文档内容
2025年菁优高考数学解密之幂函数、指数函数、对数函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024•盐湖区一模）已知符号函数 则函数 的图象大致
为
A． B．
C． D．
2．（2024•济南模拟）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．（2024•红桥区一模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
4．（2024•武汉模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． C． D． ，
5．（2024•北辰区三模）已知 ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
6．（2024•浙江模拟）已知 ， ，则
A． B．
C． D．
17．（2024•滨海新区模拟）已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为
A． B．
C． D．
8．（2024•滨海新区模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
9．（2024•石景山区一模）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
10．（2024•顺义区模拟）已知 ， ，则
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•建邺区校级模拟）已知 ， ，则
A． B． C． D．
12．（2024•山东模拟）已知 ， ， ，则
A． 的最大值为 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为
13．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 ， ，且 （a） （b），则下列说法正确
2的是
A． B．
C． 的最小值为 D．
14．（2024•抚州模拟）若实数 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
15．（2024•驻马店三模）若表示集合 和 关系的 图如图所示，则 ， 可能是
A． ，2，4， ， B． ，
C． ， D． ，
三．填空题（共5小题）
16．（2024•南岸区模拟） ．
17．（2024•崇明区二模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （3） ．
18．（2024•浦东新区三模）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，
则 ．
19．（2024•海淀区一模）已知 ，则 ．
20．（2024•闵行区三模）方程 的解集为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•城关区校级模拟）已知函数 ．
3（Ⅰ）若函数 是 上的奇函数，求 的值；
（Ⅱ）若函数 的定义域是一切实数，求 的取值范围；
（Ⅲ）若函数 在区间 ， 上的最大值与最小值的差不小于2，求实数 的取值范围．
22．（2023•广西一模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当函数 的定义域为 时，求实数 的取值范围．
23．（2023•南京二模）已知函数 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若关于 的不等式 的解集为集合 ，且 ， ，求实数 的取值范围．
24．（2022•黄浦区二模）设 为常数，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
（2）若 ，根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
25．（2022•德阳模拟）已知函数 ， 的最大值为1．
（1）求常数 的值；
（2）若 ， ，求证： ．
42025年菁优高考数学解密之幂函数、指数函数、对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•盐湖区一模）已知符号函数 则函数 的图象大致
为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】先得到 为偶函数，排除 ，再计算出 （1） ，得到正确答案．
【解答】解： 定义域为 ，且为奇函数，故 ，
的定义域为 ，
且
，
故 为偶函数， 错误；
当 时， （1） （1） ， 错误， 正确．
故选： ．
5【点评】本题主要考查函数奇偶性和图像，属于基础题．
2．（2024•济南模拟）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；函数思想
【分析】利用正弦函数和正切函数的单调性，结合对数函数的单调性求解．
【解答】解： 正弦函数 在 上单调递增，且 ，
，即 ，
正切函数 在 上单调递增，且 ，
，
，即 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数和正切函数的单调性，考查了对数函数的性质，属于基础题．
3．（2024•红桥区一模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】转化思想；数学运算；函数的性质及应用；转化法
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可．
【解答】解：因为 在 上单调递减，
所以 ，即 ．
因为 在 上单调递增，又 ， ，
又 ，所以 ，故 ，所以 ．
故选： ．
6【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
4．（2024•武汉模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． C． D． ，
【答案】
【考点】对数函数的值域；交集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】综合法；函数的性质及应用；转化思想；数学运算；集合
【分析】先求出集合 ， ，再利用集合的交集运算求解即可．
【解答】解：集合 ， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
5．（2024•北辰区三模）已知 ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】转化法；数学运算；转化思想；函数的性质及应用
【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的性质，即可求解．
【解答】解： ，
，
，
，即 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
6．（2024•浙江模拟）已知 ， ，则
7A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数的运算性质
【专题】转化思想；数学运算；计算题；函数的性质及应用；综合法
【分析】根据对数的运算法则计算即可．
【解答】解： ，
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．
7．（2024•滨海新区模拟）已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；余弦函数的对称性
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据题意，由函数的图象分析 的性质，由此分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象， 的定义域为 ，其图象关于原点对称，
在区间 上，函数图象与 轴存在交点，
由此分析选项：
8对于 ， ，其定义域为 ，有 ， 为偶函数，
不符合题意；
对 于 ， ， 其 定 义 域 为 ， 有
， 为奇函数，其图象关于原点对称，
当 时 ， ， ，函数图象与 轴存在交点，符合题意；
对于 ， ，当 时， ， ，必有 恒成立，该函数图象在区间
上与 轴不存在交点，不符合题意；
对 于 ， ， 其 定 义 域 为 ， 有
， 为偶函数，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题．
8．（2024•滨海新区模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】数学运算；转化思想；函数的性质及应用；转化法
【分析】根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解： ， ，
，
则 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
99．（2024•石景山区一模）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；函数思想；综合题
【分析】根据函数的单调性可比较得结果．
【解答】解： ，而 ，则 ，即 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用单调性比较两个数的大小，属于中档题．
10．（2024•顺义区模拟）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】转化思想；数学运算；转化法；函数的性质及应用
【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
【解答】解： ，
，
，
综上所述， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•建邺区校级模拟）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
10【考点】指数式与对数式的互化；对数值大小的比较；对数的运算性质
【专题】整体思想；不等式的解法及应用；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】由已知结合指数与对数的转化即对数运算性质，基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 ，
所以 ， 错误；
又 ，
则 ， 正确；
由 及 可知 ，故 ， 正确；
因为 ，
由于 ，等号无法取得， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了指数与对数式的转化，对数的运算性质及基本不等式的应用，属于中档题．
12．（2024•山东模拟）已知 ， ， ，则
A． 的最大值为 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】
【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数学运算；综合法
【分析】利用基本不等式判断 、 、 ，由 ，令 ，利用导数说明
函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断 ．
【解答】解：因为 ， ， ，
对于 ，当且仅当 时等号成立，故 错误；
对于 ，当且仅当 ， 时等号成立，故 正确；
11对于 ，
又 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 正确；
对于 ，
设 ，则 ，
所以当 时， （b） ，则 （b）单调递增，
当 时， （b） ，则 （b）单调递减，
所以 （b） （1） ，
所以 的最小值为 ，当且仅当 、 时取等号，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
13．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 ， ，且 （a） （b），则下列说法正确
的是
A． B．
C． 的最小值为 D．
【答案】
【考点】对数函数的图象
【专题】整体思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】由已知结合对数函数的性质及函数图象的变化可得 ，即可判断 ， ，然后结合基本不等
式检验选项 ， 即可．
【解答】解：因为函数 ， ，且 （a） （b），
所以 ，且 ，
12所以 ，即 ， 正确， 错误；
，当且仅当 ，即 ， 时取等号，但显然与已知矛盾， 错误；
，当且仅当 时取等号，但显然等号无法取
得，
故 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
14．（2024•抚州模拟）若实数 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；对数值大小的比较
【专题】整体思想；数学抽象；综合法；函数的性质及应用
【分析】由已知结合函数的单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 ，
在 上单调递减，则 ， 正确；
在 上单调递增，则 ， 正确；
当 ， 时， 显然错误；
在 上单调递增，则 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
15．（2024•驻马店三模）若表示集合 和 关系的 图如图所示，则 ， 可能是
13A． ，2，4， ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算；指数函数的值域；求对数函数的定义域
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算
【分析】分别解出各选项，再考查它们的关系，结合韦恩图即可判断．
【解答】解：由题中韦恩图可得 ，
对于 ， ，2，4， ， ， ，故 正确；
对于 ， ， ， ，故 错误；
对于 ， ， ， ，故 正确；
对于 ， ， 或 ， ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查集合的含义、集合间的关系以及韦恩图，较简单．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•南岸区模拟） ．
【答案】 ．
【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解．
【解答】解：原式
14．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
17．（2024•崇明区二模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （3） 9 ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用
【分析】设出幂函数 的解析式，根据其图象经过点 ，求函数的解析式，再计算 （3）的值．
【解答】解：设幂函数 ，
其图象经过点 ，
，
解得 ，
；
（3） ．
故答案为：9．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
18．（2024•浦东新区三模）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，
则 1 ．
【答案】1．
【考点】有理数指数幂及根式
【专题】数学运算；综合法；三角函数的求值；转化思想；计算题
【分析】由题意结合三角换元和三角恒等变换即可求解．
【解答】解： 实数 、 、 、 满足 ， ，
可令 ， ， ， ，
则 ，
15可得 ，
则 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角换元的运用，三角恒等变换，是中档题．
19．（2024•海淀区一模）已知 ，则 4 ．
【答案】4．
【考点】对数的运算性质
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解： ．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
20．（2024•闵行区三模）方程 的解集为 ．
【答案】 ．
【考点】对数方程求解
【专题】整体思想；函数的性质及应用；综合法；数学运算
【分析】依题意得到 ，解得即可．
【解答】解：因为 ，
则 ，解得 ，
所以方程 的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的简单应用，属于基础题．
16四．解答题（共5小题）
21．（2023•城关区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 是 上的奇函数，求 的值；
（Ⅱ）若函数 的定义域是一切实数，求 的取值范围；
（Ⅲ）若函数 在区间 ， 上的最大值与最小值的差不小于2，求实数 的取值范围．
【考点】 ：对数函数的图象与性质
【专题】35：转化思想； ：转化法；51：函数的性质及应用
【分析】（Ⅰ）函数 是 上的奇函数，则 ，解得 的值；
（Ⅱ）若函数 的定义域是一切实数， 恒成立．即 恒成立，进而可得答案；
（Ⅲ）若函数 在区间 ， 上的最大值与最小值的差不小于2，则 ，解得
答案．
【解答】解：（Ⅰ）函数 是 上的奇函数，则 ，求得 ． （2分）
又此时 是 上的奇函数．
所以 为所求． （4分）
（Ⅱ）函数 的定义域是一切实数，则 恒成立．
即 恒成立，由于 ． （6分）
故只要 即可 （7分）
（Ⅲ）由已知函数 是减函数，故 在区间 ， 上的最大值是 ，
最小值是 ． （8分）
由题设 （11分）
17故 为所求． （12分）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．
22．（2023•广西一模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当函数 的定义域为 时，求实数 的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）设 ，则 ．由此可知 ．
（2）由题意知， 的最小值为4， ，由此可知 的取值范围．
【解答】解：函数的定义域满足 ，即 ，
（1）当 时，
设 ，则 ．（3分）
， ．（5分）
（2）由 知， 的最小值为4，7分 ，
的取值范围是 ．（10分）
【点评】本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
23．（2023•南京二模）已知函数 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若关于 的不等式 的解集为集合 ，且 ， ，求实数 的取值范围．
18【答案】（1）证明见解析；（2） ， ．
【考点】对数函数的图象
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】（1）先得到 在 上单调递增， （1） ，再得到 在 上单调递
减，在 上单调递增，证明即可；
（2）先得到 在 上递减，在 ， 上递增，再分类讨论，求解即可．
【解答】证明：（1）若 ，则 ，函数定义域为 ，
则 在 上单调递增，
（1） ，
当 时， （1） ，当 时， （1） ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时，函数取得最小值为 （1），
（1） ；
解：（2） 为增函数，
当 时， ， ， ，
则存在 ，使 ，
在 上递减，在 ， 上递增，
又 （1） ，由（1）可知 ，有 ，可得 ，满足 ， ；
①若 ，有 ， 存在 ，使 ，则 ，
有 （a） ，则 ，
19设 （a） ， ，
则 （a） 为增函数，
（1） ， （a） 在 上递增，
， ，
②若 ，有 ， 存在 ，使 ，则 ，
有 ，符合题意，
综上， ， ．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性的运用，属于中档题．
24．（2022•黄浦区二模）设 为常数，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
（2）若 ，根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）当 时，函数 是奇函数；当 且 时，函数 既不是奇函数，也不是偶
函数．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；反函数
【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）利用 把 表示出来即可求得结果；
（2）对 分情况讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可得出结论．
【解答】解：（1）由 ，得 ，于是 ，且 ．
因此，所求反函数为 ．
（2）当 时， ，定义域为 ， ， ．
20，故函数 是奇函数；
当 且 时，函数 的定义域为 ， ， ，函数 既不是奇函数，也
不是偶函数．
【点评】本题考查了反函数的求解以及函数奇偶性的判断，属于中档题．
25．（2022•德阳模拟）已知函数 ， 的最大值为1．
（1）求常数 的值；
（2）若 ， ，求证： ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析．
【考点】指数函数综合题
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】（1）由题可得 ，分类讨论可得 时，
，即 ，然后通过构造函数 可求；
（2）由题可得 ，构造函数 ，利
用导数可得 ，即得．
【解答】解：（1）由题意 ， ．
由于 ，
所以若 ，即 ，
当 时， ；当 时， ；
即 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，不合题意；
若 ，即 ，
当 时， ；当 时， ；
21即 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
，
所以 ，两边取自然对数得： ，
即 ，
令 ，
则 ，
易知 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
（1） ，
即 的根为1，
所以 ，
即 ；
（2）由（1）知 ，且在 上单调递增，在 上单调递减，
（1） ， ，
当 时， ；当 时， ，
由 ，不妨设 ，
则 ，
令 ，
于是 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
22所以 ，且 ， ，
从而 ，
即 ．
【点评】本题考查了转化思想求函数的最值及极限思想，第一问利用导数通过分类讨论得到 ，
通过两边取对数，构造函数 ，再利用导数求 的值；第二问关键是构造函数
，然后利用导数与单调性的关系即证，属于难题．
23考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
2．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
Venn图表示N∩（ M）为： ．
U
∁
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
24【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞∈10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 （M∪N）＝[0，8]．
R
∁
3．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等⇔式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞⇒b+c．
④同向可加性：⇒a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞⇒bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞⇒b＞0，c＞d＞0 ac＞⇒bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且⇒n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
4．不等关系与不等式 ⇒ ∈
【知识点的认识】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如 与 就是相等关系．
而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说 a＞b，a
﹣b＞0就是不等式．
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依
据． ⇔ ⇒ ⇔
25②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【命题方向】
例1：解不等式：sinx≥ ．
解：∵sinx≥ ，
∴2k + ≤x≤2k + （k Z），
π π ∈
∴不等式sinx≥ 的解集为{x|2k + ≤x≤2k + ，k Z}．
这个题很典型，考查了不等式和π三角函数的相π关知识，∈也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这
个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
⇔
证明：由ab＞0，知 ＞0．
又∵a＞b，∴a ＞b ，即 ；
若 ，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可
这种技巧在选择题上用的最广．
5．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
26A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
271、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
28【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
29技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
6．一元二次不等式及其应用
30【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0
或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特
征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可
求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的
解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
≥0 ；
⇔
31≤0 ．
⇔
7．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
8．幂函数的概念
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为
偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
32当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
9．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定： ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
∈
＝ ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分∈数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
∈
②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义∈．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，∈s Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞∈0，r Q）．
∈
【解题方法点拨】
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、 ＝a C、 ＝3 D、 ＝
\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
33∴A不正确；
∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}
{{a}^{3}}$，
∴B不正确；
∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，
∴C正确；
∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$ B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n
D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
10．指数函数的值域
【知识点的认识】
指数函数的解析式、定义、定义域、值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；
34如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝ ，x＝ 在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．
11．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；
同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
12．指数式与对数式的互化
【知识点的认识】
35ab＝N logaN＝b；
alogaN＝⇔N；log
a
aN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b f（x）＝log b；log f（x）＝b f（x）＝ab（定义法）
a a
（2）af（x）＝a⇔g（x） f（x）＝g（x）；log f（x⇔）＝log g（x） f（x）＝g（x）＞0（同底法）
a a
（3）af（x）＝bg（x） ⇔f（x）log a＝g（x）log b；（两边取对数⇔法）
m m
⇔
（4）log f（x）＝log g（x） log f（x）＝ ；（换底法）
a b a
（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blog ⇔ x+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝log x或t＝ax）（换元法）
a a
13．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
14．对数方程求解
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N；log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M；log ＝ log M．
a a a a
【解题方法点拨】
﹣利用对数的基本性质和运算规则，将对数方程化简为指数方程或代数方程．
﹣当两边都有对数时，利用对数等式log x＝log y得到x＝y．
a a
﹣逐步化简方程，求解未知数．
﹣验证解是否满足原方程．
【命题方向】
常见题型包括简单对数方程、复合对数方程、涉及实际应用的对数方程．
方程ln（log x）＝0的解是_____．
2
36解：∵ln（log x）＝0，
2
∴log x＝1，解得x＝2，
2
15．求对数函数的定义域
【知识点的认识】
对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝log x，定义域为x＞0．
a
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定自变量x的取值范围．
﹣确保对数运算中底数a满足a＞0且a≠1．
﹣验证定义域的准确性．
【命题方向】
常见题型包括直接求解对数函数的定义域、结合具体题目条件分析定义域．
函数y＝lg（x﹣1）的定义域为_____．
解：∵x﹣1＞0，
∴x＞1，
（1，+∞）
16．对数函数的值域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数 y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是
a
（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
17．求对数函数的值域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数 y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是
a
（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定其值域．
﹣利用对数函数的性质，验证值域的准确性．
【命题方向】
常见题型包括直接求解对数函数的值域，结合具体函数形式分析其值域．
已知函数f（x）＝ （2x﹣1）．
37（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）若x [1， ]，求函数f（x）的值域．
∈
解：（1）要使函数有意义，则2x﹣1＞0，解得x＞ ，
所以函数f（x）的定义域为（ ，+∞），
由对数函数的性质可知函数f（x）的值域为R．
（2）由复合函数的单调性可知f（x）＝ （2x﹣1）在[1， ]上为减函数，
又f（1）＝ 1＝0，f（ ）＝ （2× ﹣1）＝ 8＝﹣3，
所以函数f（x）的值域为[﹣3，0]．
18．对数函数的图象
【知识点的认识】
19．对数函数及对数型复合函数的图象
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1 a＞1
图像
38【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其图象形态．
﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层对数函数，确定复合函数的整体图象．
﹣利用图象分析函数的性质和应用．
【命题方向】
常见题型包括对数函数及其复合函数的图象分析，结合解析式和具体问题确定函数图象及其应用．
已知函数y＝log （x+b）的图象如图．
a
（1）求实数a与b的值；
（2）函数y＝log （x+b）与y＝log x的图象有何关系？．
a a
解：（1）由图象可知，函数的图象过点（﹣3，0）与点（0，2），
所以log （﹣3+b）＝0，log b＝2，
a a
解得a＝2，b＝4，
故实数a的值为2，b的值为4；
（2）函数y＝log （x+4）的图象可以由y＝log x的图象向左平移4个单位长度得到．
a a
20．由对数函数的最值求解参数
【知识点的认识】
通过已知对数函数的最值，反向求解函数的参数值，要求学生理解最值与参数的关系．
【解题方法点拨】
﹣分析已知最值条件，设定对数函数的形式．
﹣利用最值条件，求解对数函数的参数．
﹣验证求解结果的正确性．
【命题方向】
39常见题型包括通过最值反求对数函数的参数，结合解析式和实际问题分析最值及其应用．
已知函数f（x）＝log （x2﹣x+1）（a＞0且a≠1）
a
若f（x）在区间[0，2]上的最大值为2，求a的值．
解：令u＝x2﹣x+1，y＝log u，
a
则二次函数u＝x2﹣x+2在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
①当0＜a＜1时，由于外层函数y＝log u为减函数，
a
所以，函数f（x）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以，当0≤x≤2时，函数f（x）在x＝ 处取得最大值，
即 ，即 ，解得 满足题意；
②当a＞1时，由于外层函数y＝log u为增函数，
a
所以，函数f（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以，当0≤x≤2时，函数f（x）在x＝0或x＝2处取得最大值，
但f（0）＝0，则必有f（2）＝log 3＝2，即a2＝3，解得 ，合乎题意，
a
综上所述，a的值为 或 ．
21．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图
的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
22．反函数
【知识点的认识】
定义
一般地，设函数y＝f（x）（x A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝
g（y）．若对于y在中的任何∈一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g
（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数 y＝g（x）（y C）叫做函数y＝f（x）
（x A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分∈ 别是函数y＝f（x）的值
域、∈定义域．
40性质
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x
对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），
则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，
被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是
奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
23．对数函数图象与性质的综合应用
【知识点的认识】
1、对数函数的图象与性质：
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （ 0 ， + ∞）
值域 R
定点 过点 （ 1 ， 0 ）
单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
函数值正负 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜ 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜
1，y＜0 1时，y＞0
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数
的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．
41【解题方法点拨】
1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝log x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（ ，﹣1）函
a
数图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
【命题方向】
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类
讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如log x＞log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与
a a a
0＜a＜1两种情况讨论．形如log x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
a
24．余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝k ，k z．可以看出余弦函数在
对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移k 个单位后依然还是对称轴．π ∈
【解题方法点拨】 π
例：（中，三角函数的对称性）若函数 （ ＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为 ，
则 等于 ω
ω
解：因为y＝cosx的图象相邻两条对称轴距离为 ，要使 的图象相邻两条对称轴的距离
π
为 ，则其周期缩小为原来的一半，所以 ＝2．
ω
42这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．
【命题方向】
这是个很基本的考点，也比较容易，但也非常重要，希望大家能够掌握．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 15:57:13；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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