文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练21
一．选择题（共10小题）
1．（2024•安徽模拟）已知 ， 为圆 上的动点，且动点 满足： ，记
点的轨迹为 ，则
A． 为一条直线 B． 为椭圆
C． 为与圆 相交的圆 D． 为与圆 相切的圆
2．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹
长度为
A． B． C． D．
3．（2024•大武口区校级一模）相距 的 ， 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 ，已知声
速是 ，炮弹爆炸点一定在曲线 的方程上．
A．
B．
C． 或
1D．
4．（2024•海淀区校级三模）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方程为： ，
为坐标原点，点 ，点 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：
①卵圆 关于 轴对称；
②卵圆上不存在两点关于直线 对称；
③线段 长度的取值范围是 ， ；
④ 的面积最大值为1；
其中正确说法的序号是
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，
且 ，则下列说法正确的是
A．点 的轨迹为圆
B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形
D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
6．（2024•天河区校级模拟）已知在平面直角坐标系 中，双曲线 的右焦点为
，点 为双曲线右支上一点，直线 交双曲线于另一点 ，且 ， ，直线
经过椭圆 的下顶点，记 的离心率为 ， 的离心率为 ，则
A． B．
2C． D．
7．（2024•德州模拟）已知点 为圆 上一动点，点 满足 ，记点 的轨迹为 ．
直线 上有一动点 ，直线 与 相切于点 ，则 的最小值为
A．2 B． C． D．
8．（2024•闵行区校级三模）已知 是圆柱 下底面的一条半径， ， ， 为该圆柱侧
面上一动点， 垂直下底面于点 ，若 ，则对于下述结论：①动点 的轨迹为椭圆；②
动点 的轨迹长度为 ；以下说法正确的为
A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误
9．（2024•石景山区一模）对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
其中正确的命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2024•济宁二模）已知 是坐标原点， ，动点 满足 ，则 的最大
值为
A． B． C．1 D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•李沧区校级二模）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知
曲线 是到两定点 ， 的距离之积为常数2的点的轨迹，设 是曲线 上的点，
3给出下列结论，其中正确的是
A．曲线 关于原点 成中心对称 B．
C． D．△ 周长的最小值为
12．（2024•衡阳县校级模拟）已知 ， 为平面直角坐标系内两定点，动点 与点
的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，其中 ， ， 为△ 的三边长，且
，设点 为动点 的轨迹上一点，且点 不在坐标轴上，则下列结论中正确的是
A．当 时，
B．若点 在 轴右侧时，则△ 内切圆的圆心在定直线 上
C．使得△ 为等腰三角形的点 有且仅有4个
D．△ 的面积为
13．（2024•李沧区校级一模）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是
数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．关于曲线 ，则下列结论正确的是
A．曲线 关于原点成中心对称图形
B．曲线 关于 轴， 轴成轴对称图形
C．曲线 上任意两点之间的距离都不超过2
D．曲线 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于
14．（2024•潞州区校级一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，
心 形 线 也 是 其 中 一 种 ， 因 其 形 状 像 心 形 而 得 名 ， 其 平 面 直 角 坐 标 方 程 可 表 示 为
，图形如图所示．当 时，点 ， ， ， 在这条心形线 上，
且 ，则下列说法正确的是
4A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D． 上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
15．（2024•遵义二模）已知平面内曲线 ，下列结论正确的是
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 所围成图形的面积为
C．曲线 上任意两点同距离的最大值为
D．若直线 与曲线 交于不同的四点，则
三．填空题（共5小题）
16．（2024•长春模拟）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿 折起，使
得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．若 是线段 的中点，点 在
三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 ．
17．（2024•南昌二模）如图，有一张较大的矩形纸片 ， ， 分别为 ， 的中点，点 在
上， ．将矩形按图示方式折叠，使直线 （被折起的部分）经过 点，记 上与 点重
5合的点为 ，折痕为 ．过点 再折一条与 平行的折痕 ，并与折痕 交于点 ，按上述方法多次
折叠， 点的轨迹形成曲线 ．曲线 在 点处的切线与 交于点 ，则 的面积的最小值为
．
18．（2024•阳江模拟）已知曲线 是平面内到定点 与到定直线 的距离之和等于6的点的
轨迹，若点 在 上，对给定的点 ，用 表示 的最小值，则 的最小值为 ．
19．（2024•岳麓区校级一模）如果直线 和曲线 恰有一个交点，那么实数
的取值范围是 ．
20．（2024•靖远县校级模拟）如图，对于曲线 所在平面内的点 ，若存在以 为顶点的角 ，使得对
于曲线 上的任意两个不同的点 ， 恒有 成立，则称角 为曲线 的相对于点 的“界
角”，并称其中最小的“界角”为曲线 的相对于点 的“确界角”．已知曲线
（其中 是自然对数的底数），点 为坐标原点，曲线 的相对于点 的“确界角”为 ，则
．
6四．解答题（共5小题）
21．（2024•梅江区校级模拟）已知 为圆 的圆心， 是圆 上的动点，点 ，若
线段 的中垂线与 相交于 点．
（1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与点 的轨迹 分别相交于 ， 两点，且与圆 相交于 ， 两
点，求 的取值范围．
22．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称
它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妹”圆锥曲
线， ， 分别为 ， 的离心率，且 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的动直线 交双曲线 右支于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ，
．
试探究 与 的比值 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
23．（2024•青原区校级模拟）如图， 为圆 上一动点，过点 分别作 轴， 轴的垂线，
7垂足分别为 ， ，连接 并延长至点 ，使得 ，点 的轨迹记为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的两条直线 ， 分别交曲线 于 ， 两点，且 ，求证：直线 过定点；
（3）若曲线 交 轴正半轴于点 ，直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别交
轴于 ， 两点．请探究： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 坐标；
若不存在，请说明理由．
24．（2024•红谷滩区校级模拟）已知 ，我们称双曲线 与椭圆 互为
“伴随曲线”，点 为双曲线 和椭圆 的下顶点．
（Ⅰ）若 为椭圆 的上顶点，直线 与 交于 ， 两点，证明：直线 ， 的交点在
双曲线 上；
（Ⅱ）过椭圆 的一个焦点且与长轴垂直的弦长为 ，双曲线 的一条渐近线方程为 ，若
为双曲线 的上焦点，直线 经过 且与双曲线 上支交于 ， 两点，记 的面积为 ，
为坐标原点）， 的面积为 ．
求双曲线 的方程；
证明： ．
25．（2024•赤峰模拟）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线
交直线 于点 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
8（2）若过点 的直线 与曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，且 为线段 的中点．
证明：直线 与曲线 有且仅有一个交点；
求 的取值范围．
92025年菁优高考数学压轴训练21
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•安徽模拟）已知 ， 为圆 上的动点，且动点 满足： ，记
点的轨迹为 ，则
A． 为一条直线 B． 为椭圆
C． 为与圆 相交的圆 D． 为与圆 相切的圆
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】定义法；直线与圆；函数思想；逻辑推理
【分析】设 ， ，由 ，得到 点坐标，设 点坐标为 ，用 点坐标表示 点
坐标，并代入圆 ，得到 点的轨迹方程 ，再利用圆心距与半径的关系判 点的轨迹 与圆 的位置
关系．
【解答】解：设 ， ，由 ，可得 ，
所以 点坐标为 ， ，
设 点坐标为 ，则 ，即 ，
把 代入圆 ，则 点的轨迹 的方程为： ，
即 是圆心为 ，半径为1的圆，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，
即 为与圆 相切的圆．
故选： ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程，属于中档题．
2．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹
10长度为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；轨迹方程
【专题】空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；综合法
【分析】可得 平面 ，可得点 的轨迹为圆，由此即可得．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 、 、 轴，
建立空间直角坐标系， ，2， ， ，1， ，
，0， ， ，0， ， ，2， ，
故 ， ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 得， ，故 ，
因为 ，故 平面 ，
为平面 上的动点，直线 与直线 的夹角为 ，
平面 ，设垂足为 ，以 为圆心， 为半径作圆，
即为点 的轨迹，其中 ，由对称性可知， ，故半径
11，故点 的轨迹长度为 ．
故选： ．
【点评】本题考查立体中的轨迹问题，属于中档题．
3．（2024•大武口区校级一模）相距 的 ， 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 ，已知声
速是 ，炮弹爆炸点一定在曲线 的方程上．
A．
B．
C． 或
D．
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据双曲线的定义进行求解即可．
12【解答】解：设炮弹爆炸点为 ，
由题意可知： ，
显然点 的轨迹是以 ， 的焦点的双曲线，因此有 ， ，
可得： ， ，于是有 ，
根据四个选项可知，只有选项 符合．
故选： ．
【点评】本题考查了曲线与方程的应用，属于中档题．
4．（2024•海淀区校级三模）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方程为： ，
为坐标原点，点 ，点 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：
①卵圆 关于 轴对称；
②卵圆上不存在两点关于直线 对称；
③线段 长度的取值范围是 ， ；
④ 的面积最大值为1；
其中正确说法的序号是
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】综合法；数学运算；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想
【分析】由 与 均满足方程即可判断①；点 ， 和 都在卵圆 上，列
方程，解方程即可判断②；对于③： ，可借助导数求最值，
即可判断③；对于④： ，可求最大值，即可判断④．
【解答】解：对于①：设 是卵圆 上的任意一个点，
13因为 ，所以点 也在卵圆 上，
又点 和点 关于 轴对称，所以卵圆 关于 轴对称，故①正确；
对于②：设点 ， ，则 （1），
若存在卵圆 上点 与 关于 对称，
则 在卵圆 上，满足方程 （2），
（1）（2）联立可得 或 ，
所以卵圆 上存在 、 两点恰好关于 对称，故②错误，
对于③，由 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
设点 ， ， ，
则 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ， （2） ，且 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ， ，故③正确；
14对于④，点 ， ， ，
，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，此时 的面积取得最大值1，故④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下
的概念、法则、运 算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答．
5．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，
且 ，则下列说法正确的是
A．点 的轨迹为圆
B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形
D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】数形结合；直线与圆；平面向量及应用；计算题；转化思想；综合法；数学运算
【分析】设 点坐标为 ，由已知条件 ，结合向量的坐标表示可用 ， 表示 ， ，
结合 可得 ， 的关系，进而可求点 的轨迹方程，再由平行四边形面积公式检验选项 ．
【解答】解：设 点坐标为 ，由已知条件 ，可得 ，
又因为 ，所以 点坐标对应轨迹方程为 ，
15，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ；
，且 时，方程为 ．
点对应的轨迹如图所示： ，
所以 点的轨迹为菱形， ， 错误；
原点到直线的距离为： ，所以 不正确．
轨迹图形是平行四边形，面积为 ； 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了点的轨迹的求解，考查了综合解决问题的能力，属于难题
6．（2024•天河区校级模拟）已知在平面直角坐标系 中，双曲线 的右焦点为
，点 为双曲线右支上一点，直线 交双曲线于另一点 ，且 ， ，直线
16经过椭圆 的下顶点，记 的离心率为 ， 的离心率为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征；圆锥曲线的综合
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 ， ，求解相关的长度，通过 ，求解椭圆与双曲线的离心率，
然后推出选项．
【解答】解：在平面直角坐标系 中，双曲线 的右焦点为 ，点 为双曲线右
支上一点，直线 交双曲线于另一点 ，
得 ， 关于原点对称， ， ，
设 ， ，则由勾股定理得 的中点为 则 为三角形 对应 边的
中位线，
则 ，且 ，
，得 ，椭圆 的下顶点为 ，
则易得 ，解得 ，
则 的焦距 满足 ，
则 ，同时 ，因此 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，三角形相似的判断，是中档题．
177．（2024•德州模拟）已知点 为圆 上一动点，点 满足 ，记点 的轨迹为 ．
直线 上有一动点 ，直线 与 相切于点 ，则 的最小值为
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】综合法；数学运算；直线与圆；方程思想
【分析】设 ， ，由 在圆 上，结合向量数量积的坐标表示，可得 的轨迹方程，再由圆
的切线的性质和勾股定理，结合点到直线的距离公式，可得所求值．
【解答】解：设 ， ，
由点 满足 ，可得 ， ，
即有 ， ，
由 在圆 上，可得 ，
即 ，圆心 ，半径 ，
由直角三角形的勾股定理，可得 ，
即 ，
要求 的最小值，只需求 的最小值．
由点到直线的距离公式，可得 ，
则 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
8．（2024•闵行区校级三模）已知 是圆柱 下底面的一条半径， ， ， 为该圆柱侧
面上一动点， 垂直下底面于点 ，若 ，则对于下述结论：①动点 的轨迹为椭圆；②
18动点 的轨迹长度为 ；以下说法正确的为
A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】逻辑推理；计算题；分析法；数学抽象；证明题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想
【分析】将圆柱的侧面展开得，可知点 的轨迹为两条互相垂直的线段，进而可以得到轨迹．
【解答】解：以 为原点将圆柱侧面和底面展开如下图，
设 ，所以 ， ，
由题意， ，
所以当 时 ，同理 时 ，
所以点 的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，
两条线段的长度均为 ，故轨迹长为 ．
故选： ．
【点评】本题考查立体几何中的动点轨迹问题，属于中档题．
9．（2024•石景山区一模）对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
其中正确的命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
19【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】数学运算；方程思想；综合法；直线与圆
【分析】将 换为 ， 换为 ，方程 不变，可判断①；方程变为 ，由基本
不等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在定理和函数的单调性，可判
断③．
【解答】解：将 换为 ， 换为 ，方程 不变，则曲线 关于原点对称，故①正确；
由 ，可得 ，解得 即有 ，故②正确；
由曲线 和曲线 都关于原点对称，都关于 ， 轴对称，可考虑第一象限的交点个数．
由 和 ，可得 ，
设 ，由 （1） ， ， （2） ，
可得 在 和 各有一个零点，又 和 在 递减，
则第一象限的交点个数为2，
可得曲线 与曲线 有8个交点，故③错误．
故选： ．
【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能
力，属于中档题．
10．（2024•济宁二模）已知 是坐标原点， ，动点 满足 ，则 的最大
值为
A． B． C．1 D．
【答案】
【考点】两点间的距离公式；轨迹方程
20【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法
【分析】设 ，可求点的轨迹方程，利用 的几何意义，结合向量的数量积，转化求解即可．
【 解 答 】 解 ： 设 ， 由 题 意 ， 可 得 ， 整 理 可 得
，即： ，
且圆心的坐标 ，半径 ， 表示 与 的夹角的余弦值的2倍，
要使得 取得最大值，有 与圆 相切，切点在第一象限，此时 ，
，
可得 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查点的轨迹的求法，考查向量的数量积的计算，是难题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•李沧区校级二模）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知
曲线 是到两定点 ， 的距离之积为常数2的点的轨迹，设 是曲线 上的点，
给出下列结论，其中正确的是
A．曲线 关于原点 成中心对称 B．
C． D．△ 周长的最小值为
【答案】
【考点】轨迹方程
【专题】计算题；新定义；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象；逻辑思维；运算求解
【分析】根据题目所给定义，根据两点间距离公式得到曲线方程，结合选项判断即可．
21【解答】解：对于 ：根据题意有 ，两边平方整理可得
，将 换成 方程不变，故曲线关于 轴对称，将 换成 方程也不变，故曲
线关于 轴对称，故曲线 关于原点 成中心对称；
对于 ：整理 可得 ，
令 ，则 ，整理得 ，
故当 时， ，故 ，故 错误；
对于 ：由 可知，当 时， ，故 正确；
对于 ，若△ 周长的最小值为 ，则 时等号成立，此时
，不能构成三角形，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查曲线方程的处理与轨迹方程的求解，属于中档题．
12．（2024•衡阳县校级模拟）已知 ， 为平面直角坐标系内两定点，动点 与点
的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，其中 ， ， 为△ 的三边长，且
，设点 为动点 的轨迹上一点，且点 不在坐标轴上，则下列结论中正确的是
A．当 时，
B．若点 在 轴右侧时，则△ 内切圆的圆心在定直线 上
C．使得△ 为等腰三角形的点 有且仅有4个
D．△ 的面积为
【答案】
22【考点】圆锥曲线的轨迹问题；双曲线与平面向量；双曲线的定义
【专题】数学运算；综合法；直观想象；逻辑推理；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想
【分析】根据题意可得动点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线，
结合双曲线的定义及勾股定理判断 ；
结合双曲线的定义及三角形内切圆的性质判断 ；
由题意可得则 必为腰，分象限讨论 点个数即可判断 ；
结合双曲线的定义、余弦定理及三角形面积公式即可判断 ．
【解答】解：由已知得 ，两边平方化简得 ，
又 ，所以△ 为直角三角形，则 ，即 ，
代入 式得 ，则 ，
故动点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线，
对于 ，根据双曲线的定义可得 ，
两边平方得 ，
又 ，所以 ，
则 ，
即 ，故 正确；
对于 ，设△ 的内切圆与其三边 、 、 的切点分别为 、 、 ，
则 ， ， ，
由双曲线定义知 ，
根据圆的切线性质可知 ， ， ，
则 ，
23又 ，
联立两式得 ，
又 ，所以 ，
所以△ 内切圆的圆心在定直线 上，故 正确；
对于 ，根据双曲线对称性分析：要使△ 为等腰三角形，则 必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点 使 ， ，
此时△ 为等腰三角形，
也仅有一个点 使 ， ，此时△ 为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共8个，所以 错误；
对于 ，设 ， ，由双曲线的定义可得 ，则 ，
①
由余弦定理可得 ，②，
②①得， ，
所以 ，
所以 ，所以 正
确．
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的定义及性质，考查了余弦定理及勾股定理，属于中档题．
13．（2024•李沧区校级一模）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是
数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．关于曲线 ，则下列结论正确的是
A．曲线 关于原点成中心对称图形
24B．曲线 关于 轴， 轴成轴对称图形
C．曲线 上任意两点之间的距离都不超过2
D．曲线 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算
【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断．
【解答】解：根据题意，将曲线 转化为方程组：
如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，
对于 ，将 代入 ，整理得 ，所以关于原点对称，故
正确；
对于 ，将 代入 ，整理得 ，所以关于 轴对称，
将 代入 ，整理得 ，所以关于 轴对称，故 正确；
对于 ，如图，曲线上任意两点距离范围为 ，即两点距离范围为 ， ，故 错误；
对于 ，曲线 所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，
设它的面积为 ， ，故 正确．
故选： ．
25【点评】本题考查曲线与方程相关知识，通过曲线方程得出曲线图像，再经过计算判断命题是否正确，
考查分类讨论思想、数形结合思想和运算求解能力，是难题．
14．（2024•潞州区校级一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，
心 形 线 也 是 其 中 一 种 ， 因 其 形 状 像 心 形 而 得 名 ， 其 平 面 直 角 坐 标 方 程 可 表 示 为
，图形如图所示．当 时，点 ， ， ， 在这条心形线 上，
且 ，则下列说法正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D． 上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】数学运算；转化思想；逻辑推理；分类讨论；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据三点共线可得直线过原点，联立直线与曲线的方程，求解 、 ，根据弦长公式求出 ，
根据三角函数的性质即可求解 ，利用换元法，结合判别式，即可求解方程的整数根．
26【解答】解：依题意，心形线 的直角坐标方程为 ，
过原点 ，由 ，可知 ， ， 三点共线，
设直线 ，由
消去 ，得 ．
不妨设 ， ，
则 ．
所以 ，选项 正确；
，
当 时， ，选项 错误；
设点 在心形线 上， ，角 以 轴非负半轴为起始边，
则心形线 的方程转化为 ，
即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，选项 正确；
由 ，可知 ．
令 ，则心形线 的方程可化为 ，△ ，
所以 ，
当 ， ，解得 或 ，进而可得 或0，
27当 时，方程无整数解；
当 时， ，解得 ，所以 ；
所以 上有4个整点 ， ， ， ，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了曲线与方程的应用问题，也考查了运算求解能力与推理判断能力，是中档题．
15．（2024•遵义二模）已知平面内曲线 ，下列结论正确的是
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 所围成图形的面积为
C．曲线 上任意两点同距离的最大值为
D．若直线 与曲线 交于不同的四点，则
【答案】
【考点】曲线与方程
【专题】转化思想；数学运算；数形结合法；直线与圆；逻辑推理
【分析】选项 中，将 换成 ， 换成 ，即可判断曲线 是否关于原点对称；
选项 中，讨论 ， 时，方程表示的曲线 是圆在第一象限的部分，由对称性可得曲线 所围成
图形的面积；
选项 中，根据圆的性质，利用数形结合法求出曲线 上任意两点间距离的最大值；
选项 中，利用数形结合法可判断直线与曲线 交于不同的四点时 的取值范围．
【解答】解：对于 ，将 换成 ， 换成 ，方程 不变，所以曲线 关于原点
对称，选项 正确；
对于 ，当 ， 时，方程可化为 ，即 ，
此时曲线 所围成的图形是圆在第一象限的部分，面积不是 ，
由对称性可得曲线 所围成图形的面积不是 ，选项 错误；
28对于 ，由 知曲线 在第一象限的图形是圆 的一部分，
圆上的点到原点的最大距离为 ，
所以曲线 上任意两点间距离的最大值为 ，选项 正确；
对于 ，直线 是过定点 的直线，
由图形知： 时，直线 不过点 ， 时，直线 也不过点 ，
由此判断直线 与曲线 交于不同的四点时 的取值范围不是 ，选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了曲线与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•长春模拟）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿 折起，使
得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．若 是线段 的中点，点 在
三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 ．
【答案】 ．
【考点】轨迹方程
【专题】转化思想；数学运算；立体几何；综合法
29【分析】取 中点 ，由题可得 平面 ，设点 轨迹所在平面为 ，则 轨迹为平面 截三
棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得．
【解答】解：取 中点 ，连接 ， ，
则 ， ， ，
， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，则 ， ，
作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 ，且 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ， ， 的中心分别为 ， ，
可知 平面 ， 平面 ，且 ， ， ， 四点共面，
由题可得 ，
在 △ 中，可得 ，
又因为 ，则 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
所以截面圆的面积为 ．
故答案为： ．
30【点评】本题考查多面体与外接球的综合运用，考查点的轨迹的面积的求法，属中档题．
17．（2024•南昌二模）如图，有一张较大的矩形纸片 ， ， 分别为 ， 的中点，点 在
上， ．将矩形按图示方式折叠，使直线 （被折起的部分）经过 点，记 上与 点重
合的点为 ，折痕为 ．过点 再折一条与 平行的折痕 ，并与折痕 交于点 ，按上述方法多次
折叠， 点的轨迹形成曲线 ．曲线 在 点处的切线与 交于点 ，则 的面积的最小值为
．
【答案】 ．
【考点】轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】计算题；数学运算；转化思想；导数的概念及应用；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】连接 ，可得 ，可知点 在以 为焦点，直线 为准线的抛物线上，求出抛物
线方程，然后利用导数求出点 处的切线，将 的面积表示为关于点 的横坐标的式子，进而利用
导数研究函数的单调性，求出 面积的最小值．
【解答】解：连接 ，由 与 关于 对称，可得 ，所以点 在以 为焦点、直线
为准线的抛物线上，
31以 中点 为原点，过 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，直线 ，可得抛物线的方程为 ，即 ，求导数得 ，
设 ，则抛物线在点 处的切线斜率 ，
切线方程为 ，与直线 交于点 ， ，
所以 ，可得 ，
设 （a） ，其中 ，可得 （a） ，当 时， （a） ，
因为 时 （a） ， ， （a） ，
所以 （a）在 上单调减，在 ， 上单调增．
因此，当 时， （a）有最小值 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查抛物线的定义与标准方程、利用导数研究函数图象的切线、函数的单调性与最值
求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
18．（2024•阳江模拟）已知曲线 是平面内到定点 与到定直线 的距离之和等于6的点的
轨迹，若点 在 上，对给定的点 ，用 表示 的最小值，则 的最小值为 2
32．
【答案】2．
【考点】轨迹方程
【专题】数形结合；转化思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算
【分析】设 ，讨论 时和 时，分别求出点 的轨迹方程，设点 到直线 的距离为 ，
由此计算 的最小值即可．
【解答】解：设 ，当 时， ，
所以 ，化简得： ， ， ，即 ；
当 时， ，所以 ，整理得： ， ， ，即
；
对于曲线 上任意一点 ，
则 ，当且仅当 是线段 与曲线 的交点时取“ ”，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，
即点 的坐标为 时， 取得最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的轨迹应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
19．（2024•岳麓区校级一模）如果直线 和曲线 恰有一个交点，那么实数
33的取值范围是 ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；
数学运算
【分析】根据题意化简曲线 的方程，得到双曲线 在 轴上方（含顶点）的部分，以及椭圆
在 轴下方（不含顶点）的部分，而直线 表示经过定点 且斜率为 的直
线，因此将曲线方程与直线 方程联解，利用一元二次方程根的判别式与双曲线的渐近线加以计算，可得
实数 的取值范围．
【解答】解：根据题意，直线 即 ，可知直线 经过定点 ，斜率为 ．
曲线 ，即 或 ，因此在坐标平面内作出曲线 ，如图所
示，
该曲线由如下三部分构成：
①当 时，曲线 是双曲线 在 轴左侧的一支，且在 轴上方（含顶点）的部分；
②当 时，曲线 是椭圆 在 轴下方（不含左、右顶点）的部分；
③当 时，曲线 是双曲线 在 轴右侧的一支，且在 轴上方（含顶点）的部分．
分以下三种情形讨论：
（1）当 时，直线 ，与曲线 有两个交点 、 ，不符合题意；
（2）当 时，先研究曲线 的第②部分与直线 的交点情况，将直线 与 消去
34，
整理得 ，可得△ ，
当 时，△ ，曲线 的第②部分与直线 有2个交点；
当 时，△ ，曲线 的第②部分与直线 有唯一公共交点；
当 时，△ ，曲线 的第②部分与直线 有0个公共点．
而曲线 的第①、③部分对应双曲线 ，其渐近线为 ，观察图象可得：
当 时，曲线 的第①、③部分与直线 都没有交点；
当 时，曲线 的第①部分与直线 没有交点，且曲线 的第③部分与直线 有唯一交点；
因此，当 时，若曲线 与直线 有唯一交点，则 或 ；
（3）当 时，曲线 的第③部分与直线 恰有1个交点，且曲线 的第②部分与直线 的没有交点．
若 ，则曲线 的第①部分与直线 没有交点；当 时，曲线 的第①部分与直线 有唯一
交点．
因此，当 时，若曲线 与直线 有唯一交点，则 ．
35综上所述，若曲线 与直线 有唯一交点，则 或 或 ，实数 的取值范围是
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的关系等知识，考查了计算能力、图
形的理解能力，属于中档题．
20．（2024•靖远县校级模拟）如图，对于曲线 所在平面内的点 ，若存在以 为顶点的角 ，使得对
于曲线 上的任意两个不同的点 ， 恒有 成立，则称角 为曲线 的相对于点 的“界
角”，并称其中最小的“界角”为曲线 的相对于点 的“确界角”．已知曲线
（其中 是自然对数的底数），点 为坐标原点，曲线 的相对于点 的“确界角”为 ，则 1
．
【答案】1．
【考点】曲线与方程
【专题】导数的概念及应用；函数思想；函数的性质及应用；综合法；数学运算
【分析】根据分段函数的性质，对每一段函数分别求其过原点的切线方程，得出两切线垂直，利用“确
界角”的定义，得出角 ，即可得出结论．
36【解答】解：函数 ，因为 ， ，
所以该函数在 单调递减，在 单调递增，
过原点作 的切线，
设切点 ，由 ，
可得切线 的斜率为 ，
由直线 过 ，
可得 ，
即 ，即 ，
由函数 与 的图象在 有且只有一个交点，
且当 时满足方程，故方程有唯一解 ，则 ；
过原点作 的切线，设切点 ，
37由 ，得切线 的斜率 ，
由切线 过原点 ，
可得 ，
解得 ，则 ，则有 ，
所以两切线垂直，曲线 的相对于点 的“确界角”为 ，则 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查利用导数求切线方程，考查数形结合思想方法，属难题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•梅江区校级模拟）已知 为圆 的圆心， 是圆 上的动点，点 ，若
线段 的中垂线与 相交于 点．
（1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与点 的轨迹 分别相交于 ， 两点，且与圆 相交于 ， 两
点，求 的取值范围．
38【答案】 ， ．
【考点】轨迹方程
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算
【分析】（1）利用几何关系，转化为椭圆的定义，即可求得椭圆方程；
（2）分两种情况：当直线 的斜率不存在时，求得 、 、 、 的坐标，即可求出 的值；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得 ，再结合
相交弦公式求得 ，进而可求得 的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得 是 线 段 的 垂 直 平 分 线 ， 所 以
，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，2为焦距， 为长轴长的椭圆，
即有 ， ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由（1）可得，椭圆右焦点为 ，
①若直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，则 ；
②若直线 的斜率存在时，设直线方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
则 ， ，
39所以 ，
因为圆心 到直线距离 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
综上： ， ．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的综合，韦达定理的应用，不等式的应用等，
属于中档题．
22．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称
它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妹”圆锥曲
线， ， 分别为 ， 的离心率，且 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的动直线 交双曲线 右支于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ，
．
试探究 与 的比值 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
【答案】（1） ；
40（2） ； ， ， ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法
【分析】（1）由题意可设双曲线 ，利用 ，可求 ；
（2） 设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，与双曲线联立方程组可得
， ，进而计算可得 为定值．
设直线 ，代入双曲线方程可得 ，进而可得 ， ， ，
， ，进而由 可得 ， ， ，进而求得 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设双曲线 ，
则 ，解得 ，
双曲线 的方程为 ；
（2） 设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，则 ，△ ，
且 ， ，
；
设直线 ，代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点， 此方程有一根为 ，
41，解得 ，
点 在双曲线的右支上， ，
解得 ， ，即 ， ，
同理可得 ， ， ，
由 ， ， ，
， ， ，
， ， ．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，
渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．
23．（2024•青原区校级模拟）如图， 为圆 上一动点，过点 分别作 轴， 轴的垂线，
垂足分别为 ， ，连接 并延长至点 ，使得 ，点 的轨迹记为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的两条直线 ， 分别交曲线 于 ， 两点，且 ，求证：直线 过定点；
（3）若曲线 交 轴正半轴于点 ，直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别交
轴于 ， 两点．请探究： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 坐标；
若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程
【专题】综合题；分类讨论；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解
【分析】（1）由题意，设 ，先求出点 的坐标，代入圆 中，化简求得曲线 的方程；
42（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，将直线 ， 的方程与曲线 的方程
联立，求得 ， 的坐标，对 进行分类讨论，由此可得直线 过定点并求得定点坐标；
（3）假设存在点 使得 ，先求得 ，设出 ， 的坐标，利用
直线 和直线 的方程求得 ， 两点的坐标，结合 在曲线 上求得 点的坐标．
【解答】解：（1）不妨设 ， ， ，
此时 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
此时 ， ， ，
即
因为点 在圆 上，
所以 ，
则 ，
故曲线 的方程为 ；
（2）证明：易知直线 ， 与坐标轴不平行，
不妨设直线 的方程为 ，
此时直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
43所以 ，
此时 ，
同理得 ，
当 时，直线 的斜率存在，
此时 ，
所以直线 的方程为 ，
易知直线 过定点 ；
当 时，直线 斜率不存在，
此时直线 的方程为 ，
则直线 过定点 ，
综上，直线 过定点 ；
（2）假设存在点 使得 ，
不妨设 ，
因为 ，
所以 ，
此时 ，
即 ，
所以 ，
因为直线 与曲线 交于不同的两点 、 ，
44易知 、 关于 轴对称，
不妨设 ， ， ， ， ，
易知 ，
所以直线 方程为 ，
令 ，
解得 ，
而直线 方程为 ，
令 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
因为点 在椭圆上，
所以 ，
解得 ，
故存在点 ，使得 ．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
24．（2024•红谷滩区校级模拟）已知 ，我们称双曲线 与椭圆 互为
“伴随曲线”，点 为双曲线 和椭圆 的下顶点．
（Ⅰ）若 为椭圆 的上顶点，直线 与 交于 ， 两点，证明：直线 ， 的交点在
45双曲线 上；
（Ⅱ）过椭圆 的一个焦点且与长轴垂直的弦长为 ，双曲线 的一条渐近线方程为 ，若
为双曲线 的上焦点，直线 经过 且与双曲线 上支交于 ， 两点，记 的面积为 ，
为坐标原点）， 的面积为 ．
求双曲线 的方程；
证明： ．
【答案】 详见解答过程；
（Ⅱ） ；
详见解答过程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合
【专题】逻辑推理；圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；综合法
【分析】（Ⅰ）先由已知求出 ， ，求出直线 ， 的方程，联立方程可求两直线的交点坐标，进
而可证；
（Ⅱ） 由已知结合渐近线方程及已知弦长可求 ， ，进而可求双曲线方程；
联立直线 与双曲线方程，结合方程的根与系数关系及三角形的面积公式可求 ，然后表示 ，代入
到 进行化简即可证．
【解答】 证明：依题意可知 ， ，
联立 不妨取 ， ，
则直线 的方程为 ，①
46直线 的方程为 ，②
联立①②可得 ， ，
又 成立，所以直线 ， 的交点在双曲线 上．
因为过椭圆 的一个焦点且与长轴垂直的弦长为 ，所以 ．③
因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ．④
联立③④，解得 ， ，所以双曲线 的方程为 ．
证明：由 得点 ， ．
设直线 的斜率为 ， ， ， ， ，
则直线 的方程 ，与双曲线 联立并消去 得 ，
则△ ，所以 ， ，则 ，
故 ．
又 ，
所以 ，
解得 或 （舍 ，
因为 ，
所以
47，
即 ．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系，考查
推理论证能力、运算求解能力，考查数学运算、直观想象核心素养，属于难题．
25．（2024•赤峰模拟）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线
交直线 于点 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，且 为线段 的中点．
证明：直线 与曲线 有且仅有一个交点；
求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 证明过程见解析；
（ⅱ） ， ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解
【分析】（1）由题意，得到 ，结合双曲线的定义以及 ， ， 的关系列出等式求出 和
的值，进而可得曲线 的方程；
（2） 设 ， ， ， ， ， ，结合（1）中信息得到双曲线的渐近线方程，整理得
，结合 以及点 在曲线 上，求出直线 的方程，将直线 的方程与
曲线 的方程联立，根据△ 即可得证；
48（ⅱ）结合 中信息，将双曲线的渐近线方程与直线 的方程联立，求出的 表达式，同理得 的表
达式，推出 ，将 转化成有关 的不等式，再进行求解即可．
【解答】解：（1）因为点 为 的垂直平分线上一点，
所以 ，
此时 ，
则点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线，且 ， ，
所以 ，
则 ，
则曲线 的方程为 ；
（2） 证明：不妨设 ， ， ， ， ， ，
易知曲线 的渐近线方程为 ， ，
两式相加得 ，两式相减得 ，
所以 ，
即 ，
易知 ，
所以 ， ，
则 ，
即 ，
49所以直线 的方程为 ，
即 ，
因为点 在曲线 上，
所以 ，
此时 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ ，
故 与 有且仅有一个交点；
（ⅱ）联立 ，
解得 ，
同理得 ，
此时 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，
所以 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
5051考点卡片
1．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
2．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
52（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱
柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则
称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱 ＝S×h．
3．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
533、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
4．两点间的距离公式
【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x ，y ）和（x ，y ）之间的距离由公式：
1 1 2 2
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
【命题方向】
﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现．
5．双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到
定点与定直线的距离之比是一个大于 1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面
的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点
（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
54① （a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
② （a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以 （a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝± ；③离心率e＝ ＞1；④渐近线：y＝±
x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
【解题方法点拨】
例1：双曲线 ﹣ ＝1的渐近线方程为
解：由 ﹣ ＝0可得y＝±2x，即双曲线 ﹣ ＝1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的 1看成是0，然后因式
分解得到的两个式子就是它的渐近线．
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
设双曲线方程为 ﹣y2＝ （ ≠0），
λ λ
∵双曲线过点P（4，3），
∴ ﹣32＝ ，即 ＝﹣5．
λ λ
∴所求双曲线方程为 ﹣y2＝﹣5，
55即： ﹣ ＝1．
一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到 a、b、c三者
中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的
表达式了．
【命题方向】
这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也
是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要
的，对于还剩下的部分，尽量多写．
6．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
7．双曲线与平面向量
【知识点的认识】
56双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算．
【解题方法点拨】
1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线．
2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中．
【命题方向】
﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质．
﹣利用向量分析双曲线的性质．
8．曲线与方程
【知识点的认识】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程 f
（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为
坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程
关键是要找到各变量的等量关系．
【解题方法点拨】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距
离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB
的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交
AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以 为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一
条直线．
57故选A．
这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究
一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等
的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的
题．
【命题方向】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭
圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．
9．直线与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的
方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【解题方法点拨】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F （﹣1，0）、F （1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心
1 2
58率 ．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F 的任意一条直线与圆锥曲线 C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点 P，使
2
的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为 （a＞b＞0），
∴c＝1，
∵ ，
∴a＝2，
∴ ，
所求方程为 ．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由 ，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而 ， ，
设P（t，0），则
＝
当 ，
解得
59此时对 k R， ；
当AB⊥∀x轴∈ 时，直线AB的方程为x＝1，
x ＝x ＝1， ，
A B
对 ， ，
即存在x轴上的点 ，使 的值为常数 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种
特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是
求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，
这也是常用的方法．
【命题方向】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大
可以适当的放到最后做．
10．圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
60图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c a2+b2＝c2
1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝1 ± ＝1
11．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的认识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹
方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参
数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概
念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
61（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
12．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．
当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系
反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程
f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离
公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x ，y ），即得到x ＝f（x，
0 0 0
y），y ＝g（x，y），再将x ，y 代入M满足的条件F（x ，y ）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问
0 0 0 0 0
题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
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