文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练2
一．选择题（共10小题）
1．（2024•回忆版）已知命题 ， ，命题 ， ，则
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
2．（2024•浙江模拟）已知 ， ．设甲： ，乙： ，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2024•宁波模拟）已知 是公比不为1的等比数列 的前 项和，则“ ， ， 成等差数列”
是“存在不相等的正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024•雅安模拟）直线 与曲线 相切的一个充分不必要条件为
A． B． C． D．
5．（2024•兰山区校级模拟）如图， 是边长为6的等边三角形，点 在 所在平面外，平面
平面 ，点 是棱 的中点，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ，
．现给出下列四个结论：
① 平面 ；
② 是定值；
③三棱锥 体积的最大值是 ；
④若三棱锥 的体积是 ，则该三棱锥外接球的表面积是 ．
其中正确结论的个数是
1A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024•凉山州模拟）已知命题“ ”是假命题，则 的取值范围为
A． ， B． C． D． ，
7．（2024•福建模拟）宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱
子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如
下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数 ，若存在圆 ，使得 的图象能将圆
的周长和面积同时平分，则称 是圆 的太极函数．下列说法正确的是
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
② 是 的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆 ， 是它的太极函数
A．①④ B．③④ C．①③ D．②③
8．（2024•广东模拟）已知函数 ， 的定义域为 ，则“ ， 为周期函数”是“
2为周期函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024•亭湖区校级一模）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，则“ ”是“数
列 为单增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023•涪城区校级模拟）若“ ， ，使 成立”是假命题，则实数 的取值范
围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
二．多选题（共5小题）
11．（2024•山东模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列
命题正确的有
A．直线 和平面 所成的角为定值
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
312．（2024•重庆模拟）命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
13．（2024•芝罘区校级模拟）已知函数 ，则以下结论正确的是
A． 在 上单调递增
B．
C．方程 有实数解
D．存在实数 ，使得方程 有4个实数解
14．（2024•李沧区校级模拟）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 与 所成角的取值范围是 ，
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
15．（2024•长春模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件
4， ， ．则下列结论正确的是
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
三．填空题（共8小题）
16．（2024•射洪市校级模拟） ， 是两个平面， ， 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果 ， ， ，那么 ．
（2）如果 ， ，那么 ．
（3）如果 ， ，那么 ．
（4）如果 ， ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等．
其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）
17．（2024•兰山区校级模拟）已知正四棱柱 的底面边长 ，侧棱长 ，它
的外接球的球心为 ，点 是 的中点，点 是球 上的任意一点，有以下命题：
① 的长的最大值为9；
②三棱锥 的体积的最大值是 ；
③存在过点 的平面，截球 的截面面积为 ；
④三棱锥 的体积的最大值为20；
⑤过点 的平面截球 所得的截面面积最大时， 垂直于该截面．
其中是真命题的序号是 ．
518．（2024•延庆区一模）已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 ，使得函数 的最小值为0
②存在实数 ，使得函数 的最小值为
③存在实数 ，使得函数 恰有2个零点
④存在实数 ，使得函数 恰有4个零点
其中所有正确结论的序号是 ．
19．（2023•北京模拟）已知函数 ， ，给出
下列结论：
①函数 的值域为 ；
②函数 在 ， 上是增函数；
③对任意 ，方程 在 ， 内恒有解；
④若存在 ， ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
20．（2023•石景山区一模）项数为 ， 的有限数列 的各项均不小于 的整数，满足
，其中 ．给出下列四个结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则满足条件的数列 有4个；
③存在 的数列 ；
④所有满足条件的数列 中，首项相同．
6其中所有正确结论的序号是 ．
21．（2023•涪城区校级模拟）如图，在正方体 中， ， 为棱 的中点， 是
正方形 内部（含边界）的一个动点，且 平面 ．给出下列四个结论：
①动点 的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点 ，使得 ；
③三棱锥 的体积的最大值为 ；
④设直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
22．（2023•涪城区校级模拟）已知函数 ， ．给出下列三个结论：
① 是偶函数；
② 的值域是 ， ；
③ 在区间 ， 上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是 ．
23．（2023•丰台区校级三模）已知在数列 中， ， ，其前 项和为 ．给出
下列四个结论：
① 时， ；
② ；
③当 时，数列 是递增数列；
7④对任意 ，存在 ，使得数列 成等比数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共2小题）
24．（2023•酉阳县校级模拟）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ，
成立．
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围．
25．（2022•黄浦区模拟）有以下真命题：已知等差数列 ，公差为 ，设 ， ， ， 是数列
中 的 任 意 个 项 ， 若 ， ， 、 ① ， 则 有
②．
（1）当 ， 时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
（2）若 为等差数列， ，且 ，求 的通项公式；
（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明．
82025年菁优高考数学压轴训练2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•回忆版）已知命题 ， ，命题 ， ，则
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】
【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定
【专题】计算题；简易逻辑；转化思想；数学运算；综合法
【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
【解答】解：命题： ， ， 时，不成立，所以命题： 是假命题；则 是真命题．
命题 ， ， 时成立，所以命题 是真命题， 是假命题；
所以 和 都是真命题．
故选： ．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
2．（2024•浙江模拟）已知 ， ．设甲： ，乙： ，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案．
【解答】解：依题意， ， ，
对于甲： ，即 ，
设 ，
所以 在 上单调递增，故 ．
9对于乙： ，两边取以 为底的对数得 ， ，
由于 ， ，所以 ， ，则 ，
设 ，
所以 在区间 上 ， 单调递增，
在区间 上 ， 单调递减，
所以由 ，即 （a） （b），若 ， ， 或 ， ， ，则 ，若 ， 不在
的同一单调区间，则 ，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
3．（2024•宁波模拟）已知 是公比不为1的等比数列 的前 项和，则“ ， ， 成等差数列”
是“存在不相等的正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质；等差数列的性质；充分条件与必要条件
【专题】整体思想；等差数列与等比数列；数学运算；综合法；简易逻辑
【分析】由已知结合等比数列的求和公式，等差数列的性质分别检验充分必要性即可判断．
【解答】解：对于公比不为1的等比数列 ，
若 ， ， 成等差数列，则 ，即 ，
整理得 ，结合 得 ，
若存在不相等的正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列，则 ，
10不妨设 ，则 ，即 ，
所以 ，
当 ， 时， ， ，
所以 ， ， 成等差数列时，存在不相等的正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列，
但 ， ， 成等差数列时， 成立，但 不一定成立，
故“ ， ， 成等差数列”是“存在不相等的正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列”的充分
不必要条件．
故选： ．
【点评】本题以充分必要条件为载体，主要考查了等比数列的求和公式，等差数列的性质的应用，属于
中档题．
4．（2024•雅安模拟）直线 与曲线 相切的一个充分不必要条件为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；充分条件与必要条件
【专题】数学运算；计算题；整体思想；综合法；简易逻辑
【分析】设出切点，由直线和曲线相切得 的表达式，对比选项即可求解．
【解答】解：由题意设 ，则 ，
设直线 与曲线 相切的切点为 ， ，
则 ，所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ．
对比选项可知直线 与曲线 相切的一个充分不必要条件为 ．
故选： ．
11【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
5．（2024•兰山区校级模拟）如图， 是边长为6的等边三角形，点 在 所在平面外，平面
平面 ，点 是棱 的中点，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ，
．现给出下列四个结论：
① 平面 ；
② 是定值；
③三棱锥 体积的最大值是 ；
④若三棱锥 的体积是 ，则该三棱锥外接球的表面积是 ．
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】取 的中点 ，连接 ，证明 ，进一步证明 ，可得 ，再由面
面垂直的性质可得 平面 判断①正确；分别证明 ， ，结合 可得
，由勾股定理求 为定值，即可判断②正确；三棱锥 的高 为定值，求出
的面积最大值，即可求得三棱锥 的体积的最大值判断③；取 的中心为 ，过点 作平面
的垂线，垂足为 ，设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 在垂线上，求解三角形得到三棱
锥 的外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断④．
【解答】解：对于①，取 的中点 ，连接 ，
是边长为6的等边三角形， ，
， ，
又 ， ，则 ，
12平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故①正确；
对于②，连接 、 ， 平面 ， 平面 ，
，
， ，
又 ， ， ， ，
则 为定值，故②正确；
对于③， 三棱锥 的高 ，当 的面积最大时，三棱锥 的体积最大，
当 时， 面积最大，
三棱锥 的体积的最大值为：
，故③正确；
对于④，取 的中心为 ，则 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 在垂线上，设 ，外接球的半径为 ，
则 ，过点 作 的平行线交 于点 ，
则 ， ，
则在 中， ，
在 中， ，解得 ，
．
三棱锥 的外接球的表面积为 ，故④正确．
正确结论的个数是4个．
故选： ．
13【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系，考查多面体外接球表
面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．
6．（2024•凉山州模拟）已知命题“ ”是假命题，则 的取值范围为
A． ， B． C． D． ，
【答案】
【考点】全称量词命题真假的应用
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；三角函数的求值；整体思想
【分析】 ， 是真命题，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为命题“ ”是假命题，
所以 ， 是真命题，
即 ， 是真命题，
整理得 有解，
所以 ，
所以 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
7．（2024•福建模拟）宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱
子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如
14下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数 ，若存在圆 ，使得 的图象能将圆
的周长和面积同时平分，则称 是圆 的太极函数．下列说法正确的是
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
② 是 的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆 ， 是它的太极函数
A．①④ B．③④ C．①③ D．②③
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】简易逻辑；数学运算；转化思想；转化法
【分析】根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项 4个说法进行分析，由此确定正确
答案．
【解答】解：对于①，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，
所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确；
对于②， ， ，
所以 关于 轴对称，不是太极函数，故②错误；
对于③，中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心，
但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；
对于④，曲线 存在对称中心，
所以必是某圆的太极函数，故④正确．
故选： ．
15【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
8．（2024•广东模拟）已知函数 ， 的定义域为 ，则“ ， 为周期函数”是“
为周期函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】函数的周期性；充分条件与必要条件
【专题】数学运算；定义法；函数思想；简易逻辑
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可．
【解答】解：两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理
数，则有周期，若不为有理数，则无周期．
的周期为 ， 的周期为2，则当 时，只有周期的整数倍才是函数的
周期，则不是充分条件；
若 ， ，
则 为周期函数，但 ， 为周期函数不正确，故不是
必要条件；
因此为不充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查充分必要条件的应用，属于中档题．
9．（2024•亭湖区校级一模）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，则“ ”是“数
列 为单增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件；等差数列的性质
【专题】综合法；逻辑推理；等差数列与等比数列；计算题；整体思想
【分析】先说明充分性，由 得到 为单调递增数列，设公差为 ，表达出
16，结合对称轴得到 时，此时 先增后减，从而充分性不成
立；
再举出反例得到必要性不成立．
【解答】解：若 ，故 ，即 ，
故 为单调递增数列，设公差为 ，
此时 ， ， ，
令 ，对称轴为 ，当 时，此时对称轴 ，
此时 先增后减，
所以数列 不是单调数列，
充分性不成立，
若数列 为单增数列，设等差数列 公差为 ，
若 ，不妨设 ，此时 ，满足数列 为单增数列，
此时 ， ， ， ，故必要性不成立，
故“ ”是“数列 为单增数列”的既不充分也不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列及性质，充分条件和必要条件，属于中档题．
10．（2023•涪城区校级模拟）若“ ， ，使 成立”是假命题，则实数 的取值范
围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【考点】 ：存在量词和特称命题
【专题】38：对应思想； ：转化法； ：简易逻辑
【分析】若“ ， ，使得 成立”是假命题，即“ ， ，使得 成
17立”是假命题，根据函数的性质可得实数 的取值范围．
【解答】解：若“ ， ，使得 成立”是假命题，
即“ ， ，使得 成立”是假命题，
故 ， ， 恒成立，
令 ， ， ，
，
故 在 ， 递增，
（1） ，
，
故选： ．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，难度中档．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•山东模拟）如图，在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列
命题正确的有
A．直线 和平面 所成的角为定值
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
18D．直线 和平面 平行
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定
、 、 、 的结论．
【解答】解：如图所示：
对于 ，由线面所成角的定义，令 与 的交点为 ，可得 即为直线 和平面 所成
的角，当 移动时 是变化的，故 错误．
对于 ，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，而 大小一定，
，而 平面 ，
点 到平面 的距离即为点 到该平面的距离，
三棱锥 的体积为定值，故 正确；
对于 ， 在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，
平面 ， 平面 ，
，故这两个异面直线所成的角为定值 ，故 正确；
对于 ，直线 和平面 平行，
直线 和平面 平行，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线
19的夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
12．（2024•重庆模拟）命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想
【分析】转化为 ，结合二次函数的性质求得 ；进而求解结论．
【解答】解：存在 ，使得 ，即 ，
即 时， 的最小值为 ，
故 ；
所以命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是： 的真子集，
结合选项可得，符合条件的答案为： ．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（2024•芝罘区校级模拟）已知函数 ，则以下结论正确的是
A． 在 上单调递增
B．
C．方程 有实数解
D．存在实数 ，使得方程 有4个实数解
【考点】 ：命题的真假判断与应用
【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；65：数学运算
【分析】求得 的导数，可得单调区间、极值和最值，即可判断 ， ， ；讨论 ， 时，
，设 ，求得导数，单调性和极值，结合图象可判断 ．
20【解答】解：函数 的导数为 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减，
可得 在 处取得极小值，且为最小值 ．故 错误；
由 ．可得 有实数解，故 正确；
由 ， ，而 ， ，则 ，
，即有 ，由 在 递增，可得 ，故 正确；
，即 ，显然 为原方程的一个解；
时， ，设 ，导数为 ，
可得 时， ， 递减， 或 时， ， 递增，
即有 在 处取得极小值0，在 处取得极大值 ，作出 的图象如右：
当 ， 与 的图象有三个交点，即 ，有三个不等实根，
综上可得存在实数 ，使得方程 有4个实数解，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数和方程的转化思想，以及数形
结合思想，考查化简运算能力，属于中档题．
14．（2024•李沧区校级模拟）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则
21A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 与 所成角的取值范围是 ，
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】计算题；数形结合；转化法；立体几何；逻辑推理
【分析】在 中，推导出 ， ，从而直线 平面 ；在 中，由 平面
，得到 到平面 的距离为定值，再由△ 的面积是定值，从而三棱锥 的体积
为定值；在 中，异面直线 与 所成角的取值范围是 ， ；在 中，以 为原点， 为
轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 与平面 所成角的
正弦值的最大值为 ．
【解答】解：在 中， ， ， ，
平面 ， ，同理， ，
22， 直线 平面 ，故 正确；
在 中， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
点 在线段 上运动， 到平面 的距离为定值，
又△ 的面积是定值， 三棱锥 的体积为定值，故 正确；
在 中，异面直线 与 所成角的取值范围是 ， ，故 错误；
在 中，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为1， ，1， ，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ， ，0，
，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
直线 与平面 所成角的正弦值为：
，
当 时，直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，故 正确．
故选： ．
23【点评】本题考查命题真假的判断，空间图形中直线与直线、平面的位置关系，异面直线的判断，基本
知识与定理的灵活运用，属于中档题．
15．（2024•长春模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件
， ， ．则下列结论正确的是
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】综合法；综合题；转化思想；逻辑推理；等差数列与等比数列
【分析】由已知结合等比数列的性质判断 ，得到 正确，再由 判断 正确，构造数
列 ，可知该数列是递减数列，从第8项开始小于零，故前7项和 最大，即 的最大值为 ，故
正确；由 ， ，可知数列各项均为正的， 没有最大值，判断 错误．
【解答】解：等比数列 ，公比为 ，
由 ， ，得 ，
由 ，得 ， ，若不然， ，则 ，又 ，
24数列 ，则 ， ， 不成立，故 ，
成立，故 正确；
，故 正确；
由 ， ，
构造数列 ，则该数列为等差数列，公差 ，
得 ， ，又 ， 数列 是递减数列，
从第8项开始小于零，故前7项和 最大，即 的最大值为 ，故 正确；
， ， 数列各项均为正的， 没有最大值，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列与等比数列的性质和前 项和公式，是中档题．
三．填空题（共8小题）
16．（2024•射洪市校级模拟） ， 是两个平面， ， 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果 ， ， ，那么 ．
（2）如果 ， ，那么 ．
（3）如果 ， ，那么 ．
（4）如果 ， ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等．
其中正确的命题有 （ 2 ）（ 3 ）（ 4 ） ．（填写所有正确命题的编号）
【考点】 ：命题的真假判断与应用
【专题】48：分析法；35：转化思想； ：空间位置关系与距离
【分析】由线面垂直和面面的位置关系，即可判断（1）；
由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断（2）；
由面面平行的性质定理，即可判断（3）；
运用面面平行和线面角的定义，即可判断（4）．
25【解答】解：（1）如果 ， ， ，那么 或 、 相交，故（1）错；
（2）如果 ， ，过 的平面与 的交线 平行于 ，且 ，那么 ，故（2）正确；
（3）如果 ， ，由面面平行的性质可得 ，故（3）正确；
（4）如果 ， ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等，正确．
故答案为：（2）（3）（4）．
【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系的判断，考查线面平行和垂直的判定定理和性质定理的运
用，以及线面角的定义，考查推理能力，属于中档题．
17．（2024•兰山区校级模拟）已知正四棱柱 的底面边长 ，侧棱长 ，它
的外接球的球心为 ，点 是 的中点，点 是球 上的任意一点，有以下命题：
① 的长的最大值为9；
②三棱锥 的体积的最大值是 ；
③存在过点 的平面，截球 的截面面积为 ；
④三棱锥 的体积的最大值为20；
⑤过点 的平面截球 所得的截面面积最大时， 垂直于该截面．
其中是真命题的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】球；数学运算
【分析】通过题中条件计算得出结果，判断命题真假．
【解答】解：根据题意，作图如下：
根 据 正 四 棱 柱 的 性 质 ， 可 知 正 四 棱 柱 的 外 接 球 的 半 径 即 为 ： ，
26所以 最大值即为 ，故①正确；
在三棱锥 中， ，高
三棱锥 的体积最大值即为： ，故②错误；
当截面与 垂直时， ，故截面圆的面积即为 ，故③正确；
在三棱锥 中， ，高
三棱锥 的体积最大值即为： ，故④正确；
当过点 的平面截球 所得的截面面积最大时，截面过直线 ，而 ，故⑤错误．
故答案为：①③④
【点评】本题考查了四棱柱的外接球问题，体积的最值，截面问题，属于综合题型，同时考查学生的计
算能力和空间想象能力，难度中等．
18．（2024•延庆区一模）已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 ，使得函数 的最小值为0
②存在实数 ，使得函数 的最小值为
③存在实数 ，使得函数 恰有2个零点
27④存在实数 ，使得函数 恰有4个零点
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算；简易逻辑
【分析】取特殊值判断①，当 时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的
零点确定函数的零点可判断③④．
【解答】解：当 时， ，显然函数的最小值为0，故①正确；
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 时， 有最小值 ，由 ，可得 ，
此时， 时， ， 在 上单调递减，所以 （1） ，
与最小值为 矛盾，
若 时， 的对称轴方程为 ，
当 时，即 时， ，
若 ，则 与 矛盾，
当 时， 在 上单调递减，无最小值，
综上，当 时，函数 的最小值不为 ，故②错误；
由②知， 时， 时， 单调递减且 ，当 时， 且 （1） ，
所以函数恰有2个零点，故③正确；
当 时， 且仅有 （1） ，
即 有且只有1个零点，
28当 时， 且仅有 （1） ，
即 有且只有1个零点，
综上， 时， 有且只有1个零点，
而 在 上至多有2个零点，
所以 时，函数没有4个零点，当 时，函数有无数个零点，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，函数最值的求法及函数零点个数的判断，属于中档题．
19．（2023•北京模拟）已知函数 ， ，给出
下列结论：
①函数 的值域为 ；
②函数 在 ， 上是增函数；
③对任意 ，方程 在 ， 内恒有解；
④若存在 ， ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】 ：命题的真假判断与应用
【专题】51：函数的性质及应用
【分析】①当 时，利用 单调递增，可得 ．
当 时，函数 ，利用一次函数的单调性可得 ．
即可得到函数 的值域．
②利用诱导公式可得 ，利用余弦函数的单调性，进而得出 在 ， 上单调
性．
③由②可知： （1），若任意 ，方程 在 ， 内恒有解，
29则必须满足 的值域 ， ．解出判定即可．
④存在 ， ， ，使得 成立，则 解出即可．
【解答】解：①当 时， 单调递增， ，即 ．
当 时，由函数 单调递减， ，即 ．
函数 的值域为 ．因此①正确．
② ， ， ， ，因此 在 ， 上单调递减，
又 ， 在 ， 上单调递增，因此正确．
③由②可知： （1）， ．
若任意 ，方程 在 ， 内恒有解，
则必须满足 的值域 ， ．
， ，解得 ，因此③不正确；
④存在 ， ， ，使得 成立，则
由③可知： ， ，
， ，解得 ，
实数 的取值范围是 ．正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，
考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．
20．（2023•石景山区一模）项数为 ， 的有限数列 的各项均不小于 的整数，满足
30，其中 ．给出下列四个结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则满足条件的数列 有4个；
③存在 的数列 ；
④所有满足条件的数列 中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】数学运算；综合法；对应思想；直观想象；等差数列与等比数列；导数的概念及应用
【分析】由题意可得 ，所以 ， ，从而
可判断③，④；
当 时，得 ，所以 ，则 ，从而判断①；
当 时，可得 ，则 的可能取值为 ，0，1，2，对应的 的取值为6，4，2，0，从而可
得数列 ，即可判断②．
【解答】解：因为有限数列 的各项均不小于 的整数，
所以 ， ， ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，且 ， 为整数，
所以 ，所以③错误，④正确；
当 时，得 ，所以 ，则 ，故①正确；
当 时，得 ，
31又因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ， 为整数，
则 的可能取值为 ，0，1，2，对应的 的取值为6，4，2，0，
故数列 可能为 ， ，6； ，0，4； ，1，2； ，2，0，共4个，故②正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了有穷数列的性质、不等式的性质，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
21．（2023•涪城区校级模拟）如图，在正方体 中， ， 为棱 的中点， 是
正方形 内部（含边界）的一个动点，且 平面 ．给出下列四个结论：
①动点 的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点 ，使得 ；
③三棱锥 的体积的最大值为 ；
④设直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征
【专题】综合法；数学运算；逻辑推理；转化思想；空间位置关系与距离
【分析】对于①，利用线线平行能证明平面 平面 ，由此能求出点 的轨迹；
对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；
对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；
32对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解．
【解答】解：对于①，分别取 和 的中点 ， ，连接 ， ， ，
由正方体的性质知 ， ， 平面 ， 、 平面 ，
， 平面 ，
又 ， 平面 ， ，
平面 平面 ，
当 在 上运动时，有 平面 ，
动点 的轨迹是线段 ，故①错误；
对于②，当 为线段 中点时，
， ，
又 ， ，故②正确；
对于③，三棱锥 的体积 ，
又 ，
三棱锥的体积最大值为 ，故③正确；
对于④，连接 ， ，则 与平面 所成角 ，
则 ，
，
的范围是 ， ，故④正确．
故答案为：②③④．
33【点评】本题考查线面平行、线线垂直的判定与性质、三棱锥体积公式、线面角定义等基础知识，考查
运算求解能力，是中档题．
22．（2023•涪城区校级模拟）已知函数 ， ．给出下列三个结论：
① 是偶函数；
② 的值域是 ， ；
③ 在区间 ， 上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是 ①③ ．
【答案】①③．
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑推理
【分析】研究函数 在一个周期 ， 内的性质，即将 化为分段函数解决问题．
【解答】解：易知 的最小正周期为 ，故只需研究 ，
的值域、单调性，即可判断函数 在 上的值域和单调性，
对于①，定义域为 ，关于原点对称， ，故 是偶函数，故①
正确；
对于②，当 ， 时， ，此时 ；
当 ， 时， ，所以 ，综上可知， 的值域是 ，
34，故②错误；
对于③， 时， ，因为 在 上单调递减，故 在
上单调递减，故③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查三角函数的性质，同时考查了分类讨论思想的体现，学生的逻辑推理能力，属于中档
题．
23．（2023•丰台区校级三模）已知在数列 中， ， ，其前 项和为 ．给出
下列四个结论：
① 时， ；
② ；
③当 时，数列 是递增数列；
④对任意 ，存在 ，使得数列 成等比数列．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】计算题；函数思想；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；
数学抽象；逻辑推理；数学运算
【分析】对于①，直接算出数列 的前5项，再相加即可判断①；
对于②，把 用 来表示，即可判断 与0的大小，进而判断②；
对于③，取 ，可得 ，进而判断③错误；
对于④，当 恒成立时可以求出 ，所以存在 ，数列 成等比数列，所
以④正确．
【解答】解：①当 时， ，则 ，
35即 ，则 ，
则 ， ，
则 ；故①正确；
②因为 ，
所以 ，
即 ，故②正确；
③当 时，不妨设 ，
则甴 ，
得 ，则 ，
则 ，故数列 是递增数列错误；故③错误；
④设 ，
则 ，
，
，即 ，
存在 ，数列 成等比数列，此时公比 ；故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查等比数列的概念，考查数学抽象的核心素
养，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
24．（2023•酉阳县校级模拟）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ，
成立．
36（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或 或 ．
【考点】复合命题及其真假；命题的真假判断与应用
【专题】数学运算；综合法；分类讨论；简易逻辑
【分析】（1）由 真，由判别式求得 的取值范围，进而得到 假的条件；
（2）求得 真的条件，由 和 有且只有一个为真命题，得到 真 假，或 假 真，然后分别求的
的取值范围，再取并集即得．
【解答】解：（1）由 真：△ ，得 或 ，
所以 假： ；
即实数 的取值范围为： ；
（2） 真：△ 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
即 或 ，
或 或 ．
即实数 的取值范围为： 或 或 ．
【点评】本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成
立问题，不等式的求解，关键是由 和 有且只有一个为真命题，得到 真 假，或 假 真，属于中档
题．
25．（2022•黄浦区模拟）有以下真命题：已知等差数列 ，公差为 ，设 ， ， ， 是数列
中 的 任 意 个 项 ， 若 ， ， 、 ① ， 则 有
37②．
（1）当 ， 时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
（2）若 为等差数列， ，且 ，求 的通项公式；
（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明．
【答案】（1）答案见解析；
（2）（2） ；
（3）答案见解析．
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】逻辑推理；综合法；转化思想；计算题；等差数列与等比数列；数学运算
【分析】（1）当 ， 时，代入数据，可得当 时，有 ；
（2）根据所给数据，结合题意，可得 ，即可得 、 ， 的值，
进而可求得 值，根据 ，可得 ，代入等差数列通项公式，即可得答案．
（3）根据题意，类比可得已知等比数列 ， ，公比为 ，设 是数列 中的任意
个项，若 ，则有 ．进行证明即可．
【解答】解：（1）当 ， 时，由已知，对等差数列的任意两项 ，当 时，有
；
（2）设 的公差为 ，由题意得： ，知 ， ，
，
所以 ，解得 ，
又 ，于是 ；
38（3）已知等比数列 ， ，公比为 ，设 是数列 中的任意 个项，
若 ，则有 ．
证明如下：因为 ，
所以 ，
其中 ，
于是 ，命题得证．
【点评】本题考查了数列的递推式，等差数列的基本量计算以及数列新定义，属于难题．
39考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．全称量词命题真假的应用
【知识点的认识】
全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：
应熟练掌握全称命题的判定方法 ∀
全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一
个”等词，用符号“ ”表示．
含有全称量词的命题∀．“对任意一个x M，有p（x）成立”简记成“ x M，p（x）”．
∈ ∀ ∈
40命题 全称命题 x M，p（x）
表述方法 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
③对每一个∈x M，使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立
⑤若x M，∈则p（x）成立
﹣ ∈
【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．
例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计
算．
【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用全称量词命题的真假来
推导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质．这类题型要求学生具备扎实的基础知识
和逻辑推理能力．
若命题“ x [1，3]，ax2﹣x+a≥0为真命题，则a的最小值为_____．
∀ ∈
解： x [1，3]，ax2﹣x+a≥0，则 ，
∀ ∈
当x [1，3]时， ，当且仅当x＝1时，等号成立，
∈
故 ．
所以实数a的最小值为 ．
故答案为： ．
3．存在量词和存在量词命题
【知识点的认识】
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“ ”． ∃
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”∃、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有
的”等词，用符号“ ”表示．
∃
特称命题：含有存在量词的命题．“ x M，有p（x ）成立”简记成“ x M，p（x ）”．
0 0 0 0
∃ ∈ ∃ ∈
41“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题 全称命题 x M，p（x） 特称命题 x M，p（x ）
0 0
表述方法 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立 ①存在x M∃，∈使p（x ）成立
0 0
②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
③对每一个∈x M，使p（x）成立 ③某些x M，∈ 使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立 ④存在某一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
⑤若x M，∈则p（x）成立 ⑤有一个x M∈，使p（x ）成立
0 0
【解题方法点拨】由于全∈称量词的否定是存在量词，而存在量词的否∈定又是全称量词；因此，全称命题
的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是
两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若 p 则q”形式的命题而言，
既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立
词语的否定 或 一个也没有 至多有n﹣1个 至少有两个 存在一个x不成立
【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
4．全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p： x M，p（x）它的否命题¬p： x M，¬p（x ）．
0 0
【解题方法点∀拨∈】 ∃ ∈
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；
（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上
看，能涉及高中数学的全部知识．
5．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是
复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义
42不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不
是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加
“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成
“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改
成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含
有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至
少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全
称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关
键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关 等 大 小 至 至 至 至 任 任 P P
意 两
键 于 于 于 是 能 都 没 多 少 少 多 且 或
的 个
词 （＝） （＞） （＜） 是 有 有 有 有 有 Q Q
一 一 n n
个 个 个 个
否 不 不 不 不 至 至 一 至 至 某 ¬P ¬P
定
等 大 小 不 不 都 少 少 个 多 少 某 两 或 且
词
于 于 于 是 能 是 有 有 都 有 有 个 个 ¬Q ¬Q
（≠） （≤） （≥） 一 两 没 n﹣1 n+1
个 个 有 个 个
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命
题，同真同假．
6．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
433．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
7．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f
（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意
实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）＝ 的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）＝ ＝f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与 x轴的⇒交点个数．如已知函数在某个小区间与 x轴有n个
交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，
注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，
为了高考将仍然以小题为主．
8．等差数列的性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个
常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a ＝a +（n﹣1）d；前n项和
n 1
公式为：S ＝na + n（n﹣1）或S ＝ （n N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a ＝
n 1 n m
∈
a +a （p，q，m都为自然数）
p q
44等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n N+，则a ＝a +（m﹣n）d；
m n
（4）若s，∈t，p，q N*，且s+t＝p+q，则a
s
+a
t
＝a
p
+a
q
，其中a
s
，a
t
，a
p
，a
q
是数列中的项，特别地，当
s+t＝2p时，有 ∈
a+a＝2a ；
s t p
（5）若数列{a }，{b }均是等差数列，则数列{ma +kb }仍为等差数列，其中m，k均为常数．
n n n n
（6）a
n
，a
n﹣1
，a
n﹣2
，…，a
2
，a
1
仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
2a ＝a +a ，
n+1 n n+2
2a n ＝a n﹣m +a n+m ，（n≥m+1，n，m N+）
（8）a
m
，a
m+k
，a
m+2k
，a
m+3k
，…仍∈为等差数列，公差为kd（首项不一定选a
1
）．
【解题方法点拨】
例：已知等差数列{a }中，a ＜a ＜a ＜…＜a 且a ，a 为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
n 1 2 3 n 3 6
（1）求此数列{a }的通项公式；
n
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a ＝2，a ＝8．
3 6
又∵{a }为等差数列，设首项为a ，公差为d，
n 1
∴a +2d＝2，a +5d＝8，解得a ＝﹣2，d＝2．
1 1 1
∴a ＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n N*）．
n
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n﹣4∈．
（2）令268＝2n﹣4（n N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136∈项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式 a
n
＝a +（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某
1
一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
9．等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做
45等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，a 为常数列．
n
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a ＝a qn﹣1，这里a 为首项，q
n 1 1
为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S ＝ ，表示的
n
是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．
m n p q
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣m，（n，m N*）．
n m
（2）若{a
n
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l∈，m，n N*），则 a
k
•a
l
＝a
m
•a
n
（3）若{a
n
}，{b
n
}（项数相同）是等比数列，则{ a
n
}（∈ ≠0），{a}，{a
n
•b
n
}，仍是等比数列．
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q
n n
＝1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动⇔数列． ⇔
n n
【解⇔题方法点拨】 ⇔
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后
求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
10．等差数列与等比数列的综合
【知识点的认识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n N+，则a ＝a +（m﹣n）d；
m n
（4）若s，∈t，p，q N*，且s+t＝p+q，则a
s
+a
t
＝a
p
+a
q
，其中a
s
，a
t
，a
p
，a
q
是数列中的项，特别地，当
s+t＝2p时，有 ∈
a+a＝2a ；
s t p
（5）若数列{a }，{b }均是等差数列，则数列{ma +kb }仍为等差数列，其中m，k均为常数．
n n n n
（6）a
n
，a
n﹣1
，a
n﹣2
，…，a
2
，a
1
仍为等差数列，公差为﹣d．
46（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
2a ＝a +a ，
n+1 n n+2
2a n ＝a n﹣m +a n+m ，（n≥m+1，n，m N+）
（8）a
m
，a
m+k
，a
m+2k
，a
m+3k
，…仍∈为等差数列，公差为kd（首项不一定选a
1
）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣ m ，（n，m N*）．
n m
（2）若{a
n
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m∈，n N*），则 a
k
•a
l
＝a
m
•a
n
（3）若{a
n
}，{b
n
}（项数相同）是等比数列，则{ a
n
}（∈≠0），{a}，{a
n
•b
n
}，仍是等比数列．
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q
n n
＝1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动⇔数列． ⇔
n n
11．⇔利用导数研究曲线上某⇔点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
12．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
47侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱
柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则
称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱 ＝S×h．
4813．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱 ＝sh， V锥 ＝ Sh．
14．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
4915．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下
的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线
是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什
么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平
面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的
大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为
θ
50，则有sin ＝|cos |＝ ．
φ θ φ
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:14:01；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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