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2025年菁优高考数学解密之常用逻辑用语
一．选择题（共10小题）
1．（2024•吉林四模）已知命题 ， ，则命题 的否定为
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2024•天津模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024•辽宁一模）已知 ， ．则“ 且 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024•济南二模）下列命题是真命题的是
A． 且 B． 或
C． D．方程 有实根
5．（2024•回忆版）已知命题 ， ，命题 ， ，则
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
6．（2024•顺义区一模）已知 ， ，则“ ”是“ ”
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024•天津模拟）“ ”是“ ”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024•商洛模拟）已知 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
1C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024•天津模拟）若 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024•浙江模拟）已知 ， ．设甲： ，乙： ，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二．多选题（共5小题）
11．（2024•孝南区校级模拟）关于 的不等式 对任意 恒成立的充分不必要条件有
A． B． C． D．
12．（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有
A．若方程 表示圆，则 的取值范围是
B．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点 在圆 上， 的最大值为1
D．已知圆 和 ，圆 和圆 的公共弦长为
13．（2024•山东模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，则下
列命题正确的有
2A．直线 和平面 所成的角为定值
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
14．（2024•江西模拟）已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的是
A．曲线 在 处的切线方程为
B． 恰有2个零点
C． 既有最大值，又有最小值
D．若 且 ，则
15．（2024•重庆模拟）命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•北京模拟）命题“ ， ”的否定是 ．
17．（2024•辽宁模拟）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 ．
18．（2024•潍坊二模）已知命题 ， ， ，则 为 ．
19．（2024•安徽模拟）已知下列命题：
3①命题“ ， ”的否定是“ ， ”；
②已知 ， 为两个命题，若“ ”为假命题，则“ 为真命题”；
③“ ”是“ ”的充分不必要条件；
④“若 ，则 且 ”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是 ．
20．（2024•安康模拟）已知命题 ，若 为假命题，则 的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•向阳区校级模拟）已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）命题 ，命题 ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
22．（2023•酉阳县校级模拟）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ，
成立．
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围．
23．（2023•大荔县一模）已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
24．（2023•和平区校级一模）已知命题 ：函数 在 ， 上单调递增；命题 ：函
数 在 ， 上单调递减．
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 ， 中有一个为真命题．一个为假命题，求实数 的取值范围．
25．（2022•高新区校级模拟）设命题 ：实数 满足 ，其中 ，命题 ：实数 满
4足 ．
（1）若 ，且 且 为真，求实数 的取值范围；
（2）非 是非 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
52025年菁优高考数学解密之常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•吉林四模）已知命题 ， ，则命题 的否定为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】求全称量词命题的否定
【专题】简易逻辑；定义法；对应思想；逻辑推理
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【解答】解：命题 ， ，则命题 的否定为： ， ．
故选： ．
【点评】本题考查命题的否定，属于基础题．
2．（2024•天津模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】整体思想；不等式；数学运算；综合法
【分析】解出不等式 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：不等式 等价于 ，等价于 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
故 能推出 成立，但是 成立不一定有 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查充分必要条件，考查了集合的包含关系，属于基础题．
63．（2024•辽宁一模）已知 ， ．则“ 且 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：当 且 时， ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以充分性成立；
当 且 时， ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以必要性不成立；
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
4．（2024•济南二模）下列命题是真命题的是
A． 且 B． 或
C． D．方程 有实根
【答案】
【考点】四种命题
【专题】简易逻辑；综合法；逻辑推理；整体思想
【分析】根据真命题的定义判断．
【解答】解：对于 ， 不成立，所以 且 是假命题，故 错误；
对于 ， 成立，所以 或 是真命题，故 正确；
对于 ， 是假命题，故 错误；
7对于 ，因为△ ，所以方程 无实根，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题．
5．（2024•回忆版）已知命题 ， ，命题 ， ，则
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】
【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定
【专题】计算题；简易逻辑；转化思想；数学运算；综合法
【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
【解答】解：命题： ， ， 时，不成立，所以命题： 是假命题；则 是真命题．
命题 ， ， 时成立，所以命题 是真命题， 是假命题；
所以 和 都是真命题．
故选： ．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
6．（2024•顺义区一模）已知 ， ，则“ ”是“ ”
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想；计算题；不等式
【分析】根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的
答案．
【解答】解：当 ， 时，满足 ，但 ，所以充分性不成立；
当 时，由 且 ，可得 ，即 ，必要性成立．
综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
8【点评】本题主要考查基本不等式的应用、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于
基础题．
7．（2024•天津模拟）“ ”是“ ”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件必要条件的判断
【专题】对应思想；转化法；简易逻辑
【分析】不等式的基本性质，“ ”不一定能得出“ ”的结论，因为必须有 这一条件；
反过来若“ ”，说明 一定成立，一定可以得出“ ”，即可得出答案．
【解答】解：当 时， ；
当 时，说明 ，
有 ，得 ．
故 ”是“ ”的必要不充分条件，
故选： ．
【点评】本题以不等式为载体，考查了充分必要条件的判断，充分利用不等式的基本性质是推导不等关
系，得出正确结论的重要条件．
8．（2024•商洛模拟）已知 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；简易逻辑
【分析】根据不等式的性质与幂函数 的单调性，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答
案．
9【解答】解：若 ，则 ，可得 ，充分性成立；
若 ，则 ，但不一定 、 都是正数，推不出 ，故必要性不成立．
综上所述，“ ”是“ 的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查的知识点是不等式的基本性质、充要条件的定义与判断，同时考查了逻辑推理能
力，属于基础题．
9．（2024•天津模拟）若 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；转化思想；计算题；数学运算
【分析】根据题意对两个条件进行化简，结合充要条件的定义判断出正确答案．
【解答】解：若 ，则 或 ．当 时， ；当 时， ．
所以“ ”不是“ ”的充分条件；
当 时，即 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件．
综上所述，若 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分必要条件的定义与判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
1010．（2024•浙江模拟）已知 ， ．设甲： ，乙： ，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案．
【解答】解：依题意， ， ，
对于甲： ，即 ，
设 ，
所以 在 上单调递增，故 ．
对于乙： ，两边取以 为底的对数得 ， ，
由于 ， ，所以 ， ，则 ，
设 ，
所以 在区间 上 ， 单调递增，
在区间 上 ， 单调递减，
所以由 ，即 （a） （b），若 ， ， 或 ， ， ，则 ，若 ， 不在
的同一单调区间，则 ，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•孝南区校级模拟）关于 的不等式 对任意 恒成立的充分不必要条件有
11A． B． C． D．
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】数学运算；综合法；简易逻辑；转化思想；不等式的解法及应用
【分析】先求不等式 对任意 恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可．
【解答】解：当不等式 对任意 恒成立时，有△ ，
解得 ，
记 ．
由题知，集合 的真子集即为不等式 对任意 恒成立的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有
A．若方程 表示圆，则 的取值范围是
B．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点 在圆 上， 的最大值为1
D．已知圆 和 ，圆 和圆 的公共弦长为
【答案】
【考点】圆的标准方程；命题的真假判断与应用
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；简易逻辑；逻辑推理；数学运算
【分析】利用圆的方程的体积求解 的范围判断 ；通过已知条件求解圆的方程，判断 ；利用直线与
12圆的位置关系判断 ；求解公共弦长，判断 即可．
【解答】解：对于 ，圆方程可化为 ．由于该方程表示圆，故 ，解
得 ，故 错误；
对于 ， 圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都相切， 圆心的纵坐标是
1，
设圆心坐标 ，则 ，又 ， ，
该圆的标准方程是 ，故 正确；
对于 ，设 ，即 ，则圆的标准方程为 ，
则圆心坐标为 ，半径 ，则圆心到直线的距离 ，即 ，
即 ，平方得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，故 错误；
对于 ，两圆方程相减，得圆 和圆 的公共弦所在直线方程为： ，即 ．
圆心 到直线 的距离 ，
圆 和圆 的公共弦长 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，命题真假的判断，是基础题．
13．（2024•山东模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，则下
列命题正确的有
13A．直线 和平面 所成的角为定值
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定
、 、 、 的结论．
【解答】解：如图所示：
对于 ，由线面所成角的定义，令 与 的交点为 ，可得 即为直线 和平面 所成
的角，当 移动时 是变化的，故 错误．
对于 ，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，而 大小一定，
，而 平面 ，
点 到平面 的距离即为点 到该平面的距离，
三棱锥 的体积为定值，故 正确；
对于 ， 在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，
平面 ， 平面 ，
，故这两个异面直线所成的角为定值 ，故 正确；
14对于 ，直线 和平面 平行，
直线 和平面 平行，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线
的夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
14．（2024•江西模拟）已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的是
A．曲线 在 处的切线方程为
B． 恰有2个零点
C． 既有最大值，又有最小值
D．若 且 ，则
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用；数学运算
【分析】先求出函数的定义域，当 时，求导，利用导数的几何意义即可求得切线方程，可判断 ；
当 时，判断导数 ，即可得单调性，同理可得 在 上的单调性，即可判断 ；
由函数的单调性及 ， （1） ，可判断 ；
当 ， ，由 得 ，由单调性可得 ，同理可证当 ，
时，命题也成立，可判断 ．
15【解答】解：依题意，对于 ， 的定义域为 ， ， ，
当 时， ，
所以 （1） ，可知曲线在点 处的切线方程为 ，即 ，所以 错误；
对于 ， ， （1） ，所以 正确；
对于 ，因为 ，
所以 在 上为减函数；
同理可求得 在 上为减函数，所以 错误；
对 于 ， 若 ， ， 由 得
，即 ，
因为 在0， 上为减函数，所以 ，即 ，同理可证当 ， 时，命题也成立，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线在某一点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，属于中档
题．
15．（2024•重庆模拟）命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想
【分析】转化为 ，结合二次函数的性质求得 ；进而求解结论．
【解答】解：存在 ，使得 ，即 ，
16即 时， 的最小值为 ，
故 ；
所以命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是： 的真子集，
结合选项可得，符合条件的答案为： ．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•北京模拟）命题“ ， ”的否定是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】求存在量词命题的否定
【专题】简易逻辑；转化思想；数学运算；转化法
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“ ， ”的否定是： ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
17．（2024•辽宁模拟）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 ，
．
【答案】 ， ．
【考点】存在量词命题的否定；命题的真假判断与应用
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理
【分析】根据题意，若“ ，使 ”是假命题，则其否定“ ，都有
”是真命题，则有 在 上恒成立，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若“ ，使 ”是假命题，
17则其否定“ ，都有 ”是真命题，
即 在 上恒成立，
变形可得 ，
又由 ，当且仅当 时等号成立，
若 在 上恒成立，
必有 ，即 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定方法，属于基础题．
18．（2024•潍坊二模）已知命题 ， ， ，则 为 ， ， ．
【答案】 ， ， ．
【考点】求存在量词命题的否定
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；数学抽象
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可．
【解答】解：由特称命题的否定为全称命题可得 为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
19．（2024•安徽模拟）已知下列命题：
①命题“ ， ”的否定是“ ， ”；
②已知 ， 为两个命题，若“ ”为假命题，则“ 为真命题”；
③“ ”是“ ”的充分不必要条件；
④“若 ，则 且 ”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是 ② ．
【考点】 ：命题的真假判断与应用
18【专题】38：对应思想；48：分析法； ：简易逻辑
【分析】①，命题“ ， ”的否定是“ ， ”；
②，若“ ”为假命题 、 均为假命题则 、 均为真 “ 为真命题；
③，“ ”是“ ”的必要不充分条件；
④，“若 ，则 且 ”是假命题，命题与其逆否命题同真假．
【解答】解：对于①，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故错；
对于②，若“ ”为假命题 、 均为假命题则 、 均为真 “ 为真命题，故
正确；
对于③，“ ”是“ ”的必要不充分条件，故错；
对于④，“若 ，则 且 ”是假命题，命题与其逆否命题同真假，故错．
故答案为：②
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
20．（2024•安康模拟）已知命题 ，若 为假命题，则 的取值范围是
．
【考点】全称量词命题真假的应用
【专题】转化法；数学运算；转化思想；简易逻辑
【 分 析 】 根 据 全 称 命 题 的 真 假 可 知 为 真 命 题 ， 由 此 构 造 函 数
，结合单调性求得最值，即可求得答案．
【解答】解：由题意知命题 为假命题，
则 为真命题，
设 ，则 ，
由于 在 上单调递增，故 在 ， 上单调递减，
则 ，故 ．
19故答案为： ．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•向阳区校级模拟）已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）命题 ，命题 ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）实数 的取值范围为 ；
（2）数 的取值范围为 ．
【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算
【专题】简易逻辑；转化法；对应思想；数学运算
【分析】（1）求出 ，通过讨论 和 解关于 的不等式，解出即可；
（2）根据集合的包含关系得到关于 的不等式，解出即可．
【解答】解：（1） ，
由 ，①若 ，即 时， ，符合题意；
②若 ，即 时，
或 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
（2）由已知 是 的真子集，
故 （两个端不同时取等号），解得 ．
由实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是基础题．
22．（2023•酉阳县校级模拟）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ，
20成立．
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或 或 ．
【考点】复合命题及其真假；命题的真假判断与应用
【专题】数学运算；综合法；分类讨论；简易逻辑
【分析】（1）由 真，由判别式求得 的取值范围，进而得到 假的条件；
（2）求得 真的条件，由 和 有且只有一个为真命题，得到 真 假，或 假 真，然后分别求的
的取值范围，再取并集即得．
【解答】解：（1）由 真：△ ，得 或 ，
所以 假： ；
即实数 的取值范围为： ；
（2） 真：△ 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
即 或 ，
或 或 ．
即实数 的取值范围为： 或 或 ．
【点评】本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成
立问题，不等式的求解，关键是由 和 有且只有一个为真命题，得到 真 假，或 假 真，属于中档
题．
23．（2023•大荔县一模）已知集合 ， 或 ．
21（1）当 时，求 ；
（2）当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交集及其运算
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算
【分析】（1）先解一元二次不等式求出 ，再利用交集运算求解即可．
（2）将充要条件转化为 ，得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当 时，
，
又 或 ，
．
（2）当 时， ，
是 的充分条件， ，
或 ，
或 ，又 ，
，
实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题．
24．（2023•和平区校级一模）已知命题 ：函数 在 ， 上单调递增；命题 ：函
数 在 ， 上单调递减．
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 ， 中有一个为真命题．一个为假命题，求实数 的取值范围．
22【答案】（1） ， ．
（2） ， ， ．
【考点】复合命题及其真假
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）利用复合函数的单调性即可解出；
（2）分别讨论命题 ， 的真假，即可解出．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
又据题意知，当函数 在区间 ， 上单调递减时，
对 ， 成立，即 对 ， 成立，
又当 ， 时， ，
所以 ，即所求实数 的取值范围为 ， ，
（2）据题设知“ 真， 假”或“ 假， 真”，
据题设知，若 为真命题，则 ，且 ，
所以 ，
当“ 真， 假”时， 此时不等式无解；
当“ 假， 真”时， ，
所以 或 ，
综上，所求实数 的取值范围为 ， ， ．
【点评】本题考查了函数的性质，命题，学生的数学运算能力，属于基础题．
25．（2022•高新区校级模拟）设命题 ：实数 满足 ，其中 ，命题 ：实数 满
23足 ．
（1）若 ，且 且 为真，求实数 的取值范围；
（2）非 是非 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；复合命题及其真假
【专题】简易逻辑
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝
对值不等式及对数不等式的解法．
【解答】解：（1） 命题 ：实数 满足 ，其中 ，
由 ，得 ．又 ，所以 ，
当 时， ，
即 为真命题时，实数 的取值范围： ．
又 命题 ：实数 满足 ．
由 解得即
所以 为真时，实数 的取值范围： ．
若 且 为真，
真 真，则
实数 的取值范围是
（2） 不妨设 ，或 ， ，或
非 是非 的充分不必要条件，
．
且 ，即 ．
24实数 的取值范围是 ， ．
【点评】判断充要条件的方法是：
①若 为真命题且 为假命题，则命题 是命题 的充分不必要条件；
②若 为假命题且 为真命题，则命题 是命题 的必要不充分条件；
③若 为真命题且 为真命题，则命题 是命题 的充要条件；
④若 为假命题且 为假命题，则命题 是命题 的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题 与命题 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 与命题
的关系．
25考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
2．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
⇒ ⇒
26②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．充分条件必要条件的判断
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，⇒则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
4．全称量词命题真假的应用
【知识点的认识】
全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：
∀
27应熟练掌握全称命题的判定方法
全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一
个”等词，用符号“ ”表示．
含有全称量词的命题∀．“对任意一个x M，有p（x）成立”简记成“ x M，p（x）”．
命题 全称命题 x M，p（∈x） ∀ ∈
表述方法 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
③对每一个∈x M，使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立
⑤若x M，∈则p（x）成立
﹣ ∈
【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．
例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计
算．
【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用全称量词命题的真假来
推导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质．这类题型要求学生具备扎实的基础知识
和逻辑推理能力．
若命题“ x [1，3]，ax2﹣x+a≥0为真命题，则a的最小值为_____．
∀ ∈
解： x [1，3]，ax2﹣x+a≥0，则 ，
∀ ∈
当x [1，3]时， ，当且仅当x＝1时，等号成立，
∈
故 ．
所以实数a的最小值为 ．
故答案为： ．
5．全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p： x M，p（x）它的否命题¬p： x M，¬p（x ）．
0 0
∀ ∈ ∃ ∈
28【解题方法点拨】
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；
（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上
看，能涉及高中数学的全部知识．
6．求全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p： x M，p（x）它的否命题¬p： x M，¬p（x ）．
0 0
【解题方法点∀拨∈】 ∃ ∈
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；
（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几
何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写
和判断．
写出命题“ x Z，|x| N”的否定：_____．
解：因为特∀称命∈ 题的否∈定为全称命题，
所以命题“ x Z，|x| N”的否定是“ x Z，|x| N”，
故答案为：∀x∈Z，|x|∈N． ∃ ∈ ∉
7．存在量词∃命∈题的否∉定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p： x M，p（x ）它的否命题¬p： x M，¬p（x）．
0 0
【解题方法点∃拨】∈ ∀ ∈
写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；
（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．
【命题方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上
看，能涉及高中数学的全部知识．
8．求存在量词命题的否定
【知识点的认识】
29一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p： x M，p（x ）它的否命题¬p： x M，¬p（x）．
0 0
【解题方法点∃拨】∈ ∀ ∈
写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；
（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．
【命题方向】
存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几
何中关于图形性质的存在性命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改
写和判断．
写出下列存在量词命题的否定：
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数；
（3） x R，使x2+x+1≤0．
解：（∃1）∈ 某箱产品中都是正品；
（2）方程x2﹣8x+15＝0每一个根都不是偶数；
（3） x R，使x2+x+1＞0．
9．四∀种命∈ 题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原
命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另
一个叫做原命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知
识、方法相结合．
【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数
学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
3010．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是
复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义
不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不
是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加
“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成
“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改
成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含
有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至
少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全
称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关
键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关 等 大 小 至 至 至 至 任 任 P P
意 两
键 于 于 于 是 能 都 没 多 少 少 多 且 或
的 个
词 （＝） （＞） （＜） 是 有 有 有 有 有 Q Q
一 一 n n
个 个 个 个
否 不 不 不 不 至 至 一 至 至 某 ¬P ¬P
定
等 大 小 不 不 都 少 少 个 多 少 某 两 或 且
词
于 于 于 是 能 是 有 有 都 有 有 个 个 ¬Q ¬Q
（≠） （≤） （≥） 一 两 没 n﹣1 n+1
个 个 有 个 个
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命
题，同真同假．
11．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
311．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
13．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
3214．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下
的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线
33是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什
么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平
面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的
大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为
θ
，则有sin ＝|cos |＝ ．
φ 15．圆的标准θ 方程 φ
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出 a，b，r
的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关
系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出
34现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程
再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （ x ﹣ 3 ） 2 + （ y + 2 ） 2 ＝ 5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（
）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线
4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，
可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出
b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆
的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝ ＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣ （舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离 d
等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
35A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于 ，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 15:49:25；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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