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2025年菁优高考数学解密之选择题
一．选择题（共25小题）
1．（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线 与平面 上的无数条直线都垂直，则
D．若 、 、 是三条直线， 且与 都相交，则直线 、 、 在同一平面上
2．（2024•泸州模拟）函数 的部分图象大致为
A． B．
C． D．
3．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 的定义域为 ，则下列条件中，能推出1一定不是
的极小值点的为
A．存在无穷多个 ，满足 （1）
B．对任意有理数 ， ， ，均有 （1）
C．函数 在区间 上为严格减函数，在区间 上为严格增函数
D．函数 在区间 上为严格增函数，在区间 上为严格减函数
4．（2024•惠来县校级模拟）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方
式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙
表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球”，则
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
1C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
5．（2024•西宁二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示
的集合为
A． ， B． C． D． ，
6．（2024•长沙模拟）在△ 中， 为边 上一点， ， ， ，且△
的面积为 ，则
A． B． C． D．
7．（2024•天津）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并已知 ，
， ．则该五面体的体积为
A． B． C． D．
8．（2024•吴忠模拟）函数 在区间 ， 上的图象大致为
2A．
B．
C．
D．
9．（2024•攀枝花三模）已知复数 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024•吉林四模）已知命题 ， ，则命题 的否定为
A． ， B． ， C． ， D． ，
11．（2024•长沙三模）已知向量 ， ，若 ，则
A． B．1 C． D．2
12．（2024•广西模拟）已知圆的方程为 ， 为圆上任意一点，则 的取值范围
是
A． ， B． ， C． ， ， D． ， ，
313．（2024•天津模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2024•怀仁市校级模拟）正方体 中， 为正方形 内一点（不含边界），记
为正方形 的中心，直线 ， ， ， 与平面 所成角分别为 ， ， ， ．
若 ， ，则点 在
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
15．（2024•淄博模拟）记 ， ， 表示 ， ， 中最大的数．已知 ， 均为正实数，则
， ， 的最小值为
A． B．1 C．2 D．4
16．（2024•回忆版）已知集合 ， ， ，0，2， ，则
A． ， B． ， C． ， ， D． ，0，
17．（2024•盐湖区一模）已知符号函数 则函数 的图象大致
为
A． B．
C． D．
418．（2024•盐湖区一模）复数 满足 ，则
A． B． C． D．
19．（2024•辽宁一模）已知 ， ．则“ 且 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2024•河南模拟）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥
的侧面积为
A． B． C． D．
21．（2024•安徽二模）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点
满足 ，则双曲线离心率的最小值为
A． B． C． D．
22．（2024•盐湖区一模）已知△ 所在平面内一点 ，满足 ，则
A． B． C． D．
23．（2024•辽阳二模）由动点 向圆 引两条切线 ， ，切点分别为 ， ，
若四边形 为正方形，则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
24．（2024•南昌模拟）在空间中，“经过点 ， ， ，法向量为 ， ， 的平面的方程
（即平面上任意一点的坐标 ， ， 满足的关系式）为： ”．用此
5方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结果为 和 ，则这两平面所成角的余
弦值为
A． B． C． D．
25．（2024•昌平区模拟）若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
62025年菁优高考数学解密之选择题
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线 与平面 上的无数条直线都垂直，则
D．若 、 、 是三条直线， 且与 都相交，则直线 、 、 在同一平面上
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；直线与平面垂直
【专题】转化思想；数学运算；简易逻辑；综合法；逻辑推理；直观想象；空间位置关系与距离
【分析】利用平面的基本性质及推论可知 ， 错误， 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知
选项 错误．
【解答】解：对于 ：不共线的三点确定一个平面，故 错误，
对于 ：由墙角模型可知，两条直线可能是相交直线，也可能是异面直线，显然 错误，
对于 ：根据线面垂直的判定定理，若直线 与平面 内的两条相交直线垂直，则直线 与平面 垂直，
若直线 与平面 内的无数条平行直线垂直，则直线 与平面 不垂直，故 错误，
对于 ：因为 ，所以 与 唯一确定一个平面，设为平面 ，又 与 和 都相交，所以 也在平面
内，即直线 、 、 共面，故选项 正确，
故选： ．
【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．
2．（2024•泸州模拟）函数 的部分图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
7【专题】综合法；数学运算；函数的性质及应用；转化思想
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可．
【解答】解： ，
定义域为 ，关于原点对称，
由 ，
所以 为奇函数，排除 ；
当 时， ， ，故 ，排除 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决
本题的关键，是基础题．
3．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 的定义域为 ，则下列条件中，能推出1一定不是
的极小值点的为
A．存在无穷多个 ，满足 （1）
B．对任意有理数 ， ， ，均有 （1）
C．函数 在区间 上为严格减函数，在区间 上为严格增函数
D．函数 在区间 上为严格增函数，在区间 上为严格减函数
【答案】
【考点】利用导数研究函数的极值
【专题】综合法；综合题；导数的综合应用；逻辑推理；函数思想
【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果．
【解答】解：由极值的定义可知，当函数 在 处取得极小值时，
在 左侧的函数图象存在点比 处的函数值小，
在 右侧的函数图象存在点比 处的函数值小，故排除 ， ；
对于 ，函数 在区间 上为严格减函数，
8在区间 上为严格增函数，则 是函数的极小值点；
对于 ，函数 在区间 上为严格增函数，
在区间 上为严格减函数，则 不是函数的极小值点．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
4．（2024•惠来县校级模拟）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方
式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙
表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球”，则
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】
【考点】随机事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答．
【解答】解：依题意，事件甲的概率 ，事件乙的概率 ，
有放回取球两次的试验的基本事件总数是 ，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为 ，
事件丙的概率 ，事件丁的概率 ，
对于 ，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，
其概率 ，甲与乙相互独立， 正确；
对于 ，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，
其概率 ，甲与丙不独立， 错误；
对于 ，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，
其概率 ，乙与丙不独立， 错误；
对于 ，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，
9其概率 ，乙与丁不独立， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运
用，是基础题．
5．（2024•西宁二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示
的集合为
A． ， B． C． D． ，
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算
【专题】数学运算；集合；数形结合法；转化思想
【分析】阴影部分表示的集合为 ，根据集合关系即可得到结论．
【解答】解：由 图可知阴影部分对应的集合为 ，
集合 ， ，
或 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．
6．（2024•长沙模拟）在△ 中， 为边 上一点， ， ， ，且△
的面积为 ，则
A． B． C． D．
10【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形
【分析】由已知，解得 ，得△ 为等腰三角形，在△ 中，由正弦定理得 ，
从而得 ，再由两角差的正弦公式即可求得结论．
【解答】解：由题意，
，解得 ，
所以△ 为等腰三角形，
则 ，故 ，
在△ 中，由正弦定理得 ，
即 ，得 ，
因为 ，所以 为锐角，
故 ，
故
．
故选： ．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题．
7．（2024•天津）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并已知 ，
， ．则该五面体的体积为
11A． B． C． D．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；数学运算
【分析】根据题意，分别延长 、 到 、 ，使 、 、 平行且相等，得到三棱柱
， 根 据 四 边 形 与 四 边 形 全 等 ， 利 用 锥 体 的 体 积 公 式 得 到
，然后求出 的体积，进而算出该五面体的体积，可得答案．
【解答】解：延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 、 ，
可得 ，结合 ，可知 为三棱柱，
因为四边形 与四边形 全等，所以 ，
由 ，且它们两两之间的距离为1．可知：
当 为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时 ．
12根据棱柱的性质，若 为斜三棱柱，体积也是 ，
因此， ，可得该五面体的体积 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查棱柱的定义与性质、柱体与锥体的体积公式及其应用等知识，考查了计算能力、
图形的理解能力，属于中档题．
8．（2024•吴忠模拟）函数 在区间 ， 上的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象
【分析】先判断函数的奇偶性和对称性，然后判断当 时， ，利用排除法进行判断即可．
【解答】解： ，则 是奇函数，排除 ， ，
当 时， ，则 ，排除 ，
13故选： ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和函数值的符号，利用排除法是解决
本题的关键，是基础题．
9．（2024•攀枝花三模）已知复数 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件；复数的模
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解
【分析】根据复数的模得到关于 的方程，求出 的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义
判断即可．
【解答】解： ， ，
，解得 或 ．
故 是 的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的模，充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．
10．（2024•吉林四模）已知命题 ， ，则命题 的否定为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】求全称量词命题的否定
【专题】简易逻辑；定义法；对应思想；逻辑推理
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【解答】解：命题 ， ，则命题 的否定为： ， ．
故选： ．
【点评】本题考查命题的否定，属于基础题．
11．（2024•长沙三模）已知向量 ， ，若 ，则
14A． B．1 C． D．2
【答案】
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】综合法；平面向量及应用；转化思想；数学运算
【分析】先出求 ，再根据 即可得出 的值，最后求 的模．
【解答】解：由题意可知，因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
12．（2024•广西模拟）已知圆的方程为 ， 为圆上任意一点，则 的取值范围
是
A． ， B． ， C． ， ， D． ， ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】数学运算；计算题；直线与圆；整体思想；演绎法；逻辑推理
【分析】将原问题转化为斜率的问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可求得取值范围．
【解答】解：圆的方程即： ， 表示圆上的点与点 连线的斜率，
考查临界情况，即直线与圆相切的情况：
设直线方程为： ，即 ，
15圆心到直线的距离等于半径，即： ，
解得： ，则 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
13．（2024•天津模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】整体思想；不等式；数学运算；综合法
【分析】解出不等式 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：不等式 等价于 ，等价于 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
故 能推出 成立，但是 成立不一定有 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查充分必要条件，考查了集合的包含关系，属于基础题．
14．（2024•怀仁市校级模拟）正方体 中， 为正方形 内一点（不含边界），记
为正方形 的中心，直线 ， ， ， 与平面 所成角分别为 ， ， ， ．
若 ， ，则点 在
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
【答案】
16【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】空间角；空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】作出示意图形，根据 证出点 在平面 内的射影 在线段 上，然后根据
证出 ，推导出 ，进而得到本题答案．
【解答】解：过点 作 平面 于 ，连接 、 ，
则 为 与平面 所成角， 为 与平面 所成角，
因为 ，所以 ，可得 ，
结合 ， 为公共边，可得△ △ ，点 在 的平分线上，
即 在平面 内的射影 在正方形 的对角线 上，
因为 、 分别是 、 在平面 内的射影，
所以 为 与平面 所成角， 为 与平面 所成角，
结合 ，得 ，可得 ，
由 ，可得 ，所以点 在线段 （不含 点）上运动．
故选： ．
【点评】本题主要考查正方体的结构特征、直线与平面所成角的定义与求法等知识，考查了图形的理解
能力，属于中档题．
1715．（2024•淄博模拟）记 ， ， 表示 ， ， 中最大的数．已知 ， 均为正实数，则
， ， 的最小值为
A． B．1 C．2 D．4
【答案】
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】数学运算；综合法；对应思想；不等式
【 分 析 】 设 ， ， ， 则 ， ， ， 三 式 相 加 得
，再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】解：因为 ， ，
设 ， ， ，
则 ， ， ，
三式相加得： ，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
当且仅当 ，
即 ， 时等号成立，
所以 ， ．
18所以 的最小值为2．
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题．
16．（2024•回忆版）已知集合 ， ， ，0，2， ，则
A． ， B． ， C． ， ， D． ，0，
【答案】
【考点】交集及其运算
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ， ， ，0，2， ，
， ， ， ， ，
则 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
17．（2024•盐湖区一模）已知符号函数 则函数 的图象大致
为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
19【分析】先得到 为偶函数，排除 ，再计算出 （1） ，得到正确答案．
【解答】解： 定义域为 ，且为奇函数，故 ，
的定义域为 ，
且
，
故 为偶函数， 错误；
当 时， （1） （1） ， 错误， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和图像，属于基础题．
18．（2024•盐湖区一模）复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的除法运算
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解
【分析】利用复数的除法化简可得复数 ．
【解答】解： ，则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
19．（2024•辽宁一模）已知 ， ．则“ 且 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；整体思想；综合题；逻辑推理
20【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：当 且 时， ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以充分性成立；
当 且 时， ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以必要性不成立；
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
20．（2024•河南模拟）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥
的侧面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆锥的侧面积和表面积
【专题】三角函数的求值；综合法；数学运算；整体思想
【分析】根据半径求出底面周长，由弧长公式可得母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解．
【解答】解：因为底面半径 ，
所以底面周长为 ，
又因为侧面展开图是圆心角为 的扇形，
所以圆锥的母线长 ，
所以该圆锥的侧面积 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．
2121．（2024•安徽二模）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点
满足 ，则双曲线离心率的最小值为
A． B． C． D．
【考点】 ：双曲线的性质
【专题】35：转化思想；49：综合法； ：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算
【分析】设 的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积 ，再
由椭圆可得 ， 的关系，进而求出离心率的最小值．
【解答】解：设 ，则 ，所以 ，
由题意可得 ， ，
所 以 ， ，
，
所以 ，即 ，所以离心率 ，
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题．
22．（2024•盐湖区一模）已知△ 所在平面内一点 ，满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解
【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出 关于 、 的表达式．
【解答】解：因为 ，
22即 ，
即 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
23．（2024•辽阳二模）由动点 向圆 引两条切线 ， ，切点分别为 ， ，
若四边形 为正方形，则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】整体思想；直线与圆；数学运算；综合法
【分析】由题意可得 ，再结合圆的定义求解即可．
【解答】解：圆 ，圆心 ，半径 ，
因为四边形 为正方形，
所以 ，
所以动点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
即动点 的轨迹方程为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了求动点的轨迹方程，属于基础题．
24．（2024•南昌模拟）在空间中，“经过点 ， ， ，法向量为 ， ， 的平面的方程
（即平面上任意一点的坐标 ， ， 满足的关系式）为： ”．用此
23方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结果为 和 ，则这两平面所成角的余
弦值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【专题】数学运算；转化思想；空间角；向量法
【分析】根据题意，由两平面的方程，得到两平面的法向量，由法向量夹角公式即可求得结论．
【解答】解：由题意，平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
则两平面所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查二面角的概念和求法，考查空间向量数量积运算，属基础题．
25．（2024•昌平区模拟）若圆 与 轴， 轴均有公共点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】直线与圆；计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；综合法
【分析】首先把圆的一般式转换为顶点式，进一步求出实数 的取值范围．
【解答】解：圆 ，整理得 ，
由于圆与 轴和 轴均有公共点，
所以 且 且 ；
24解得 ．
故实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：圆的一般式和顶点式的转换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
25考点卡片
1．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．
∅ ∅ ⊆ ⊆
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
已知集合A＝{x Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
所以A∩B＝{﹣∈1，0，1，2}．∈
故选：D．
2．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
Venn图表示N∩（ M）为： ．
U
∁
26【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞∈10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 （M∪N）＝[0，8]．
R
∁
3．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
274．求全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p： x M，p（x）它的否命题¬p： x M，¬p（x ）．
0 0
【解题方法点∀拨∈】 ∃ ∈
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；
（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几
何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写
和判断．
写出命题“ x Z，|x| N”的否定：_____．
解：因为特∀称命∈ 题的否∈定为全称命题，
所以命题“ x Z，|x| N”的否定是“ x Z，|x| N”，
故答案为：∀x∈Z，|x|∈N． ∃ ∈ ∉
5．命题的真∃假∈判断与∉应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
6．基本不等式及其应用
28【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
29∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
304、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
31当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
32点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
7．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表
格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函
数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对
称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换： ⇒
y＝f（x） y＝f（ x）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩ω为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换： ⇒
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
⇒
33y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换： ⇒
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|． ⇒
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根
据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图
象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走
向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
34【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y变换”的原则，写出每一次的变换
所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝
x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图
过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供
的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一
特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
8．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的
纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最
小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点
未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要
求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
9．对数函数及对数型复合函数的图象
35【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1 a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其图象形态．
﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层对数函数，确定复合函数的整体图象．
﹣利用图象分析函数的性质和应用．
【命题方向】
常见题型包括对数函数及其复合函数的图象分析，结合解析式和具体问题确定函数图象及其应用．
已知函数y＝log （x+b）的图象如图．
a
（1）求实数a与b的值；
（2）函数y＝log （x+b）与y＝log x的图象有何关系？．
a a
解：（1）由图象可知，函数的图象过点（﹣3，0）与点（0，2），
所以log （﹣3+b）＝0，log b＝2，
a a
解得a＝2，b＝4，
故实数a的值为2，b的值为4；
（2）函数y＝log （x+4）的图象可以由y＝log x的图象向左平移4个单位长度得到．
a a
10．利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f（x）＜f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值 ＝f（x
0
），x
0
是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有 f（x）＞f
0 0
36（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值 ＝f（x
0
），x
0
是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，并
0 0 0 0 0
且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f′（x）在
方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）
在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，
也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数
没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间
必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连
37续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极
值点，也可能不是极值点．
11．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e 、e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 ，有且仅有一对实数 、 ，使
1 2 1 2
λ λ
．
2、基底：不共线的e 、e 叫做平面内表示所有向量的一组基底．
1 2
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
12．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两
条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如 ＝（1，0，1）， ＝（2，0，﹣2），
那么 与 垂直，有 • ＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量 ， 垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵ ， •（3，﹣4）＝﹣ ＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵ ， •（﹣4，3）＝ ，∴B不成立；
对于C：∵ ， •（4，3）＝ ，∴C成立；
对于D：∵ ， •（4，﹣3）＝ ，∴D不成立；
故选：C．
38点评：分别求出向量 ， 和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量
垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
13．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accosB，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
形式 cosA＝ ，
②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cosB＝ ，
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosC＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角 两角
形的
问题
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
392．S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
3．S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
14．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
40b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径） c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
形的
问题
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
41角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
②S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
③S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图
形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
42（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sin ≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tan ＞0．α
②当角度在90°～180°间变化时， α
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sin ≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cαos ≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tan ＜0． α
16．复数的模 α
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi
为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；∈若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d R）．
3、共轭复数：a+bi与c+d⇔i共轭 a＝c，b+d＝0（a，∈b，c，d R）．
⇔ ∈
4、复数的模： 的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝ ．
17．复数的除法运算
【知识点的认识】
复 数 除 法 涉 及 分 子 与 分 母 的 复 数 ． 对 于 复 数 z ＝ a +b i 和 z ＝ a +b i ， 除 法 结 果 是
1 1 1 2 2 2
．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
【命题方向】
﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．
﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．
i是虚数单位， ＝_____．
43解： ＝ ＝ ＝1+i．
18．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱 ＝sh， V锥 ＝ Sh．
19．圆锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为 ．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为 ．
【命题方向】
﹣圆锥的表面积计算：考查如何计算圆锥的侧面积和表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆锥的表面积计算．
20．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ ，
其中l叫做平面 的垂线，平α面 叫做直线l的垂面． α α
直线与平面垂直α的判定： α
（1）定义法：对于直线l和平面 ，l⊥ l垂直于 内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直α线中的α⇔一条垂直于α一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥ ，b⊥ a∥b
②由定义可知：a⊥ ，b a⊥b． α α⇒
21．几何法求解直线α与平⊂面α所⇒成的角
【知识点的认识】
441、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．
【解题方法点拨】
具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角．
22．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
45记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
α β θ
（1）当0≤＜ ， ＞≤ ， ＝＜ ， ＞，
θ
此时cos ＝cos＜ ， ＞＝ ．
θ
（2）当 ＜＜ ， ＞＜ 时， ＝ ﹣＜ ， ＞，
π θ π
cos ＝﹣cos＜ ， ＞＝﹣ ．
θ
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
23．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
46其中圆心坐标为（﹣ ，﹣ ），半径r＝ ．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
24．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由 消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
25．双曲线与平面向量
【知识点的认识】
双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算．
47【解题方法点拨】
1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线．
2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中．
【命题方向】
﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质．
﹣利用向量分析双曲线的性质．
26．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．
当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系
反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程
f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离
公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x ，y ），即得到x ＝f（x，
0 0 0
y），y ＝g（x，y），再将x ，y 代入M满足的条件F（x ，y ）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问
0 0 0 0 0
题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
48（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
27．随机事件
【知识点的认识】
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1
可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
28．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做
相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生
的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
1 2 n
的概率之积，即：
P（A •A …A ）＝P（A ）•P（A ）…P（A ）
1 2 n 1 2 n
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
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