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2025年菁优高考数学解密之数列
一．选择题（共10小题）
1．（2024•通州区模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024•衡水一模）在等比数列 中，若 为一确定的常数，记数列 的前 项积为 ，
则下列各数为常数的是
A． B． C． D．
3．（2024•郑州模拟）已知等比数列 的前三项和为56， ，则
A．4 B．2 C． D．
4．（2024•包头一模）已知等差数列 中， ， ，设 ，则
A．245 B．263 C．281 D．290
5．（2024•许昌模拟）已知等比数列 的公比为 ，若 ，且 ， ， 成等差数列，则
A． B． C．3 D．
6．（2024•平谷区模拟）已知等差数列 和等比数列 ， ， ， ， ，
则满足 的数值
A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值
C．有且仅有3个值 D．有无数多个值
17．（2024•山东一模）将方程 的所有正数解从小到大组成数列 ，记
，则
A． B． C． D．
8．（2024•义乌市模拟）已知 是等比数列，若 ， ，则 的值为
A．9 B． C． D．81
9．（2024•四川模拟）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，
则
A．2 B． C． D．
10．（2024•皇姑区四模）等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则
A．51 B．102 C．119 D．238
二．多选题（共5小题）
11．（2024•泰安二模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是
A． B．
C． 为递减数列 D． 的前5项和为
12．（2024•贵阳模拟）设首项为1的数列 前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确的
是
A．数列 为等比数列
2B．数列 的前 项和
C．数列 的通项公式为
D．数列 为等比数列
13．（2024•山东模拟）已知数列 中， ，则
A． 的前10项和为
B． 的前100项和为100
C． 的前 项和
D． 的最小项为
14．（2024•河北模拟）已知数列 ， ，满足 ， ，当 时，
，则
A． B．
C． D．
15．（2024•广东模拟）已知一组数据 ， ， ， 是公差不为0的等差数列，若去掉数据 ，则
A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小
三．填空题（共5小题）
16．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
．
317．（2024•上海）数列 ， ， ， 的取值范围为 ．
18．（2024•全国）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ．
19．（2024•包头模拟）已知数列 的前 项和 ，当 取最小值时， ．
20．（2024•淄博一模）已知等比数列 共有 项， ，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和
为42，则公比 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•回忆版）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如
下方式依次构造点 ，3， ，过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于
轴的对称点，记 的坐标为 ， ．
（1）若 ，求 ， ；
（2）证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3）设 为△ 的面积，证明：对任意的正整数 ， ．
22．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列 的前 项之积为 ，若 ， ，则称
是 数列．
（1）若 是首项为 ，公差为1的等差数列，请判断 是否为 数列？并说明理由；
（2）证明：若 的通项公式为 ，则 不是 数列；
（3）设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ，若 是 数列，求 的值．
23．（2024•朝阳区二模）设 为正整数，集合 ， ， ， ， ， ， ，2，
， ．对于 ， ， ， ，设集合 ， ， ，2， ，
4．
（Ⅰ）若 ，1，0，0，1， ， ，1，0，0，1，0，1，0，0，1， ，写出集合 ， ；
（Ⅱ）若 ， ， ， ，且 ， 满足 ，令 ， ， ， ，求
证： ；
（Ⅲ）若 ， ， ， ，且 ， ， ， ， ，求证：
，2， ， ．
24．（2024•湖北模拟）设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，已知 与2的等差中项等于 与2
的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求 的前 项和．
25．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的
数据加密算法通常有 、 、 等，不同算法密钥长度也不同，其中 的密钥长度较长，用于
传输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 加密算法中的应
用．设 ， 是两个正整数，若 ， 的最大公约数是1，则称 ， 互素．对于任意正整数 ，欧拉函
数是不超过 且与 互素的正整数的个数，记为 ．
（1）试求 （1） （9）， （7） 的值；
（2）设 ， 是两个不同的素数，试用 ， 表示 ，并探究 与 和 的关系；
（3）设数列 的通项公式为 ，求该数列的前 项的和 ．
52025年菁优高考数学解密之数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•通州区模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件；等差数列的前 项和；等差数列的性质
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想；简易逻辑
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ， ，所以再利用充分条件和
必要条件的定义判断．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，
若 ，则 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以由“ ”可以推出“ ”，
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
即由“ ”可以推出“ ”，
6故“ ”是“ ”的充分必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的前 项和公式，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
2．（2024•衡水一模）在等比数列 中，若 为一确定的常数，记数列 的前 项积为 ，
则下列各数为常数的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等比数列的性质
【专题】数学运算；等差数列与等比数列；整体思想；综合法
【分析】由已知可得 为常数，然后结合等比数列的性质即可求解．
【解答】解：因为等比数列 中， 为常数，
则 为常数，
又数列 的前 项积为 ，则 为常数．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
3．（2024•郑州模拟）已知等比数列 的前三项和为56， ，则
A．4 B．2 C． D．
【答案】
【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式
【专题】转化法；等差数列与等比数列；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
等比数列 的前三项和为56， ，
7则 ，解得 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
4．（2024•包头一模）已知等差数列 中， ， ，设 ，则
A．245 B．263 C．281 D．290
【答案】
【考点】等差数列的前 项和
【专题】数学运算；转化思想；等差数列与等比数列；转化法
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前 项和公式，即可求解．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
则 ，
故 ，
所以 ，
当 时，
，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前 项和公式，属于基础题．
85．（2024•许昌模拟）已知等比数列 的公比为 ，若 ，且 ， ， 成等差数列，则
A． B． C．3 D．
【答案】
【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【专题】数学运算；等差数列与等比数列；转化思想；综合法
【分析】根据等差数列的中项性质和等比数列通项公式可构造方程求得结果．
【解答】解： ， ， 成等差数列， ，又 ，
，整理可得： ，
，解得： （舍 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（2024•平谷区模拟）已知等差数列 和等比数列 ， ， ， ， ，
则满足 的数值
A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值
C．有且仅有3个值 D．有无数多个值
【答案】
【考点】等差数列与等比数列的综合
【专题】综合法；方程思想；数学运算；等差数列与等比数列
【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得 ， ，运用分类讨论思想
解不等式可得所求取值．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， ， ，可得 ， ，
解得 ， ，
9则 ， ，
，即 ，
当 为奇数时， 时成立，其余都不成立；
当 为偶数时， ，不等式左边小于0，不等式不成立；
时，不等式左边 ，不等式不成立；
时，不等式的左边 ，不等式不成立；
时，不等式的左边 ，不等式不成立；
其余的偶数，也都不成立．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及不等式的解法，考查方程思想和分类讨论思想、
运算能力，属于中档题．
7．（2024•山东一模）将方程 的所有正数解从小到大组成数列 ，记
，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】数列递推式；数列与三角函数的综合
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；三角函数的求值；数学运算
【分析】由三角函数的恒等变换化简方程 ，并求值，判断 以 ， 重
复循环出现，且 ， ， ，计算可得所求和．
【解答】解： ，即为 ，
10即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
而 ，
所以 ，
，
，
，
所以 ， ，
， ，
后面的值都是以 ， 重复循环出现，且 ， ， ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查三角函数与数列的综合，以及三角函数的化简和求值、数列的求和，考查转化思想和
方程思想、运算能力，属于中档题．
8．（2024•义乌市模拟）已知 是等比数列，若 ， ，则 的值为
A．9 B． C． D．81
11【答案】
【考点】等比数列的通项公式
【专题】定义法；方程思想；等差数列与等比数列；数学运算
【分析】根据等比中项的性质即可得到答案．
【解答】解：由题得 ，
而 ，则 ．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2024•四川模拟）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，
则
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】等差数列与等比数列的综合
【专题】等差数列与等比数列；方程思想；综合法；数学运算
【分析】根据等差数列和等比数列的中项性质分析求解．
【解答】解：由题意可得 ，解得 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．（2024•皇姑区四模）等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则
A．51 B．102 C．119 D．238
【答案】
【考点】等差数列的前 项和
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想
12【分析】结合等差数列的性质先求出公差 ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列 中， ， ，即 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•泰安二模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是
A． B．
C． 为递减数列 D． 的前5项和为
【答案】
【考点】等差数列的前 项和
【专题】转化思想；数学运算；等差数列与等比数列；综合法
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差 ，再逐项求解判断即可．
【解答】解：等差数列 中， ，解得 ，而 ，
因此公差 ，通项 ，
对于 ， ， 错误；
对于 ， ， 正确；
对于 ， ， 为递减数列， 正确；
对于 ， ，
所以 的前5项和为 ， 错误．
13故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
12．（2024•贵阳模拟）设首项为1的数列 前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确的
是
A．数列 为等比数列
B．数列 的前 项和
C．数列 的通项公式为
D．数列 为等比数列
【答案】
【考点】等比数列的性质；数列递推式
【专题】转化思想；数学运算；综合法；等差数列与等比数列
【分析】由数列的递推式推得 ，结合等比数列的定义和通项公式，可判断 ；由
与 的关系，可判断 ；由等比数列的中项性质可判断 ．
【解答】解：由 ， ，可得 ，即有 ，
由 ，可得数列 是首项和公比均为2的等比数列，
则 ，即 ，故 正确；
由 时， ，对 不成立，故 错误；
由 ， ， ， ，故数列 不为等比数列，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的项与和的关系，考查转化思
想和运算能力，属于中档题．
13．（2024•山东模拟）已知数列 中， ，则
14A． 的前10项和为
B． 的前100项和为100
C． 的前 项和
D． 的最小项为
【答案】
【考点】数列的求和
【专题】综合法；整体思想；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算
【分析】 ．由 ，利用错位相减法求解判断； ．由 ，利用幷项求
和判断； ．由 ，利用裂项相消法求解判断； ．由
，利用对勾函数的性质求解判断．
【解答】解：对于 ．易知 ，
则 ，
则 ，
两式相减得 ，
，
则 ，
故 错误；
15对于 ．易知 ，
则其前100项和为 ，
故 正确；
对于 ． ，
则 ，
故 正确；
对于 ．易知 ，
令 ，
则 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
而 ，当 时， ，当 时， ，
所以 的最小项为 ，
故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法及裂项求和法，属中档题．
14．（2024•河北模拟）已知数列 ， ，满足 ， ，当 时，
，则
A． B．
C． D．
16【答案】
【考点】数列递推式
【专题】综合法；转化思想；数学运算；等差数列与等比数列
【分析】依题意可得 ，从而得到 ，则 单调递增，推导出 ①，
再由 得到 ，结合①判断 ，当 时， ，将上式两边平方即可得到
，利用不等式的性质得到 ，即可判断 ，结合函数的单调性判断 ，利用基本不等式
判断 ．
【解答】解：由 ， ，
所以 ，又 ，显然 ，所以 ，
所以 单调递增，则 单调递减，
即 ，所以 ①，
由 ，设 ，
即 、 为关于 的方程 的两根，所以 ，
即 ，则 ，代入①得 ，故 正确；
当 时， ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ， ， ，
17所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，故 正确；
因为 单调递增，所以 ，又因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 错误；
因为
，
当且仅当 时取等号，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查数列的递推式和数列的单调性，关键是以递推公式推导出 的单调性及 ，再
结合不等式的知识判断，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
15．（2024•广东模拟）已知一组数据 ， ， ， 是公差不为0的等差数列，若去掉数据 ，则
A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小
【答案】
【考点】等比数列的性质；用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数
【专题】综合法；整体思想；概率与统计；数学运算；计算题
【分析】由中位数的概念可判断 ，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断 ，由方差计算公式即
可判断 ．
【解答】解：对于选项 ，原数据的中位数为 ，去掉 后的中位数为 ，即中位数没变，
故选项 正确；
对于选项 ，原数据的平均数为 ，
18去掉 后的平均数为 ，即平均数不变，
故选项 错误；
对于选项 ，则原数据的方差为 ，
去掉 后的方差为 ，
故 ，即方差变大，故选项 正确，选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了样本数据的数字特征，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
．
【答案】 ．
【考点】求等差数列的前 项和
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质，基本不等式即可求解．
【解答】解：正项等差数列 中， ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及基本不等式的应用，属于基础题．
17．（2024•上海）数列 ， ， ， 的取值范围为 ．
19【答案】 ．
【考点】等差数列的前 项和
【专题】数学运算；综合法；整体思想；等差数列与等比数列
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
【解答】解：等差数列由 ，知数列 为等差数列 ，
即 ，
解得 ．
故 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
18．（2024•全国）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ．
【答案】 ．
【考点】等差数列前 项和的性质
【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；转化思想
【分析】根据等差数列的前 项和公式即可得．
【解答】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 ， ，
得 ，即 ，解得 ．
所以等差数列 的通项公式为 ， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等差数列的前 项和公式，属于基础题．
19．（2024•包头模拟）已知数列 的前 项和 ，当 取最小值时， 3 ．
【答案】3．
【考点】数列的求和
【专题】等差数列与等比数列；整体思想；综合法；数学运算；计算题
20【分析】利用数列的递推式得到 ，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意得 ，
当 时， ，
又 满足该式，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 取最小值时， ．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数列的递推式和基本不等式的应用，属于中档题．
20．（2024•淄博一模）已知等比数列 共有 项， ，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和
为42，则公比 2 ．
【答案】2．
【考点】等比数列的前 项和
【专题】定义法；逻辑推理；等差数列与等比数列；方程思想；数学运算；计算题
【分析】根据题意，利用 进行求解即可．
【解答】解：即该数列所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，
是等比数列，且项数为 ，
，则 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列前 项和的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
2121．（2024•回忆版）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如
下方式依次构造点 ，3， ，过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于
轴的对称点，记 的坐标为 ， ．
（1）若 ，求 ， ；
（2）证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3）设 为△ 的面积，证明：对任意的正整数 ， ．
【考点】数列的应用
【专题】数学运算；转化思想；转化法；等差数列与等比数列
【分析】（1）根据已知条件，先求出直线方程，再与曲线方程联立，即可求解；
（2）根据已知条件，推得 ，再结合 ， 都在双曲线上，以及等比数列的定义，即可
求证；
（3）要证： ，只需先尝试 ，即先证 ，再结合换元法，以及直线的
斜率公式，即可求解．
【解答】解：（1） 在 上，
，解得 ，
过 且斜率为 的直线方程为 ，即 ，
联立 ，解得 或 ，
故 ， ，
过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，
所以 ， ；
22（2）证明： ， 关于 轴的对称点是 ， ，
， ， ， 都在同一条斜率为 的直线上， ；
则 ，
， 都在双曲线上，
，两式相减可得， ，
而 ①， ②，
则② ①可得， ，
则 ，
，
故数列 是公比为 的等比数列；
（3）证明：要证： ，只需先尝试 ，
即先证 ，
记 ，
，
则 ，
，
而 ，
，
，
23，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．
22．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列 的前 项之积为 ，若 ， ，则称
是 数列．
（1）若 是首项为 ，公差为1的等差数列，请判断 是否为 数列？并说明理由；
（2）证明：若 的通项公式为 ，则 不是 数列；
（3）设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ，若 是 数列，求 的值．
【答案】（1） 是 数列，理由见解析
（2）证明见解析
（3） 或 ．
【考点】等差数列与等比数列的综合
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算
【分析】（1）由题知 ， ，0，1，2，3， ，再根据 数列的定义，即可作出判断；
（2）先假设 是 数列，从而有 ，再进行验证，即可证明结果；
（ 3 ） 根 据 题 设 得 到 ， 令 ， 从 而 得 到
， 再 利 用 函 数 性 质 ， 建 立 不 等 关 系 ， 得 到 ； 令
24，由 ，即可求解．
【解答】解：（1） 是 数列，
理由：由题知 ，即 ， ，0，1，2，3， ，
所以 ， ，
当 时， ，所以 是 数列．
（2）证明：假设 是 数列，则对任意正整数 ， 总是 中的某一项，
，
所以对任意正整数 ，存在正整数 满足： ，
显然 时，存在 ，满足 ，
取 ，得 ，所以 ，
可以验证：当 ，2，3，4时， 都不成立，
故 不是 数列．
（3）已知 是等比数列，其首项 ，公比 ，
所以 ，
所以 ，
由题意知对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，
即对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，
即对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，
①令 ，得 ，且 ，
25因为 ， ，
所以当 时， 取到最小值 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ；
②令 ，得 ，
且 ，所以 ，1
综上， 或 ．
【点评】本题考查数列的新定义，等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能
力，属于中档题．
23．（2024•朝阳区二模）设 为正整数，集合 ， ， ， ， ， ， ，2，
， ．对于 ， ， ， ，设集合 ， ， ，2， ，
．
（Ⅰ）若 ，1，0，0，1， ， ，1，0，0，1，0，1，0，0，1， ，写出集合 ， ；
（Ⅱ）若 ， ， ， ，且 ， 满足 ，令 ， ， ， ，求
证： ；
（Ⅲ）若 ， ， ， ，且 ， ， ， ， ，求证：
，2， ， ．
【答案】（1） ，3， ， ，5，8， ；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
26【考点】数列的应用；数列与不等式的综合
【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）由题意，即可直接写出 ， ；
（2）由 可得 结合 可得 ， ，2， ， ，即可证明；
（3）若 且 则 ， ，2， ， ，进而 ，由（2）可知
，分类讨论 ，
时 与 的大小关系，即可证明．
【解答】解：（1）由题 ，3， ， ，5，8， ；
（2）证明： ， ， ，2， ， ，
当 时， ， ，
即 ， ，2， ， ，
又 （a），
， ，2， ， ，
， ，2， ， ，
；
（3）证明：对任意 ，令 ， ， ， ，
若 且 ，则 ， ，2， ， ，
， ，2， ， ，
， ， ，2， ， ，
， ，2， ， ，
27，
对 ， ，2， ， ，
，由（2）可知，令 ，
则 ，
若 ，则 ，
，
若 ， ，
，即 （a），
又 ， ，
综上， ，
即 ，2， ， ．
【点评】本题考查了数列的应用，属于难题．
24．（2024•湖北模拟）设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，已知 与2的等差中项等于 与2
的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） ．
【考点】裂项相消法
【专题】数学运算；转化思想；综合法；等差数列与等比数列
【分析】（1）由等差数列和等比数列的中项性质，结合 与 的关系，等差数列的定义和通项公式，可
得所求；
28（2）化简 ，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解答】解：（1）由 与2的等差中项等于 与2的等比中项，
可得 ，
即为 ，
时， ，解得 ，
时，由 ，可得 ，
两式相减可得为 ，
化为 ，
即为 ，
由 ，可得 ，
即有数列 是首项为2，公差为4的等差数列，
则 ；
（2） ，
则 的前 项和为 ．
【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查
转化思想和运算能力，属于中档题．
25．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的
数据加密算法通常有 、 、 等，不同算法密钥长度也不同，其中 的密钥长度较长，用于
传输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 加密算法中的应
用．设 ， 是两个正整数，若 ， 的最大公约数是1，则称 ， 互素．对于任意正整数 ，欧拉函
数是不超过 且与 互素的正整数的个数，记为 ．
29（1）试求 （1） （9）， （7） 的值；
（2）设 ， 是两个不同的素数，试用 ， 表示 ，并探究 与 和 的关系；
（3）设数列 的通项公式为 ，求该数列的前 项的和 ．
【答案】（1） （1） （9） ， （7） ；
（2） ， ；
（3） ．
【考点】错位相减法
【专题】数学运算；综合法；整体思想；逻辑推理；点列、递归数列与数学归纳法
【分析】（1）由欧拉函数的定义，求 （1） （9）和 （7） 的值；
（2）由素数的性质和欧拉函数的定义，求 ，探究 与 和 的关系；
（3）求数列 的通项，错位相减法求 ．
【解答】解：（1）易得 （1） ，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则 （9） ，
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则 （7） ，
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则 ，
所以 （1） （9） ， （7） ．
（2）在不大于 的正整数中，只有 的倍数不与 互素，而 的倍数有 个，
因此 ．
由 ， 是两个不同的素数，得 ， ，
在不超过 的正整数中， 的倍数有 个， 的倍数有 个，
于是 ，
30所以 ．
（3）根据（2）得 ，
所以 ，
，
两式相减，得 ，
所以 ，
故 ．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了数列项的求解，还考查了错位相减求和，属于中档题．
31考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．等差数列的性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个
常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a ＝a +（n﹣1）d；前n项和
n 1
32公式为：S ＝na + n（n﹣1）或S ＝ （n N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a ＝
n 1 n m
∈
a +a （p，q，m都为自然数）
p q
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n N+，则a ＝a +（m﹣n）d；
m n
（4）若s，∈t，p，q N*，且s+t＝p+q，则a
s
+a
t
＝a
p
+a
q
，其中a
s
，a
t
，a
p
，a
q
是数列中的项，特别地，当
s+t＝2p时，有 ∈
a+a＝2a ；
s t p
（5）若数列{a }，{b }均是等差数列，则数列{ma +kb }仍为等差数列，其中m，k均为常数．
n n n n
（6）a
n
，a
n﹣1
，a
n﹣2
，…，a
2
，a
1
仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
2a ＝a +a ，
n+1 n n+2
2a n ＝a n﹣m +a n+m ，（n≥m+1，n，m N+）
（8）a
m
，a
m+k
，a
m+2k
，a
m+3k
，…仍∈为等差数列，公差为kd（首项不一定选a
1
）．
【解题方法点拨】
例：已知等差数列{a }中，a ＜a ＜a ＜…＜a 且a ，a 为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
n 1 2 3 n 3 6
（1）求此数列{a }的通项公式；
n
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a ＝2，a ＝8．
3 6
又∵{a }为等差数列，设首项为a ，公差为d，
n 1
∴a +2d＝2，a +5d＝8，解得a ＝﹣2，d＝2．
1 1 1
∴a ＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n N*）．
n
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n﹣4∈．
（2）令268＝2n﹣4（n N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136∈项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式 a
n
＝a +（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某
1
一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
3．等差数列的前n项和
33【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S ＝na +
n 1
n（n﹣1）d或者S ＝
n
【解题方法点拨】
eg1：设等差数列的前n项和为S ，若公差d＝1，S ＝15，则S ＝
n 5 10
解：∵d＝1，S ＝15，
5
∴5a + d＝5a +10＝15，即a ＝1，
1 1 1
则S ＝10a + d＝10+45＝55．
10 1
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a 的值，然后套用公式即
1
可．
eg2：等差数列{a }的前n项和S ＝4n2﹣25n．求数列{|a |}的前n项的和T ．
n n n n
解：∵等差数列{a }的前n项和S ＝4n2﹣25n．
n n
∴a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S ＝﹣39．
3
∴n≤3时，T ＝﹣S ＝25n﹣4n2，
n n
n≥4，T ＝S ﹣2S ＝4n2﹣25n+78，
n n 3
∴ ．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论
思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察
的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
4．求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S ＝na +
n 1
34n（n﹣1）d或者S ＝
n
【解题方法点拨】
﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．
﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．
﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．
已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝a ，a ＝5，则S ＝_____．
n n 3 3 4 n
解：设等差数列{a }的公差为d，
n
∵S ＝a ，
3 3
∴a +a ＝a +a +d＝0，
1 2 1 1
又∵a ＝5，∴a +3d＝5，
4 1
解得，a ＝﹣1，d＝2，
1
故S ＝n•a + •2＝n2﹣2n，
n 1
故答案为：n2﹣2n．
5．等差数列前n项和的性质
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S ＝na +
n 1
n（n﹣1）d或者S ＝
n
【解题方法点拨】
等差数列的前n项和具有许多重要性质，如递增性、递减性、与通项公式的关系等．
﹣性质分析：分析等差数列的前n项和的性质，如递增性、递减性等．
﹣公式推导：根据等差数列的定义和前n项和公式，推导出数列的性质．
﹣综合应用：将前n项和的性质与其他数列性质结合，解决复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差数列的前n项和的性质分析数列的递增性、递减性，结合具体数列进行分析．
设等差数列{a }的前n项和为S ，已知a ＝﹣7，S ＝﹣15，则S 的最小值为_____．
n n 1 3 n
35解：S ＝3a ＝﹣15，解得a ＝﹣5，
3 2 2
故等差数列{a }的公差d＝a ﹣a ＝﹣5﹣（﹣7）＝2，
n 2 1
∵a ＝a +3d＝﹣1，a ＝a +4d＝1，a ＝a +d＝﹣5+2＝﹣3，
4 1 5 1 3 2
∴当n＝4时，S 取得最小值S ＝a +a +a +a ＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．
n 4 1 2 3 4
故答案为：﹣16．
6．等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，a 为常数列．
n
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a ＝a qn﹣1，这里a 为首项，q
n 1 1
为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S ＝ ，表示的
n
是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．
m n p q
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣m，（n，m N*）．
n m
（2）若{a
n
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l∈，m，n N*），则 a
k
•a
l
＝a
m
•a
n
（3）若{a
n
}，{b
n
}（项数相同）是等比数列，则{ a
n
}（∈ ≠0），{a}，{a
n
•b
n
}，仍是等比数列．
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q
n n
＝1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动⇔数列． ⇔
n n
【解⇔题方法点拨】 ⇔
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后
求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
7．等比数列的通项公式
36【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项
都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a }的首项为a ，公比为q，则它的通项a ＝a •qn﹣1
n 1 n 1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b
（ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣m，（n，m N*）．
n m
（2）若{a
n
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l∈，m，n N*），则 a
k
•a
l
＝a
m
•a
n
（3）若{a
n
}，{b
n
}（项数相同）是等比数列，则{ a
n
}（∈ ≠0），{a}，{a
n
•b
n
}，仍是等比数列．
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q
n n
＝1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动⇔数列． ⇔
n n
8．⇔等比数列的前n项和 ⇔
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{a }的公比为q（q≠0），其前n项和为S ，
n n
当q＝1时，S ＝na ；
n 1
当q≠1时，S ＝ ＝ ．
n
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{a }的前n项和为S ，则S ，S n﹣S ，S n﹣S n仍成等比数列，其公比为qn．
n n n 2 n 3 2
9．数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
37数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
10．数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用
的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：S ＝na + n（n﹣1）d或S ＝
n 1 n
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{a ×b }的前n项和，其中{a }{b }分别是等差数列和等比数列．
n n n n
（3）裂项相消法：
适用于求数列{ }的前n项和，其中{a }为各项不为0的等差数列，即 ＝ （ ）．
n
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相
38加，就可以得到n个（a +a ）．
1 n
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常
见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【解题方法点拨】
典例1：已知等差数列{a }满足：a ＝7，a +a ＝26，{a }的前n项和为S ．
n 3 5 7 n n
（Ⅰ）求a 及S ；
n n
（Ⅱ）令b ＝ （n N*），求数列{b }的前n项和T ．
n n n
∈
分析：形如 的求和，可使用裂项相消法如：
＝
＝ ．
解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，
n
∵a ＝7，a +a ＝26，
3 5 7
∴ ，解得a ＝3，d＝2，
1
∴a ＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
n
S ＝ ＝n2+2n．
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a ＝2n+1，
n
∴b ＝ ＝ ＝ ＝ ，
n
∴T ＝ ＝ ＝ ，
n
即数列{b }的前n项和T ＝ ．
n n
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那
样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
39【命题方向】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．错位相减法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：
错位相减法：
适用于求数列{a ×b }的前n项和，其中{a }{b }分别是等差数列和等比数列．
n n n n
【解题方法点拨】
﹣错位相减：将数列{a ×b }的项乘以等比数列的公比q，再与数列{a ×b }的项进行相减，得到简化的公
n n n n
式．﹣化简公式：通过错位相减法化简求和公式，特别是等差和等比数列的求和．
【命题方向】
常见题型包括利用错位相减法计算等差或等比数列的前 n 项和，结合具体数列进行分析．求和：
1×21+2×22+3×23+…+n×2n．
解：设S ＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
n
∴2S ＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
n
∴﹣S ＝21+22+23+…+2n﹣n•2n+1
n
＝ ＝2n+1﹣2﹣n•2n+1
＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴ ．
12．裂项相消法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：
（1）裂项相消法：
适用于求数列{ }的前n项和，其中{a }为各项不为0的等差数列，即 ＝ （ ）．
n
40【解题方法点拨】
裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．
【命题方向】
常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．
求和： + + +…+ ．
解：因为 ＝ ，
所以原式＝ ．
故答案为：1﹣ ．
13．数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{a
n
}的第1项（或前几项），且任一项a
n
与它的前一项a
n﹣1
（或前几
项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和S 与通项a 的关系式：a ＝ ．
n n n
在数列{a }中，前n项和S 与通项公式a 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
n n n
注意：（1）用a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，
a ＝S ）；若a 适合由a 的表达式，则a 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
1 1 1 n n
（2）一般地当已知条件中含有a
n
与S
n
的混合关系时，常需运用关系式a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
，先将已知条件转化
为只含a 或S 的关系式，然后再求解．
n n
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知S （即a +a +…+a ＝f（n））求a ，用作差法：a ＝ ．一般地当已知条
n 1 2 n n n
41件中含有a 与S 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
n n
（3）已知a •a …a ＝f（n）求a ，用作商法：a ，＝ ．
1 2 n n n
（4）若 a n+1 ﹣a n ＝f（n）求 a n ，用累加法：a n ＝（a n ﹣a n﹣1 ）+（a n﹣1 ﹣a n﹣2 ）+…+（a 2 ﹣a 1 ）+a 1
（n≥2）．
（5）已知 ＝f（n）求a ，用累乘法：a ＝ （n≥2）．
n n
（6）已知递推关系求a ，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
n
①形如a
n
＝ka
n﹣1
+b、a
n
＝ka
n﹣1
+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k的等
比数列后，再求a ．
n
②形如a ＝ 的递推数列都可以用倒数法求通项．
n
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
14．数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
， ， ，
＝ [ ]
﹣ ＝ ＜ ＜ ＝ ﹣ （n≥2），
＜ ＝ （ ）（n≥2），
42，
2（ ）＝ ＜ ＝ ＜ ＝2（ ）．
…+ ≥ …+ ＝ ＝ ＜ ．
【解题方法点拨】
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全
面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行
恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
（1）添加或舍去一些项，如： ＞|a|； ＞n；
（2）将分子或分母放大（或缩小）；
（3）利用基本不等式； ＜ ；
（4）二项式放缩；
（5）利用常用结论；
（6）利用函数单调性．
（7）常见模型：
①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式
模型．
【命题方向】
题型一：等比模型
典例1：对于任意的n N*，数列{a }满足 ＝n+1．
n
（Ⅰ）求数列{a }的通∈项公式；
n
（Ⅱ）求证：对于n≥2， ．
43解答：（Ⅰ）由 ①，
当n≥2时，得 ②，
①﹣②得 ．
∴ ．
又 ，得a ＝7不适合上式．
1
综上得 ；
（Ⅱ）证明：当n≥2时， ．
∴ ＝ ．
∴当n≥2时， ．
题型二：裂项相消模型
典例2：数列{a }的各项均为正数，S 为其前n项和，对于任意n N*，总有a ，S ， 成等差数列．
n n n n
（1）求数列{a }的通项公式； ∈
n
（2）设 ，数列{b }的前n项和为T ，求证： ．
n n
分析：（1）根据a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
，整理得a
n
﹣a
n﹣1
＝1（n≥2）进而可判断出数列{a
n
}是公差为1的等差数
列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）由（1）知 ，因为 ，所以 ，从而得证．
44解答：（1）由已知：对于n N*，总有2S ＝a + ①成立
n n
∈
∴ （n≥2）②
①﹣②得2a n ＝a n + ﹣a n﹣1 ﹣ ，∴a n +a n﹣1 ＝（a n +a n﹣1 ）（a n ﹣a n﹣1 ）
∵a
n
，a
n﹣1
均为正数，∴a
n
﹣a
n﹣1
＝1（n≥2）∴数列{a
n
}是公差为1的等差数列
又n＝1时，2S ＝a + ，解得a ＝1，∴a ＝n．（n N*）
1 1 1 n
∈
（2）解：由（1）可知 ∵
∴
（1）放缩的方向要一致．
（2）放与缩要适度．
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的
现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．
15．等差数列与等比数列的综合
【知识点的认识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n N+，则a ＝a +（m﹣n）d；
m n
（4）若s，∈t，p，q N*，且s+t＝p+q，则a
s
+a
t
＝a
p
+a
q
，其中a
s
，a
t
，a
p
，a
q
是数列中的项，特别地，当
s+t＝2p时，有 ∈
a+a＝2a ；
s t p
（5）若数列{a }，{b }均是等差数列，则数列{ma +kb }仍为等差数列，其中m，k均为常数．
n n n n
（6）a
n
，a
n﹣1
，a
n﹣2
，…，a
2
，a
1
仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
2a ＝a +a ，
n+1 n n+2
2a n ＝a n﹣m +a n+m ，（n≥m+1，n，m N+）
（8）a
m
，a
m+k
，a
m+2k
，a
m+3k
，…仍∈为等差数列，公差为kd（首项不一定选a
1
）．
452、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣ m ，（n，m N*）．
n m
（2）若{a
n
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m∈，n N*），则 a
k
•a
l
＝a
m
•a
n
（3）若{a
n
}，{b
n
}（项数相同）是等比数列，则{ a
n
}（∈≠0），{a}，{a
n
•b
n
}，仍是等比数列．
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q
n n
＝1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动⇔数列． ⇔
n n
16．⇔数列与三角函数的综合⇔
【知识点的认识】
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方
程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量
等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学
习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函
数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
【解题方法点拨】
事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数
列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向
量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是
建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予
以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．
17．用样本估计总体的集中趋势参数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均
数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均
数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即 ．
462．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
18．用样本估计总体的离散程度参数
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中
各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映
这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
47平均数 ＝ （98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2＝ [（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S＝ ．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【命题方向】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
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