文档内容
2025年菁优高考数学解密之圆与方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024•广西模拟）已知圆的方程为 ， 为圆上任意一点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， ， D． ， ，
2．（2024•香坊区校级模拟）已知圆 ，圆 ，两圆的公共弦所在
直线方程是
A． B． C． D．
3．（2024•昌平区模拟）若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两
点距离的比为常数 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 ， ，
动点 满足 ，若点 的轨迹与圆 有且仅有三条公切线，
则
A． B．1 C．2 D．3
5．（2024•山东模拟）已知直线 和曲线 有公共点，则实数 的取
值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
16．（2024•江西模拟）若点 在圆 的外部，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． D．
7．（2024•全国）圆 与圆 交于 ， 两点，则直线 的方程为
A． B． C． D．
8．（2024•北京）圆 的圆心到 的距离为
A． B．2 C．3 D．
9．（2024•和平区二模）过直线 上的点 作圆 的两条切线 ， ，当直线 ，
关于直线 对称时，点 的坐标为
A． B． C． D．
10．（2024•乐山三模）已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过
作圆 的切线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•青岛模拟）已知动点 ， 分别在圆 和 上，
动点 在 轴上，则
A．圆 的半径为3
B．圆 和圆 相离
C． 的最小值为
2D．过点 作圆 的切线，则切线长最短为
12．（2024•金安区校级模拟）已知圆 ，点 是圆 上的一点，则下列说法正
确的是
A．圆 关于直线 对称
B．已知 ， ，则 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最大值为
13．（2024•洪山区校级模拟）已知 ， ， ， 是圆 上两点，则下列结论正确的
是
A．若点 到直线 的距离为 ，则
B．若 的面积为 ，则
C．若 ，则点 到直线 的距离为
D． 的最大值为 ，最小值为
14．（2024•江西模拟）设圆 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作
圆 的两条切线 、 ，切点为 、 ， 、 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有
A． 的取值范围为 ，
B．四边形 面积的最大值为
C．满足 的点 有两个
3D． 的面积最大值为
15．（2024•日照模拟）已知 ， ， ， 是曲线 上不同的
两点， 为坐标原点，则
A． 的最小值为3
B．
C．若直线 与曲线 有公共点，则
D．对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直
三．填空题（共5小题）
16．（2024•莲湖区校级三模）已知点 与圆 ， 是圆 上任意一点，则 的最
小值是 ．
17．（2024•抚州模拟）若直线 与圆 交于 ， 两点，则 ．
18．（2024•浦东新区二模）已知圆 ，圆 ，若两圆
相交，则实数 的取值范围为 ．
19．（2024•武清区校级模拟）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，
且 ，则实数 ．
20．（2024•和平区模拟）已知圆 以点 为圆心，且与直线 相切，则满足以上
条件的圆 的半径最大时，圆 的标准方程为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•黑龙江模拟）已知圆 ， ．
（1）证明：圆 过定点；
4（2）当 时，点 为直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求四
边形 面积最小值，并写出此时直线 的方程．
22．（2024•自贡二模）已知圆 与直线 相交于点 ， ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）设 是直线 上，圆 外的任意一点，过 点作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求证：经
过 ， 两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．
23．（2024•苏州三模）已知圆 ，直线 ，直线 和圆交于 ， 两点，过
， 分别作直线 的垂线，垂足为 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求四边形 的面积取最大值时，对应实数 的值；
（3）若直线 和直线 交于点 ，问是否存在实数 ，使得点 在一条平行于 轴的直线上？若存
在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
24．（2024•徐州模拟）将圆 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），
所得曲线为 ．记 ， ，过点 的直线与 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 分
别交于点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当 时：
求 的值；
若 有最大值，求 的取值范围．
25．（2024•重庆模拟）设 为实数，直线 和圆 相交于 ， 两点．
（1）若 ，求 的值；
（2）点 在以 为直径的圆外（其中 为坐标原点），求 的取值范围．
562025年菁优高考数学解密之圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•广西模拟）已知圆的方程为 ， 为圆上任意一点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， ， D． ， ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】数学运算；计算题；直线与圆；整体思想；演绎法；逻辑推理
【分析】将原问题转化为斜率的问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可求得取值范围．
【解答】解：圆的方程即： ， 表示圆上的点与点 连线的斜率，
考查临界情况，即直线与圆相切的情况：
设直线方程为： ，即 ，
圆心到直线的距离等于半径，即： ，
解得： ，则 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
2．（2024•香坊区校级模拟）已知圆 ，圆 ，两圆的公共弦所在
直线方程是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【专题】方程思想；作差法；直线与圆；数学运算
【分析】利用两圆的方程，作差即可求得公共弦所在直线方程．
7【解答】解：由圆 ，圆 ，
两式作差得， ，即 ，
所以两圆的公共弦所在直线方程是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了由两圆方程求公共弦所在直线方程问题，是基础题．
3．（2024•昌平区模拟）若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】直线与圆；计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；综合法
【分析】首先把圆的一般式转换为顶点式，进一步求出实数 的取值范围．
【解答】解：圆 ，整理得 ，
由于圆与 轴和 轴均有公共点，
所以 且 且 ；
解得 ．
故实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：圆的一般式和顶点式的转换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两
点距离的比为常数 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 ， ，
动点 满足 ，若点 的轨迹与圆 有且仅有三条公切线，
则
8A． B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算
【分析】设 ，应用两点距离公式和已知条件求得动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
再由公切线的条数判断位置关系，结合圆心距与半径的关系即可．
【解答】解：设 ，则 ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
而圆 可化为 的圆心为 ，半径为 ，
点 的轨迹与圆 有且仅有三条公切线，
点 的轨迹与圆 外切，
由于 和 的距离 ，
则 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
5．（2024•山东模拟）已知直线 和曲线 有公共点，则实数 的取
值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】将曲线 化为 ，若直线与曲线有交点，则由图
9可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可．
【解答】解：因为 ，所以直线 恒过定点 ，
曲线 化简即为 ，如图所示：
由图可知，若直线 与曲线 有交点，则直线介于 与 之间即可，
由圆心 到直线 的距离等于半径得 ，
整理得： ，解得 或 （舍 ，
同理，由圆心 到直线 的距离等于半径得 ，
整理得 ，解得 （舍 或 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
6．（2024•江西模拟）若点 在圆 的外部，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． D．
【答案】
【考点】点与圆的位置关系
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列式算出 ，然后根据点 在圆的外部，列式算出
，再求交集即可得到本题的答案．
10【解答】解：方程 表示圆，所以 ，解得 ，
因为点 在圆 的外部，
所以将点 代入圆方程的左边，得 ，解得 ．
综上所述， ，实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件、点与圆的位置关系及其应用、不等式的解法等知识，
属于基础题．
7．（2024•全国）圆 与圆 交于 ， 两点，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相交弦所在直线的方程
【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆
【分析】将两圆的方程相减，即可求解．
【解答】解：圆 ，即 ①，
圆 ，即 ②，
② ①可得，化简整理可得， ，
故直线 的方程为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查公共弦直线方程的求解，属于基础题．
8．（2024•北京）圆 的圆心到 的距离为
A． B．2 C．3 D．
【答案】
【考点】圆的一般方程
【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；计算题；综合法
11【分析】求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆 的圆心 ，
圆 的圆心到 的距离： ．
故选： ．
【点评】本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
9．（2024•和平区二模）过直线 上的点 作圆 的两条切线 ， ，当直线 ，
关于直线 对称时，点 的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程
【专题】整体思想；直线与圆；计算题；数学运算；综合法
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案．
【解答】解：圆 的圆心为 ，
直线 ， 关于直线 对称时，则直线 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 ， ，
由 ，解得 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
10．（2024•乐山三模）已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过
作圆 的切线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值
12【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；直线与圆
【分析】设动点 ，利用三角形相似求出点 的坐标，然后代入直线 的方程，得到点 的轨迹方
程为圆，转化为圆上的点到定点距离的最值进行求解即可．
【解答】解：设 ，
解：设 ，由 ，可得 ，
故 ，所以点 ， ，
将点 的坐标代入直线 ，
化简可得 ， 不同时为 ，
故点 的轨迹是以 为圆心， 为直径的圆，所以 的最小值即为点到圆心的距离减去半径，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：
直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•青岛模拟）已知动点 ， 分别在圆 和 上，
动点 在 轴上，则
13A．圆 的半径为3
B．圆 和圆 相离
C． 的最小值为
D．过点 作圆 的切线，则切线长最短为
【答案】
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数
【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；综合法
【分析】 项，根据圆的方程即可得； 项，计算圆心距与半径之间的关系； 项，根据对称性可得；
项，利用勾股定理可得．
【解答】解： 的半径为 ， 错误；
圆 和圆 圆心距为 ，则圆 和圆 相离；
项，作 关于 轴的对称点 ，则 ，
所以 ， 错误；
项，点 到圆 的切线长最小时， 轴，
圆心到 轴的距离为2，
切线长的最小值为： ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
12．（2024•金安区校级模拟）已知圆 ，点 是圆 上的一点，则下列说法正
确的是
A．圆 关于直线 对称
B．已知 ， ，则 的最小值为
14C． 的最小值为
D． 的最大值为
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；直线与圆
【分析】利用圆心在直线上，即可判断选项 ，利用三角代换即可判断选项 ， ，利用圆上点与定点
连线的斜率的几何意义，即可判断选项 ．
【解答】解：圆 ，可化为 ，圆心 ，半径3，
．显然直线 过点 ，其为圆 的圆心，因此圆 关于直线 对称，因此选
项 正确．
．点 是圆 上的一点，有 ，设 ， ．
， ，则
，因此选项 正确．
，因此选项 错误．
． ， 理解成点 与点 连线的斜率，
取最大时，即为过点 的直线与圆 相切时，直线的斜率，
故设过点 的直线为 ，即 ，
圆心到 的距离 ，解得 或 （舍去），
即 的最大值为 ，因此选项 正确．
故选： ．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与圆位置关系的应用，与圆有关的最值问题，点到
直线距离公式的理解与应用，圆的方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档
15题．
13．（2024•洪山区校级模拟）已知 ， ， ， 是圆 上两点，则下列结论正确的
是
A．若点 到直线 的距离为 ，则
B．若 的面积为 ，则
C．若 ，则点 到直线 的距离为
D． 的最大值为 ，最小值为
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】数学运算；对应思想；定义法；直线与圆
【分析】利用弦长公式判定选项 正确；
先利用三角形的面积公式求出 ，再结合角的范围判定选项 错误；
利用数量积的计算公式求出 ，进而判定三角形的形状判定选项 正确；
设 ， ，且 ，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项 错误．
【解答】解：对于 ：易知圆 的半径 ，
因为点 到直线 的距离 ，
所以 ，即选项 正确；
对于 ：因为 的面积为 ，
所以 ，
16即 ，解得 ，
因为 ，
所以 或 ，即选项 错误；
对于 ：因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
是边长为1的等边三角形，
所以点 到直线 的距离为 ，即选项 正确；
对于 ：由题意设 ， ，且 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则 ， ，
，
所以 ，
即 ，即选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，是中档题．
14．（2024•江西模拟）设圆 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作
圆 的两条切线 、 ，切点为 、 ， 、 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有
A． 的取值范围为 ，
B．四边形 面积的最大值为
17C．满足 的点 有两个
D． 的面积最大值为
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题
【分析】根据切线长公式即可求解 ， ， ，根据三角形的面积公式可求解 ．
【解答】解：圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，因为圆的半径为 ，
根据切线长公式可得 ，
当 时取得等号，所以 的取值范围为 ， ，故 正确；
因为 ，所以四边形 的面积等于 ，
四边形 的最小值为 ，故 错误；
因为 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，所以 ，
设 ，因为 ，
整理得 ，
则有△ ，所以满足条件的点 有两个，故 正确；
因为 ，
所以当 ，即 ，面积有最大值为 ，
此时四边形 为正方形，则 ，满足要求，故 错误，
故选： ．
18【点评】本题考查切线长定理，考查三角形的面积，考查两点间的距离公式，属中档题．
15．（2024•日照模拟）已知 ， ， ， 是曲线 上不同的
两点， 为坐标原点，则
A． 的最小值为3
B．
C．若直线 与曲线 有公共点，则
D．对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】解题思想；能力层次；综合题；解题方法；高考数学专题；数学运算；方程思想
【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定 ，根据几何意义判断 ，根据直线
与椭圆的位置关系判断 ，根据图形特征以及切线概念判断 ．
【解答】解：因为 ，
所以①当 时，曲线 的方程为： ，即 ，
此时 ，所以 ，解得 ，则此时 ，
所以曲线 是上半椭圆；
②当 时，曲线 的方程为： ，
即 ，
将 代入 ，解得 或 ，则此时 ，
曲线 是以 为圆心，2为半径的圆在 轴下侧的部分，
作出曲线的图形如下：
19选项 ：当 时， ，当 时取最小值3，
当 时， ，当 时取最小值1，则 的最小值为1，故 错
误；
选项 ：因为 表示点 ， 与点 和点 的距离之和，
当 时，点 和点 为椭圆 的焦点，
由椭圆定义可知 ，
当 时 ， 点 为 圆 的 圆 心 ， 点 在 圆 上 ， 所 以
，
当点 在 或 时 最大，且为2，所以 ，故
正确；
选项 ：直线 过定点 ，当直线经过 或 时，直线斜率 ，
联立 ，化简得 ，因直线 与曲线 有公共点，即△
，解得 或 ，
20所以直线 与曲线 有公共点时 ，故 正确；
选项 ：当点 在椭圆上时，对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，则曲线 在点 处的切线斜率
可以取任何非零正实数，
曲线 在 轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数，
同理，当点 在圆上时，对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，
则曲线 在点 处的切线斜率可以取任何非零负实数，曲线 在 轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任
何非零正实数，使得两切线斜率为负倒数，
所以对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查解析几何的综合问题，属中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•莲湖区校级三模）已知点 与圆 ， 是圆 上任意一点，则 的最
小值是 5 ．
【考点】 ：点与圆的位置关系
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想； ：直线与圆
【分析】求出点 与圆 的圆心 的距离，用此距离减去半径即为所求．
【解答】解：点 与圆 的圆心 的距离等于 ，
故 的最小值是10减去半径5，等于5，
故答案为：5．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆外一点与圆上的点间的最小距离等于点与圆心的距离减去半径．
17．（2024•抚州模拟）若直线 与圆 交于 ， 两点，则 ．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】直线与圆；数学运算；计算题；转化思想；综合法
【分析】首先确定圆心和半径，应用点到直线距离公式求圆心到直线 的距离，再由几何法求弦长即可．
【解答】解：由圆 ，故圆心 ，半径为 ，直线 ，
21故圆心到直线 的距离为 ，
．
答案为： ．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（2024•浦东新区二模）已知圆 ，圆 ，若两圆
相交，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【专题】数学运算；转化思想；计算题；直线与圆；综合法
【分析】由已知结合两圆位置关系的条件建立关于 的不等式，即可分别求解．
【解答】解：因为圆 可化为 ，圆心 ，半径为1，
圆 可化为 ，圆心 ，半径为3， ，
若两圆相交，则 ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题．
19．（2024•武清区校级模拟）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，
且 ，则实数 ．
【答案】 ．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；方程思想；数学运算；直线与圆
【分析】利用垂径定理列方程求解即可．
22【解答】解：根据题意，圆 ，
即 ，其圆心为 ，半径 ，
若 ，则圆心到直线 即 的距离 ，
又由圆心到直线 的距离 ，
则有 ，
解可得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（2024•和平区模拟）已知圆 以点 为圆心，且与直线 相切，则满足以上
条件的圆 的半径最大时，圆 的标准方程为 ．
【答案】 ．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程
【专题】计算题；转化思想；直线与圆；综合法；数学运算
【分析】确定直线过定点，可得最大半径，求出所求圆的标准方程，即可得出结论．
【解答】解：直线 ，可化为 ，
且 ，
， ，
直线过定点 ，
当圆 半径最大时，半径 ，
所求圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．
23四．解答题（共5小题）
21．（2024•黑龙江模拟）已知圆 ， ．
（1）证明：圆 过定点；
（2）当 时，点 为直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求四
边形 面积最小值，并写出此时直线 的方程．
【答案】（1）证明见解析．
（2）面积最小值为 ， ．
【考点】切点弦及所在直线的方程
【专题】综合法；数学运算；计算题；直线与圆；转化思想
【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；
（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）依题意，将圆 的方程 化为
，
令 ，即 ，则 恒成立，
解得 ， ，即圆 过定点 ．
（2）当 时，圆 ，
直线 ，
设 ，依题意四边形 的面积 ，
当 取得最小值时，四边形 的面积最小，
又 ，即当 最小时，四边形 的面积最小，
圆心 到直线 的距离即为 的最小值，
即 ，
24，即四边形 面积最小值为 ，
此时直线 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 ，与直线 联立，解得 ，
设以 为直径的圆 上任意一点 ， ，
故圆 的方程为 ，
即 ，又圆 ，
两式作差可得直线 方程 ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22．（2024•自贡二模）已知圆 与直线 相交于点 ， ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）设 是直线 上，圆 外的任意一点，过 点作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求证：经
过 ， 两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1） ， ；
（2）证明见解析， ．
【考点】直线与圆的位置关系；过圆外一点的圆的切线方程
【专题】综合法；数学运算；整体思想；直线与圆
【分析】（1）联立 求解即可；
25（2）先设 ， ， ， ， ，然后求出经过 ， 两点的直线方程为 ，再令
即可求解．
【解答】解：（1）已知圆 与直线 相交于点 ， ，
联立 ，
解得： 或 ，
即 ， ；
（2）证明：设 ，
设 ， ， ， ，
则 所在直线方程为 ， 所在直线方程为 ，
又 在切线 ， 上，
则 ，
即经过 ， 两点的直线方程为 ，
令 ，
则 ，
即经过 ， 两点的直线必过定点，且该定点的坐标为 ．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
23．（2024•苏州三模）已知圆 ，直线 ，直线 和圆交于 ， 两点，过
， 分别作直线 的垂线，垂足为 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求四边形 的面积取最大值时，对应实数 的值；
26（3）若直线 和直线 交于点 ，问是否存在实数 ，使得点 在一条平行于 轴的直线上？若存
在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）当 时，四边形 的面积取最大值．
（3） ，理由见解答．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；数学运算；方程思想；直线与圆
【分析】（1）由直线 与圆 相交，可建立关于 的不等式，解出即可；
（2）联立直线 与圆 方程，进而用 表示出四边形 的面积，再构造函数，利用导数求解即可；
（3）表示出直线 和直线 的方程，联立方程组，得到 的值，再结合题意可得 的值．
【解答】解：（1）由已知，圆心到直线 的距离 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ；
（2）设 ， ， ， ，
则 ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
四边形 的面积 ，
令 （b） ， ，
则 （b） ，
令 （b） 得 ，
27当 时， （b） ， （b）单调递增，
当 时， （b） ， （b）单调递减，
所以当 时，四边形 的面积取最大值．
（3） ， ，直线 和直线 ，
联立得 ，
所以 时，点 在一条平行于 轴的直线上．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，涉及了利用导数研究函数的最值，考查函数思想以及运算求解
能力，属于中档题．
24．（2024•徐州模拟）将圆 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），
所得曲线为 ．记 ， ，过点 的直线与 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 分
别交于点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当 时：
求 的值；
若 有最大值，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
．
【考点】直线与圆的位置关系
28【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；直线与圆
【分析】（1）设所求轨迹 上的任意点为 ，且对应的点为 ， ，列出关系式，代入即可求解；
（ 2 ） 设 直 线 为 ， 联 立 方 程 组 ， 结 合 韦 达 定 理 求 得 和
，再结合 ， ， 三点共线，求得 ，利用斜率公式，即可求
解；
设直线 为 ，得到直线 的斜率为 ，求得 ，利用基本不等式，
得到 取得最大值，再联立方程组，结合△ ，得到 ，进而求得 的取值范围．
【解答】（1）解：设所求轨迹 上的任意点为 ，与 对应的点为 ， ，
代入方程 ，可得 ，整理得 ，
所以曲线 的轨迹方程为 ；
（2）解： 设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
则△ ，且 ，
可得 ，所以 ，
可得 ，
所以 ，同理可得 ，
29又因为 ， ， 三点共线，可得 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
设直线 的方程为 ，其中 ，由 知，直线 的斜率为 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
联立方程组 ，整理得 ，
则△ ，解得 ，
若 有最大值，则 ，
又因为 ，所以实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于难题．
25．（2024•重庆模拟）设 为实数，直线 和圆 相交于 ， 两点．
（1）若 ，求 的值；
（2）点 在以 为直径的圆外（其中 为坐标原点），求 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；
（2） ．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想
30【分析】（1）根据 的长度，计算出圆心 到直线 的距离，然后根据点到直线的距离公式，
列式算出 的值；
（2）若点 在以 为直径的圆外，则 ，因此利用向量的数量积的性质与韦达定理，算出实
数 的取值范围．
【解答】解：（1）圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ．
若 ，则点 到直线 的距离 ，
所以 ，解得 或 ；
（2）由 消去 ，得 ，
由△ ，得 ，解得 ．
设 ， ， ， ，则 ， ，
所以 ，
若点 在以 为直径的圆外，则 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ，结合 可得 ，
综上所述， ，即 的取值范围是 ．
【点评】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、向量数量积的性质等知识，考查了计算能力、
逻辑推理能力，属于中档题．
31考点卡片
1．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出 a，b，r
的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关
系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出
现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程
再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （ x ﹣ 3 ） 2 + （ y + 2 ） 2 ＝ 5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（
）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
32C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线
4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，
可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出
b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆
的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝ ＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣ （舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离 d
等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于 ，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
2．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（﹣ ，﹣ ），半径r＝ ．
333．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
3．点与圆的位置关系
【知识点的认识】
点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之
间的比较．
①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
4．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切
线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，
继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交
点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【解题方法点拨】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r＝ ．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1 ，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝ ＝ ，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
34这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照
着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即 ＝2，
解得：k＝ ，
此时切线的方程为y﹣5＝ （x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以
后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【命题方向】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
5．过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x ，y ），可以使用切线公式：
0 0
其中R是与圆外切的圆的半径．
【解题方法点拨】
﹣求切线方程：
1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径．
2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程．
【命题方向】
﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算．
6．切点弦及所在直线的方程
【知识点的认识】
35﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程．
【解题方法点拨】
﹣求弦方程：
1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标．
2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程．
【命题方向】
﹣弦方程问题：考查如何从切点和圆的方程求解弦的方程，涉及几何和代数运算．
7．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由 消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
8．圆上的点到定点的距离及其最值
36【知识点的认识】
﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径．
【解题方法点拨】
﹣最值计算：
1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值．
2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围．
【命题方向】
﹣距离最值：考查如何计算圆上的点到定点的距离的最值，涉及几何和代数方法．
9．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O ，O ，半径分别为r ，r ，|O O |＝d
1 2 1 2 1 2
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r +r
1 2
②外切（3条公切线）：d＝r +r
1 2
③相交（2条公切线）：|r ﹣r |＜d＜r +r
1 2 1 2
④内切（1条公切线）：d＝|r ﹣r |
1 2
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r ﹣r |
1 2
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
10．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数
【知识点的认识】
﹣方程或参数：根据圆与圆的位置关系，可以确定圆的方程或参数，如圆心位置和半径．
【解题方法点拨】
﹣确定方程：
371．分析位置关系：根据圆与圆的位置关系确定方程形式．
2．代入条件：根据位置关系求解方程的参数和具体形式．
【命题方向】
﹣方程参数求解：考查如何根据圆与圆的位置关系确定圆的方程或参数，涉及几何解释和代数计算．
11．两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不
得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③
当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的
参数即可．
12．相交弦所在直线的方程
【知识点的认识】
求解相交弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．
13．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．
当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系
反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程
f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
38【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离
公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x ，y ），即得到x ＝f（x，
0 0 0
y），y ＝g（x，y），再将x ，y 代入M满足的条件F（x ，y ）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问
0 0 0 0 0
题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 18:45:46；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
39
