文档内容
2025年菁优高考数学解密之双曲线
一．选择题（共10小题）
1．（2024•安徽二模）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点
满足 ，则双曲线离心率的最小值为
A． B． C． D．
2．（2024•昆明一模）双曲线 的渐近线方程是
A． B． C． D．
3．（2024•四川模拟）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
A． B．1 C． D．3
4．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若△ 为等边三角形，则双曲
线 的离心率为
A． B． C． D．
5．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 ， ，直线 过点 且平行于
的一条渐近线， 交 于点 ，若 ，则 的离心率为
A． B．2 C． D．3
16．（2024•江西一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为 关
于渐近线的对称点．若 ，且△ 的面积为8，则 的方程为
A． B． C． D．
7．（2024•回忆版）已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，点 在该双曲线上，则该双
曲线的离心率为
A．4 B．3 C．2 D．
8．（2024•汉中一模）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为2，则
A． B．4 C． D．
9．（2024•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ． 是双曲线右支上一点，
且直线 的斜率为2，△ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
10．（2024•阜阳模拟）已知双曲线 的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率
为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
211．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 ， 分别交双曲线于 ， 和 ，
四点 ， ， ， 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是
A．四边形 一定是平行四边形
B．四边形 可能为菱形
C． 的中点可能为
D． 的值可能为
12．（2024•长沙模拟）已知双曲线 的右焦点为 ，动点 ， 在直线 上，且
，线段 ， 分别交 于 ， 两点，过 作 的垂线，垂足为 ．设 的面积为
的面积为 ，则
A． B．
C． 恒为定值 D． 的最小值为
13．（2024•河北模拟）已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 且倾
斜角为 的直线 顺次交两条渐近线和 的右支于 、 、 ，且 ，则下列结论正确的是
A．离心率为 B． C． D．
14．（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 作斜率为 的直线交双曲线
3于 ， 两点，且 ，则 的可能取值是
A． B． C． D．
15．（2024•保定三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直
线与 的左支相交于 ， 两点，若 ，且 ，则
A． B．
C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
三．填空题（共5小题）
16．（2024•回忆版）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作平行于
轴的直线交 于 ， 两点，若 ， ，则 的离心率为 ．
17．（2024•浙江模拟）已知双曲线 为双曲线的左右焦点，过 作斜率为正的直
线交双曲线左支于 ， ， ， 两点，若 ， ，则双曲线的离心
率是 ．
18．（2024•吴忠模拟）若双曲线 的一条渐近线方程是 ，则 的离心率为
．
19．（2024•闵行区二模）双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过坐标原点的直线与 相交
于 、 两点，若 ，则 ．
420．（2024•辽宁模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
点 作斜率为 的直线与 的右支交于点 ，且点 满足 ，且 ，则 的离
心率是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•盐湖区一模）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，直线 经过双曲线的左焦点 ，
与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点．
（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）若 ，求 的面积．
22．（2024•江西模拟）已知双曲线 的离心率为2，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求 的值．
23．（2024•浦东新区三模）已知双曲线 ，点 、 分别为双曲线的左、右焦点， ，
、 ， 为双曲线上的点．
（1）求右焦点 到双曲线的渐近线的距离；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若 ，其中 、 两点均在 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形
的面积的取值范围．
24．（2024•濮阳模拟）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若 的离心
率 ，且点 在 上．
5（1）求 的方程．
（2）若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点（不同于双曲线的顶点），问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
25．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离
之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左，
右焦点分别为 ， ， 的离心率为2．点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与
的渐近线交于 ， 两点．当 轴时，直线 为△ 的等线．
（1）求 的方程；
（2）若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
（3）设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 处的切线 为△ 的等线．
62025年菁优高考数学解密之双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•安徽二模）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点
满足 ，则双曲线离心率的最小值为
A． B． C． D．
【考点】 ：双曲线的性质
【专题】35：转化思想；49：综合法； ：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算
【分析】设 的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积 ，再
由椭圆可得 ， 的关系，进而求出离心率的最小值．
【解答】解：设 ，则 ，所以 ，
由题意可得 ， ，
所 以 ， ，
，
所以 ，即 ，所以离心率 ，
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题．
2．（2024•昆明一模）双曲线 的渐近线方程是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程
7【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线 的渐近线方程是： ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
3．（2024•四川模拟）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
A． B．1 C． D．3
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据双曲线方程确定渐近线方程为 ，结合已知条件得到方程 ，解出
即可．
【解答】解：该双曲线的渐近线方程为 且 ，
则 ，可解得 ，满足．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若△ 为等边三角形，则双曲
线 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
8【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率 ．
【解答】解：由题意，因为△ 为等边三角形，
所以 ， ，
因为△ △ ，
所以 ， ，即 ，故点 ，
因为 ，
则 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能
力，属于中档题．
5．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 ， ，直线 过点 且平行于
的一条渐近线， 交 于点 ，若 ，则 的离心率为
A． B．2 C． D．3
【答案】
【考点】双曲线与平面向量
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
9【分析】先求出直线 的方程，联立直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：由题意得， ， ，直线 的方程为 ，
联立 与 可得， ，
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
化简得， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题．
6．（2024•江西一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为 关
于渐近线的对称点．若 ，且△ 的面积为8，则 的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】根据双曲线的性质可知 ， ，由条件得 ，根据三角形中位线，可得
，再结合 ，即可求解．
【解答】解：因为 关于 的一条渐近线的对称点为 ，
10令渐近线为 ．即 ， ，
则 到 的距离为 ，
所以 ，又 ．
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为△ 的面积为8，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ， ，
所以双曲线方程为 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
7．（2024•回忆版）已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，点 在该双曲线上，则该双
11曲线的离心率为
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】
【考点】求双曲线的离心率
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】由已知结合双曲线的定义及性质即可求解．
【解答】解：因为 ， ，点 在该双曲线上，
所以 ， ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质的应用，属于基础题．
8．（2024•汉中一模）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为2，则
A． B．4 C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出 的值．
【解答】解：根据 ，得到 ，
则焦点在 轴，故渐近线为 ，
则 ，故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
9．（2024•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ． 是双曲线右支上一点，
12且直线 的斜率为2，△ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】设 ， ，则 ，由△ 是面积为 8 的直角三角形，可得
， ，由直线 的斜率为2，可得 ，即 ，从而求出 ，
的值，进而求出 ， 的值，得到双曲线的方程．
【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：
设 ， ，
则 ，
因为△ 是面积为8的直角三角形，
所以 ， ，
因为直线 的斜率为2，所以 ，
所以 ，
联立 ，解得 ，
13所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以双曲线的方程为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的性质，属于中档题．
10．（2024•阜阳模拟）已知双曲线 的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率
为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；数学运算；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由双曲线的焦距可得 ，求得双曲线的方程和所求渐近线的斜率．
【解答】解：因为双曲线 的焦距为4，
所以 ，
解得 ，
可得双曲线的方程为 ，
所以该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
1411．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 ， 分别交双曲线于 ， 和 ，
四点 ， ， ， 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是
A．四边形 一定是平行四边形
B．四边形 可能为菱形
C． 的中点可能为
D． 的值可能为
【答案】
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数
【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得
结论．
【解答】解：由双曲线的中心对称性可知， ， 分别关于原点与 ， 对称，
故 ， ，所以四边形 一定是平行四边形，
而直线 ， 斜率之积为 ，则 与 不垂直，
所以四边形 不可能为菱形， 正确， 错；
设 ， ， ， ，则 ， ，
两式作差得 ，
将 ， 代入，
求得 ，故 的方程为 ，将其与双曲线联立，
解得 ，此时 ，故 错误；
当点 位于第四象限，点 位于第一象限，
由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得 的取值范围为 ，
15当点 位于第一象限，点 位于第二象限，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
由 可得 ，
又因为 ，
可得 的取值范围为 ，
综上 的取值范围为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属
于中档题．
12．（2024•长沙模拟）已知双曲线 的右焦点为 ，动点 ， 在直线 上，且
，线段 ， 分别交 于 ， 两点，过 作 的垂线，垂足为 ．设 的面积为
的面积为 ，则
A． B．
C． 恒为定值 D． 的最小值为
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】对 ，取 的中点 ，则 ，以 为底，高为 ，当 最小时 最小，对
，设 ， ，求出 ， 代入运算可得；对 ，由相似三角形结合 的结论可得；对 ，设
16，结合 选项的结论分别将 ， ， ， 用 表示代入运算可得．
【解答】解：如图，取 的中点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
对于 ，易得点 到 的距离为 ， ，
因为 ， 是 的中点，所以 ，
即 ，又 ， ．故 错误；
对于 ，设 ， ，则 ， ，
又 ， ，
．故 正确；
对于 ，由题易得 ，则 ，
．故 正确；
对于 ，设 ， ，则 ，
由选项 ，同理可得 ，
设 ， ，可得 ， ，
17又 ，
则 ，
，解得 ，同理可得 ，
，
令 ， ，
则 ， ，
，
令 ，则 ，则 ，
易知 在 上单调递增，
所以 ．故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，考查运算求解能力，属于难题．
13．（2024•河北模拟）已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 且倾
斜角为 的直线 顺次交两条渐近线和 的右支于 、 、 ，且 ，则下列结论正确的是
A．离心率为 B． C． D．
【答案】
18【考点】双曲线的其他性质
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；综合法；数学运算
【分析】对于 项，联立直线 方程与直线 方程、直线 方程可求得点 、点 坐标，由
，可知 为 中点，结合中点坐标公式可得 的值，进而可求得离心率，对于 项，计
算 的值即可，对于 项，联立直线 方程与双曲线方程可求得点 坐标，由点 、点 、点
纵坐标可知 、 为线段 的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于 项，由
求解即可．
【解答】解：如图所示，
由题意知， ，直线 方程为 ，直线 方程为 ，
设直线 方程为 ，
，即 ，
，即 ，
对于 项，因为 ，所以 为 中点，
所以 ，整理得 ，
19所以离心率 ，故 项错误；
对于 项，由 项知，直线 方程为 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，故 项正确；
对于 项，过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，如图
所示，
由 项知， ，所以双曲线方程为 ， ， ，
联立双曲线的方程与直线方程 ，可得 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 、 为线段 的三等分点，即 ，
设 到直线 距离为 ，则 ， ，
所以 ，故 项正确；
对于 项，如图所示，
20由 项知， ，所以 ，故 项错误．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推
理能力，属于中档题．
14．（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 作斜率为 的直线交双曲线
于 ， 两点，且 ，则 的可能取值是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线与平面向量
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解
【分析】由题意，设出直线 的方程和 ， 两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理
以及向量的坐标运算求出直线 斜率的取值范围，再对选项进行逐一分析即可求解．
【解答】解：不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ 恒成立，
由韦达定理得 ， ，
因为 ， 两点关于原点对称，
所以 ，
21解得 ，
又 ，
则双曲线的右焦点 ，
所以 ， ，
则 ，
又 ， ，
解得 ，
因为 ，
所以 的取值范围为 ， ， ，
因为该双曲线的渐近线方程为 ，故选项 错误；
易知 ， ， ， ， ．
所以 ， ，故选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
15．（2024•保定三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直
线与 的左支相交于 ， 两点，若 ，且 ，则
A． B．
22C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】设 ， ，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得 ， 的值，即可判断出 ，
选项；再结合勾股定理可以求得 ， 的关系，再求出离心率即可判断 选项；求直线的斜率，在直角三
角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率，即可判断 选项．
【解答】解：如图，由 ，可设 ， ，
因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ， ，
解得 ，则 ，
所以 ，故 选项正确；
，故 选项错误；
在△ 中，由 ，得 ，则 ，
从而 的离心率为 ，故 选项正确；
又 ，所以直线 的斜率为 ，故 选项正确．
故选： ．
23【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•回忆版）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作平行于
轴的直线交 于 ， 两点，若 ， ，则 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】由题意求出 ， ，利用双曲线的定义求出 和 、 ，即可求出双曲线 的离心率．
【解答】解：由题意知， ， ，
所以 ，解得 ；
又 时， ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率为 ．
故答案为： ．
24【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
17．（2024•浙江模拟）已知双曲线 为双曲线的左右焦点，过 作斜率为正的直
线交双曲线左支于 ， ， ， 两点，若 ， ，则双曲线的离心
率是 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解．
【解答】解：设 ， ， ，
，又 ，
，又 ，
，
， ， ，
， ，
25又 ， ，
，
，
，
，又 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
18．（2024•吴忠模拟）若双曲线 的一条渐近线方程是 ，则 的离心率为
．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】计算题
【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得 和 的关系，进而求得
和 的关系，则离心率可得．
【解答】解： 双曲线的渐近线方程为 ，一条渐近线的方程为 ，
，设 ，
则
离心率
故答案为：
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的 ， 和 基本关系．
19．（2024•闵行区二模）双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过坐标原点的直线与 相交
26于 、 两点，若 ，则 4 ．
【答案】4．
【考点】双曲线与平面向量
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想
【分析】推得四边形 是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的
邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．
【解答】解：双曲线 的 ， ， ，
设 在第一象限， 在第四象限，设 ， ，
由题意可得 ，
由 ， ，可得四边形 是平行四边形，
则 ，
由双曲线的定义，可得 ，即 ，即有 ， ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
即有 ，
则 ．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积
的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（2024•辽宁模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
点 作斜率为 的直线与 的右支交于点 ，且点 满足 ，且 ，则 的离
心率是 ．
27【答案】 ．
【考点】双曲线的定义；双曲线的离心率
【专题】数学运算；对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据题意得到 是线段 的垂直平分线，从而得到 ，再利用 推得
，结合双曲线的定义得到关于 ， ， 的齐次方程，进而得解．
【解答】解：如图，直线 的斜率为 ．
由 ，得点 为 的中点，
又 ，所以 是线段 的垂直平分线，所以 ，
过点 作 于点 ，由已知得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ， 为 的中点，所以 ，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又题中直线与 的右支有交点，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 的离心率为 ．
28故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线离心率相关计算知识，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•盐湖区一模）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，直线 经过双曲线的左焦点 ，
与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点．
（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】双曲线与平面向量
【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法
【分析】（1）设直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的
位置关系可得出关于实数 的不等式组，即可解得 的取值范围；
（2）设直线 的方程为 ，设点 ， 、 ， ，由平面向量的坐标运算可得出 ，
将直线 的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出 的值，可得出 的值，然后利用三角形的面
积公式可求得 的面积．
【解答】解：（1）在双曲线 中， ， ，则 ，
29该双曲线的左焦点为 ，若直线 的斜率不存在，则直线 与双曲线交于左支上的两点，不合乎题
意，
设直线 的方程为 ，设点 ， 、 ， ，
联立 可得 ，
因为直线 与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点，
所以， ，解得 ，
因此，直线 的斜率的取值范围是 ．
（2）因为 ， ，
由 可得 ，则 ，
当直线 与 轴重合时，则点 、 ， ， ，
此时， ，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
由（1）可得 ，则 或 ，
由韦达定理可得 ，则 ，
30，即 ，解得 ，则 ，
所以， ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属
于中档题．
22．（2024•江西模拟）已知双曲线 的离心率为2，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
【考点】由双曲线的离心率求解方程或参数
【专题】逻辑推理；综合法；数学运算；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出 和 的值，进而可得 的方程；
（2）设出 ， 两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，推出 且 ，再根据韦
达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）记双曲线 的半焦距为 ，
因为双曲线 的离心率为2，
所以 ，①
不妨设 的顶点为 ，渐近线方程为 ，
因为双曲线 的顶点到渐近线的距离为 ，
所以 ，②
又 ，③
31联立①②③，
解得 ， ， ，
则 的方程为 ；
（2）设 ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时 且△ ，
解得解得 且 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
解得 或 ，
此时满足 且 ．
故 或 ．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中
档题．
23．（2024•浦东新区三模）已知双曲线 ，点 、 分别为双曲线的左、右焦点， ，
、 ， 为双曲线上的点．
（1）求右焦点 到双曲线的渐近线的距离；
32（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若 ，其中 、 两点均在 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形
的面积的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ， ．
【考点】双曲线与平面向量
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解；
（2）先设直线 的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求；
（3）由对称性得，四边形 为平行四边形，且面积为四边形 面积的2倍，先设 ， ，
直线 程为 ，直线 方程 ，结合弦长公式求出 ，及平行线 与 之间的
距离 ，进而表示出四边形 的面积，再由函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）由题，右焦点 ，
渐近线方程为 ，
因此焦点 到渐近线的距离为 ；
（2）显然，直线 不与 轴重合，设直线 方程为 ，
由 ，得 ，
联立方程 ，得 ，
33其中，△ 恒成立， ， ，
代入 ，消元得 ， ，
即 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ；
（3）延长 交双曲线于点 ，延长 交双曲线于点 ．则由对称性得，四边形 为平行四边形，
且面积为四边形 面积的2倍，
由题，设 ， ，直线 程为 ，直线 方程 ，
由第（2）问，易得 ，
因为 ，得 ，即 ，因而 ，
平行线 与 之间的距离为 ，
因此， ，
令 ，则 ，
故 ，
得 在 上是严格增函数，
故 （等号当且仅当 时成立）
所以，四边形 面积的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题．
3424．（2024•濮阳模拟）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若 的离心
率 ，且点 在 上．
（1）求 的方程．
（2）若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点（不同于双曲线的顶点），问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】双曲线的定点及定值问题
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息、离心率公式以及 ， ， 之间的关系，列出等式求出 和
的值，进而可得 的方程；
（2）设出直线 的方程，将直线 的方程与双曲线方程联立，将 和 用坐标表示出来，利用韦
达定理将 表述出来，再进行化简求解即可．
【解答】解：（1）不妨设双曲线 的半焦距为 ，
因为双曲线 的离心率 ，且点 在 上，
所以 ，解得 ，
则 的方程为 ；
（2） 为定值，理由如下：
由（1）知 ，
35不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时 ，
因为 ，
所以 ，
同理得 ，
因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，
所以 ， 两点在 轴同侧，
此时 ，
即 ，
解得 ，
则
．
36故 ，为定值．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中
档题．
25．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离
之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左，
右焦点分别为 ， ， 的离心率为2．点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与
的渐近线交于 ， 两点．当 轴时，直线 为△ 的等线．
（1）求 的方程；
（2）若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
（3）设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 处的切线 为△ 的等线．
【答案】（1） ；
（2）12；
（3）证明见解答．
【考点】双曲线相关动点轨迹
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算
【分析】（1）求出点 ， ， 的坐标，由直线 为△ 的等线及双曲线的性质可求出 ， 的
值，从而可得 的方程；
（2）切线 ，代入 的方程，可得关于 的方程，由△ ，可得关于 的方程，表示
出 ，进一步可得 的方程为 ，求出点 ， 的横纵坐标，结合面积公式求解即可；
（3）表示出切线 的方程，易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 ， ， 到 的距离为
， ， ，利用点到直线的距离公式推出 ，即可得证．
37【解答】解：（1）由题意知 ， ， ，显然点 在直线 的上方，
因为直线 为△ 的等线，所以 ， ， ，
解得 ，
所以 的方程为 ；
（2）设 ， ，切线 ，代入 ，
得 ，
所以△ ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，
所以 ，即 方程为 ，
当 斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ， ，
故 ，
所以 是线段 的中点，
因为 ， 到过 的直线距离相等，则过 点的等线必满足： ， 到该等线距离相等且分居两侧，
所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得： ，
38所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ；
（3）证明：设 ，由 ，所以 ， ，
故曲线 的方程为 ，
由 知切线 为 ，即 ，即 ，
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 ， ， 到 的距离为 ， ， ，
由（2）知 ， ，
所以 ，
由 得 ，
，
因为 ，
所以直线 为△ 的等线．
【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
39考点卡片
1．双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到
定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面
的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点
（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
① （a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
② （a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以 （a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝± ；③离心率e＝ ＞1；④渐近线：y＝±
x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
【解题方法点拨】
例1：双曲线 ﹣ ＝1的渐近线方程为
解：由 ﹣ ＝0可得y＝±2x，即双曲线 ﹣ ＝1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的 1看成是0，然后因式
分解得到的两个式子就是它的渐近线．
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程
40解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
设双曲线方程为 ﹣y2＝ （ ≠0），
λ λ
∵双曲线过点P（4，3），
∴ ﹣32＝ ，即 ＝﹣5．
λ λ
∴所求双曲线方程为 ﹣y2＝﹣5，
即： ﹣ ＝1．
一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到 a、b、c三者
中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的
表达式了．
【命题方向】
这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也
是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要
的，对于还剩下的部分，尽量多写．
2．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
41顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
3．双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
4．求双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的离心率e是 ，其中 是焦距的一半．
42【解题方法点拨】
1．计算离心率：利用公式 计算离心率．
2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．
【命题方向】
﹣给定双曲线的参数，求离心率．
﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．
5．由双曲线的离心率求解方程或参数
【知识点的认识】
已知离心率e，可以求解c和a，从而得到双曲线的标准方程．
【解题方法点拨】
1．计算a和b：由e和c计算参数．
2．代入方程：得到双曲线的标准方程．
【命题方向】
﹣给定离心率，求解双曲线的方程或参数．
﹣利用离心率计算标准方程．
6．双曲线的其他性质
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1） （a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F F |＝2c；
1 2
（2） （a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F F |＝2c．
1 2
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
43对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b
2b
焦点在实轴上
焦点在实轴上
焦点 F （﹣c，0），F （c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c（c＞0） |F F |＝2c（c＞0）
1 2 1 2
c2＝a2+b2 c2＝a2+b2
离心率
e＝ （e＞1） e＝ （e＞1）
渐近线
即y＝± x 即y＝± x
准线
x＝± y＝±
7．双曲线相关动点轨迹
【知识点的认识】
动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化．
【解题方法点拨】
1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹．
2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质．
【命题方向】
﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹．
﹣分析轨迹方程及其性质．
8．直线与双曲线的位置关系及公共点个数
【知识点的认识】
直线与双曲线的交点数量取决于它们的方程．可以通过联立方程求解交点数量．
【解题方法点拨】
1．联立方程：将直线方程和双曲线方程联立．
2．求解交点：通过解方程得到交点的数量．
【命题方向】
44﹣给定直线方程和双曲线方程，求交点数量．
﹣分析直线与双曲线的交点情况．
9．双曲线与平面向量
【知识点的认识】
双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算．
【解题方法点拨】
1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线．
2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中．
【命题方向】
﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质．
﹣利用向量分析双曲线的性质．
10．双曲线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值．
【解题方法点拨】
1．找定点：确定双曲线上的定点．
2．计算定值：通过双曲线方程计算相关值．
【命题方向】
﹣给定双曲线条件，求定点或定值问题．
﹣分析定点和定值的几何意义及计算方法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 18:50:18；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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