文档内容
2025年菁优高考数学解密之集合
一．选择题（共10小题）
1．（2024•西宁二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示
的集合为
A． ， B． C． D． ，
2．（2024•广汉市校级模拟）设集合 ，1，2， ， ，0，1，2， ，则
A． ，0，1，2， B． ， C． ，1，2， D． ，2，
3．（2024•贵池区校级一模）设全集 ，2，3，4，5，6， ，集合 ，2，4， ， ，3，
，则韦恩图中阴影部分表示的集合为
A． ， B． ， C． ， D． ，3，
4．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ，则下列表述正确的
是
A． B． C． D．
5．（2024•开封模拟）设 ，已知集合 ， ，且 ，则实数 的
1取值范围是
A． B． ， C． D． ，
6．（2024•威海二模）在研究集合时，用 （A）来表示有限集合 中元素的个数．集合 ，2，
3， ， ，若 ，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D．
7．（2024•长沙模拟）集合 ， ，则
A． B． C． D．
8．（2024•曲靖模拟）已知集合 ， ， ， ，则 中元素的
个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2024•连云港模拟）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列关系一定正确的是
A． B． C． D．
10．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ， ，若定义集合运算： ， ，
，则集合 的所有元素之和为
A．6 B．3 C．2 D．0
二．多选题（共5小题）
11．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个
项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100
米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3
人，则下列说法正确的是
2A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
12．（2024•南通模拟）设 为全集，集合 、 、 满足条件 ，那么下列各式中不一定
成立的是
A． B．
C． D．
13．（2024•庄浪县校级一模）函数 的定义域为 ，值域为 ， ，下列结论中一定
成立的结论的序号是
A． ， B． ， C． D．
14．（2024•开封一模）设集合 ， ，则
A． B． C． D． ，
15．（2024•广东模拟）设 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 ， ，都有 ， ，
，且若 ，则 ，则称 是一个数域．例如，有理数集 是数域．下列命题正确的是
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集 ，则数集 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
三．填空题（共5小题）
16．（2024•三明模拟）记 表示 个元素的有限集， （E）表示非空数集
中所有元素的和，若集合 ，则 ，若 ，则 的最小值为
．
317．（2024•邹城市校级三模）已知集合 ，1， ， ， ，若 ，则实数 ．
18．（2024•上海）设全集 ，2，3，4， ，集合 ， ，则 ．
19．（2024•贵州模拟）已知集合 ， ，若 ，则 ．
20．（2024•斗门区校级模拟）已知集合 ，2， ， ， ， ，则集合
的元素个数为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•顺义区一模）给定正整数 ，设集合 ， ， ， ．若对任意 ， ，2，
， ， ， 两数中至少有一个属于 ，则称集合 具有性质 ．
（Ⅰ）分别判断集合 ，2， 与 ，0，1， 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， 具有性质 ，求 的值；
（Ⅲ）若具有性质 的集合 中包含6个元素，且 ，求集合 ．
22．（2024•景德镇模拟）设 ， 是非空集合，定义二元有序对集合 ， 为
和 的笛卡尔积．若 ，则称 是 到 的一个关系．当 时，则称 与 是 相关的，
记作 ．已知非空集合 上的关系 是 的一个子集，若满足 ，有 ，则称 是自反的：
若 ， ，有 ，则 ，则称 是对称的；若 ， ， ，有 ， ，则 ，则称
是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称 是集合 中的一个等价关系，记作 ．
（1）设 ，2，3，4，5， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，2， ， ，5， ，求集合 ， 与 ， ；
（2）设 是非空有限集合 中的一个等价关系，记 中的子集 ， 为 的 等价
4类，求证：存在有限个元素 ，使得 ，且对任意 ， ， ，2，
， ；
（3）已知数列 是公差为1的等差数列，其中 ， ，数列 满足 ，其中
， 前 项 和 为 ． 若 给 出 上 的 两 个 关 系
和
请求出关系 ，判断 是否为 上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明
你的结论并请写出 中所有等价类作为元素构成的商集合 ．
23．（2024•马鞍山模拟）已知 是全体复数集 的一个非空子集，如果 ， ，总有 ， ，
，则称 是数环．设 是数环，如果① 内含有一个非零复数；② ， 且 ，有
，则称 是数域．由定义知有理数集 是数域．
（1）求元素个数最小的数环 ；
（2）证明：记 ，证明： 是数域；
（3）若 ， 是数域，判断 是否是数域，请说明理由．
24．（2024•重庆模拟）设集合 、 为正整数集 的两个子集， 、 至少各有两个元素．对于给定的
集合 ，若存在满足如下条件的集合
①对于任意 ， ，若 ，都有 ；②对于任意 ， ，若 ，则 ．则称集合 为
集合 的“ 集”．
5（1）若集合 ，3， ，求 的“ 集” ；
（2）若三元集 存在“ 集” ，且 中恰含有4个元素，求证： ；
（3）若 ， ， ， 存在“ 集”，且 ，求 的最大值．
25．（2023•东城区模拟）对非空数集 ， ，定义 ， ，记有限集 的元素个
数为 ．
（1）若 ，3， ， ，2， ，求 ， ， ；
（2）若 ， ， ，2，3， ，当 最大时，求 中最大元素的最小值；
（3）若 ， ，求 的最小值．
62025年菁优高考数学解密之集合
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•西宁二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示
的集合为
A． ， B． C． D． ，
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算
【专题】数学运算；集合；数形结合法；转化思想
【分析】阴影部分表示的集合为 ，根据集合关系即可得到结论．
【解答】解：由 图可知阴影部分对应的集合为 ，
集合 ， ，
或 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．
2．（2024•广汉市校级模拟）设集合 ，1，2， ， ，0，1，2， ，则
A． ，0，1，2， B． ， C． ，1，2， D． ，2，
【答案】
【考点】求集合的交集
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解
7【分析】根据集合交集运算求解即可．
【解答】解： ，1，2， ， ，0，1，2， ，
则 ，1，2， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3．（2024•贵池区校级一模）设全集 ，2，3，4，5，6， ，集合 ，2，4， ， ，3，
，则韦恩图中阴影部分表示的集合为
A． ， B． ， C． ， D． ，3，
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算
【专题】综合法；数学运算；集合；整体思想
【分析】根据 图中集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：由题意得 ，6， ， ，3， ，
所以阴影部分表示的集合为 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查 图表达集合的关系和运算，属于基础题．
4．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ，则下列表述正确的
是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】判断两个集合的包含关系
【专题】集合思想；逻辑推理；函数的性质及应用；综合法
8【分析】由集合间的关系判断即可得解．
【解答】解： ， ， 、
， ， 、
为奇数、 为任意整数、
．
故选： ．
【点评】本题考查集合的关系的判断，集合的关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是
基础题．
5．（2024•开封模拟）设 ，已知集合 ， ，且 ，则实数 的
取值范围是
A． B． ， C． D． ，
【考点】 ：交、并、补集的混合运算
【专题】38：对应思想； ：定义法； ：集合
【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．
【解答】解： ，集合 ， ，
，
，
又 ，
实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
6．（2024•威海二模）在研究集合时，用 （A）来表示有限集合 中元素的个数．集合 ，2，
3， ， ，若 ，则实数 的取值范围为
9A． ， B． ， C． D．
【答案】
【考点】交集及其运算
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解
【分析】根据题意，确定 ， ，从而求出 的值．
【解答】解：由题： ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
7．（2024•长沙模拟）集合 ， ，则
A． B． C． D．
【考点】 ：交、并、补集的混合运算
【专题】65：数学运算；37：集合思想； ：定义法； ：集合
【分析】根据集合的定义计算即可．
【解答】解：由 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
8．（2024•曲靖模拟）已知集合 ， ， ， ，则 中元素的
个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】
【考点】交集及其运算
【专题】定义法；集合；数学运算；集合思想
10【分析】利用交集定义求出 ， ， ， ，则答案可求．
【解答】解： 集合 ， ， ， ，
， ， ， ， ．
中元素的个数为4．
故选： ．
【点评】本题考查交集及其运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2024•连云港模拟）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列关系一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用
【专题】集合；定义法；对应思想；数学运算
【分析】根据已知条件，求得 ，再进行选择即可．
【解答】解：因为集合 ， 满足 ，故可得 ，
对 ：当 为 的真子集时，不成立；
对 ：当 为 的真子集时，也不成立；
对 ，恒成立；
对 ：当 为 的真子集时，不成立；
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
10．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ， ，若定义集合运算： ， ，
，则集合 的所有元素之和为
A．6 B．3 C．2 D．0
【答案】
11【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】根据 的定义即可求出 的元素，从而得解．
【解答】解：因为 ，2， ，所以集合 的所有元素之和为6．
故选： ．
【点评】本题考查了元素与集合的关系， 的定义，是基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个
项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100
米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3
人，则下列说法正确的是
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算
【专题】集合；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】作出韦恩图，数形结合求解．
【解答】解：设参加100米、400米、1500米三个项目的集合分别为 、 、 ，
则 （A） ， （B） ， （C） ，
， ， ，
设 ，
可得 ，解得 ，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500
米比赛的有1人，
故选： ．
12【点评】本题考查韦恩图、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2024•南通模拟）设 为全集，集合 、 、 满足条件 ，那么下列各式中不一定
成立的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】分① ，② ， ，③ ， 三种情况讨论判断即可．
【解答】解：①当 时，满足 ，但是 不一定成立， 也不一定成立，
成立，
②当 ， 时，此时 ，但是 不一定成立，
成立，
③若 ， 时，此时 ，
所以不一定成立的是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了集合的基本运算，属于基础题．
13．（2024•庄浪县校级一模）函数 的定义域为 ，值域为 ， ，下列结论中一定
成立的结论的序号是
A． ， B． ， C． D．
【答案】
【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法
【专题】综合法；数学运算；集合；整体思想
13【分析】先研究值域为 ， 时函数的定义域，再研究使得值域为 ， 得函数的最小值的自变量的取
值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项．
【解答】解：由于 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
即函数 的定义域为 ， ，
当函数的最小值为1时，仅有 满足，所以 ，故 正确；
当函数的最大值为2时，仅有 满足，所以 ，故 正确；
即当 ， 时，函数的值域为 ， ，故 ， ，故 ， 不一定正确，故 正确，
错误；
故选： ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元
素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题．
14．（2024•开封一模）设集合 ， ，则
A． B． C． D． ，
【答案】
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法；集合的相等
【专题】综合法；数学运算；计算题；集合；集合思想
【分析】由 ， ， ，可得 ．
【 解 答 】 解 ： 集 合 ， ， ， 则 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
15．（2024•广东模拟）设 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 ， ，都有 ， ，
，且若 ，则 ，则称 是一个数域．例如，有理数集 是数域．下列命题正确的是
14A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集 ，则数集 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】
【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【专题】转化思想；集合；综合法；数学运算
【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可．
【解答】解：因为 是一个数集，且至少含有两个数，可知 中必有一个非零实数，
对于选项 ：当 时， 、 ，故 正确；
对于选项 ：例如 ， ，但 ，不满足条件，故 错误；
对于选项 ：例如 ，取 ， ，但 ，
所以数集 不是一个数域，故 错误；
对于选项 ：由选项 可知：数域必含有0，1两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有0，1，2，3， ，必为无限集，故可知 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了数域的定义，元素与集合的关系，是基础题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•三明模拟）记 表示 个元素的有限集， （E）表示非空数集
中所有元素的和，若集合 ，则 ， 7 ， 8 ， ，若 ，则
的最小值为 ．
【答案】 ，7，8， ；21．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想
【分析】第一空，根据集合新定义可写出 的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出
15，4，5， ， ，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出 的范
围，即可求得答案．
【解答】解：当 ， 时， 表示3个元素的有限集，
由 可知 ，2， 或 ，2， 或 ，3， 或 ，3， ，
故 ，7，8， ；
由题意知 ，4，5， ， ，
故由 可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
结合 ，故 的最小值为21，
故答案为： ，7，8， ；21．
【点评】本题考查了集合新定义，属于中档题．
17．（2024•邹城市校级三模）已知集合 ，1， ， ， ，若 ，则实数
．
【答案】 ．
【考点】集合的包含关系判断及应用
【专题】整体思想；数学运算；综合法；集合
【分析】据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出 的值．
【解答】解：因为 ，所以 或 ， 或 ，
又由集合中元素的互异性可知 且 且 ， 且 ，
综上 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18．（2024•上海）设全集 ，2，3，4， ，集合 ， ，则 ， 3 ， ．
16【答案】 ，3， ．
【考点】补集及其运算
【专题】数学运算；转化思想；转化法；集合
【分析】结合补集的定义，即可求解．
【解答】解：全集 ，2，3，4， ，集合 ， ，
则 ，3， ．
故答案为： ，3， ．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
19．（2024•贵州模拟）已知集合 ， ，若 ，则 ．
【答案】 ．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想
【分析】根据元素与集合的关系列方程求解．
【解答】解：由题意， 或者 ，解得 或 ，
当 时，不符合集合元素的互异性，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
20．（2024•斗门区校级模拟）已知集合 ，2， ， ， ， ，则集合
的元素个数为 2 ．
【答案】2．
【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值
【专题】数学运算；集合思想；集合；定义法
【分析】利用列举法表示集合，能求出结果．
【解答】解：集合 ，2， ，
， ， ， ，
则集合 的元素个数为2．
17故答案为：2．
【点评】本题考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•顺义区一模）给定正整数 ，设集合 ， ， ， ．若对任意 ， ，2，
， ， ， 两数中至少有一个属于 ，则称集合 具有性质 ．
（Ⅰ）分别判断集合 ，2， 与 ，0，1， 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， 具有性质 ，求 的值；
（Ⅲ）若具有性质 的集合 中包含6个元素，且 ，求集合 ．
【答案】（Ⅰ）集合 ，2， 不具有性质 ，集合 ，0，1， 具有性质 ．
（Ⅱ） ．
（Ⅲ） 或 ．
【考点】元素与集合关系的判断；数列的应用
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】（Ⅰ）根据性质 的定义，即可判断两个集合是否满足．
（Ⅱ）根据性质 的定义，首先确定 ， ， ，再讨论 是否属于集合 ，0， ，即可确定
的取值，即可求解．
（Ⅲ）首先确定集合 中有0，并且有正数和负数，然后根据性质 讨论集合中元素的关系，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）集合 ，2， 中的 ，2， ， ，2， ，
所以集合 ，2， 不具有性质 ，
集合 ，0，1， 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合 ，
0，1， ，所以集合 ，0，1， 具有性质 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， 具有性质 ，记 ， ， ，则 ，
令 ，则 ， ， ，从而必有 ， ， ，
18不妨设 ，则 ，0， ， 且 ，
令 ， ，则 ， ，0， ，且 ， ，0， ， 且 ，
以下分类讨论：
①当 ，0， 时，若 ，此时， ，0， 满足性质 ；
若 ，舍；若 ，无解；
②当 ，0， 时，则 ， ，0， ，注意 且 ，可知 无解；
经检验 ，0， 符合题意，
综上 ；
（Ⅲ）首先容易知道集合 中有0，有正数也有负数，
不 妨 设 ， ， ， ， 0 ， ， ， ， ， 其 中 ， ，
，
根据题意 ， ， ， ， ， ，
且 ， ， ， ， ， ，从而 ， ， 或 ，
①当 ， ， 时， ， ， ，
并且 ， ， ， ， ，
由上可得 ， ， ， ， ，并且 ，
综上可知 ， ， ，0， ， ；
②当 ， ， 时，同理可得 ， ，0， ， ， ，
据此，当 中有包含6个元素，且 时，符合条件的集合 有5个，
分别是 ， ，0，1，2， ， ， ，0， ，1， ， ， ，0， ， ， ， ，
， ，0，1， ， ， ， ，0， ， ．
19【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
22．（2024•景德镇模拟）设 ， 是非空集合，定义二元有序对集合 ， 为
和 的笛卡尔积．若 ，则称 是 到 的一个关系．当 时，则称 与 是 相关的，
记作 ．已知非空集合 上的关系 是 的一个子集，若满足 ，有 ，则称 是自反的：
若 ， ，有 ，则 ，则称 是对称的；若 ， ， ，有 ， ，则 ，则称
是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称 是集合 中的一个等价关系，记作 ．
（1）设 ，2，3，4，5， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，2， ， ，5， ，求集合 ， 与 ， ；
（2）设 是非空有限集合 中的一个等价关系，记 中的子集 ， 为 的 等价
类，求证：存在有限个元素 ，使得 ，且对任意 ， ， ，2，
， ；
（3）已知数列 是公差为1的等差数列，其中 ， ，数列 满足 ，其中
， 前 项 和 为 ． 若 给 出 上 的 两 个 关 系
和
请求出关系 ，判断 是否为 上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明
你的结论并请写出 中所有等价类作为元素构成的商集合 ．
【答案】（1） ，3，4，5， ， ，2，4， ；
20（2）证明见解答；
（3） 为奇数 ， 是 上的等价关系，证明见解答．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；综合法；集合；整体思想；综合题
【分析】（1）结合所给定义，分别求出 ，2，3时对应的 的值， ，5，6时对应的 的值；
（2）结合所给定义中的自反性、对称性与传递性，借助反证法可得： ， ，总有 或
，即可得证；
（3）借助等差数列的性质计算可得数列 为等差数列，结合题目所给条件借助反证法可得
，结合所给定义及奇偶性的讨论即可得解．
【解答】解：（1）由 ， ， ，2， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
当 时，有 ，3，4，6，当 时，有 ，5，当 时，有 ，
有 ，3，4，5， ，
又 ，5， ， ， ，
当 时，有 ，4，当 时，有 ，5，当 时，有 ，
则 ，2，4， ；
（2）证明：因为 是 中的一个等价关系，由自反性可知 ，故 不为空集．
若 ，不妨假设 ，所以必有 与 ，由自反性可知 即 ，
再由传递性可知 ． ，则 ，而 ，即 ，
于是由传递性有 ，故 ，所以 ．
同理可证明 ，所以 ．
21综上所述， ， ，总有 或 ．
任取 构成 ，又任取 构成 ，
再任取构成 ， ，
以此类推，因为 是有限集合，结合上述结论可知必存在有限个元素 ，2， ， ，
使得 ，其中 ；
（3）证明：因为 ， ，所以 ，
故 ， ，所以 必存在．
由题意可知当 时，有 ，
整理即： ，
将 代入得： ，
即 ，所以数列 为等差数列，设其公差为 ，
当 时，有 ，显然 成立．
当 时，因为 ， ，即数列 不为常数列，
则 ， 所 以 ， 所 以
，即 ，
22由 ．
而 ， 因 为 ， 所 以
，
而 ，显然此方程无解，所以 ，与题意矛盾，
综 上 所 述 只 有 ． 所 以 ． 因 为
，由于数列 不为常数列，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
故 为奇数．所以 ，
，
而 为奇数，所以 与 一奇一偶，所以 ， ， ， 三奇一偶或两奇两偶，
又 ，所以 ， ， ， 不可能三奇一偶，
故 ， 均为奇数， ， 均为偶数或 ， 均为偶数， ， 均为奇数．
所以 或 ，
当 时， ， ，所以 是自反的；
当 ， ，将 ， 与 ， 取值对调，
则 ， ，所以 是对称的；
23当 ， 与 ， ，即 ，
其中 ， ， 为奇数， ， ， 为偶数或 ， ， 为偶数， ， ， 为奇数，
所以 ， ，所以 是传递的．
综上所述， 是 上的等价关系，
其中 ．
【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于难题．
23．（2024•马鞍山模拟）已知 是全体复数集 的一个非空子集，如果 ， ，总有 ， ，
，则称 是数环．设 是数环，如果① 内含有一个非零复数；② ， 且 ，有
，则称 是数域．由定义知有理数集 是数域．
（1）求元素个数最小的数环 ；
（2）证明：记 ，证明： 是数域；
（3）若 ， 是数域，判断 是否是数域，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）证明过程见解析；
（3） 不一定是数域，理由见解析．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】（1）根据数环的概念求解；
（2）根据数域的概念证明；
（3） 不一定是数域，举反例说明即可．
【解答】解：（1） 是数环，所以集合 非空，即 至少含有一个复数，
24取 ，则 ，
而显然 是一个数环，
故 ；
（2）证明：显然 ，对任意 ， ， ， ， ， ，
所 以 ，
，
所以 是数环，
又因为 ，
故 是一个数域；
（3） 不一定是数域，理由如下：
取 ， ， ，
则 ，但 ，
故 不是数域，
而若 ， 是数域，且 ，则 是数域．
【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．
24．（2024•重庆模拟）设集合 、 为正整数集 的两个子集， 、 至少各有两个元素．对于给定的
集合 ，若存在满足如下条件的集合
①对于任意 ， ，若 ，都有 ；②对于任意 ， ，若 ，则 ．则称集合 为
集合 的“ 集”．
（1）若集合 ，3， ，求 的“ 集” ；
25（2）若三元集 存在“ 集” ，且 中恰含有4个元素，求证： ；
（3）若 ， ， ， 存在“ 集”，且 ，求 的最大值．
【答案】（1） ，9， ；
（2）证明见解答；
（3）4．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合思想；综合题；集合；综合法；数学运算
【分析】（1）根据定义直接求解；
（2）利用反证法推矛盾即可证明；
（3）设 ，结合（2）的结论推出 不成立，结合定义和 得 即可求解．
【解答】解：（1）若 ，3， ，由题意可得， ， ， ，即3，9， ，此时
，满足题意，
假设集合 中还有第四个元素为 ，则由题意可知：若 ，即 ，则 ，所以不成立；
若 ，则 ，所以 或9或27，矛盾．故集合 中无四个元素，所以集合 ，9， ．
（2）设集合 ， ， ，不妨设 ，
假设 ，即 ，则 且 ， ， ，
由②知 ，注意到 ，故有 ，即 ，所以 ，
故 ，即 ，因为集合 中有4个元素，故设 ，
由②可得：若 ，则 ，所以 ，矛盾；
若 ，则 或 或 ，所以 或 或 ，与集合元素的互异性矛盾，
26假设错误，故 ．
（3） ，不妨设 ，
所以 ， ，又 ，故 ，同理可得 ，
若 ，与（2）类似得 ，从而必有 ，
对任意的 ，有 ，即 ，所以 ，即 ．
若 ，即 ，故 ，
所以 ，即 ，从而必有 ，
对任意的 ，必有 ，即 ，所以 ，即 ．
综上，得 ，又 时，有 ，4，8， ， ，16，32，64， 符合题意，
所以 的最大值为4．
【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
25．（2023•东城区模拟）对非空数集 ， ，定义 ， ，记有限集 的元素个
数为 ．
（1）若 ，3， ， ，2， ，求 ， ， ；
（2）若 ， ， ，2，3， ，当 最大时，求 中最大元素的最小值；
（3）若 ， ，求 的最小值．
【答案】（1） ， ， ．
（2）13．
（3）15．
27【考点】子集与交集、并集运算的转换
【专题】集合思想；转化法；集合；逻辑推理
【分析】（1）根据新定义求出 ， ， ，进而可得答案．
（2）设 ， ， ， ， ，当 中元素与 中元素的差均不相同时， 最
大值，进而可求得最大值，再通过 ， ， ，得到 ，推出 中最大元素的最
小值．
（3）对非空数集 ，定义运算 ， ， ，首先确定 中不同的元素的差均不同，
中不同的元素的差均不相同，由 可得 的最小值，然后验证最小值
可以取到即可．
【解答】解：（1）因为 ，3， ， ，2， ，
所以 ， ，0，2， ， ， ， ，0，1，2， ， ， ，0，1，
2，3， ，
所以 ， ， ．
（2）设 ， ， ， ， ，
①因为 ，
所以 ，
当 中元素与 中元素的差均不相同时等号成立，
所以 最大值为16．
②当 时， 中元素与 中元素的差均不同，
所以 ，
又因为 ， ， ，0，1，2， ，
28所以 ， ， ，
所以 ，则 ，
综上 最大值为16， 中最大元素的最小值为13．
（3）对非空数集 ，定义运算 ， ， ，
① ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
又因为 ，
所以 中不同元素的差均不相同，
同理， 中不同的元素的差均不相同，
若 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，
②令 ，2，4，8， ， ， ， ， ， ，
所以 ，
中不同元素的差均不同， 中不同元素的差均不同，
所以 ，
经检验， ，符合题意，
综上， 的最小值为15．
【点评】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．
29考点卡片
1．集合的表示法
【知识点的认识】
1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的
方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．
2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括
号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素
的共同属性）如：小于 的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜ }
3．图示法（Venn图）：π为了形象表示集合，我们常常画一条封闭π的曲线（或者说圆圈），用它的内部表
示一个集合．
4．自然语言（不常用）．
【解题方法点拨】
在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，
例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：
{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．
【命题方向】
本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，
立体几何，线性规划，概率等知识相结合．
2．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母
a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a A或a A．
2∈、集合中∉元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及
的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
30【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m Z，n Z}．求证：
（1）3 A； ∈ ∈
（2）偶∈数4k﹣2（k Z）不属于A．
分析：（1）根据集合∈ 中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明
要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3 A；
（2）设4k﹣2 A，则存在m，n ∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇∈ 或同偶时，m﹣∈n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2 A．
点评：本题∉考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3 A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a∈+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3 A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝∈1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或 ，…（10分）
由 ，得 ，成立…（12分）
故 …（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
3．集合的相等
31【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都
是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A B，同时B A，那么就说这两个集合
相等，记作 A＝B． ⊆ ⊆
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判
断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往
往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可
能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
4．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定
32义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
5．判断两个集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B；如果集合A是
集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
⊂
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】
通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．
已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（ ）
A．A＞B
B．B A
C．A∈B
D．B⊆A
解：由⊆题意可得，B A．
故选：D． ⊆
6．集合中元素个数的最值
【知识点的认识】
求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特
殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．
7．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
33①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
8．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．
∅ ∅ ⊆ ⊆
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
已知集合A＝{x Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
所以A∩B＝{﹣∈1，0，1，2}．∈
故选：D．
9．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简
称为集合 A 的补集，记作 A，即 A＝{x|x U，且 x A}．其图形表示如图所示的 Venn 图．
U U
∁ ∁ ∈ ∉
34．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义
域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
10．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，
属于基础题．
11．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
35Venn图表示N∩（ M）为： ．
U
∁
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞∈10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 （M∪N）＝[0，8]．
R
∁
12．集合交并补混合关系的应用
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩（ B）＝A，则实数a的取值范围是（ ）
R
解：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以
R
B＝{x|x≤1或x≥∁2}，
由A＝{x|x≤a}，且A R B， ∁
得a≤1． ⊆∁
13．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
36②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解
析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式
有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是
由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数
定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义
域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
14．数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
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