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2025年菁优高考数学解密之椭圆
一．选择题（共10小题）
1．（2024•莲湖区校级三模）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，则
的最大值是
A． B．9 C．16 D．25
2．（2024•保定三模）已知曲线 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
3．（2024•湖北模拟）已知椭圆 ，则“ ”是“椭圆 的离心率为 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024•内江三模）设 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，若△ 为直角
三角形，则△ 的面积为
A． B．1或 C． D．1或
5．（2024•天府新区模拟）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．
若 ， ，则 的方程为
A． B． C． D．
6．（2024•咸阳模拟）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆
1于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
7．（2024•商洛模拟）已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2024•陕西模拟）已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
9．（2024•佛山模拟）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国
成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采
样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点 表示地球中心，点 表示月球中心．嫦
娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点 处
沿圆 的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道 运行，并且点 为该椭圆的一个焦点．一段时间后，
再在近月球表面附近的点 处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球
中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道 的离心率约为
A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97
10．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 的公共点为 ， ，其中
2在 的左侧， 是圆 上异于 ， 的点，连接 交 于 ，若 ，则
的离心率为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•日照一模）如图是数学家 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是
椭圆的模型（称为“ 双球” ．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、
截面相切，截面分别与球 ，球 切于点 ， ， 是截口椭圆 的焦点）．设图中球 ，球 的
半径分别为4和1，球心距 ，则
A．椭圆 的中心不在直线 上
B．
C．直线 与椭圆 所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆 的离心率为
12．（2024•广东模拟）已知椭圆 的长轴端点分别为 ， 、两个焦点分别为 、 ，
3是 上任意一点，则
A． 的离心率为 B．△ 的周长为
C．△ 面积的最大值为 D．
13．（2024•山东一模）已知椭圆 的右焦点为 ， ， ， ， 在椭
圆 上但不在坐标轴上，若 ，且 ，则椭圆 的离心率的值可以是
A． B． C． D．
14．（2024•湖北模拟）用平面 截圆柱面，圆柱的轴与平面 所成角记为 ，当 为锐角时，圆柱面的
截线是一个椭圆．著名数学家 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的
球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切．下列结论中正确的有
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中 为椭圆长轴， 为球 半径，有
415．（2024•全国模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上的动点，则下列结
论正确的是
A．椭圆 的离心率 B．
C．△ 面积的最大值为12 D． 的最小值为
三．填空题（共5小题）
16．（2024•广州模拟）已知椭圆 的左右焦点为 ， ．直线 与椭圆 相
交于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
17．（2024•咸阳模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上任意一点，
为曲线 上任意一点，则 的最小值为 ．
18．（2024•宝山区三模）已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，若椭圆上存在一
点 ，满足线段 相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 的中点，则该椭圆的离心率为
．
19．（2024•西藏模拟）已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点， 为椭
圆 上任意一点， 的最大值为 ．设点 ，则 的最小值为 ．
20．（2024•河北模拟）数学家 用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，
使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双
球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为
．
5四．解答题（共5小题）
21．（2024•梅州模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值．
22．（2024•江西一模）已知椭圆 的左右顶点分别为 、 ，点 在 上，点 ，
分别为直线 、 上的点．
（1）求 的值；
（2）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，求证：直线 经过定点．
23．（2024•榆林四模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过
的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 的周长为8，△ 的最大面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ，是否存在 轴上的定点 ，使得 的内心在 轴上，若存在，求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．
24．（2024•松江区二模）如图，椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过上焦点 与 轴垂直
的直线交椭圆于 、 两点，动点 、 分别在直线 与椭圆 上．
（1）求线段 的长；
6（2）若线段 的中点在 轴上，求△ 的面积；
（3）是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的
点 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024•泸州模拟）如图，已知 ， 分别是椭圆 的右顶点和上顶点．椭圆
的离心率为 ， 是坐标原点）的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，过点 作 轴的平行线分别与直线 ，
交于点 ， ．证明： ， ， 三点的横坐标成等差数列．
72025年菁优高考数学解密之椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•莲湖区校级三模）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，则
的最大值是
A． B．9 C．16 D．25
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】数学运算；定义法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用椭圆的定义可得 ，再利用基本不等式，即可求得 的最大值．
【解答】解：由题意， ，
，
，当且仅当 时，等号成立，
，
的最大值是25．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的定义，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
2．（2024•保定三模）已知曲线 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【分析】利用 ，可求 的最大值．
8【解答】解： 曲线 ， ，
又 ，
，
， ，
，
当且仅当 时取等号，
的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查重要不等式的应用，属中档题．
3．（2024•湖北模拟）已知椭圆 ，则“ ”是“椭圆 的离心率为 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件；椭圆的几何特征
【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；直线与圆
【分析】由题意得 ，再分椭圆焦点在 轴上和椭圆焦点在 轴上，求得 后即可求解．
【解答】解：椭圆 的离心率为 ，即 ，
若椭圆焦点在 轴上，则 ，得 ，
若椭圆焦点在 轴上，则 ，得 ，
9故“ ”是“椭圆 的离心率为 ”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
4．（2024•内江三模）设 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，若△ 为直角
三角形，则△ 的面积为
A． B．1或 C． D．1或
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】分 或 为直角， 为直角时，求出直角边，进而求出三角形的面积．
【解答】解：由椭圆方程 可得 ， ，所以 ，
当 或 为直角时，则 或 ，
此时 ；
当 为直角时，则 ，
即 ，
由椭圆的定义可得 ， ，
可得 ，
所以 ，
所以△ 的面积为 或1．
故选： ．
10【点评】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题．
5．（2024•天府新区模拟）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．
若 ， ，则 的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的弦及弦长
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；计算题
【分析】法一：设 ，则 ， ，由椭圆的定义有 ，在
△ 和△ 中，由余弦定理结合 ，两式消去 ， ，
然后转化求解即可．
法二：设 ，则 ， ，由椭圆的定义，在△ 中，由余弦定理转化求解
椭圆方程即可．
【解答】解：法一：由已知可设 ，则 ， ，由椭圆的定义有
，
．
在△ 和△ 中，由余弦定理得 ，
又 ， 互补， ，两式消去 ， ，
得 ，解得 ．
，
所求椭圆方程为 ，
11故选： ．
法二：如图，由已知可设 ，则 ， ，
由椭圆的定义有 ， ．
在△ 中，由余弦定理推论得 ．
在△ 中，由余弦定理得 ，解得 ．
，
所求椭圆方程为 ，
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
6．（2024•咸阳模拟）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆
于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的性质
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 ， ，可得 ， ， ， ．
由 ，可得 ，利用勾股定理即可得出．
12【解答】解：设 ，
， ，
， ．
， ，
，
，即 ，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
7．（2024•商洛模拟）已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】数学运算；综合法；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理
13【分析】由题意，对椭圆方程进行变形，根据椭圆的焦点在 轴上，列出不等式再进行求解即可．
【解答】解：易知该椭圆方程为 ，
因为该椭圆的焦点在 轴上，
所以 ，
解得 ，
则 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
8．（2024•陕西模拟）已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】求椭圆的离心率
【专题】数学运算；转化思想；计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用焦点在 轴上可求 的范围，进而由 ，可求 ．
【解答】解：由题得 ，可得 ，
因为焦距为4，所以 ，解得 ，
所以椭圆的离心率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的性质，属基础题．
9．（2024•佛山模拟）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国
14成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采
样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点 表示地球中心，点 表示月球中心．嫦
娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点 处
沿圆 的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道 运行，并且点 为该椭圆的一个焦点．一段时间后，
再在近月球表面附近的点 处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球
中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道 的离心率约为
A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法
【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：设该椭圆的半长轴为 ，半焦距为 ，月球半径为 ，
则根据题意可知地球半径为 ，
月球中心与地球中心距离为 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以离心率 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
10．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 的公共点为 ， ，其中
15在 的左侧， 是圆 上异于 ， 的点，连接 交 于 ，若 ，则
的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征
【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想
【分析】设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，则根据题意易得 ，且直线 的斜率为 ，
再根据椭圆的几何性质易得 ，从而建立方程，即可求解．
【解答】解：设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，
由 ，可得 ，
，
又根据题意可知 ，
直线 的斜率为 ，即直线 的斜率为 ，
设 ，则 ， ，
又易知 ， ，
，
，
16，
的离心率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•日照一模）如图是数学家 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是
椭圆的模型（称为“ 双球” ．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、
截面相切，截面分别与球 ，球 切于点 ， ， 是截口椭圆 的焦点）．设图中球 ，球 的
半径分别为4和1，球心距 ，则
A．椭圆 的中心不在直线 上
B．
C．直线 与椭圆 所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆 的离心率为
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
17【专题】计算题；数学运算；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答．
【解答】解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此
组合体，
得圆锥的轴截面及球 ，球 的截面大圆，如图，
点 ， 分别为圆 ， 与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段 是椭圆长轴，
可知椭圆 的中心（即线段 的中点）不在直线 上，故 正确；
椭圆长轴长 ，
过 作 于 ，连 ，显然四边形 为矩形，
又 ，
则 ，
过 作 交 延长线于 ，显然四边形 为矩形，
椭圆焦距 ，故 错误；
所以直线 与椭圆 所在平面所成的角的正弦值为 ，故 正确；
所以椭圆的离心率 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
12．（2024•广东模拟）已知椭圆 的长轴端点分别为 ， 、两个焦点分别为 、 ，
18是 上任意一点，则
A． 的离心率为 B．△ 的周长为
C．△ 面积的最大值为 D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解．
【解答】解：已知椭圆 的长轴端点分别为 ， 、两个焦点分别为 、 ，
则椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
对于 选项， 的离心率为 ，故 正确；
对于 选项，△ 的周长为 ，故 正确；
对于 选项， ，设 ， ， ，
则△ 面积的最大值为 ，故 错误；
对于 选项， ， ，
， ，
因此 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
1913．（2024•山东一模）已知椭圆 的右焦点为 ， ， ， ， 在椭
圆 上但不在坐标轴上，若 ，且 ，则椭圆 的离心率的值可以是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算
【分析】方法一，用中点坐标公式，表示出 ， ，再用向量的数量积为零，求出 ， 的轨迹方程，
与椭圆有交点，求出取值范围；
方法二，用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到 ， ， 的关系，再计算离心率的范围．
【解答】解：方法一：依题意，可得 ，又有 ，
故 ，即 ， ；
又有 ，即圆 与椭圆 有公共点且公共点不在坐标轴上，
故 ，即 ，故 ；
方法二：依题意， ，
故 ， 分别是线段 ， 的中点，故 ， ；
又有 ，故 ，
则 ；因为 ，故 ，
即 ，得 ．
故选： ．
20【点评】本题考查椭圆的几何性质，圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
14．（2024•湖北模拟）用平面 截圆柱面，圆柱的轴与平面 所成角记为 ，当 为锐角时，圆柱面的
截线是一个椭圆．著名数学家 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的
球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切．下列结论中正确的有
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中 为椭圆长轴， 为球 半径，有
【答案】
【考点】求椭圆的离心率
【专题】数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；定义法；对应思想
【分析】过点 作线段 ， 分别与球 、 切于点 、 ，结合球的切线的性质与椭圆定义即可
得 、 ，借助离心率的定义可得 ，借助正切函数的定义可得 ．
21【解答】解：对 ， ：过点 作线段 ， 分别与球 、 切于点 、 ，
由图可知， 、 分别与球 、 切于点 、 ，
故有 ，
由椭圆定义可知，该椭圆以 、 为焦点， 为长轴长，故 正确，
由 与球 切于点 ，故 ，
有 ，
即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故 正确；
对 ：由题意可得 ，则 ，故 正确；
对 ：由题意可得 ， ，
故 ，即 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查球的切线的性质与椭圆定义相关知识，属于中档题．
15．（2024•全国模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上的动点，则下列结
论正确的是
22A．椭圆 的离心率 B．
C．△ 面积的最大值为12 D． 的最小值为
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；计算题；数学运算；综合法
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得 ， ， ，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：因为椭圆 ，则 ， ， ，
由椭圆离心率公式可得 ，故 正确；
由椭圆的定义可知， ，故 错误；
因为 ，设点 到 轴的距离为 ，显然 ，
则△ 面积的最大值为 ，故 正确；
因为 为椭圆左焦点，所以 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•广州模拟）已知椭圆 的左右焦点为 ， ．直线 与椭圆 相
交于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【分析】由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，再根据椭圆的定义求出 ， ，再在
△ 中，利用余弦定理求出 ， 的关系，即可得解．
23【解答】解：由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，则 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
即椭圆的离心率 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17．（2024•咸阳模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上任意一点，
为曲线 上任意一点，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【专题】综合法；整体思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
24【分析】求出点 的坐标，求出圆 的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值．
【解答】解：椭圆 中，右焦点 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
显然椭圆 与圆 相离，由点 在圆 上，得 ，
于是 ，
当且仅当 ， 分别是线段 与椭圆 、圆 的交点时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
18．（2024•宝山区三模）已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，若椭圆上存在一
点 ，满足线段 相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 的中点，则该椭圆的离心率为
．
【考点】 ：椭圆的性质
【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法； ：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设线段 的中点为 ，利用 是△ 的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形
的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．
25【解答】解：设线段 的中点为 ，由题意知， ，又 是△ 的中位线，
，则 ，由椭圆的定义知 ，
又 ， ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
又 ，可得 ，
故有 ，
由此可求得离心率 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的简单性质，注意椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常
数 的应用，是中档题．
19．（2024•西藏模拟）已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点， 为椭
圆 上任意一点， 的最大值为 ．设点 ，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；计算题；数学运算；综合法
【分析】设椭圆 的半焦距为 ，由题意解得 ， ，设椭圆 的左焦点为 ，则 ，
利用椭圆的定义和三角形的性质即可求解．
26【解答】解：设椭圆 的半焦距为 ，由题意，得 ， ，
所以 ， ，设椭圆 的左焦点为 ，则 ，
所以 ，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
20．（2024•河北模拟）数学家 用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，
使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双
球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为
．
【答案】 ．
【考点】求椭圆的离心率
【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想；数学运算
【分析】根据给定信息分析截口曲线上任意一点满足的关系，进而确定曲线的形状，再利用轴截面求出
椭圆的长半轴长及半焦距得解．
【解答】解：令两个球 ， 分别与截面相切于点 ， ，在截口曲线上任取一点 ，过点 作圆锥
的母线，
分别与两个球相切于 ， ， ， 均为球 的切线，则 ，同理 ，
27因此 ，由切点 ， 的产生方式知， 长为定值，
于是截口曲线上任意点 到定点 ， 的距离和为定值，该曲线是以点 ， 为焦点的椭圆，
作出几何体的轴截面，如图，设 ，依题意， ， ，
则 ，椭圆的长轴长 ，半焦距为 ，
则 ，因此 ，所以离心率 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查旋转的组合体的结构特征以及长半轴长及半焦距、离心率相关知识，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•梅州模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
28【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；设而不求法；数学运算；转化思想
【分析】（1）由椭圆的离心率，可得 ， 的关系，设椭圆的方程，将点 的坐标代入椭圆的方程，可
得参数的值，即可得 ， 的值，求出椭圆的方程；
（2）设与 平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为 0，可得参数的值，进而求出两条
直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率为 ，可得 ，
可得 ，设椭圆的方程为： ， ，
又因为椭圆经过点 ，所以 ，
解得 ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）设与直线 平行的直线的方程为 ，
联立 ，整理可得： ，
△ ，可得 ，则 ，
所以直线 到直线 的距离 ．
所以椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（2024•江西一模）已知椭圆 的左右顶点分别为 、 ，点 在 上，点 ，
分别为直线 、 上的点．
29（1）求 的值；
（2）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，求证：直线 经过定点．
【答案】（1） ．
（2）证明见解析．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；转化法；方程思想
【分析】（1）解法一：设 ， ，根据斜率公式得 ，然后根据点 在椭圆上化简即
可求解．
解法二：设 ， ，利用三点共线的向量形式求得 ， ，结合点 在椭圆上化简
即可求解．
（2）解法一：联立直线 与椭圆 方程，利用韦达定理得 ，同理得点 的坐标
为 ，分类讨论求得直线 的方程，即可求得直线 经过的定点．
解法二：设直线 的方程为： ， ， ， ， ，联立直线 与椭圆 方程，
结合韦达定理利用 求得 或3（舍去），从而求得直线 经过的定点．
【解答】解：（1）解法一：设 ， ，由题可知， ，
又 ， ，
， 在椭圆 上，则 ，
，
．
30解法二：设 ， ，则 ，
、 、 三点共线，
，
同理 ，
，
又 ， 在曲线 上，
，
代入 上式得： ．
（2）证明：解法一：由题可知，直线 的方程为： ，
联立方程 ，可得： ，
，
，
，
又 ，
，
，
31同理可得点 的坐标为 ，
当直线 垂直于 轴时， ，即 ，
，
，此时直线 的方程为 ．
当直线 不垂直于 轴时，
，
故直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
整理得 ，此时直线 经过定点 ，
综上所述，直线 经过定点 ．
解法二：由 ， ，得 ，
又 ，
，
由题可得直线 显然不与 轴平行，
设直线 的方程为： ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
32所以△ ，
所以 ，
又
，
由 且 ，解得 ，
直线 方程为 ，
直线 经过定点 ．
【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
23．（2024•榆林四模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过
的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 的周长为8，△ 的最大面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ，是否存在 轴上的定点 ，使得 的内心在 轴上，若存在，求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ） 或 ；
（Ⅱ）存在定点 ．
33【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征
【专题】数学运算；综合法；逻辑推理；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系列出等式求出 和 的值，进而可
得椭圆 的方程；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中信息，设出直线 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和斜率公
式再进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为 的周长为8，△ 的最大面积为 ，
所以 ，
解得 ， 或 ， ，
则椭圆 的方程为 或 ；
（Ⅱ）因为 ，
由（Ⅰ）知， ，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
若 的内心在 轴上，
此时 ，
可得 ，
即 ，
整理得 ，
34即 ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
当直线 垂直于 轴，即 时，显然点 也是符合题意的点．
故在 轴上存在定点 ，使得 的内心在 轴上．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档
题．
24．（2024•松江区二模）如图，椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过上焦点 与 轴垂直
的直线交椭圆于 、 两点，动点 、 分别在直线 与椭圆 上．
（1）求线段 的长；
（2）若线段 的中点在 轴上，求△ 的面积；
（3）是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的
点 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
35（2） ；
（3） 或 ．
【考点】直线与椭圆的综合
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】（1）根据已知求出点 的横坐标，根据对称性可得 的长；
（2）求出点 的横坐标，由三角形面积公式求解即可；
（3）假设存在以 ， 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上，显然 ，设 ， ，
， ，利用向量的坐标运算表示出点 的坐标，由 ， 在椭圆 上及 ，可得方程组，
从而可求得点 的纵坐标．
【解答】解：（1）依题意得： ，由 轴，得： ，
代入椭圆方程得： ，
所以线段 的长为 ． 分
（2）显然 ，线段 的中点在 轴上，则 ，即 轴，
， ， 分
所以 ． 分
（3）假设存在以 ， 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上，显然 ，设 ， ，
， ，
则 ， ，
36因为四边形 是矩形，一定为平行四边形，所以 ，
代入计算得 ， ，
由题意知 ， 在椭圆 上及 ，
代入，得 ，即 ， 分
将①②代入③并化简得， ，
再结合①，得 ，即 或 ．
若 ，则 ； 分
若 ，则联立①②，得 ，
消去 ，得 ，解得 ，
由于 ，故 ． 分
综上，存在满足题意的 点，其纵坐标为 或 ． 分
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
25．（2024•泸州模拟）如图，已知 ， 分别是椭圆 的右顶点和上顶点．椭圆
37的离心率为 ， 是坐标原点）的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，过点 作 轴的平行线分别与直线 ，
交于点 ， ．证明： ， ， 三点的横坐标成等差数列．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）证明过程见解析．
【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合
【专题】对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题；逻辑推理；数学运算；综合法
【分析】（Ⅰ）由题意，根据离心率公式、三角形面积公式和 ， ， 之间的关系列出等式求出 和
的值，进而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆方程联立，将问题转化成求证 ，按部
就班求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为 ，
所以 ，①
因为， 是坐标原点）的面积为1，
所以 ，②
又 ，③
联立①②③，
解得 ， ， ，
38则椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）证明：不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，
因为直线 经过点 ，
所以 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
因为 ， ， 三点共线，
所以 ，
即 ，
则 ，
故 ， ， 三点的横坐标成等差数列．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档
题．
39考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1） （a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F F |＝2c；
1 2
40（2） （a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F F |＝2c．
1 2
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0） （a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，b），B′（0，﹣b） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
2b
焦点在长轴长上
焦点在长轴长上
焦点 F （﹣c，0），F （c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c（c＞0） |F F |＝2c（c＞0）
1 2 1 2
c2＝a2﹣b2 c2＝a2﹣b2
离心率
e＝ （0＜e＜1） e＝ （0＜e＜1）
准线
x＝± y＝±
3．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
412．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A （﹣a，0），A （a，0），B （0，﹣b），B （0，b）
1 2 1 2
其中，线段A A ，B B 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
1 2 1 2
半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝ ，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，
方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
4．求椭圆的离心率
【知识点的认识】
42椭圆的离心率e由公式 计算，其中 ．
【解题方法点拨】
1．计算离心率：使用公式 计算离心率．
【命题方向】
﹣给定a和b，求椭圆的离心率．
﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义．
5．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交 Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨⇔】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难
点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则|AB|＝ ＝ （k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和
椭圆有两个不同的公共点．
43（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
6．椭圆的弦及弦长
【知识点的认识】
椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算．
【解题方法点拨】
1．计算弦长：利用椭圆的参数和弦的方程计算弦长．
2．联立方程，通过二次方程根与系数关系，求得弦长．
【命题方向】
﹣给定直线方程，计算弦长．
﹣利用椭圆方程计算弦的长度．
7．圆与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
442、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c a2+b2＝c2
1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝1 ± ＝1
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 18:47:23；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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