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2025年菁优高考数学解密之抛物线
一．选择题（共10小题）
1．（2024•威海二模）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线过点 ，且与 在
第一象限的交点为 ，若 ，则
A．2 B．4 C．8 D．12
2．（2024•六盘水模拟）抛物线 的焦点坐标为
A． B． C． D．
3．（2024•唐山一模）已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心的圆与 交于 ， 两点，与
的准线交于 ， 两点，若 ，则
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2024•石家庄模拟）抛物线 的准线方程是
A． B． C． D．
5．（2024•全国）抛物线 的焦点为 ， 上的点到 的距离等于到直线 的距离，
则
A．2 B．1 C． D．
6．（2024•安庆模拟）已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2，点 ， ，
， 是抛物线 上两个不同的点，且 ，则
A． B． C． D．3
17．（2024•泰州模拟）抛物线 的准线方程为
A． B． C． D．
8．（2024•李沧区校级一模）已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，
切点分别为 ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
9．（2024•成都三模）已知点 ， 分别是抛物线 和圆 上的动点，若
抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为
A．6 B． C． D．
10．（2024•岳阳模拟）抛物线 的焦点坐标是
A． ， B． ， C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•盐湖区一模）抛物线 的焦点为 ， ， 、 ， 是抛物线上的
两个动点， 是线段 的中点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则
A．若 ，则直线 的斜率为 或
B．若 ，则
C．若 和 不平行，则
D．若 ，则 的最大值为
12．（2024•回忆版）抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 的一条
2切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则
A． 与 相切
B．当 ， ， 三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
13．（2024•博白县模拟）过抛物线 的焦点 的直线 与 相交于 ， 两点，
则
A． B． C． D．
14．（2024•永州三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与抛物线
相交于 ， 两点（点 在第一象限），过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线
的准线相交于点 ，则
A． 的最小值为2
B．当直线 的斜率为 时，
C．设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
D．过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 交直线 于点 ，则
15．（2024•齐齐哈尔模拟）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 ，
两点，其中 在第一象限，点 ，若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
3三．填空题（共5小题）
16．（2024•衡阳模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点
（点 在第一象限）， 为坐标原点）， ，则 ．
17．（2024•合肥模拟）抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以点 为圆心，以
为半径的圆与 交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，若 ，则 ．
18．（2024•天津） 的圆心与抛物线 的焦点 重合，两曲线于第一象限交
于点 ，则原点到直线 的距离为 ．
19．（2024•郑州二模）抛物线 的准线方程为 ，则实数 的值为 ．
20．（2024•德阳模拟）已知 为抛物线 的焦点，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线 相
交于不同的两点 、 ，若抛物线 在 、 两点处的切线相交于点 ，则 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•四川模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线交于 ，
两点， 为 的中点，且点 到抛物线的准线距离的最小值为2．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设抛物线在 ， 两点的切线相交于点 ，求点 的横坐标．
22．（2024•安徽模拟）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为 的准线 上一
点，直线 的斜率为 ， 的面积为 ．已知 ， ，设过点 的动直线与抛物线
交于 、 两点，直线 ， 与 的另一交点分别为 ， ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）当直线 与 的斜率均存在时，讨论直线 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
423．（2024•凉山州模拟） 为抛物线 上一点，过 作两条关于 对称的直线分别交
于 ， ， ， 两点．
（1）求 的值及 的准线方程；
（2）判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
24．（2024•河南模拟）设抛物线 的焦点为 ， ， 是 上一点且
，直线 经过点 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）①若 与 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若 与 在第一象限内的两个不同交点为 ， ，且 关于原点 的对称点为 ，证明：直线 ，
的倾斜角之和为 ．
25．（2024•湖北模拟）已知抛物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交于两点 ， ，当
直线 的倾斜角为 时， ．
（1）求抛物线 的标准方程和准线方程；
（2）记 为坐标原点，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，求证：以 为直径的圆过定
点，并求出定点坐标．
52025年菁优高考数学解密之抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•威海二模）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线过点 ，且与 在
第一象限的交点为 ，若 ，则
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】过点 作 轴的垂线，垂足为 ，利用斜率求出点 的坐标，然后代入抛物线方程即可得解．
【解答】解：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，
则 ，
所以点 坐标为 ，
代入 得 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去）．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的性质，属基础题．
62．（2024•六盘水模拟）抛物线 的焦点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的性质
【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】直接利用抛物线的简单性质求解即可．
【解答】解：抛物线 的焦点坐标为 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
3．（2024•唐山一模）已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心的圆与 交于 ， 两点，与
的准线交于 ， 两点，若 ，则
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】方程思想；转化思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据抛物线及圆的几何性质易得圆 的半径，再利用抛物线的焦半径公式求出 点的横坐标，
从而可得 点纵坐标，即可求解．
【解答】解： 抛物线 方程为： ，
， 焦点 为 ，准线方程为 ，
圆心 到准线的距离为 ，又 ，
圆 的半径为 ，
，即 ， ，
，代入 中可得 ，
．
7故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，圆的几何性质，方程思想，属基础题．
4．（2024•石家庄模拟）抛物线 的准线方程是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】抛物线 的开口向左，且 ，由此可得抛物线 的准线方程．
【解答】解：抛物线 的开口向左，且 ，
抛物线 的准线方程是
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．（2024•全国）抛物线 的焦点为 ， 上的点到 的距离等于到直线 的距离，
则
A．2 B．1 C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径
【专题】综合法；转化思想；数学运算；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得 ，可得抛物线
的方程；
【解答】解：抛物线 的焦点 ， ，准线方程为 ，
上的点到 的距离等于到直线 的距离，可得 ，解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
6．（2024•安庆模拟）已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2，点 ， ，
8， 是抛物线 上两个不同的点，且 ，则
A． B． C． D．3
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法
【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．
【解答】解：已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，
则 ，
即抛物线 的方程为 ，
又点 ， ， ， 是抛物线 上两个不同的点，且 ，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
7．（2024•泰州模拟）抛物线 的准线方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】求抛物线的准线方程
【专题】数学运算；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
9【分析】根据抛物线的性质得出准线方程．
【解答】解： 抛物线方程可化为 ， ，
抛物线 的准线方程为 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
8．（2024•李沧区校级一模）已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，
切点分别为 ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；综合法；数学运算
【分析】设 ，由 取得最小值时， 最大， 最小即可求解．
【解答】解：如图所示：
因为 ， ，
设 ，则 ，
当 时， 取得最小值 ，此时， 最大， 最小，
10且 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合知识，考查计算能力，属于中档题．
9．（2024•成都三模）已知点 ， 分别是抛物线 和圆 上的动点，若
抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为
A．6 B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直线与圆；转化思想；数学运算
【分析】设点 的坐标为 ， ， 是 轴上一点，令 ，可解得 ，进而
，最后运用两点的距离公式及三角形的性质可求解．
【解答】解：设点 的坐标为 ， ， 是 轴上一点，
由抛物线的性质知点 的坐标为 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
将 ，代入化简得 ，
即点 满足 ，
所以 ，
设点 坐标为 ， ，
所以 ．
故选： ．
11【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查两点的距离公式，考查三角形的基础知识，属于中档题．
10．（2024•岳阳模拟）抛物线 的焦点坐标是
A． ， B． ， C． D．
【答案】
【考点】抛物线的性质
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用抛物线的标准方程，转化求解即可．
【解答】解：抛物线 的开口向上， ，所以抛物线的焦点坐标 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•盐湖区一模）抛物线 的焦点为 ， ， 、 ， 是抛物线上的
两个动点， 是线段 的中点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则
A．若 ，则直线 的斜率为 或
B．若 ，则
C．若 和 不平行，则
D．若 ，则 的最大值为
【答案】
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】设直线 的方程为 ，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出 的
值，可判断 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断 选项；利用三角形三边关系可判断 选项；利用
余弦定理、基本不等式可判断 选项．
【解答】解：易知抛物线 的焦点为 ，
12对于 选项，若直线 与 轴垂直，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
因为 ，则 在直线 上，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则△ ，
由韦达定理可得 ， ，
因为 ，即 ，可得 ，即 ，
所以， ，可得 ， ，解得 ，
此时，直线 的斜率为 ， 对；
对于 选项，当 时，则 在直线 上， ，
则 ， 对；
对于 选项，当 和 不平行时，则 、 、 三点不共线，
所以， ， 错；
对于 选项，设 ， ，
当 时， ，
由 选项可得 ，
所以，
，
即 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ， 对．
故选： ．
13【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查圆锥曲线中的最值问题解决方法，是中档
题．
12．（2024•回忆版）抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 的一条
切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则
A． 与 相切
B．当 ， ， 三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】选项 中，抛物线的准线为 ，判断是圆 的一条切线；
选项 中，当 、 、 三点共线时，求出点 ，计算 即可；
选项 中，当 时， 与 并不垂直；
选项 中，由 得出 在 的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
【解答】解：对于 ，抛物线 的准线为 ，是 的一条切线，选项 正确；
对 于 ， 的 圆 心 为 ， 当 、 、 三 点 共 线 时 ， ， 所 以
，选项 正确；
对于 ，当 时， 或 ，对应的 或 ，
14当 时， ， ， 与 不垂直，
当 时， ， ， 与 不垂直，选项 错误；
对于 ，焦点 ，由抛物线的定义知 ，则 等价于 在 的中垂线上，
该直线的方程为 ，它与抛物线有两交点，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
13．（2024•博白县模拟）过抛物线 的焦点 的直线 与 相交于 ， 两点，
则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想
【分析】由焦点的坐标即可判断 ；结合抛物线的定义，即可判断 ；由平面向量的坐标运算，结合韦
达定理即可判断 ．
【解答】解：由题意可得 ，即 ，所以 ，故 正确， 错误；
设 ， ， ， ，联立直线与抛物线方程 ，
消去 整理得 ，则 ， ，
所以 ，故 正确；
又 ，
则
，故 正确．
15故选： ．
【点评】本题考查抛物线的定义与性质，属于基础题．
14．（2024•永州三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与抛物线
相交于 ， 两点（点 在第一象限），过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线
的准线相交于点 ，则
A． 的最小值为2
B．当直线 的斜率为 时，
C．设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
D．过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 交直线 于点 ，则
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】对于 ，利用 即可判断；
对于 ，将 代入 即可判断；
对于 ，求出 与 的斜率即可求解；
对于 ，证明 即可．
【解答】解：由题意可设直线 方程为 ，且 ， ， ， ，
由 联立得 ，故 ， ；
对于 ，由抛物线定义知 ， ，
故 ，
当等号成立时 ，不符合题意，故 错误；
16对于 ，由 知 ， 正确；
对于 ， ， ，故 ， ，
故 ，由 ， ，
得 ，故 正确；
对于 ，直线 的方程为 ，令 ，得 ，
故 ，
故 为 的中点，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质以及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
15．（2024•齐齐哈尔模拟）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 ，
两点，其中 在第一象限，点 ，若 ，则
17A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】综合法；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；转化思想
【分析】由 ，以及抛物线方程求得 ， ，再由斜率公式判断 ；表示出直线 的
方程，联立抛物线求得 ， ，即可求出 判断 ；由抛物线的定义求出 ，即可
判断 ；由 ，求得 ， 为钝角，可判断 ．
【解答】解：对于 ，易得 ， ，由 ，可得 在 的垂直平分线上，则 的横坐标
为 ，
代入抛物线可得 ，即 ， ，则直线 的斜率为 ，故 正确；
对于 ：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ， ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，
则 ， ， ，故 错误；
对于 ，故 正确；
， ， ，则 为钝角，
18又 ， ， ，则 为钝角，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•衡阳模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点
（点 在第一象限）， 为坐标原点）， ，则 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】方程思想；运算求解；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】由题意可得直线 的斜率和直线方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的焦半径
公式，解方程可得 ，可得所求值．
【解答】解： 的焦点为 ， ，准线方程为 ，
由 ，可得直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
代入抛物线的方程可得 ，即为 ，
设 ， ， ， ，可得 ， ，
由 ，可得 ，
解得 ， ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能
力，属于基础题．
1917．（2024•合肥模拟）抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以点 为圆心，以
为半径的圆与 交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，若 ，则 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由向量相等推得 ，由抛物线的定义推得四边形 为
菱形，再由两点的距离公式求得 的纵坐标，可得所求值．
【解答】解：抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
设 ， ， ，
由 ，可得 ，垂足为 ，且 ，
由抛物线的定义可得 ，
且四边形 为菱形， ，
， ， ．
由 ，解得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（2024•天津） 的圆心与抛物线 的焦点 重合，两曲线于第一象限交
于点 ，则原点到直线 的距离为 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解
20【分析】推导出 ，从而 ，进而 ，联立 ，得 ，求出直线 的
方程为 ，由此能求出原点到直线 的距离．
【解答】解： 的圆心与抛物线 的焦点 重合，
， ，
，
联立 ，得 或 ，
两曲线与第一象限交于点 ， ，
直线 的方程为 ，即 ，
原点到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查圆心坐标、抛物线方程、直线方程、点到直线距离等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
19．（2024•郑州二模）抛物线 的准线方程为 ，则实数 的值为 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；数学运算；综合法
【分析】由焦点在 轴上的抛物线的准线方程可得所求值．
【解答】解：抛物线 的准线方程为 ，
由题意可得 ，
解得 ．
21故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
20．（2024•德阳模拟）已知 为抛物线 的焦点，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线 相
交于不同的两点 、 ，若抛物线 在 、 两点处的切线相交于点 ，则 4 ．
【答案】4．
【考点】抛物线的切线方程及性质；利用导数求解曲线在某点上的切线方程；直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；综合法；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【 分 析 】 设 ， ， ， ， 设 直 线 ， 代 入 抛 物 线 方 程 ， 消 去 得
，根据韦达定理可得 ， ，根据导数的几何意义可得切线方程，求
出点 的坐标，即可求出 的值．
【解答】解：设 ， ， ， ，抛物线 在 、 两点处的切线为 ， ，
由 ，且直线 的倾斜角为 ，
因此，设直线 ，
代入抛物线方程，消去 得， ，
则 ， ，
所以 ，
由抛物线 ，可得 ，
对 求导数，得到 ，
则抛物线 在 ， 两点处的切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
22即 ，①
则直线 的方程为 ，
即 ，②，
由①②解得 ， ，
所以点 的坐标为 ，
根据两点间距离公式： ．
故答案为：4．
【点评】本题考查了抛物线的方程，重点考查了韦达定理及导数的几何意义，属中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•四川模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线交于 ，
两点， 为 的中点，且点 到抛物线的准线距离的最小值为2．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设抛物线在 ， 两点的切线相交于点 ，求点 的横坐标．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法
【分析】（1）设直线 ，与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式出最小值即可求解；
（2）设切线方程与抛物线联立，由判别式等于0化简切线方程，并求出交点坐标即可求解．
【解答】解：（1）由题知直线 的斜率不为0，
23设直线 ，
联立 ，
得 ，
则△ ， ，
由抛物线的定义，知点 到抛物线准线的距离 ，
所以当 时， ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）由题易知抛物线在 ， 两点处的切线与坐标轴不垂直，
设在点 ， 处的切线方程为 ，
即 ，
联立 ，
得 ，
则△ ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
即 ，
同理可得抛物线在点 ， 处的切线方程为 ，
24设 ， ，
由 ，
得 ，
由（1）知 ，
所以 ，
所以点 的横坐标为 ．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了焦点弦长公式及直线的方程，属中档题．
22．（2024•安徽模拟）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为 的准线 上一
点，直线 的斜率为 ， 的面积为 ．已知 ， ，设过点 的动直线与抛物线
交于 、 两点，直线 ， 与 的另一交点分别为 ， ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）当直线 与 的斜率均存在时，讨论直线 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
25【答案】（1） ；（2）直线 过定点 ．
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想
【分析】（Ⅰ）求得直线 的斜率和三角形 的面积，解方程可得 ，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）分别求得直线 ， 的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和三点共线的性质，结合直
线恒过定点可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设准线 与 轴的交点为 ，
直线 的斜率为 ， ，又 ，
，解得 ，
故抛物线 的方程为： ．
（Ⅱ）设 ， ， ， ，
过点 的直线 的方程为： ．
则联立 ，整理得： ，
由韦达定理可得： ， ．
又设 ， ， ， ，
可得 的直线方程为： ，
由 ， ， 三点共线可得： ，
26化简可得： ，
同理，由 ， ， 三点共线可得： ，
可得 ，
，
综上可得 的直线方程为： ，
变形可得： ，所以直线 过定点 ．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属
于中档题．
23．（2024•凉山州模拟） 为抛物线 上一点，过 作两条关于 对称的直线分别交
于 ， ， ， 两点．
（1）求 的值及 的准线方程；
（2）判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；
27（2）是定值； ．
【考点】抛物线的定点及定值问题
【专题】综合法；计算题；数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）将点 代入抛物线方程求 的值，利用抛物线方程求准线方程；
（2）设直线 的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，直线 与 对称可知，直线 与 斜
率互为相反数，可证明直线 斜率为定值．
【解答】解：（1）根据题意可得 ，得 ，
故所求抛物线 方程为 ，抛物线 的准线方程为 ．
（2）由题意不妨设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程可得 ，消去 得： ，△ ，
由韦达定理得 ，
因为直线 与 关于 对称， ，且 ，
所以 ，即 ，
即 ，由韦达定理得 ，
所以直线 的斜率为定值 ．
28【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
24．（2024•河南模拟）设抛物线 的焦点为 ， ， 是 上一点且
，直线 经过点 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）①若 与 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若 与 在第一象限内的两个不同交点为 ， ，且 关于原点 的对称点为 ，证明：直线 ，
的倾斜角之和为 ．
【答案】（1） ；
（2）① ；②证明见解析．
【考点】根据抛物线上的点求抛物线的标准方程；抛物线的定点及定值问题
【专题】向量与圆锥曲线；整体思想；综合法；数学运算
【分析】（1）由 化简得 ，再根据定义得 ，代入即可的抛
物线方程；
（2）①设切点坐标为 ，通过导数求出切线方程 ，将点 代入即可；②设
直 线 的 方 程 为 ， ， ， 联 立 得
， ，然后计算 即可．
【解答】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 是 上一点，
29所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）解：①设切点坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
将 代入上式，得 ，
所以 ，
所以切点坐标为 ．
②证明：由①得，直线 ， 的斜率都存在，
要证：直线 ， 的倾斜角之和为 ，
只要证明：直线 ， 的斜率之和为0．
设直线 的方程为 ， ， ， ，
则 ， ，
由 得 ，
30所以 ， ，
又△ ，
即 ，
所以 ，
即直线 ， 的倾斜角之和为 ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
25．（2024•湖北模拟）已知抛物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交于两点 ， ，当
直线 的倾斜角为 时， ．
（1）求抛物线 的标准方程和准线方程；
（2）记 为坐标原点，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，求证：以 为直径的圆过定
点，并求出定点坐标．
【答案】（1）抛物线的方程为 ，准线方程为 ．
（2）证明见解析，定点坐标为 和 ．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径
【专题】数学运算；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）根据已知得出直线 的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可
得出 ；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程根据韦达定理得出 ， 的关系．进而表示出 ， 的
方程，求出 ， 的坐标，得出圆的方程．取 ，即可得出定点坐标．
31【解答】解：（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为 ，直线 的方程为 ，
联立抛物线与直线的方程 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以抛物线的方程为 ，准线方程为 ．
（2）证明：设直线 ，
联立直线与抛物线的方程 ，可得 ，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，
同理可得 ，
设圆上任意一点为 ，
则由 ，可得圆的方程为 ，
整理可得 ，
32令 ，可得 或 ，
所以 为直径的圆过定点，定点坐标为 和 ．
【点评】直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为 0，得出方程，求解即可
得出求出定点的坐标．
33考点卡片
1．利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．
﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．
【命题方向】
常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．
曲线y＝ 在点（2， ）处的切线方程为_____．
解：由题意得 ，
则曲线在点（2， ）处的切线斜率k＝y'|
x＝2
＝ ＝﹣ ，
故曲线 在（2， ）处的切线方程为y﹣ ＝﹣ （x﹣2），即6x+25y﹣32＝0．
故答案为：6x+25y﹣32＝0．
2．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（ ，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0， ），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
34图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 y轴
焦点在x轴长上 焦点在y轴长上
焦点
（ ，0） （0， ）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线
x＝﹣ y＝﹣
3．根据抛物线上的点求抛物线的标准方程
【知识点的认识】
已知抛物线上的点（x ，y ），可以代入标准方程y2＝2px或x2＝2py来求解p的值．
1 1
【解题方法点拨】
1．代入点坐标：将点（x ，y ）代入抛物线方程．
1 1
2．解出p：通过方程解得p的值，确定抛物线的标准方程．
【命题方向】
﹣给定点坐标，计算抛物线的标准方程．
﹣利用点坐标确定抛物线参数p．
4．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
355．求抛物线的准线方程
【知识点的认识】
准线是与焦点平行的直线，距离焦点的距离等于p．准线的方程为 或 根据抛物线的对称轴决
定．
【解题方法点拨】
1．确定准线的位置：准线的方程取决于p的值．
2．代入标准方程：使用p计算准线的方程．
【命题方向】
﹣给定抛物线参数，求准线的方程．
﹣根据抛物线的标准方程确定准线方程．
6．直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交 Δ＞0；
直线与抛物线相切⇔Δ＝0；
直线与抛物线相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】⇔
研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形
式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同
时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．
36直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组 的解的个数．
（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一
个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，
设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一
个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
【命题方向】
掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系
提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以
课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往
往是高考考试的热点．
7．抛物线的切线方程及性质
【知识点的认识】
抛物线的切线方程可以通过点斜式或标准方程表示．对于y2＝2px，切线方程为 ；对于x2＝2py，
切线方程为 ．
【解题方法点拨】
1．计算切线方程：根据给定点或斜率求解切线方程．
2．分析切线性质：使用标准方程验证切线的性质．
【命题方向】
﹣给定切点或斜率，求抛物线的切线方程．
﹣分析切线的性质及其在抛物线上的几何位置．
8．抛物线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离．
【解题方法点拨】
1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度．
2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离．
37【命题方向】
﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径．
﹣分析焦点弦和焦半径的性质．
9．抛物线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题涉及到抛物线上点到固定点或直线的距离问题．定值问题通常涉及求解某点到焦点或准线的最
值．
【解题方法点拨】
1．计算定点距离：利用抛物线方程计算点到定点的距离．
2．应用定值：解决与定值相关的几何问题．
【命题方向】
﹣给定抛物线的定点和定值，求解相关问题．
﹣分析定点问题的几何特征及应用．
10．圆与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
38图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c a2+b2＝c2
1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝1 ± ＝1
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