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2025年菁优高考数学压轴训练22
一．选择题（共10小题）
1．（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运
动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传
统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙
队”“丁队” 进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分
排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一
场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超
过其余三支球队的积分的概率为
A． B． C． D．
2．（2024•织金县校级模拟）已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为 ，从
中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为 ，当 最大时，红球个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2024•荆州模拟）已知随机变量 ，且 ，则 的最小值
为
A．9 B． C．4 D．6
4．（2024•苏州三模）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的
圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下
落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右
1的编号分别为0，1，2， ，10，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ，则
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024•菏泽二模）下列结论正确的是
A．已知一组样本数据 ， ， ，现有一组新的数据 ， ，
， ，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B．已知具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，
则实数 的值是4
C．50名学生在一模考试中的数学成绩 ，已知 ，则 ， 的人
数为20人
D．已知随机变量 ，若 ，则
6．（2024•南开区一模）已知随机变量 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
7．（2024•罗湖区校级模拟）设 、 、 为互不相等的正实数，随机变量 和 的分布列如表，若记
， 分别为 ， 的方差，则下列说法正确的是
2A．
B．
C．
D． 与 的大小关系与 ， ， 的取值有关
8．（2024•辽宁一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别
放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．
若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为
A． B． C． D．
9．（2024•格尔木市模拟）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛 局，且每局小王获胜的概率
和小张获胜的概率均为 ，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记小王赢得比赛的概率
为 ，则下列结论错误的是
A． B． （2） （1）
C． D． 随着 的增大而增大
10．（2024•益阳模拟）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地
区居民进行普查化验，化验结果阳性率为 ，但统计分析结果显示患病率为 ．医学研究表明化验
结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01，则该地区患有该疾病
的居民化验结果呈阳性的概率为
A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99
3二．多选题（共5小题）
11．（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2
个球．事件 “两次取到的球颜色相同”；事件 “第二次取到红球”；事件 “第一次取到红
球”．下列说法正确的是
A． B．事件 与事件 是互斥事件
C． D．
12．（2024•佛山一模）有一组样本数据 0，1，2，3，4，添加一个数 形成一组新的数据，且
，1，2，3，4， ，则新的样本数据
A．极差不变的概率是
B．第25百分位数不变的概率是
C．平均值变大的概率是
D．方差变大的概率是
13．（2024•越秀区校级一模）下列说法正确的是
A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B．若数据 ， ， ， ， 的标准差为 ，则数据 ， ， ， ， 的标准差为
C．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．随机变量 服从二项分布 ，若方差 ，则
14．（2024•新郑市校级一模）关于下列命题中，说法正确的是
A．已知 ，若 ， ，则
B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的 分位数为78
C．已知 ，若 ，则
4D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人．现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高
一抽取了20人，则应从高三抽取19人
15．（2024•袁州区校级三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件 ：甲骰子点数为奇数，事
件 ：乙骰子点数为偶数，事件 ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有
A．事件 与事件 对立 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 相互独立 D． （C）
三．填空题（共5小题）
16．（2024•江西一模）斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波
那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、
1、2、3、5、8、13、21、34、 ，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： ， ，
， ， ， ， ， 且 中，则 中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
17．（2024•厦门模拟）在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为
维坐标 ， ， ， ，其中 ， ， ．则5维“立方体”的顶点个数是
；
定 义 ： 在 维 空 间 中 两 点 ， ， ， 与 ， ， ， 的 曼 哈 顿 距 离 为
．在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 ．
18．（2024•和平区二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．
在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响
已知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 ．
5若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定
三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，则这个问题回答正确
的概率为 ．
19．（2024•魏都区校级三模）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为 ，反面向上的概率为 ，记
次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为 ，则数列 的通项公式 ．
20．（2024•浙江模拟）甲、乙两人玩游戏，规则如下：第 局，甲赢的概率为 ；第
局，乙赢的概率为 ．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次
时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•香河县校级模拟）人工智能（英语： ，缩写为 亦称智械、机器智能，
指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技
术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移
物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大共的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻
辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来
源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库
某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工筸能是否感兴趣，随机从该校高一年级学
生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 180 40 220
女生 120 60 180
合计 300 100 400
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取 10人，再从这10人中随机抽取
3人进行采访，记随机变量 表示抽到的3人中女生的人数，求 的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0，001
62.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22．（2024•江西一模）设 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 ， ，其中
， ，令 ， ，称 是二维离散型随机变量 的联合分布列．与
一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
现有 个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数
为 ，落入第2号盒子中的球的个数为 ．
（1）当 时，求 的联合分布列；
（2）设 ， 且 ，计算 ．
23．（2024•黄山模拟）某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示
其中成绩分组区间是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
（1）求图中 的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；
（2）从这次数学成绩位于 ， ， ， 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方．法抽取9
人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间 ， 的人数记为 ，求 的分布列及数学期
望．
724．（2024•河南模拟）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有
个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取 个球 ，摸完后全部放回
袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
（1）若 ， ，当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所
获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；
（2）若 ， ，当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元
时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
25．（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随
机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8万元；第四次索赔时，保险公
司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛利
润的数学期望估计值与 中 估计值的大小，（结论不要求证明）
82025年菁优高考数学压轴训练22
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运
动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传
统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙
队”“丁队” 进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分
排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一
场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超
过其余三支球队的积分的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【专题】概率与统计；对应思想；定义法；数学运算
【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）
分类讨论后可得正确的选项．
【解答】解：三队中选一队与丙比赛，丙输， ，例如是丙甲，
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，
这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，
在甲输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意．
若丙全赢（概率是 时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，
这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，
9（1）若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是 ，
如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是 ，
（2）若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是 ，
乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
（3）若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是 ，
乙丁这场比赛只能平，概率是 ．
综上，概率为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件的应用，属于中档题．
2．（2024•织金县校级模拟）已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为 ，从
中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为 ，当 最大时，红球个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【考点】概率的应用；排列组合的综合应用；古典概型及其概率计算公式
【专题】综合法；概率与统计；计算题；数学运算；转化思想；方程思想
【分析】根据题意，由古典概型公式可得 ，根据 求出 ，根据 只能取正整数，
得出 ， 关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，10个球中，红球个数为 ，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为 ，
则 ，
则 ，
10故 ，
若 ，即 ，解可得 ，
又由 且 ，则有 ， ，且 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查概率与不等式的综合应用，涉及古典概型的计算，属于中档题．
3．（2024•荆州模拟）已知随机变量 ，且 ，则 的最小值
为
A．9 B． C．4 D．6
【答案】
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【专题】数学运算；转化法；概率与统计；方程思想；导数的综合应用
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性求得 ，代入 ，再由导数求最值．
【解答】解： ，可得正态分布曲线的对称轴为 ，
又 ， ，即 ．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 ， 时， ， 单调递增，
则 的最小值为 ．
故选： ．
11【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用导数求最值，考查运算求解能
力，是中档题．
4．（2024•苏州三模）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的
圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下
落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右
的编号分别为0，1，2， ，10，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ，则
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】综合法；数学运算；对应思想；概率与统计
【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码 服从二项分布，
且落入格子的号码即向右次数，即 ，则 ，1， ， ，然后由二
项式系数对称性即可得解．
【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，
则小球落入格子的号码 服从二项分布，
且落入格子的号码即向右次数，即 ，
所以 ，1， ， ，
由二项式系数对称性知，当 时， 最大，故 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．
125．（2024•菏泽二模）下列结论正确的是
A．已知一组样本数据 ， ， ，现有一组新的数据 ， ，
， ，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B．已知具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，
则实数 的值是4
C．50名学生在一模考试中的数学成绩 ，已知 ，则 ， 的人
数为20人
D．已知随机变量 ，若 ，则
【答案】
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）； 重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线
所表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数；经验回归方程与经验回归直线
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算
【分析】根据数据的数字特征即可判断 ；根据线性回归方程为 过样本点的中心 即可
判断 ；根据正态分布的性质即可判断 ；根据二项分布的性质即可判断 ．
【解答】解：对于 ，新数据的和为 ，故平均数不变，
又 ，
故原数据的极差为 ，新数据极差为 ，
所以 ，所以极差变小了，
由于平均数没变，说明新数据相对于原数据更集中于平均数附近，
故数据更稳定，所以方差应该变小，故 错误；
对于 ，因为线性回归方程为 过样本点的中心 ，
所以 ，解得 ，故 错误；
对于 ，因为 ，已知 ，
13所以 ，所以人数为 人，故 错误．
对于 ，因为 ，
所以 ， ，解得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了概率统计的综合应用，属于中档题．
6．（2024•南开区一模）已知随机变量 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】数学运算；概率与统计；定义法；对应思想
【分析】根据正态分布以及二项分布相关知识可解．
【解答】解：因为随机变量 ， ，且 ，
则 ， ，
根据正态分布性质可知 ，
则 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查正态分布以及二项分布相关知识，属于中档题．
7．（2024•罗湖区校级模拟）设 、 、 为互不相等的正实数，随机变量 和 的分布列如表，若记
， 分别为 ， 的方差，则下列说法正确的是
14A．
B．
C．
D． 与 的大小关系与 ， ， 的取值有关
【答案】
【考点】离散型随机变量的方差与标准差
【专题】综合法；数学运算；概率与统计；对应思想
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差的公式结合题中所给随机变量 和 的分布列即可求解．
【解答】解：由题 ，
，
故 ，
，
又
，
即 ，也即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差的有关计算，属于中档题．
8．（2024•辽宁一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别
放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．
15若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的应用
【专题】综合法；转化思想；计算题；方程思想；概率与统计；数学运算
【分析】根据题意，分2种情况讨论甲获胜的情况，由相互独立事件的概率性质求出各自的概率，由互
斥事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若甲独自获胜，分2种情况讨论：
①甲抽到自己的灯谜，而乙、丙都没有抽到自己的灯谜，
甲乙丙三人每人随机选一个球，有 种抽取方法，
若只有甲抽到自己的灯谜，有1种抽取方法，
故只有甲抽到自己的灯谜的概率为 ，
则此时甲独自获胜的概率 ，
②甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，
甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，甲有2种可能，乙、丙只有1种可能，则有 种可能，
故甲乙丙都没有抽到自己的灯谜的概率为 ，
则此时甲独自获胜的概率 ，
故甲独自获胜的概率 ．
故选： ．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意“甲独自获胜”的情形，属于中档题．
9．（2024•格尔木市模拟）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛 局，且每局小王获胜的概率
和小张获胜的概率均为 ，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记小王赢得比赛的概率
为 ，则下列结论错误的是
A． B． （2） （1）
16C． D． 随着 的增大而增大
【答案】
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【专题】转化思想；数学运算；逻辑推理；概率与统计；综合法
【分析】要使小王赢得比赛，则小王至少赢 局，进而表达出 ，结合组合数公式求解得到 ，
由此能求出结果．
【解答】解：由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢 局，
则 ，
，
， ， ， ，
，
（1） ，故 正确；
（2） ， （2） （1），故 错误；
，故 正确；
由 ，
，
， 随着 的增大而增大，故 正确，
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2024•益阳模拟）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地
区居民进行普查化验，化验结果阳性率为 ，但统计分析结果显示患病率为 ．医学研究表明化验
17结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01，则该地区患有该疾病
的居民化验结果呈阳性的概率为
A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99
【答案】
【考点】条件概率
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；概率与统计
【分析】利用全概率公式和条件概率公式即可求得所求事件的概率．
【解答】解：设 “患有该疾病”， “化验结果呈阳性”，
由题意可知 （A） ， （B） ， ．
（B） （A） ，
，解得 ．
患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为0.98．
故选： ．
【点评】本题考查全概率公式的应用，考查运算求解能力，属中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2
个球．事件 “两次取到的球颜色相同”；事件 “第二次取到红球”；事件 “第一次取到红
球”．下列说法正确的是
A． B．事件 与事件 是互斥事件
C． D．
【答案】
【考点】随机事件；互斥事件与对立事件
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解
【分析】由已知先列举出事件 ， ， 包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检
验各选项即可判断．
【解答】解：由题意可得， （红，红），（绿，绿） ， （红，红），（绿，红） ，
18（红，红），（红，绿） ，
则 ，选项 错误；
，选项 错误；
，选项 正确；
，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了事件基本关系的判断，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
12．（2024•佛山一模）有一组样本数据 0，1，2，3，4，添加一个数 形成一组新的数据，且
，1，2，3，4， ，则新的样本数据
A．极差不变的概率是
B．第25百分位数不变的概率是
C．平均值变大的概率是
D．方差变大的概率是
【答案】
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；用样本估计总体的离散程度参数
【专题】对应思想；概率与统计；计算题；综合法；数学运算
【分析】根据题意得到 取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐
一判断即可．
【解答】解：由题意得 ， ， ，
， ， ，
对于 ，若极差不变，则 ，1，2，3，4，概率为 ，故 正确；
19对于 ，由于 ， ，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以 ，2，3，4，5，第25百分位数不变的概率是 ，故 错误；
对于 ，原样本平均值为 ，平均值变大，则 ，4，5，概率为 ，
故 正确；
对于 ，原样本的方差为 ，
显然，当 时，新数据方差变小，当 ，4，5时，新数据方差变大，
当 时，新数据的平均数为 ，
方差为 ，
同理，当 时，新数据的方差为 ，
所以方差变大的概率为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
13．（2024•越秀区校级一模）下列说法正确的是
A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B．若数据 ， ， ， ， 的标准差为 ，则数据 ， ， ， ， 的标准差为
C．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．随机变量 服从二项分布 ，若方差 ，则
【答案】
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数； 重伯努利试验与
二项分布；离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】概率与统计；转化法；数学运算；转化思想
【分析】根据百分位数的计算方法，可判定 错误；根据方差的性质，可判定 正确；根据正态分布曲
线的对称性，可判定 正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定 正确．
【解答】解：对于 中，数据从小到大排列为1，1，2，2，3，4，4，5，共有8个数据，
因为 ，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以 不正确；
20对于 中，数据 ， ， ， ， 的标准差为 ，
由数据方差的性质，可得数据 ， ， ， 的标准差为 ，所以 正确；
对于 中，随机变量 服从正态分布 ，且 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 ，所以 正确；
对于 中，随机变量 服从二项分布 ，且 ，
可得 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ；
综上可得， ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于中档题．
14．（2024•新郑市校级一模）关于下列命题中，说法正确的是
A．已知 ，若 ， ，则
B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的 分位数为78
C．已知 ，若 ，则
D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人．现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高
一抽取了20人，则应从高三抽取19人
【答案】
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义； 重伯努利试验与二项分布；分层随机抽样；离散型
随机变量的均值（数学期望）
【专题】转化法；概率与统计；数学运算；转化思想
【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得 ，知 错误；将数据按照从小到大顺序排序
后，根据百分位数的估计方法直接求解知 正确；由正态分布曲线的对称性可求得 正确；根据分层抽
样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知 正确．
21【解答】解：对于 ， ，
，
，解得 ，故 错误；
对于 ，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，
，
分位数为第5个数，即78，故 正确；
对于 ， ，
，故 正确；
对于 ， 抽样比为 ，
高二应抽取 人，则高三应抽取 人，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与方差，考查转化能力，属于中档题．
15．（2024•袁州区校级三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件 ：甲骰子点数为奇数，事
件 ：乙骰子点数为偶数，事件 ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有
A．事件 与事件 对立 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 相互独立 D． （C）
【答案】
【考点】随机事件；互斥事件与对立事件
【专题】概率与统计；综合法；数学抽象；整体思想
【分析】对于 ，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判
断；对于 ，计算出 （A） （B）， ，根据 （A） （B）可以判定两个事件是否
相互独立；对于 ，计算出 （A） （C）， ，根据 （A） （C）可以判定两个事
件是否相互独立；对于 ，由前面可知 （C）， ，即可判断是否相等．
22【解答】解：由题意，得 ， ， ，
对于 ，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件 与事件 不互斥，故事件
与事件 不对立，故 错误；
对于 ，由题意知 ，又 ，故事件 与事件 相互独立，
故 正确；
对于 ， ，又 ，故事件 与事件 相互独立，故 正确；
对于 ，由上知， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了相互独立，互斥及对立事件的判断，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•江西一模）斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波
那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、
1、2、3、5、8、13、21、34、 ，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： ， ，
， ， ， ， ， 且 中，则 中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
【答案】 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【专题】数学运算；概率与统计；对应思想；定义法
【分析】记 中所有偶数组成的集合为 ，所有奇数组成的集合为 ，集合 的子集为 ，集合 中含
有奇数个元素的子集为 ，则所有元素之和为奇数的集合 可看成 ，然后可解．
【解答】解：由斐波那契数列规律可知，集合 ， ， ， 中的元素有674个偶数，1350个
奇数，
23记 中所有偶数组成的集合为 ，所有奇数组成的集合为 ，集合 的子集为 ，集合 中含有奇数个
元素的子集为 ，
则所有元素之和为奇数的集合 可看成 ，
显然集合 共有 个，集合 共有 个，
所以所有元素之和为奇数的集合 共有 个，
又集合 的非空子集共有 个，所以 中所有元素之和为奇数的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查集合、二项式系数的性质以及古典概型相关知识，属于中档题．
17．（2024•厦门模拟）在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为
维坐标 ， ， ， ，其中 ， ， ．则5维“立方体”的顶点个数是
32 ；
定 义 ： 在 维 空 间 中 两 点 ， ， ， 与 ， ， ， 的 曼 哈 顿 距 离 为
．在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 ．
【答案】32； ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算
【分析】根据乘法原理，即可确定顶点个数；
首先确定 ，1，2， ，5，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望．
【解答】解：对于5维坐标 ， ， ， ， 有 ， 两种选择 ，
故共有 种选择，即5维“立方体”的顶点个数是 个顶点；
对于 的随机变量，在坐标 ， ， ， ， 与 ， ， ， ， 中有 个坐标值不同，
24即 ，剩下 个坐标值满足 ，
此时所对应情况数为 种，即 ，
故分布列为：
1 2 3 4 5
所以数学期望 ．
故答案为：32； ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（2024•和平区二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．
在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响
已知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 ．
若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规
定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，则这个问题回答正
确的概率为 ．
【答案】 ； ．
【考点】概率的应用；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【专题】综合法；计算题；方程思想；转化思想；数学运算；概率与统计
【分析】根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，先由相互独
立事件的概率公式求出 （B）、 （C）的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，结合全概率公式
以及条件概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，
则 （A） ， （A） （C） ， （B） （C） ，
则 （C） ， （B） ，
25若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率 ，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，
则这个问题回答正确的概率 ．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的概率计算，属于中档题．
19．（2024•魏都区校级三模）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为 ，反面向上的概率为 ，记
次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为 ，则数列 的通项公式 ．
【答案】 ．
【考点】数列递推式；全概率公式
【专题】整体思想；数学运算；概率与统计；综合法
【分析】根据题意可求出 ，第 次抛掷后得到偶数次正面向上，包括两种情况：①前 次抛掷
后得到偶数次正面向上，且第 次抛掷得到反面向上；②前 次抛掷后得到奇数次正面向上，且第
次抛掷得到正面向上，由全概率公式得可 ，再构造等比数列，利用等比数列
的通项公式求解即可．
【解答】解：1次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为 ，
2次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为 ，
第 次抛掷后得到偶数次正面向上，包括两种情况：①前 次抛掷后得到偶数次正面向上，且第
次抛掷得到反面向上；②前 次抛掷后得到奇数次正面向上，且第 次抛掷得到正面向上，
由全概率公式得， ，
即 ，
所以 ，
26则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了数列的递推式，属于中档题．
20．（2024•浙江模拟）甲、乙两人玩游戏，规则如下：第 局，甲赢的概率为 ；第
局，乙赢的概率为 ．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次
时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ．
【答案】 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】概率与统计；定义法；对应思想；数学运算
【分析】利用期望满足的性质可求题设中的数学期望．
【解答】解：设甲、乙两人玩的局数为 ，其数学期望为 ，
由题设，游戏至少进行两局，若 ，则比分为 ， ，否则前两局的比分为
，
从此刻开始直到游戏结束，进行的局数的期望跟比分为 时相同，总局数的期望为 ，
故 ，故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望及性质，是中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•香河县校级模拟）人工智能（英语： ，缩写为 亦称智械、机器智能，
指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技
27术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移
物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大共的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻
辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来
源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库
某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工筸能是否感兴趣，随机从该校高一年级学
生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 180 40 220
女生 120 60 180
合计 300 100 400
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取 10人，再从这10人中随机抽取
3人进行采访，记随机变量 表示抽到的3人中女生的人数，求 的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0，001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）依据小概率值 的独立性检验，能认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联；
（2） 的分布列为：
0 1 2 3
．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】数学运算；综合法；概率与统计；整体思想
【分析】（1）根据题目给出的列联表，计算 的值，再与临界值比较，即可作出判断；
（2）由题意可知 的可能取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，得到 的分
布列，再结合期望公式求解．
【解答】解：（1）由列联表可得， ，
因为 ，
28所以依据小概率值 的独立性检验，能认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联；
（2）抽取的10人中男生人数为 ，女生人数为 ，
则 的可能取值有0，1，2，3，
所以 ， ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
22．（2024•江西一模）设 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 ， ，其中
， ，令 ， ，称 是二维离散型随机变量 的联合分布列．与
一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
现有 个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数
为 ，落入第2号盒子中的球的个数为 ．
（1）当 时，求 的联合分布列；
（2）设 ， 且 ，计算 ．
【答案】（1） 的联合分布列为：
0 1 2
290
1 0
2 0 0
（2） ．
【考点】离散型随机变量及其分布列
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算
【分析】（1）由题意知 可取0，1，2， 可取0，1，2，直接计算概率，列出 的联系分布列即
可；
（2）直接计算 ， ，结合二项分布的期望公式求
出 ．
【解答】解：（1）由题意知 可取0，1，2， 可取0，1，2，
则 ，
，
，
，
，
，
， ， ， ，
的联合分布列为：
0 1 2
300
1 0
2 0 0
（2）当 时， ，
，
，
，
设 ，则由二项分布的期望公式得 ．
【点评】本题考查二维离散型随机变量的联合分布列、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、
二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23．（2024•黄山模拟）某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示
其中成绩分组区间是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
（1）求图中 的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；
（2）从这次数学成绩位于 ， ， ， 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方．法抽取9
人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间 ， 的人数记为 ，求 的分布列及数学期
望．
31【答案】（1）0.005；120；
（2）分布列见解析；期望为2．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】综合法；数学运算；方程思想；概率与统计；综合题
【分析】（1）利用频率分布直方图中频率之和为1，列方程求解即可，根据第85百分位数公式计算即可；
（2）求出 的可能取值及对应的概率，完成分布列，即可求出期望．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得 ，
解得 ．
前4个矩形面积之和为 ，
前5个矩形面积之和为 ．
设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为 ，
则 ，解得， ，
所以这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120．
（2）数学成绩位于 ， ， ， 的学生人数之比为： ，
所以所抽取的9人中，数学成绩位于 ， 的学生人数为 人，
数学成绩位于 ， 的学生人数为 人，
由题意可知，随机变量 的可能取值有0，1，2，3，
则 ， ，
， ．
所以 的分布列为：
0 1 2 3
．
【点评】本题考查频率分布直方图及离散型随机变量分布列，属中档题．
24．（2024•河南模拟）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有
32个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取 个球 ，摸完后全部放回
袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
（1）若 ， ，当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所
获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；
（2）若 ， ，当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元
时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】（1） ；（2）期望为96；方差为104．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量的方差与标准差
【专题】转化法；转化思想；概率与统计；数学运算
【分析】（1）记事件 ：员工所获得的红包数额不低于90元，事件 ：取到面值为60元的球，根据条
件先求 （A）， ，再利用条件概率公式，即可求解；
（2）由题知 可能取值为80，90，100，110，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求
解．
【解答】解：（1）记事件 ：员工所获得的红包数额不低于90元，事件 ：取到面值为60元的球，
因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，
且 ， ， ， ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
（2）设 为员工取得的红包数额，则 可能取值为80，90，100，110，
所 以 ，
33，
， ，
所以 ，
．
【点评】本题考查离散型随机变量的方差与标准差，考查概率的计算，属于中档题．
25．（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随
机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8万元；第四次索赔时，保险公
司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛利
润的数学期望估计值与 中 估计值的大小，（结论不要求证明）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；
（2） 设 为赔付金额，则 可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，
从而可求 ；
先算出下一期保费的变化情况，结合 的结果可求 ．
【解答】解：（1）设 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
34由题设中的统计数据可得 ；
（2） 设 为赔付金额，则 可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由题可得 ， ，
， ， ，
所以 ，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故 （万元）；
由 知未赔偿的概率为 ，至少赔偿一次的概率为 ，
故保费的变化为 ，
设 为保单下一保险期的毛利润，
故 （万元）．
所以 ．
【点评】本题考查用概率的数学期望的知识解决实际应用问题，属于中档题．
35考点卡片
1．数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{a
n
}的第1项（或前几项），且任一项a
n
与它的前一项a
n﹣1
（或前几
项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和S 与通项a 的关系式：a ＝ ．
n n n
在数列{a }中，前n项和S 与通项公式a 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
n n n
注意：（1）用a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，
a ＝S ）；若a 适合由a 的表达式，则a 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
1 1 1 n n
（2）一般地当已知条件中含有a
n
与S
n
的混合关系时，常需运用关系式a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
，先将已知条件转化
为只含a 或S 的关系式，然后再求解．
n n
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知S （即a +a +…+a ＝f（n））求a ，用作差法：a ＝ ．一般地当已知条
n 1 2 n n n
件中含有a 与S 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
n n
（3）已知a •a …a ＝f（n）求a ，用作商法：a ，＝ ．
1 2 n n n
（4）若 a n+1 ﹣a n ＝f（n）求 a n ，用累加法：a n ＝（a n ﹣a n﹣1 ）+（a n﹣1 ﹣a n﹣2 ）+…+（a 2 ﹣a 1 ）+a 1
（n≥2）．
（5）已知 ＝f（n）求a ，用累乘法：a ＝ （n≥2）．
n n
（6）已知递推关系求a ，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
n
①形如a
n
＝ka
n﹣1
+b、a
n
＝ka
n﹣1
+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k的等
比数列后，再求a ．
n
②形如a ＝ 的递推数列都可以用倒数法求通项．
n
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
362．随机事件
【知识点的认识】
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1
可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
3．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A ，A ，…，A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A ，A ，…A 彼此互斥．
1 2 n 1 2 n
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 彼此互斥，那么事件发生（即A ，A ，…，A 中有一个发生）
1 2 n 1 2 n
的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A +A +…+A ）＝P（A ）+P（A ）+…+P（A ）
1 2 n 1 2 n
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做 ．
37注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与 只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（ ）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一
必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是
“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B
不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，
∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是
不是对立事件，
∴D正确
故选D
38点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立
事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是
对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理
解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且 ， ，
则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，
则 ， ，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝
故答案为：
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，
考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（ ）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
39分析：根据对立事件的概率公式p（ ）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（ ）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
4．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就
可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概
率都是 ；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝ ＝ ．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝ 求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
40（2）利用分析法求解古典概型．
5．概率的应用
【知识点的认识】
概率相关知识梳理：
一、古典概型与互斥事件
1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．
2．古典概率计算公式：P（A）＝ ．
集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．
3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）
试验结果出现等可能性．
4．互斥事件概率
（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．
（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．
（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，
这样的两个事件称为对立事件．记作：B＝ ，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（ ）
（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．
用集合的观点分析对立事件与互斥事件：
设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝ （如图所示）
∅
设两个对立事件A， 包含的所有结果构成的集合为A， ，A∩ ＝ ，A∪ ＝I，
∅
则
注：若A ，A ，…，A 任意两个事件互斥，
1 2 n
则：P（A +A +…+A ）＝P（A ）+P（A ）+…+P（A ）
1 2 n 1 2 n
二、几何概型
几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G G的概率与G 的面积成
1 1
正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型． ⊆
41几何概型计算公式：
几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．
注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．
三、条件概率与独立事件
1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B
发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率
记为P（B|A）．
2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．
3．条件概率计算公式：P（A|B）＝ （P（B）＞0），P（B|A）＝ （P（A）＞0），
注：
（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．
（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．
此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）＝ （P（B）＞0 P（AB）＝P
（A）P（B）． ⇒
故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与 ， 与B， 与
也相互独立．
四、二项分布、超几何分布、正态分布
1．二项分布：
（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．
n次独立重复试验的特征：
①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；
②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．
（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验
中这个事件恰好发生k次的概率为 ，若随机变量由此式确定，
则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．
2．超几何分布
42超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，
用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则 ，（k为非负整数），若随机变
量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）
注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概
率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．
3．正态分布：
（1）正态曲线：函数f（x）＝ ，x （﹣∞，+∞）图象为正态分布密度曲线，简称
正态曲线． ∈
（2）若随机变量X～N（ ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝σ2．
μ μ
五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．
1、概念：
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常
用希腊字母 、 等表示．
（2）离散型ξ随机η 变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散
型随机变量．若 是随机变量， ＝a +b，其中a、b是常数，则 也是随机变量．
（3）连续型随机ξ变量：对于随机η变量ξ 可能取的值，可以取某一区η间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表
示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不
可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X来表示，并且X是随着试验结果
的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希
腊字母 ， ，…表示．
（2）离ξ散型η 随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
43（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x ，x ，…，x ；X取每一个对应值的概率分别
1 2 n
为p ，p ，…，p ，则得下表：
1 2 n
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①p≥0，i＝1，2，3，…，n；②p +p +…+p ＝1．
i 1 2 n
4、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
… ξ …
x x x
n
1 2
… …
P p p p
n
1 2
则称E ＝x p +x p +…+x p +…为 的数学期望，简称期望．
1 1 2 2 n n
数学期ξ望的意义：数学期望离散型ξ随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令p ＝p ＝…＝p ，则有p ＝p
1 2 n 1 2
ξ
＝…＝p ＝ ，E ＝（x +x +…+x ）× ，所以 的数学期望又称为平均数、均值．
n 1 2 n
期望的一个性质：ξ若 ＝a +b，则E（a +b）＝ξaE +b．
η ξ ξ ξ
5、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是x ，x ，…，x ，…，且取这些值的概率分别是
1 2 n
p ，p ，…，p …，那么， ξ
1 2 n
称为随机变量 的
ξ
均方差，简称为方差，式中的E 是随机变量 的期望．
ξ ξ
标准差：D 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 ．
ξ ξ
方差的性质： ．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
44（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集
中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
【解题方法点拨】
概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重点考查古典概率、几何概率、离散型随机
变量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主．考查的内容相对简单，即掌握
住基础知识就能解决此类问题．对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型
随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现．题目的难度在中等以上
水平，解决此类问题的关键是正确理解离散型随机变量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，
如二项分布、超几何分布等），便于求出分布列，进而求出均值与方差．利用均值、方差的含义去分析
问题，这也是新课标高考命题的方向．
【命题方向】
题型一：概率的计算
典例1：已知函数y＝ （0≤x≤4）的值域为A，不等式x2﹣x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取
的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a为横坐标，b为纵坐标，建立平面直角坐标系，则围成的区域
面积为2，使得a＞b的区域面积为2﹣ ，故所求概率为 ．
故选D
题型二：离散型随机变量的分布列、均值、方差
典例2：在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流
而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每
次射击是相互独立的，且命中的概率都是 ．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ．求 的分布列及数学期望E（ ）．（结果用分
数表示） ξ ξ ξ
45解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X＝0或X＝1时，油罐不能被引爆．
，
，
∴
（II）射击次数 的取值为2，3，4，5．
ξ
，
，
，
P（ ＝5）＝1﹣P（ ＝2）﹣P（ ＝3）﹣P（ ＝4）
ξ ξ ξ ξ
＝ ．
因此， 的分布列为：
ξ 2 3 4 5
Pξ
∴
6．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做
相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生
的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
1 2 n
的概率之积，即：
P（A •A …A ）＝P（A ）•P（A ）…P（A ）
1 2 n 1 2 n
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
46（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
7．条件概率
【知识点的认识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条
件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝ ，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件
B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝
【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的
概率是 ．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即
（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝ ＝
故答案为：
典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，
47答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为 ， ， ，乙队每人答
对的概率都是 ．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量 的分布列及其数学期望E（ ）； ξ
（Ⅱ）求在甲队和乙ξ 队得分之和为4的条件下，ξ甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知 的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ ＝0），P（ ＝1），P（ ＝2），P（
＝3），由此能求出随机ξ变量 的分布列和数学期望E（ ）． ξ ξ ξ ξ
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之ξ和为4”为事件A，“甲队ξ比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P
（AB），再由P（B/A）＝ ，能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知 的可能取值为0，1，2，3，
ξ
P（ ＝0）＝（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）＝ ，
ξ
P（ ＝1）＝ （1﹣ ）（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）（1﹣ ）× ＝ ，
ξ
P（ ＝2）＝ + + ＝ ，
ξ
P（ ＝3）＝ ＝ ，
∴随ξ机变量 的分布列为：
ξ 0 1 2 3
Pξ
数学期望E（ ）＝0× +1× +2× +3× ＝ ．
（Ⅱ）设“甲ξ队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）＝ + + ＝ ，
P（AB）＝ ＝ ，
P（B|A）＝ ＝ ＝ ．
8．全概率公式
48【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设 A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A ∪A ∪…∪A ＝ ，且P（A）＞0，i＝1，
1 2 n 1 2 n i
2，…，n，则对任意的事件B ，有 Ω
⊆Ω
P（B）＝ ．
9．离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常
用希腊字母 、 等表示．
（2）离散型ξ随机η 变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散
型随机变量．若 是随机变量， ＝a +b，其中a、b是常数，则 也是随机变量．
（3）连续型随机ξ变量：对于随机η变量ξ 可能取的值，可以取某一区η间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表
示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不
可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X来表示，并且X是随着试验结果
的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希
腊字母 ， ，…表示．
（2）离ξ散型η 随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x ，x ，…，x ；X取每一个对应值的概率分别
1 2 n
为p ，p ，…，p ，则得下表：
1 2 n
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①p≥0，i＝1，2，3，…，n；②p +p +…+p ＝1．
i 1 2 n
4910．离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
… ξ …
x x x
n
1 2
… …
P p p p
n
1 2
则称E ＝x p +x p +…+x p +…为 的数学期望，简称期望．
1 1 2 2 n n
数学期ξ望的意义：数学期望离散型ξ随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令p ＝p ＝…＝p ，则有p ＝p
1 2 n 1 2
ξ
＝…＝p ＝ ，E ＝（x +x +…+x ）× ，所以 的数学期望又称为平均数、均值．
n 1 2 n
期望的一个性质：ξ若 ＝a +b，则E（a +b）＝ξaE +b．
11．离散型随机变量的η方差ξ 与标准差 ξ ξ
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
… ξ …
x x x
n
1 2
… …
P p p p
n
1 2
则称E ＝x p +x p +…+x p +…为 的数学期望，简称期望．
1 1 2 2 n n
数学期ξ望的意义：数学期望离散型ξ随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令p ＝p ＝…＝p ，则有p ＝p
1 2 n 1 2
ξ
＝…＝p ＝ ，E ＝（x +x +…+x ）× ，所以 的数学期望又称为平均数、均值．
n 1 2 n
期望的一个性质：ξ若 ＝a +b，则E（a +b）＝ξaE +b．
η ξ ξ ξ
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是x ，x ，…，x ，…，且取这些值的概率分别是
1 2 n
p ，p ，…，p …，那么， ξ
1 2 n
50称为随机变量 的
ξ
均方差，简称为方差，式中的E 是随机变量 的期望．
ξ ξ
标准差：D 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 ．
ξ ξ
方差的性质： ．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集
中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
12．n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，
则
P（X＝k）＝ pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，
p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那
么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为
p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝ pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，
1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这
n次试验是独立的．
51（4）独立重复试验概率公式的特点：P （k）＝ pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好
n
发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复
试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只
要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对
立事件的概率公式计算更简单一样．
【命题方向】
典例1：如果ζ～B（100， ），当P（ζ＝k）取得最大值时，k＝ 5 0 ．
解：∵ζ～B（100， ），
当 ，
由组合数知，当k＝50时取到最大值．
故答案为：50．
典例2：一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取
2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，∈否则不中．
（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？
解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，
∴每次中奖的概率p＝ ＝ ；
（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p＝ ，
∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为 ＝ ；
（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）＝ ＝3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），
∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），
52∴f（p）在（0， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，
∴p＝ 时，f（p）取得最大值，即p＝ ＝
∴m＝2，即m＝2时，f（p）取得最大值．
13．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数 ， （x）＝ ，x （﹣∞，+∞），其中实数 和σ（σ＞0）为参数，我们
σ
称 φ，μ σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲∈线，简称正态曲线． μ
（φ2μ）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x （﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数： 和e，这∈是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：π和σ，其中 可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
μ μ
④解析式前面有一个系数为 ，后面是一个以 e 为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣
．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝ ，σ（x）dx，则称X的分布为
μ
正态分布，记作N（ ，σ2）． φ
（2）正态总体在三μ个特殊区间内取值的概率值
①P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ +2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
μ μ
533．正态曲线的性质
正态曲线 ， （x）＝ ，x R有以下性质：
σ
（1）曲线φ位μ于x轴上方，与x轴不相交；
∈
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝ 对称；
μ
（3）曲线在x＝ 处达到峰值 ；
（4）曲线与xμ 轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着 的变化而沿x轴平移；
（6）当 一定时，曲线的形μ状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲
线越“μ矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小
概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高
考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下
手或计算错误．对正态分布N（ ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第
二个数值应该为σ2而不是σ，同μ时，记住正态密度曲线的六条性质．
【命题方向】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝ ，则这
个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由 ＝ ，可知σ＝2， ＝10．
答案：B． μ
54典例2：已知随机变量 服从正态分布N（2，σ2），且P（ ＜4）＝0.8，则P（0＜ ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4ξ C．0.3 D．0.2 ξ ξ
解析：由P（ ＜4）＝0.8知P（ ＞4）＝P（ ＜0）＝0.2，
故P（0＜ ＜ξ2）＝0.3．故选Cξ． ξ
ξ
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（
）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣ P（2≤X≤4）＝0.5﹣
×0.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 ．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数 ，σ的值，其中
决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关． μ μ
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y轴对称，即 ＝0．由
μ
＝ ，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
，σ（x）＝ ，x （﹣∞，+∞）．
μ
φ ∈
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.6826．
点评μ：解决此类μ问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变
化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（ ， ）（σ ＞0）和N（ ， ）（σ ＞0）的密度函数图象如图所示，
1 1 2 2
μ μ
55则有（ ）
A． ＜ ，σ ＜σ
1 2 1 2
B．μ
1
＜μ
2
，σ
1
＞σ
2
C．μ
1
＞μ
2
，σ
1
＜σ
2
D．μ
1
＞μ
2
，σ
1
＞σ
2
解μ析：μ根据正态分布N（ ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝ 对称，在x＝ 处取得
最大值的连续钟形曲线；μσ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小μ，曲线的最高点μ越高且较
陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（ ﹣σ， +σ]．（ ﹣2σ， +2σ]或[ ﹣3σ， +3σ]上的概率，并利用正态密度曲
线的对称性求解． μ μ μ μ μ μ
解析：∵X～N（1，22），∴ ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（μ1﹣2＜X≤1+2）
＝P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.682 6．
（2）μ∵P（3＜μX≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝ [P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝ [P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝ [P（ ﹣2σ＜X≤ +2σ）﹣P（ ﹣σ＜X≤ +σ）]
μ μ μ μ
＝ ×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
56（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝ [1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝ [1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝ [1﹣P（ ﹣2σ＜X≤ +2σ）]
μ μ
＝ ×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知
概率的三个区间上．
典例2：随机变量 服从正态分布N（1，σ2），已知P（ ＜0）＝0.3，则P（ ＜2）＝ ．
解析：由题意可ξ知，正态分布的图象关于直线x＝1对称ξ，所以P（ ＞2）＝ξP（ ＜0）＝0.3，P（ ＜2）
＝1﹣0.3＝0.7． ξ ξ ξ
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽
车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1
200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量 服从正态分布N
（8，σ2），已知耗油量 [7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 ξ辆．
解析：由题意可知 ～ξN（∈8，σ2），故正态分布曲线以 ＝8为对称轴，又因为P（7≤ ≤9）＝0.7，故P
（7≤ ≤9）＝2Pξ（8≤ ≤9）＝0.7，所以P（8≤ ≤μ9）＝0.35，而P（ ≥8）＝0.5，ξ所以P（ ＞9）＝
0.15ξ，故耗油量大于9ξ升的汽车大约有1 200×0.1ξ5＝180辆． ξ ξ
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯
形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ ＞x ）＝P（ ＜x ）时必然有 ＝ ，这是解决正态
1 2
ξ ξ μ
分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4， ），问在一次正常的试验中，取1 000个
零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
57解∵X～N（4， ），∴ ＝4，σ＝ ．
∴不属于区间（3，5]的μ概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（ ﹣3σ＜X≤ +3σ）
＝1﹣0.9μ974＝0.002μ6≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
14．分层随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不
同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层
抽样，其中所分的各部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随 抽样过程中每个个体被 从总体中逐个抽取 总体中的个体数
机抽样 抽取的概率是相同的 较少
系统抽 将总体均匀分成几个部分，按事 在起始部分抽样时采 总体中的个体数
样 先确定的规则在各部分抽取 用简单随机抽样 较多
分层抽 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单 总体由差异明显
样 随机抽样或系统抽样 的几部分组成
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，
从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
58故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16人参加
军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽
取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于 ＝ ，54× ＝9，42× ＝7．
故从一班抽出9人，从二班抽出7人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的
个体数．
例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职
工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为 ＝15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽
到的概率，就得到样本容量n的值．
15．用样本估计总体的离散程度参数
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中
各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映
这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
59平均数 ＝ （98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2＝ [（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S＝ ．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【命题方向】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．经验回归方程与经验回归直线
【知识点的认识】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计
分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线
性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表
示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和
自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设
随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认
为关于的回归函数的类型为线性函数．
【解题方法点拨】
例：对于线性回归方程 ，则 ＝
解： ，因为回归直线必过样本中心（ ），
所以 ．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（ ），求出 ，代入即可求 ．这里面可以看出线性规划
这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【命题方向】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
17．排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
60②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行
分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们
“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决
“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置
的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的
解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 ；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排
在某r个指定位置则有 ；
61（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A
策略，排列 ；组合 ；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A
策略，排列 ；组合 ；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个
元素中的s个元素．先C后A策略，排列 ；组合 ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:44:17；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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