文档内容
2025年菁优高考数学解密之函数概念与性质
一．选择题（共10小题）
1．（2024•泸州模拟）函数 的部分图象大致为
A． B．
C． D．
2．（2024•吴忠模拟）函数 在区间 ， 上的图象大致为
A．
B．
C．
D．
3．（2024•永川区校级模拟）设 为 上的奇函数，且当 时， ，则 （4）
A．12 B． C．13 D．
14．（2024•淄博模拟）记 ， ， 表示 ， ， 中最大的数．已知 ， 均为正实数，则 ，
， 的最小值为
A． B．1 C．2 D．4
5．（2024•大连一模）设函数 ，则满足 的 的取值范
围是
A． B． C． D．
6．（2024•莲湖区校级三模）下列函数中，在区间 上单调递增且是奇函数的是
A． B． C． D．
7．（2024•佛山模拟）如图，△ 是边长为2的正三角形，记△ 位于直线 左侧的图
形的面积为 ．则函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
8．（2024•扬州模拟）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，若
2（1） ，则
A．23 B．24 C．25 D．26
9．（2024•南开区校级模拟）下列图象中，不可能成为函数 的图象的是
A． B．
C． D．
10．（2024•长春模拟）已知函数 ，则
A．1 B．2 C．4 D．8
二．多选题（共5小题）
11．（2024•江西模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，当 ，
， ，时， ．下列结论正确的是
A． B．
C． 是奇函数 D． 在 上单调递增
12．（2024•江西一模）已知函数 ，若不等式 对任意的
恒成立，则实数 的取值可能是
A． B． C．1 D．2
13．（2024•青原区校级模拟）定义：对于定义在区间 上的函数 和正数 ，若存在正数 ，
3使得不等式 对任意 ， 恒成立，则称函数 在区间 上满足 阶李
普希兹条件，则下列说法正确的有
A．函数 在 ， 上满足 阶李普希兹条件
B．若函数 在 ， 上满足一阶李普希兹条件，则 的最小值为
C．若函数 在 ， 上满足 的一阶李普希兹条件，且方程 在区间 ，
上有解 ，则 是方程 在区间 ， 上的唯一解
D．若函数 在 ， 上满足 的一阶李普希兹条件，且 （1），则对任意函数 ，
， ， ，恒有
14．（2024•福建模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． 有最小值
C． D． 是奇函数
15．（2024•濮阳模拟）已知 是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意 ， 都满足
，且 为偶函数，则下列说法正确的是
A． B． 为奇函数
C． 是周期函数 D．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•松江区二模）函数 的定义域为 ．
17．（2024•子长市校级三模）若函数 为 上的奇函数，则实数 ．
418．（2024•葫芦岛二模）已知实数 ， ，则 的最大值为 ．
19．（2024•安徽模拟）若函数 为偶函数， 是奇函数，且 ，则
．
20．（2024•江西一模）已知正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•南充模拟）已知函数 ．
（1）当 时，画出 的图象，并根据图象写出函数 的值域；
（2）若关于 的不等式 有解，求 的取值范围．
22．（2024•昆明一模）若非空集合 与 ，存在对应关系 ，使 中的每一个元素 ， 中总有唯一的
元素 与它对应，则称这种对应为从 到 的映射，记作 ．
设集合 ， ， ，1，3， ， ， ， ， ， ，且 ，设有序四元数
集合 ， ， ， ， 且 ，2，3， ， ， ， ， 对于给
定的集合 ，定义映射 ，记为 ，按映射 ，若 ，2，3， ，则 ；
5若 ，2，3， ，则 ．记 ．
（1）若 ， ， ， ， ， ，写出 ，并求 ；
（2）若 ， ， ， ， ， ， ，求所有 的总和；
（3）对于给定的 ， ， ， ，记 ，求所有 的总和（用含 的式子表示）．
23．（2024•北京模拟）已知函数 为实常数）．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）在（1）的条件下，对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
24．（2024•四川模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
25．（2024•北京模拟）已知函数 ．
（1）当 ， 时，求 的值域；
（2）当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
62025年菁优高考数学解密之函数概念与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•泸州模拟）函数 的部分图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】综合法；数学运算；函数的性质及应用；转化思想
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可．
【解答】解： ，
定义域为 ，关于原点对称，
由 ，
所以 为奇函数，排除 ；
当 时， ， ，故 ，排除 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决
本题的关键，是基础题．
2．（2024•吴忠模拟）函数 在区间 ， 上的图象大致为
A．
7B．
C．
D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象
【分析】先判断函数的奇偶性和对称性，然后判断当 时， ，利用排除法进行判断即可．
【解答】解： ，则 是奇函数，排除 ， ，
当 时， ，则 ，排除 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和函数值的符号，利用排除法是解决
本题的关键，是基础题．
3．（2024•永川区校级模拟）设 为 上的奇函数，且当 时， ，则 （4）
A．12 B． C．13 D．
【答案】
【考点】函数的值；函数的奇偶性
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学运算；计算题；转化思想；方程思想
【分析】根据题意，先求出 的值，由函数的解析式求出 、 （4）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， ，则 ，
8又由 为 上的奇函数，则 ， （4） ，
则 （4） ．
故选： ．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4．（2024•淄博模拟）记 ， ， 表示 ， ， 中最大的数．已知 ， 均为正实数，则 ，
， 的最小值为
A． B．1 C．2 D．4
【答案】
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】数学运算；综合法；对应思想；不等式
【 分 析 】 设 ， ， ， 则 ， ， ， 三 式 相 加 得
，再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】解：因为 ， ，
设 ， ， ，
则 ， ， ，
三式相加得： ，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
9当且仅当 ，
即 ， 时等号成立，
所以 ， ．
所以 的最小值为2．
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题．
5．（2024•大连一模）设函数 ，则满足 的 的取值范
围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】奇偶性与单调性的综合
【专题】数学运算；构造法；整体思想；导数的综合应用；函数的性质及应用
【 分 析 】 由 已 知 ， 利 用 换 元 法 ， 则 原 函 数 可 化 为
，构造函数 ，判断 的
单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：令 ，则 ，
函数 可画为 ，
令 ，
则 ，即 为奇函数，
因为 ，
故 单调递增，
由 可得 ，
10即 ，
所以 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，换元法，构造法，奇偶函数的判断，利用
导数研究函数的单调性，属中档题．
6．（2024•莲湖区校级三模）下列函数中，在区间 上单调递增且是奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学抽象；整体思想
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．
【解答】解：对于 ，函数 的定义域为 ， ，关于原点不对称，
故函数 为非奇非偶函数，故 不符题意；
对于 ，函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数，故 不符题意；
对于 ，函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数，故 不符题意；
对于 ，函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为奇函数，
11又因为函数 在区间 上都单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增，故 符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
7．（2024•佛山模拟）如图，△ 是边长为2的正三角形，记△ 位于直线 左侧的图
形的面积为 ．则函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维
【分析】根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以只有 选项符合，
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的图像，属于中档题．
128．（2024•扬州模拟）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，若
（1） ，则
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】
【考点】函数的奇偶性；抽象函数的周期性
【专题】综合法；函数的性质及应用；转化思想；数学运算
【分析】根据题意，由函数的对称性可得 和 ，进而得到 （1）
（2） （1） （2） （3） （4） （1） （2），即可求解结论．
【解答】解：根据题意，因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，即有
，变形可得 ①．
又由 为奇函数，所以 ，变形可得 ②．
由①，②得 ， ，
故有 ，
由 ，得 （2） ，又 ，可得 （2） ，
（1） （3） ， （2） （4） ，由 （1） ，得 （3） ，
故 （1） （2） （1） （2） （3） （4） （1） （2）
．
故选： ．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
9．（2024•南开区校级模拟）下列图象中，不可能成为函数 的图象的是
13A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由函数解析式求解函数图象
【专题】函数的性质及应用；综合法；数形结合；数学抽象
【分析】由已知结合函数的性质对 的范围进行分类讨论，结合选项即可判断．
【解答】解：由题意可得， ， 为奇函数，图象关于原点对称，
当 时， ，结合幂函数的性质可知， 符合；
当 时，若 ， ， 时， ， 符合
当 时， 在 上单调递增，与 轴有唯一交点， 符合；
结合选项可知，只有 不可能．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数图象判断中的应用，属于中档题．
10．（2024•长春模拟）已知函数 ，则
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】
【考点】函数的值
【专题】函数的性质及应用；转化思想；数学运算；参数法
【分析】将 的值依次代入函数的解析式，即可求解．
【解答】解： ，
14则 （1） ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•江西模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，当 ，
， ，时， ．下列结论正确的是
A． B．
C． 是奇函数 D． 在 上单调递增
【答案】
【考点】函数的奇偶性；抽象函数的周期性
【专题】函数的性质及应用；逻辑推理；转化法；转化思想
【分析】令 ，可得 ；令 及题意条件，可得 （1） ；令 ，可得当
时， ；令 ，可得 ①，令 ，可得
②，由① ②可得 ，进而可判断 的正误；由 及赋值即可判断 的正误；
由 可得 ，解方程组即可判断 的正误；令 ， ，及函
数的单调性即可判断 的正误．
【解答】解：令 可得： ；令 可得： （1） （1）．
因为当 ， ， 时， ，所以 （1） ，所以 （1） ．
令 可得： ，即 ，
又因为当 ， ， 时， ，所以 ，所以 ，
15所以当 时， ．
令 ，可得 ①，
所以 ， ，
两式相加可得： ．
令 ，可得 ②．
① ②可得 ，化简可得 ，所以 是奇函数，故
正确；
由 ，可得 （2） （1） ， （3） （2） ， （4） （3）
， ， ，故 错误；
由 可得 解得 ，故 正确；
令 ， ，可得 ．
令 ，则 ， ，
因为当 时， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
因为 在 上为奇函数，所以 在 上单调递增，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查抽象函数的基本性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
12．（2024•江西一模）已知函数 ，若不等式 对任意的
16恒成立，则实数 的取值可能是
A． B． C．1 D．2
【答案】
【考点】函数恒成立问题
【专题】综合法；数学抽象；函数的性质及应用；函数思想
【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
即函数 的图象关于直线 对称．
当 时， 为增函数；
令 ，则 ，
时， ， ，所以 ，所以 为增函数，
所以当 时， 为增函数．
由对称性可知，当 时， 为减函数．
因为 恒成立，所以 恒成立，
即 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
13．（2024•青原区校级模拟）定义：对于定义在区间 上的函数 和正数 ，若存在正数 ，
使得不等式 对任意 ， 恒成立，则称函数 在区间 上满足 阶李
普希兹条件，则下列说法正确的有
17A．函数 在 ， 上满足 阶李普希兹条件
B．若函数 在 ， 上满足一阶李普希兹条件，则 的最小值为
C．若函数 在 ， 上满足 的一阶李普希兹条件，且方程 在区间 ，
上有解 ，则 是方程 在区间 ， 上的唯一解
D．若函数 在 ， 上满足 的一阶李普希兹条件，且 （1），则对任意函数 ，
， ， ，恒有
【答案】
【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用
【专题】转化法；函数的性质及应用；转化思想；数学运算
【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断 选项，再利用反证法判断 选项，通过分类讨论可判
断 选项．
【解答】解：对于定义在区间 上的函数 和正数 ，若存在正数 ，使得不等式
对任意 ， 恒成立，则称函数 在区间 上满足 阶李普希兹条件，
对于 ，不妨设 ， ，
，
故 ，对 ， ， ，均有 ， 正确；
选项：不妨设 ，
在 ， 单调递增，
，
，即 ，
18即 对 ， ， ， 恒成立，
即 在 ， 上单调递减，
对 ， 恒成立，
所以 对 ， 恒成立，即 ，即 的最小值为2， 错误；
选项：假设方程 在区间 ， 上有两个解 ， ，
则 ，这与 矛盾，故只有唯一解， 正确；
选项：不妨设 ，当 时， ，
当 时， （1） （1）
，
故对 ， ， ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于难题．
14．（2024•福建模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． 有最小值
C． D． 是奇函数
【答案】
【考点】抽象函数的周期性
【专题】数学抽象；整体思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】利用辅值法检验选项 ，举出反例检验选项 ，结合函数奇偶性定义检验选项 即可判断．
【解答】解：函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，
令 可得， ，即 ， 正确；
19当 时，显然满足已知条件，但 在 上没有最小值， 错误；
由题意得 （2） （1） ， （3） （2） （1） （1） ， （4） （3）
（1） （1） ， ， （1） ， 正确；
令 ，
则由 可得， ，
所以 ，
因为 ，
令 ，则 ，
所以 ，即 为奇函数， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了赋值法在函数求值中的应用，还考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
15．（2024•濮阳模拟）已知 是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意 ， 都满足
，且 为偶函数，则下列说法正确的是
A． B． 为奇函数
C． 是周期函数 D．
【答案】
【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性
【专题】函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；综合法；函数思想
【分析】令 ，可判断 ；
令 ，得到 ，可判断 ；
根据题意，推得 ，得到 的周期为 ，可判断 ；
20令 ，求得 （2） ，结合函数的周期性，求得 ，可判断 ．
【解答】解：对于 ，由对于任意 ， 都满足 ，
令 ，则 ，所以 正确；
对于 ，令 ，可得 ，即 ，
所以函数 关于点 对称，所以 错误；
对于 ，由 为偶函数，知 关于直线 对称，即 ，
可得 ，
则 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，故 正确；
对于 ，令 ，则 （2） ，
可得 （1） （2） （3） （4） （1） （2） ，
所以 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值，考查了抽象函数的对称性及周期性，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•松江区二模）函数 的定义域为 ．
【答案】 ．
【考点】函数的定义域及其求法
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】由对数式的真数大于0求解 的范围得答案．
【解答】解：由 ，得 ．
21函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
17．（2024•子长市校级三模）若函数 为 上的奇函数，则实数 0 ．
【答案】0．
【考点】函数的奇偶性
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；整体思想
【分析】由已知结合奇函数的性质即可求解．
【解答】解：若函数 为 上的奇函数，
则 ，
所以 ，经检验 符合题意．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了奇函数的性质的应用，属于基础题．
18．（2024•葫芦岛二模）已知实数 ， ，则 的最大值为 2 ．
【答案】2
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；函数思想
【分析】将分式化简，然后结合平方均值不等式与基本不等式的相关知识即可得到结论
【解答】解：因为 ，
因为 ， ，所以根据平方均值不等式得：
，
当且仅当 时等号成立，
将上式化简得：
22，
当且仅当： 时等号成立，即 ，又因为 ，
所以当 时取得最大值．
故答案为：2
【点评】本题主要考察了基本不等式的相关内容，根据条件化简可以知道，基本不等式的灵活运用是解
题的关键
19．（2024•安徽模拟）若函数 为偶函数， 是奇函数，且 ，则
．
【答案】 ．
【考点】函数的奇偶性
【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；综合题；函数思想
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可．
【解答】解：由题意可知 关于 轴对称， 关于 中心对称，
，
所以 ，故 ，
所以 ，
即 是 的一个正周期，则 （3） （1），
由 （3） ，且 （3），则 （1） ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
20．（2024•江西一模）已知正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
23范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】函数恒成立问题；基本不等式及其应用
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；逻辑推理；不等式
【分析】将 变形为 ，利用均值不等式求
的最小值即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以
，
所以
，当且仅当 ， 时，
等号成立，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查函数恒成立问题，基本不等式求最值，属难题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•南充模拟）已知函数 ．
24（1）当 时，画出 的图象，并根据图象写出函数 的值域；
（2）若关于 的不等式 有解，求 的取值范围．
【答案】（1）图象见解析， 的值域为 ， ；
（2） ， ， ．
【考点】画出函数的图象；绝对值不等式的解法
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解
【分析】（1）根据题意得 ，根据绝对值的定义分三种情况讨论，将 化成分
段函数的形式，结合一次函数的性质画出它的图象，进而求出 的值域；
（2）利用绝对值不等式的性质算出 的最小值为 ，若 有解，则 ，
由此解出实数 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上所述， ，
根据一次函数的图象作法，画出 的图象，如下图所示．
25由 的图象，可知函数的最小值为4，所以函数 的值域为 ， ；
（2）不等式 ，即 ，
该不等式有解，说明 ，
根据绝对值不等式的性质，可知 ，
当 时，取等号．
因此，当 时， 有解，即不等式 有解，
①当 时， 可化为 ，即 ，解得 ；
②当 时， 可化为 ，即 ，解得 ．
综上所述， 或 ．
因此，若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是 ， ， ．
【点评】本题主要考查分段函数的应用、绝对值的性质、一次函数的图象与性质、一元二次不等式的解
法等知识，属于中档题．
22．（2024•昆明一模）若非空集合 与 ，存在对应关系 ，使 中的每一个元素 ， 中总有唯一的
元素 与它对应，则称这种对应为从 到 的映射，记作 ．
设集合 ， ， ，1，3， ， ， ， ， ， ，且 ，设有序四元数
26集合 ， ， ， ， 且 ，2，3， ， ， ， ， 对于给
定的集合 ，定义映射 ，记为 ，按映射 ，若 ，2，3， ，则 ；
若 ，2，3， ，则 ．记 ．
（1）若 ， ， ， ， ， ，写出 ，并求 ；
（2）若 ， ， ， ， ， ， ，求所有 的总和；
（3）对于给定的 ， ， ， ，记 ，求所有 的总和（用含 的式子表示）．
【答案】（1） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
．
（2）40．
（3） ．
【考点】映射
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可；
（2）对1， ，5是否属于 ，进行分类讨论，求出对应所有 中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射 下得到的所有 的和，同理求出在映射 下得到的所有 ，3， 的
和，即可求解．
【解答】解：（1）由题， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于 进行讨论：
①含1的 的个数为 ，此时在映射 下， ；
不含1的 的个数为 ，此时在映射 下， ；
27所以所有 中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的 的个数为 ，此时在映射 下， ；不含5的 的个数为 ，
此时在映射 下， ；所以所有 中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的 的个数为 ，此时在映射 下， ， ；
不含 的 的个数为 ，此时在映射 下， ， ；
所以所有 中 的总个数和 的总个数均为20．
综上，所有 的总和为 ．
（3）对于给定的 ， ， ， ，考虑 在映射 下的变化．
由于在 的所有非空子集中，含有 的子集 共 个，所以在映射 下 变为 ；
不含 的子集 共 个，在映射 下 变为 ；
所以在映射 下得到的所有 的和为 ．
同理，在映射 下得到的所有 ，3， 的和为 ．
所以所有 的总和为 ．
【点评】本题考查映射的概念、新定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
23．（2024•北京模拟）已知函数 为实常数）．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）在（1）的条件下，对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1） ；
（2）1．
【考点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【专题】转化法；函数思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】（1）由 求解，再检验即可；
28（2）求得 ， ，令 ， ，求
得函数 在 ， 上的最小值即可得到实数 的最大值．
【解答】解：（1）因为 ， ，
又因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ．
经检验 满足题意，
所以 ；
（2）由（1）知 ，从而 ，
由不等式 恒成立，得 ，
令 ， （因为 ， ，
故 ，
由于函数 在 ， 单调递增，
所以 （3） ，
因此当不等式 在 ， 上恒成立时，实数 的最大值为1．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查奇函数性质的应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于
中档题．
24．（2024•四川模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
29（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） ．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题
【专题】数学运算；不等式；整体思想；综合法
【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解，
（2）根据对勾函数的单调性求解最值以及绝对值三角不等式即可求解．
【解答】解：（1）当 时，由 得 ，
即 或 或 解得 ， ，
所以不等式 的解集为 ， ．
（2）设 ，易得 （a）在 上单调递增，故 ．
又 ，当且仅当 时，等号成立．
所以只需 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
25．（2024•北京模拟）已知函数 ．
（1）当 ， 时，求 的值域；
（2）当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ．
【考点】函数恒成立问题；函数的值域
【专题】数学运算；整体思想；计算题；综合法；函数的性质及应用
30【分析】（1）令 ，结合二次函数的性质计算可得；
（2）利用换元法及基本不等式求出 的最小值，即可得到关于 的一元二次不等式，解得即
可．
【解答】解：（1）令 ，因为 ， ，所以 ， ，
令 ， ， ，
因为 ，所以当 时，取最小值为 ，
当 时，取最大值为 ，即 ， ，
故当 ， 时， 值域为 ， ；
（2） ，
令 ，则 ，且 ，
所以
，
其中 ，
当且仅当 即 时取等号，此时 ，
即 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
31考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
2．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
32对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
332、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
34点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
35技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
3．函数的定义域及其求法
36【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解
析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式
有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是
由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数
定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义
域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
4．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域 ∈
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式
法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分
析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出
现，是常考题型．
5．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
37解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表
格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函
数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对
称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换： ⇒
y＝f（x） y＝f（ x）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩ω为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换： ⇒
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换： ⇒
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|． ⇒
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根
据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
38变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图
象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走
向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y变换”的原则，写出每一次的变换
所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝
x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图
过程．
39（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供
的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一
特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6．画出函数的图象
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对
称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
【解题方法点拨】
画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根
据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图
象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
【命题方向】
3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝
x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图
40过程．
画出函数y＝|x﹣2|（x+1）的图象．
解：y＝|x﹣2|（x+1）＝ ，
因此该函数的图象是两个二次函数的某部分组合而成的，
函数的图象如图．
7．由函数解析式求解函数图象
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对
称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根
据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图
象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
412、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
【命题方向】
识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供
的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一
特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
函数 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
42D.
解：∵函数 的定义域为R，且对于任意x R，有 ，
∈
∴函数为奇函数，故排除C，D，又 ，∴排除B．
故选：A．
8．映射
【知识点的认识】
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合
B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．函数是数
集到数集映射，象集A称做函数的定义域，象集C（C B）称做函数的值域．
“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个⊂集合到另一个集合的一种确定的对应关系．
【解题方法点拨】
映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，对应包括“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”
惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形，至于一一映射，它则是一种特殊的映
射，应该指出，一一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过﹣一映射将问题转
化，并获得解决的．注意原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域．
【命题方向】
映射通常与集合、排列组合相联系，也常考新定义题目，新课标地区要求比较浅，属于了解范畴．
9．由函数的单调性求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x 时，都有f
1 2 1 2 1 2
（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，
区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
43第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不
考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有
选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单
应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或
求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
10．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的
纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最
小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点
未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要
求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
11．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
44【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
12．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还
是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函
数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于
（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝f
（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝ 为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
45由奇函数的性质可知，f（x）＝ ＝﹣f（﹣x） a＝1
【命题方向】 ⇒
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重
视这一个知识点．
13．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函
数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣⇒1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档
题和小题为主，要引起重视．
14．抽象函数的周期性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函
数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣⇒1）＝0
46③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档
题和小题为主，要引起重视．
15．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于 0等），此时，函数中
的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此
适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x R恒成立∈，
∴mx2+mx+m＜1，
∈
∴ x R，m＜ 恒成立，
∀ ∈
∵x2+x+1＝（x+ ）2+ ≥ ，
∴0＜ ≤ ，
∴m≤0．
16．函数的值
【知识点的认识】
函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．
【解题方法点拨】
﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．
﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．
47﹣利用函数的值分析其性质和应用．
【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．
已知函数f（x）＝ ．求f（f（f（﹣ ）））的值；
解： ，
，
，
故f（f（f（﹣ ）））＝ ．
17．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x∅≠0} ∅R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣⇔b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求
解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|
48＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，
只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|
≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0
且|a|≥|b|．
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