变，方程不变，可得曲线 关于 轴对称；将 换为 ， 不变，方程不变，可得曲
23线 关于 轴对称；
将 换为 ， 换为 ，方程不变，可得曲线 关于直线 对称；故 错误；
由 ，可得 ，当且仅当 时，取得等号，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及曲线的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中
档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•长春模拟）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿 折起，使
得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．若 是线段 的中点，点 在
三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 ．
【答案】 ．
【考点】轨迹方程
【专题】转化思想；数学运算；立体几何；综合法
【分析】取 中点 ，由题可得 平面 ，设点 轨迹所在平面为 ，则 轨迹为平面 截三
棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得．
【解答】解：取 中点 ，连接 ， ，
则 ， ， ，
， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，则 ， ，
24作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 ，且 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ， ， 的中心分别为 ， ，
可知 平面 ， 平面 ，且 ， ， ， 四点共面，
由题可得 ，
在 △ 中，可得 ，
又因为 ，则 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
所以截面圆的面积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查多面体与外接球的综合运用，考查点的轨迹的面积的求法，属中档题．
17．（2024•南昌二模）如图，有一张较大的矩形纸片 ， ， 分别为 ， 的中点，点 在
上， ．将矩形按图示方式折叠，使直线 （被折起的部分）经过 点，记 上与 点重
合的点为 ，折痕为 ．过点 再折一条与 平行的折痕 ，并与折痕 交于点 ，按上述方法多次
折叠， 点的轨迹形成曲线 ．曲线 在 点处的切线与 交于点 ，则 的面积的最小值为
．
25【答案】 ．
【考点】轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】计算题；数学运算；转化思想；导数的概念及应用；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】连接 ，可得 ，可知点 在以 为焦点，直线 为准线的抛物线上，求出抛物
线方程，然后利用导数求出点 处的切线，将 的面积表示为关于点 的横坐标的式子，进而利用
导数研究函数的单调性，求出 面积的最小值．
【解答】解：连接 ，由 与 关于 对称，可得 ，所以点 在以 为焦点、直线
为准线的抛物线上，
以 中点 为原点，过 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，直线 ，可得抛物线的方程为 ，即 ，求导数得 ，
设 ，则抛物线在点 处的切线斜率 ，
切线方程为 ，与直线 交于点 ， ，
26所以 ，可得 ，
设 （a） ，其中 ，可得 （a） ，当 时， （a） ，
因为 时 （a） ， ， （a） ，
所以 （a）在 上单调减，在 ， 上单调增．
因此，当 时， （a）有最小值 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查抛物线的定义与标准方程、利用导数研究函数图象的切线、函数的单调性与最值
求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
18．（2024•阳江模拟）已知曲线 是平面内到定点 与到定直线 的距离之和等于6的点的
轨迹，若点 在 上，对给定的点 ，用 表示 的最小值，则 的最小值为 2
．
【答案】2．
【考点】轨迹方程
【专题】数形结合；转化思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算
【分析】设 ，讨论 时和 时，分别求出点 的轨迹方程，设点 到直线 的距离为 ，
由此计算 的最小值即可．
【解答】解：设 ，当 时， ，
所以 ，化简得： ， ， ，即 ；
当 时， ，所以 ，整理得： ， ， ，即
27；
对于曲线 上任意一点 ，
则 ，当且仅当 是线段 与曲线 的交点时取“ ”，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，
即点 的坐标为 时， 取得最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的轨迹应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
19．（2024•梅州模拟）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，定义 ， 、 ， 两点之
间的“直角距离”为 ．已知两定点 ， ，则满足 ，
， 的点 的轨迹所围成的图形面积为 6 ．
【答案】6．
【考点】轨迹方程
【专题】综合法；计算题；数学运算；转化思想；直线与圆；数形结合
【分析】利用已知条件，求解轨迹方程，然后画出图形即可求解面积．
【解答】解：设 ，由题意 ， ， ，
可知 ，
轨迹方程的图形如图，
28图形的面积为： ．
故答案为：6．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，图形的画法，面积的求法，是中档题．
20．（2024•昌平区模拟）已知曲线 ， 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 关于直线 成轴对称图形；
②经过坐标原点 的直线 与曲线 有且仅有一个公共点；
③直线 与曲线 所围成的图形的面积为 ；
④设直线 ，当 时，直线 与曲线 恰有三个公共点．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【考点】曲线与方程
【专题】直线与圆；整体思想；数学运算；综合法
【分析】分 ， 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为 时结
合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确．
【解答】解：： 可化为 ，
因为当 ， 时， 无意义，无此曲线，故舍去，
所以曲线 表示为 ，
29对于①，由图象可得曲线 关于直线 成轴对称图形，故①正确；
对于②，由于左上和右下部分双曲线的 ，所以渐近线方程为 ，所以当直线的斜率为 时，过
原点的直线与曲线无交点，故②错误；
对于③，设直线 与 ， 交点分别为 ， ，因为圆方程中半径为2，且点 ， ，所以直线
与曲线围成的图形的面积为 ，故③正确；
对于④，由于直线 恒过 ，当 时，直线与 平行，有一个交点；
当 时，与渐近线平行，此时有两个交点，当 ，结合斜率的范围可得有三个交点，如图，
④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了曲线方程的应用，还考查了直线与曲线位置关系的应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称
它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妹”圆锥曲
30线， ， 分别为 ， 的离心率，且 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的动直线 交双曲线 右支于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ，
．
试探究 与 的比值 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ； ， ， ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法
【分析】（1）由题意可设双曲线 ，利用 ，可求 ；
（2） 设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，与双曲线联立方程组可得
， ，进而计算可得 为定值．
设直线 ，代入双曲线方程可得 ，进而可得 ， ， ，
， ，进而由 可得 ， ， ，进而求得 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设双曲线 ，
31则 ，解得 ，
双曲线 的方程为 ；
（2） 设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，则 ，△ ，
且 ， ，
；
设直线 ，代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点， 此方程有一根为 ，
，解得 ，
点 在双曲线的右支上， ，
解得 ， ，即 ， ，
同理可得 ， ， ，
由 ， ， ，
， ， ，
， ， ．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，
渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．
22．（2024•赤峰模拟）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线
交直线 于点 ，设点 的轨迹为曲线 ．
32（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，且 为线段 的中点．
证明：直线 与曲线 有且仅有一个交点；
求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 证明过程见解析；
（ⅱ） ， ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解
【分析】（1）由题意，得到 ，结合双曲线的定义以及 ， ， 的关系列出等式求出 和
的值，进而可得曲线 的方程；
（2） 设 ， ， ， ， ， ，结合（1）中信息得到双曲线的渐近线方程，整理得
，结合 以及点 在曲线 上，求出直线 的方程，将直线 的方程与
曲线 的方程联立，根据△ 即可得证；
（ⅱ）结合 中信息，将双曲线的渐近线方程与直线 的方程联立，求出的 表达式，同理得 的表
达式，推出 ，将 转化成有关 的不等式，再进行求解即可．
【解答】解：（1）因为点 为 的垂直平分线上一点，
所以 ，
此时 ，
则点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线，且 ， ，
33所以 ，
则 ，
则曲线 的方程为 ；
（2） 证明：不妨设 ， ， ， ， ， ，
易知曲线 的渐近线方程为 ， ，
两式相加得 ，两式相减得 ，
所以 ，
即 ，
易知 ，
所以 ， ，
则 ，
即 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
因为点 在曲线 上，
所以 ，
此时 ，
34联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ ，
故 与 有且仅有一个交点；
（ⅱ）联立 ，
解得 ，
同理得 ，
此时 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，
所以 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
23．（2024•广东模拟）已知动圆过点 ，且被 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线 ．
过点 的直线 交 于 ， 两点，过 与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上
方， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）证明：直线 过定点；
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明过程见解答．
35【考点】轨迹方程
【专题】数学运算；综合法；方程思想；逻辑推理；圆锥曲线中的最值与范围问题；数形结合
【分析】（Ⅰ）根据圆的几何性质进行求解即可；
（Ⅱ）方法一：设出相应直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公
式、直线点斜式方程，结合互相垂直直线斜率的关系进行运算求解即可；
方法二：设出一条直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、互
相垂直直线斜率关系求出相应点的坐标，最后利用直线点斜式方程进行判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）设 ，因为动圆过点 ，且被 轴截得的线段长为4，
所以有 ，
所以曲线 的方程为： ；
（Ⅱ）证明：方法一：由 ，故 ，
由直线 与直线 垂直，故两直线斜率都存在且不为0，
设直线 、 分别为 ， ，且 ， ， ， ， ，
，
联立 与直线 ，即有 ，
消去 可得： ， ，
故 ， ，则 ，
故 ，即 ，
同理可得 ，
当 时，则 ，
即 ，
36由 ，即 ，
故 时，有 ，
此时 过定点，且该定点为 ；
当 时，即 时，由 ，得 ，
所以当 时，直线 过定点，且该定点为 ，
综上，直线 过定点，且该定点为 ．
方法二：设 ， ， ， ，不妨设 ，
设 ，则 ．由 ，得 ，
故 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，同理可得 ，
若 ，则直线 ，所以 过点 ；
若 ，则直线 ， 过点 ．
综上，直线 过定点 ．
【点评】本题考查动点的轨迹方程，直线过定点问题，直线与抛物线的位置关系，关键是利用直线互相
37垂直的关系求出相应点的坐标，从而利用直线点斜式方程进行判断，属于中档题．
24．（2024•天津）已知椭圆 的离心率 ，左顶点为 ，下顶点为 ， 是线段
的中点，其中 ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 的动直线与椭圆有两个交点 ， ，在 轴上是否存在点 使得 恒成立．若
存在，求出这个 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ， ．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的几何特征；直线与圆锥曲线的综合
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】（1）结合椭圆的性质，以及三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据已知条件，分动直线的斜率存在、不存在讨论，当动直线的斜率不存在，直接结合平面向量的
数量积运算，即可求解；动直线的斜率存在时，
设出直线方程，并与椭圆方程联立，再结合平面向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为 ，
所以 ，即 ，其中 为半焦距，
，
则 ，
所以 ， ， ，
，解得 ，
38故 ， ，
故椭圆方程为 ；
（2）①若过点 的动直线的斜率不存在，
则 ， 或 ， ，此时 ，
②若过点 的动直线的所率存在，
则可设该直线方程为： ，
设 ， ， ， ，
，化简整理可得， ，
故△ ， ；
， ，
故
，
恒成立，故 ，解得 ，
若 恒成立．
39结合①②可知， ．
故这个 点纵坐标的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
25．（2024•吉林三模）已知点 ，直线 ，动圆 与直线 相切，交线段 于点 ，且
．
（Ⅰ）求圆心 的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（Ⅱ）过点 且倾斜角大于 的直线 与 轴交于点 ，与 的轨迹相交于两点 ， ，且
，求 的值及 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ，所以，点 的轨迹是焦点在 轴上，实轴长、虚轴长均为 的等轴双曲线．
（Ⅱ） ； 的取值范围是 ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程
【专题】数学运算；应用题；圆锥曲线中的最值与范围问题；待定系数法；方程思想
【分析】（Ⅰ）设圆心 为 ，根据 ，列出轨迹方程即可求解．
（Ⅱ）设直线 ，联立直线与双曲线，表示出 ，进而求出
的值及 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设点 ，圆 的半径为 ， 为 到直线 的距离，则 ，
根据题意，动点 的轨迹就是点的集合，
40，
，
整理得 ，即 ，
所以，点 的轨迹是焦点在 轴上，实轴长、虚轴长均为 的等轴双曲线．
（Ⅱ）设直线 ，
倾斜角大于 ， ，
设 ， ， ， ， ，
联立 得 ，
△
， ，
， ，
，
，
41， ， ，
，
由 ，得 ，
的取值范围是 ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
42考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
2．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
433．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱
柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则
称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
44V棱柱 ＝S×h．
4．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
5．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
45（1） （a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F F |＝2c；
1 2
（2） （a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F F |＝2c．
1 2
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0） （a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，b），B′（0，﹣b） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
2b
焦点在长轴长上
焦点在长轴长上
焦点 F （﹣c，0），F （c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c（c＞0） |F F |＝2c（c＞0）
1 2 1 2
c2＝a2﹣b2 c2＝a2﹣b2
离心率
e＝ （0＜e＜1） e＝ （0＜e＜1）
准线
x＝± y＝±
6．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
462．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A （﹣a，0），A （a，0），B （0，﹣b），B （0，b）
1 2 1 2
其中，线段A A ，B B 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
1 2 1 2
半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝ ，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，
方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
7．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
47双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
8．曲线与方程
【知识点的认识】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程 f
（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为
坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程
关键是要找到各变量的等量关系．
【解题方法点拨】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距
离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB
的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
48由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交
AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以 为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一
条直线．
故选A．
这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究
一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等
的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的
题．
【命题方向】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭
圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．
499．直线与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的
方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【解题方法点拨】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F （﹣1，0）、F （1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心
1 2
率 ．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F 的任意一条直线与圆锥曲线 C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点 P，使
2
的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为 （a＞b＞0），
∴c＝1，
∵ ，
∴a＝2，
∴ ，
所求方程为 ．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由 ，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
50从而 ， ，
设P（t，0），则
＝
当 ，
解得
此时对 k R， ；
当AB⊥∀x轴∈ 时，直线AB的方程为x＝1，
x ＝x ＝1， ，
A B
对 ， ，
即存在x轴上的点 ，使 的值为常数 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种
特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是
求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，
这也是常用的方法．
【命题方向】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大
可以适当的放到最后做．
10．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的认识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹
方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
51义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参
数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概
念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
11．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．
当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系
反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程
f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
52（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离
公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x ，y ），即得到x ＝f（x，
0 0 0
y），y ＝g（x，y），再将x ，y 代入M满足的条件F（x ，y ）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问
0 0 0 0 0
题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
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