文档内容
2025年菁优高考数学解密之平面向量及其应用
一．选择题（共10小题）
1．（2024•长沙模拟）在△ 中， 为边 上一点， ， ， ，且△
的面积为 ，则
A． B． C． D．
2．（2024•盐湖区一模）已知△ 所在平面内一点 ，满足 ，则
A． B． C． D．
3．（2024•平谷区模拟）在 中，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024•和平区二模）平面四边形 中， ， ， ， ，则
的最小值为
A． B． C． D．
5．（2024•扬州模拟）已知三个单位向量 ， ， 满足 ，则向量 ， 的夹角为
A． B． C． D．
6．（2024•保定三模）已知△ 是边长为 的正三角形，点 是△ 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．
7 ． （ 2024• 射 洪 市 模 拟 ） 在 中 ， 点 为 线 段 上 任 一 点 （ 不 含 端 点 ） ， 若
1，则 的最小值为
A．9 B．8 C．4 D．2
8．（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆 的圆心为正六边形的中心，若点
在正六边形的边上运动，动点 ， 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．（2024•浙江一模）设 ， 是单位向量，则 的最小值是
A． B．0 C． D．1
10．（2024•重庆模拟）已知 ， ， ， ， ，则
的最大值为
A． B．4 C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•湖北模拟）在 中， ， ， 所对的边为 ， ， ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
212．（2024•菏泽模拟）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，向量 ，且 与 夹
角 ，则向量 可以为
A． B． C． D．
13．（2024•兰陵县模拟）定义运算 ．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，若 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是
A．
B．
C．角 的最大值为
D．若 ，则 为钝角三角形
14．（2024•博白县模拟）在 中， ， ，则下列结论正确的是
A．若 ，则 有两解
B． 周长有最大值6
C．若 是钝角三角形，则 边上的高 的范围为
D． 面积有最大值
15．（2024•肇庆模拟）若 的三个内角 ， ， 的正弦值为 ， ， ，则
A． ， ， 一定能构成三角形的三条边
B． 一定能构成三角形的三条边
C． ， ， 一定能构成三角形的三条边
D． 一定能构成三角形的三条边
三．填空题（共5小题）
16．（2024•河南模拟）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，若
3， 为 中点，则 ．
17．（2024•泸州模拟）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ．
18．（2024•江西二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
．
19．（2024•静安区二模）若单位向量 、 满足 ，则 ．
20．（2024•重庆模拟）已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
，则 的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•长安区一模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
22．（2024•一模拟）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 是 边上的高．
．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ．
23 ． （ 2024• 大 通 县 二 模 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
24．（2024•江西一模）在 中，已知内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为
4，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
25．（2024•曲靖模拟）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）线段 上一点 满足 ，求 的长度．
52025年菁优高考数学解密之平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•长沙模拟）在△ 中， 为边 上一点， ， ， ，且△
的面积为 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形
【分析】由已知，解得 ，得△ 为等腰三角形，在△ 中，由正弦定理得 ，
从而得 ，再由两角差的正弦公式即可求得结论．
【解答】解：由题意，
，解得 ，
所以△ 为等腰三角形，
则 ，故 ，
在△ 中，由正弦定理得 ，
即 ，得 ，
因为 ，所以 为锐角，
故 ，
6故
．
故选： ．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题．
2．（2024•盐湖区一模）已知△ 所在平面内一点 ，满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解
【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出 关于 、 的表达式．
【解答】解：因为 ，
即 ，
即 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
3．（2024•平谷区模拟）在 中，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】11：计算题；35：转化思想； ：转化法；56：三角函数的求值； ：简易逻辑；62：逻辑推
理；65：数学运算
【分析】在 中，由“ ” 或 ，即 或 ；由“
7” ，则 ，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：在 中，若 ，则 或 ，即 或 ，
故在 中，“ ”推不出“ ”；
若 ，则 ，则 ，
故在 中，“ ” “ ”；
故在 中，“ ”是“ ”必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数在三角形中应用，及充分必要条件的定义，属于中档题．
4．（2024•和平区二模）平面四边形 中， ， ， ， ，则
的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用
【分析】由已知，得 ， ， ， 四点共圆，从而判断点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的劣
弧（不含 ， 两点），根据数量积的几何意义，得出结论．
【解答】解：由 ， ， ，
可得 ，故 ，
又 ，所以 ，
以 为直径作圆，则 ， ， ， 四点共圆，
如图所示，故点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的劣弧（不含 ， 两点），
则 ，
8又 表示 在 上的投影数量，
由图可知， ， ，
故 （此时点 在劣弧 的中点位置），
即 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
5．（2024•扬州模拟）已知三个单位向量 ， ， 满足 ，则向量 ， 的夹角为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】将 两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ， ， ，
由题意可知， ，
，
则 ，解得 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
96．（2024•保定三模）已知△ 是边长为 的正三角形，点 是△ 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】
【考点】两个平面向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解．
【解答】解：以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，
则 ，
设 ，因为 ，所以 ，
化简得： ，所以点 的轨迹方程为 ，
设圆心为 ，则 ，由圆的性质可知当 过圆心时， 最小，
又因为 ，所以 得最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算和圆的相关知识，属于中档题．
7 ． （ 2024• 射 洪 市 模 拟 ） 在 中 ， 点 为 线 段 上 任 一 点 （ 不 含 端 点 ） ， 若
，则 的最小值为
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】
10【考点】平面向量的基本定理
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】利用 ， ， 三点共线，得到 ，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解： ， ， 三点共线， ，
，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为9，
故选： ．
【点评】本题考查平面向量共线定理，基本不等式的应用，属于中档题．
8．（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆 的圆心为正六边形的中心，若点
在正六边形的边上运动，动点 ， 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；整体思想；平面向量及应用；综合法
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得 ，再由 的范围，即可
11得到结果．
【解答】解：由题意可得：
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
当点 运动到正六边形的顶点时， ，
所以 ，
则 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
9．（2024•浙江一模）设 ， 是单位向量，则 的最小值是
A． B．0 C． D．1
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；对应思想；平面向量及应用
【分析】由向量的数量积运算及三角函数的有界性计算即可．
【解答】解：因为 ， 是单位向量，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
1210．（2024•重庆模拟）已知 ， ， ， ， ，则
的最大值为
A． B．4 C． D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】由题意首先得出 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转
换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可．
【解答】解：如图所示：
不妨设 ，
满足 ， ， ，
又 ，即 ，
由椭圆的定义可知点 在以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为 ，
13而 ，即 ，即 ，
这表明了点 在圆 上面运动，其中点 为圆心， 为半径，
又 ，等号成立当且仅当 ， ， 三点共线，
故只需求 的最大值即可，
因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设 ，
所以 ，
所以当 且 ， ， 三点共线时，
有最大值 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•湖北模拟）在 中， ， ， 所对的边为 ， ， ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
【答案】
【考点】正弦定理
【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法
【分析】对于 ，由余弦定理可求 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
对于 ，由已知利用基本不等式可求得 ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
对于 ，由题意可得 ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解．
对于 ，利用基本不等式可求得 ，利用余弦定理可求 ，结合范围 ，利用余弦函
14数的性质即可求解．
【解答】解：对于 ，若 ， ， ，
由余弦定理 ，可得 ，可得 ，
所以 的面积为 ，故 正确；
对于 ，因为 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，可得
，
所以 的面积为 ，故 正确；
对于 ，因为 边上的中点为 ，可得 ，
所以两边平方，可得 ，
可 得 ， 解 得
，故 正确；
对于 ，因为 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
因为 ，可得 ， ，
所以 的最大值为 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦
15函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12．（2024•菏泽模拟）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，向量 ，且 与 夹
角 ，则向量 可以为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量的投影向量
【专题】平面向量及应用；转化法；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：向量 ，
则 ，
向量 在向量 方向上的投影向量为 ， 与 夹角 ，
则 ，解得 ，
故 ，
对于 ，满足 ， ，符合题意，故 正确；
对于 ， ，不符合题意，故 错误；
对于 ， ，不符合题意，故 错误；
对于 ，满足 ， ，符合题意，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，以及向量的数量积运算，是基础题．
13．（2024•兰陵县模拟）定义运算 ．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
16，若 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是
A．
B．
C．角 的最大值为
D．若 ，则 为钝角三角形
【答案】
【考点】行列式；正弦定理；解三角形
【专题】解三角形；整体思想；数学运算；综合法
【分析】由新定义运算得 ，对于选项 ：由正弦定理边化角后知 正确；对
于选项 ：可举反例进行判断；对于选项 ：结合余弦定理及基本不等式，可求得 ，可知 正
确；对于选项 ：结合条件可得 ，计算 即可判断出 为钝角．
【解答】解：由 可知 ，
整理可知 ，
由正弦定理可知： ，
即选项 正确；
因为 满足 ，
但不满足 ，
即选项 不正确；
由 （当且仅当 时取“ ” ，
又 ，
所以 的最大值为 ，
即选项 正确；
由 可得 ，
解得 ，
17又 ，
从而可得 为最大边，
则 ，
即角 为钝角，
即选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题．
14．（2024•博白县模拟）在 中， ， ，则下列结论正确的是
A．若 ，则 有两解
B． 周长有最大值6
C．若 是钝角三角形，则 边上的高 的范围为
D． 面积有最大值
【答案】
【考点】正弦定理；三角形中的几何计算；解三角形
【专题】分类讨论；解三角形；数学运算；综合法
【分析】 选项，根据 得到结论，判断出 的真假； 选项，由余弦定理和基本不等式求
出周长的最大值，判断出 的真假； 选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得 在
或 上， 边上的高 的范围为 ； 选项，在 选项的基础上求出面积最大值．
【解答】解： 选项， ，故 ，故 有两解， 正确；
选项，由余弦定理得 ，
即 ，化简得 ，
由基本不等式得 ，故 ，
当且仅当 时，等号成立，
18解得 ，故 的周长最大值为 ， 错误；
选项，由正弦定理得 ，故 的外接圆半径为2，
如图所示，将 放入半径为2的圆中，其中 ， ，
故 ，
是钝角三角形，故 在 或 上，
故 边上的高 的范围为 ， 正确；
选项，由 选项可知，当 落在 的中点时， 边 上的高 最大，
其中 ，
此时高 为 ，面积最大值为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
15．（2024•肇庆模拟）若 的三个内角 ， ， 的正弦值为 ， ， ，则
A． ， ， 一定能构成三角形的三条边
B． 一定能构成三角形的三条边
C． ， ， 一定能构成三角形的三条边
D． 一定能构成三角形的三条边
【答案】
19【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理
【专题】逻辑推理；转化思想；计算题；解三角形；综合法；三角函数的求值；数学运算
【分析】根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解．
【解答】解：对于 ，由正弦定理得 ，
所以 ， ， 作为三条线段的长一定能构成三角形，故 正确，
对于 ，由正弦定理得 ，
例如 ， ， ，则 ，
由于 ， ，故不能构成三角形的三条边长，故 错误，
对于 ，由正弦定理得 ，
例如： 、 、 ，则 、 、 ，
则 ， ， ， 作为三条线段的长不能构成三角形，故 不正确；
对于 ，由正弦定理可得 ，不妨设 ，则 ，故
，且 ，
所以 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•河南模拟）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，若
， 为 中点，则 ．
【考点】余弦定理；解三角形
【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算
【分析】由已知结合余弦定理先求出 ，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：因为△ 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
20即 ，
所以 ，
为 中点，则 ，
所以
，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（2024•泸州模拟）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 1 ．
【答案】1．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】整体思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】对 两边平方结合已知化简可求出 的值．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：1．
【点评】本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（2024•江西二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
1 0 ．
【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面向量的基本定理
【专题】转化思想；方程思想；计算题；数学运算；平面向量及应用；综合法
21【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得 ，由平面向量基本定理可得 、 的值，
进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在 中，已知 ，则 ，
由于 为线段 的中点，则 ，
故 ， ，
则有 ．
故答案为：10．
【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
19．（2024•静安区二模）若单位向量 、 满足 ，则 2 ．
【答案】2．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；平面向量及应用；整体思想
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
【解答】解：单位向量 、 满足 ，
则 ，
则 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
20．（2024•重庆模拟）已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
22，则 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【考点】平面向量的基本定理
【专题】数学运算；转化思想；平面向量及应用；向量法
【分析】取 的中点 ，由题意得 ，从而推得 ， ， 三点共线，进而得出
，即可求得结论．
【解答】解：取 的中点 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ，故 ， ， 三点共线，
即点 在中线 上运动，
在正三角形 中， ，
又 ， ，则 ，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•长安区一模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
【考点】基本不等式及其应用；解三角形
【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；转化法；解三角形；不等式
23【分析】（1）先利用边角互化将 转化为关于 的方程，求出 ．
（2）因为 已知，所以求面积的最小值即为求 的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
【解答】解：（1）因为 ．
由正弦定理得 ．
显然 ，所以 ．
所以 ， ．
所以 ， ．
（2）依题意 ， ．
所以 时取等号．
又由余弦定理得 ． ．
当且仅当 时取等号．
所以 的周长最小值为 ．
【点评】本题主要考查解三角形、基本不等式等知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学
核心素养，属于中档题．
22．（2024•一模拟）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 是 边上的高．
．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1） ；
（2）6．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】解三角形；综合法；数学运算；计算题；转化思想
24【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得 ，利用余弦定理可得 ，结合
，即可求解 的值；
（2）由题意利用三角函数恒等变换可求 ，设 ， ， ，可得
， ，由题意可得 ，又 ，解得： ， ，利用三角函数恒等
变换的应用即可求解．
【解答】解：（1）因为 ，
利用正弦定理可得 ，可得 ，
利用余弦定理 ，
由于 ，
所以 ；
（2）因为 ，可得 ①，
又 ，可得 ②，
由①②得： ， ，
所以 ，可得 ，即 ③，
在 中， ，设 ， ， ，
则 ，
25，
所以由③可得 ，整理得： ，
由于： ，
解得： ， ，
由于： ，
所以： ，可得 ，整理可得 ，
解得： 或 （舍去），即 ．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的
运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23 ． （ 2024• 大 通 县 二 模 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】解三角形；余弦定理；正弦定理
【专题】数学运算；综合法；转化思想；解三角形
26【分析】（1）由题意及余弦定理得到 ，再由正弦定理将边化角，即可得到
，最后由辅助角公式计算可得；
（2）由正弦定理可得 ，由余弦定理求出 、 ，最后由面积公式计算可得．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则 ；
（2）因为 ，由正弦定理可得 ，又 ，
由 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
2724．（2024•江西一模）在 中，已知内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为
，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理
【专题】数学运算；综合法；解三角形；整体思想
【分析】（1）由 得 ，再结合余弦定理从而可求解．
（2）由 利用向量可得 ，并结合 得 ，再由
，从而可求解．
【解答】解：（1）由题可得： ，故 ，
又 ，即 ，
，即 ，
在 中，根据余弦定理得 ，
即 ，
，即 ；
（2） ， ，
28，即 ，
又 ， ①，
又 ②，
由①②得： ，
．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属
于中档题．
25．（2024•曲靖模拟）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）线段 上一点 满足 ，求 的长度．
【考点】正弦定理；解三角形
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）由余弦边角关系及已知得 ，再由余弦定理即可求 ； （2）由题设得
，且 ， ， ，在 ， 应用正弦定理得 ，
， ，即可求 的长度．
【解答】解：（1）由题设及余弦定理知： ，
所以 ，又 ， ，
所以 ；
（2）由题设 ，且 ， ， ，
29在 中，由正弦定理得， ，
则 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ，
则 ，
综上，可得 ， ，
则 ，
故 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
30考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
31例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
32基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
33【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
34技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
3．两个平面向量的和或差的模的最值
35【知识点的认识】
向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是
向量．当两个向量相加时，有| + |≤| |+| |，当且仅当 与 方向相同时取得到等号；也有| + |≥|| |﹣|
||，当且仅当 与 方向相反时取得到等号．
另外还有| ﹣ |≤| |+| |，当且仅当 与 方向相反时取得到等号．；| ﹣ |≥|| |﹣| ||，当且仅当 与
方向相同时取得到等号．
【解题方法点拨】
例：定义 * ＝| || |sin ， 是向量 和 的夹角，| |，| |是两向量的模，若点A（﹣3，2），B（2，
θ θ
3），O为坐标原点，则 * ＝（ ）
解：∵A（﹣3，2），B（2，3），
∴ ＝﹣3×2+2×3＝0，
∴sin ＝1．
θ
∴ * ＝ ＝ ＝13．
点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口．其实这个题求的就是他们的最
大值，只是多了一个确认的步奏．
【命题方向】
向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点，大家要引起重视，特别是新大纲还增加了向量的知识
点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点．
4．平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量 的积是一个向量，记作 ，它的大小为| |＝| || |，其方向与 的正负有关．若| |
λ λ λ λ λ
≠0，当 ＞0时， 的方向与 的方向相同，当 ＜0时， 的方向与 的方向相反．
λ λ λ λ
当 ＝0时， 与 平行．
λ λ
对于非零向量a、b，当 ≠0时，有 ∥ ＝
λ ⇔ λ
36（2）向量数乘运算的法则
①1 ＝ ；（﹣1） ＝ ；
②（ ） ＝ （ ） ＝ （ ）；
λμ λ μ μ λ
③（ + ） ＝ + ；
λ μ λ μ
④ （ + ）＝ + ．
λ λ λ
一般地， + 叫做 ， 的一个线性组合（其中， 、 均为系数）．如果 ＝ + ，则称 可以用 ，
λ μ λ μ λ μ
线性表示．
5．平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量 ， 如果以O为起点，作 ＝ ， ＝ ，那么射线OA，OB的夹角 叫做向量 与
θ
向量 的夹角，其中0≤ ≤ ．
θ π
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量 ， 的夹角为 ，那么我们把| || |cos 叫做 与 的数量积，记做
θ θ
即： ＝| || |cos ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： • ＝0．
θ
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cos 决定；
θ
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤ ≤ ．
θ π
（2）投影： 在 上的投影是一个数量| |cos ，它可以为正，可以为负，也可以为0
θ
（3）坐标计算公式：若 ＝（x ，y ）， ＝（x ，y ），则 ＝x x +y y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
373、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义： 与 的数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| |cos 的积．
θ
6．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
38（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
39∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
7．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来
求一个向量在另一个向量上的分解．
设 ， 是两个非零向量， ， ，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的
垂线，垂足分别为A ，B ，得到A B ，称上述变换为向量 向向量 投影，A B 叫做向量 在向量 上的
1 1 1 1 1 1
投影向量．
40向量 在向量 上的投影向量是 ．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把 叫作向量 在向量 上的投影．那么投影
向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量 在向量 上的投影向量为 （其中 为与 同向的单位向量），它是一个向量，且
与 共线，其方向由向量 和 夹角 的余弦值决定．
θ
（2）注意： 在 方向上的投影向量与 在 方向上的投影向量不同， 在 方向上的投影向量为
．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角
或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
8．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e 、e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 ，有且仅有一对实数 、 ，使
1 2 1 2
λ λ
．
2、基底：不共线的e 、e 叫做平面内表示所有向量的一组基底．
1 2
3、说明：
41（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
9．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量 与 不平行时，那
么它们就会有一个夹角 ，并且还有这样的公式：cos ＝ ．通过这公式，我们就可以求出两向
θ θ
量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝ +i与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60 ° ．
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝cos60°+isin60°．
∴复数z＝ +i与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（ ，1）与向量（ ，﹣1）的夹
角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方
说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
10．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accosB，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
42变形 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
形式 cosA＝ ，
②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cosB＝ ，
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosC＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角 两角
形的
问题
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
2．S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
3．S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
43①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
形的
问题
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
442、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
12．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
45①S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
②S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
③S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图
形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sin ≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tan ＞0．α
②当角度在90°～180°间变化时， α
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sin ≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cαos ≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tan ＜0． α
13．解三角形 α
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝ 求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理π求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后
利用A+B+C＝ ，求另一角．
π
463．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝ 求C，再由正弦定理
或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． π
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝ ，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向π作为起始方向旋转到目标的方向线所成的
角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中
OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB；
③S△ABC ＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC ＝ ；
⑤S△ABC ＝ ，（s＝ （a+b+c））；
⑥S△ABC ＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝
+ ＝ ﹣ ，2A+2B＝2 ﹣2C
π
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA π
b2＝a2+c2﹣2accosB cosA＝
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosB＝
cosC＝
47正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
＝2R
R为△ABC的外接圆半径 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△ ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c sinA＝
sinB＝
②S△ ＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA
③S△ ＝
④S△ ＝ ，（s＝
sinC＝
（a+b+c））；
⑤S△ ＝ （a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
14．行列式
【知识点的认识】
二阶行列式与方程组的解：
对于关于x，y的二元一次方程组 我们把 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值
（或多项式），记为det（A）═ ＝ad﹣bc．
若将方程组中行列式 记为 D， 记为 D ， 记为 D ，则当 D≠0时，方程组的解为
x y
．
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