文档内容
2025年菁优高考数学解密之计数原理
一．选择题（共10小题）
1．（2024•香河县校级模拟） 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的
常数项为
A． B． C．20 D．160
2．（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊5
名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不
去城东，则不同的安排方法共有
A．36种 B．60种 C．96种 D．180种
3．（2024•市中区校级模拟）若 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则
A．11 B．10 C．9 D．8
4．（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 2》引爆了电影市场，小
明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同 部影片的选择共有
A．9种 B．36种 C．38种 D．45种
5．（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠
释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层
围绕共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间．现将 4名志愿者安排到这三个主题空间进
行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有
A．6种 B．18种 C．24种 D．36种
6．（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的
分配方法数是
A．300 B．240 C．150 D．50
7．（2024•德阳模拟）在 的展开式中，含 项的系数为
A．70 B．60 C．55 D．50
18．（2024•广东模拟） 的展开式中 的系数为
A．80 B． C．40 D．
9．（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科
学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式
举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名
获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有
A．60种 B．120种 C．150种 D．240种
10．（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名
次．已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有 种不同的情况．
A．18 B．24 C．36 D．48
二．多选题（共5小题）
11．（2024•城区校级模拟）若 ，其中 ， ， ， ， 为
实数，则
A． B．
C． D．
12．（2024•长沙三模）瑞士数学家 于 17 世纪提出如下不等式： ，有
，请运用以上知识解决如下问题：若 ， ， ，则以下不等式
正确的是
A． B． C． D．
13．（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是
A． B．
2C． D．
14．（2024•江苏模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是
A．常数项是 B．各项的系数和是64
C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
15．（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则
A．全部投入4个不同的盒子里，共有 种放法
B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法
D．全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法
三．填空题（共5小题）
16．（2024•锦州模拟）已知 ， ， ， ，2，3， ， ， ， ， 为 ， ， ，
中不同数字的种类，如 ，1，4， ， ，4，4， ， ，2，2， 与 ，2，1， 视为不
同的排列，则 ， ， ， 的不同排列有 个（用数字作答）；所有的排列所得 ， ， ，
的平均值为 ．
17．（2024•黄浦区校级三模）用 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶
数的奇数共有 个．
18．（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有
女生的选法有 种．
19．（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于 2023年11月5日在广西举行，举办本
届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培
养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等 6人中选派4人到 ， ， ， 四个不同
的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去 区域的选派方法共有
种（用数字作答）．
20．（2024•闵行区校级二模）如图，设点 为正四面体 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，
3由点 到四个顶点的距离组成的集合记为 ，如果集合 中有且只有2个元素，那么符合条件的点 有
个．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分．赛
后某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没
有三名选手都答对两道相同的题目．试问该队选手至少有多少人？
22．（2024•黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元
次多项式方程在复数域上至少有一根 ．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着
基础作用．由此定理还可以推出以下重要结论： 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根
按重数计算）．对于 次复系数多项式 ，其中 ， ， ， ，
若方程 有 个复根 ， ， ， ，则有如下的高阶韦达定理：
（1）在复数域内解方程 ；
（2）若三次方程 的三个根分别是 ， ， 为虚数单位），求 ，
， 的值；
（3）在 的多项式 中，已知 ， ， ， 为非零
4实数，且方程 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 的式子表示）．
23．（2022•兰州一模）（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选
法？
（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？
24．（2020•宿城区校级模拟）已知 为给定的正整数，设 ， ．
（1）若 ，求 ， 的值：
（2）若 ， 的值．
25．（2022•兰州一模）已知二项式 ．
（1）求展开式的第三项的系数；
（2）求展开式的二项式系数之和．
52025年菁优高考数学解密之计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•香河县校级模拟） 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的
常数项为
A． B． C．20 D．160
【答案】
【考点】二项展开式的通项与项的系数
【专题】数学运算；二项式定理；转化思想；转化法
【分析】先求出 的值，再结合二项式定理，即可求解．
【解答】解： 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
则 ，
的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
故展开式中的常数项为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
2．（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊5
名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不
去城东，则不同的安排方法共有
A．36种 B．60种 C．96种 D．180种
【答案】
【考点】简单组合问题
【专题】转化思想；计算题；排列组合；数学运算；综合法
【分析】利用分步计数原理分两步：①先安排甲，②再安排其它4名普查员，分为两种情况：1、安排甲
去的小区就甲一个人，2、安排甲去的小区有2人，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：①先安排甲，甲不去城东，有 种，
6②安排其它4名普查员，
分为两种情况：1、安排甲去的小区就甲一个人，那其它4人按2，1，1分配，有 种，
2、安排甲去的小区有2人，则除甲以外4人全排即可，有 种，
所以一共有 种．
故选： ．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
3．（2024•市中区校级模拟）若 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得 的值．
【解答】解：若 展开式中只有第6项的二项式系数最大 最大，则 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
4．（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 2》引爆了电影市场，小
明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同 部影片的选择共有
A．9种 B．36种 C．38种 D．45种
【答案】
【考点】排列组合的综合应用
【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算
【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解．
【解答】解：从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，
2部影片进行全排列，
故共有 种情况．
故选： ．
【点评】本题考查了排列组合的问题，属于基础题．
75．（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠
释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层
围绕共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间．现将 4名志愿者安排到这三个主题空间进
行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有
A．6种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】
【考点】排列组合的综合应用
【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算
【分析】根据排列组合的分组分配问题计算即可．
【解答】解：首先将志愿者分成三组共有 种，安排到三个主题空间有 种，
故不同的安排方式有 种．
故选： ．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6．（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的
分配方法数是
A．300 B．240 C．150 D．50
【答案】
【考点】排列组合的综合应用
【专题】综合法；排列组合；数学运算；整体思想
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解．
【解答】解：先将5名志愿者分为3组，
则有 种分法，
再将这3组分给三个社区，
有 种分法，
则不同的分配方法数是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，
属基础题．
87．（2024•德阳模拟）在 的展开式中，含 项的系数为
A．70 B．60 C．55 D．50
【考点】 ：二项式定理
【专题】35：转化思想； ：转化法； ：二项式定理
【分析】根据 展开式的通项公式，即可得出 的展开式中含 项的系数．
【解答】解： 展开式的通项公式为
，
所以 的展开式中，含 项的系数为：
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
8．（2024•广东模拟） 的展开式中 的系数为
A．80 B． C．40 D．
【答案】
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中 的系数．
【解答】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得展开式中 的系数为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
9．（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科
学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式
举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名
获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有
9A．60种 B．120种 C．150种 D．240种
【答案】
【考点】排列组合的综合应用
【专题】数学运算；排列组合；整体思想；综合法
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，
则不同的派出方法有 种．
故选： ．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
10．（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名
次．已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有 种不同的情况．
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】
【考点】部分元素相邻的排列问题
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解
【分析】根据题意，将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分 4种情况讨论，由加法原理计算可得答
案．
【解答】解：根据题意，将丙和丁看成一个整体，
分4种情况分析：
①丙和丁的整体分别为第1、2名，有 种情况，
②丙和丁的整体分别为第2、3名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第4、5名，有 种情况，
③丙和丁的整体分别为第3、4名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、5名，有 种情况；
④丙和丁的整体分别为第4、5名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、3名，有 种情况；
则有 种情况．
故选： ．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
1011．（2024•城区校级模拟）若 ，其中 ， ， ， ， 为
实数，则
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】二项式系数的性质
【专题】综合法；数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题
【分析】根据题意，令 ，则原式转化为 ，结合赋值法，以及二项
展开式的性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由 ，
令 ，则原式转化为 ，
对于 中，令 ，可得 ，所以 正确；
对于 中，由二项式定理的展开式，可得 ，所以 不正确；
对于 和 中，令 ，可得 ，
令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 、 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2024•长沙三模）瑞士数学家 于 17 世纪提出如下不等式： ，有
，请运用以上知识解决如下问题：若 ， ， ，则以下不等式
11正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算
【分析】选项 中，根据题意得出 ， ，求和即可；
选项 中，根据题意得出 ， ，根据同向不等式相加，求解即可；
选项 、 ，不等式 ，可化为 ，构造函数 ，利用导数判断函
数的单调性，求解即可．
【解答】解：对于 ，因为 ，所以 ，则 ；
对于 ，因为 ，同理 ，则 ；
对于 ，要证明 ，也即证明 ，只要证明 时， 在区间
， 上单调递减．
求导数，得 ，由 ，得 ，且 ，
结合幂函数 的性质得：当 时， ， 在区间 上单调递减，即
时，函数 取得最大值，从而只需证明 ，变换得： ，因为
，故得证；
综上，若 ，不等式 成立，选项 正确， 错误．
故选： ．
12【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
13．（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】组合及组合数公式
【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；排列组合；二项式定理；逻辑推理
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的变换求出结果．
【解答】解：对于 ，故 错误；
对于 ，故 正确；
对于 ，故 ，故 正确；
对于 ，对于 ，其含有 的项的系数为 ，对于 ，要得
到含有要从第一个含有 的项的系数，需要从第一个式子中取出 个 ，再从第二个式子中取出 个
，对应的系数为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2024•江苏模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是
A．常数项是 B．各项的系数和是64
C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
【答案】
13【考点】二项式定理
【专题】数学运算；转化法；二项式定理；转化思想
【分析】利用二项式展开式通项可判断 选项；利用各项系数和可判断 选项；利用二项式系数的性质
可判断 选项；求出奇数项的二项式系数和可判断 选项．
【解答】解：二项式 的展开式通项为 ．
令 ，可得 ，故常数项是 ， 正确；
各项的系数和是 ， 错误；
二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大， 正确；
奇数项二项式系数和为 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15．（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则
A．全部投入4个不同的盒子里，共有 种放法
B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法
D．全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法
【答案】
【考点】排列组合的综合应用
【专题】排列组合；数学运算；定义法；对应思想
【分析】利用分步计数原理直接判断选项 ，利用组合、排列的结合判断选项 ．
【解答】解：对于 ：由分步计数原理，
五个球全部投入4个不同的盒子里共有 种放法，故 正确；
对于 ：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法，故 错误；
对于 ：将其中的4个球投入一个盒子里共有 种放法，故 正确；
对于 ：全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，
14共有： 种不同的放法，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查分步计数原理以及组合、排列相关知识，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•锦州模拟）已知 ， ， ， ，2，3， ， ， ， ， 为 ， ， ，
中不同数字的种类，如 ，1，4， ， ，4，4， ， ，2，2， 与 ，2，1， 视为不
同的排列，则 ， ， ， 的不同排列有 25 6 个（用数字作答）；所有的排列所得 ， ，
， 的平均值为 ．
【答案】256； ．
【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数
【专题】数学运算；整体思想；综合法；排列组合
【分析】本题首先可以确定 ， ， ， 的所有可能取值分别为1、2、3、4，然后分别计算出
每一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率
即可计算出 ， ， ， 的平均值．
【解答】解：由题意可知， ， ， ， 的不同排列有 个，
当 ， ， ， 时， ；
当 ， ， ， 时， ，
当 ， ， 时， ；
当 ， ， ， 时， ，
综上所述，所有的 256 个 ， 的排列所得的 ， ， ， 的平均值为：
15．
故答案为：256； ．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题．
17．（2024•黄浦区校级三模）用 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶
数的奇数共有 84 0 个．
【考点】数字问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解．
【解答】解：用 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为
2类：
①当数位上数字为奇数且个数为2时，
则有 个；
②当数位上数字为奇数且个数为4时，
则有 个，
则各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个．
故答案为：840．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，
属中档题．
18．（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有
女生的选法有 13 5 种．
【答案】135．
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【专题】数学运算；综合法；排列组合；整体思想
【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果．
【解答】解：3名代表中有1名男生，2名女生的选法有 ，
3名代表中有2名男生，1名女生的选法有 ，
所以3名代表中既有男生又有女生的选法有 ．
故答案为：135．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．
1619．（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于 2023年11月5日在广西举行，举办本
届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培
养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等 6人中选派4人到 ， ， ， 四个不同
的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去 区域的选派方法共有
276 种（用数字作答）．
【答案】276．
【考点】简单组合问题
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算
【分析】根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有限制条件的排列问题列式计算即得．
【解答】解：依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，
当甲参加时，有 种选派方法，当甲不参加时，有 种选派方法，
所以不同选派方法种数是 ．
故答案为：276
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
20．（2024•闵行区校级二模）如图，设点 为正四面体 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，
由点 到四个顶点的距离组成的集合记为 ，如果集合 中有且只有2个元素，那么符合条件的点 有
10 个．
【答案】10．
【考点】排列组合的综合应用
【专题】综合法；整体思想；数学运算；排列组合
【分析】根据分类计数原理求解即可．
【解答】解：符合条件的点 有两类：
一，六条棱的中点；二，四个面的中心；
集合 中有且只有2个元素，符合条件的点 有 个．
故答案为：10．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．
四．解答题（共5小题）
1721．（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分．赛
后某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没
有三名选手都答对两道相同的题目．试问该队选手至少有多少人？
【答案】7．
【考点】排列组合的综合应用
【专题】逻辑推理；排列组合；转化法；转化思想
【分析】利用图表列举所有情况，结合排列组合公式计算求解即可．
【解答】解：设该队有 名选手，分别记为 ， ， ， ，记6道题的编号依次为1，2， ，6，以
编号为行、选手为列作一个 的方格表，
如果选手 ，2， 答对第 ，2， 题，就将方格表中第 行第 列的小方格 的中心染成
红点，
我们的问题就是在 的方格表中，不存在“横”6点矩形 和“纵”6点矩形 的情况，且
至少有23个红点时，求 的最小值．
如第1列有6个红点，那么，后面各列至多有2个红点，
因为 ，于是，取第2至10列，其中第2至9列每列有2个红点，第 列1个红点（如图）满
足题设，这说明 的最小值不大于 ．
我们发现，可通过将第1列中某点移到此点所在行的其他列中来减少图6的列数，
如作移动 ， ， ，可同时作移动 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
这样便得到有23个红点的图甲，
类似地可得图乙，这说明 的最小值不大于7．
18下面证明： 的最小值大于6．
对于一个恰有6列的方格表，由抽屉原理知至少有一列红点数不少于 4，不妨设第1列，且第1列的前4
行的小方格的中心是红点，
如果某列有2个红点，则称其为某列上的一个红点“行对”，这样在前4行中，除第1列外的5列中每列
只能有一个行对．于是，前4行中总共有 个行对．
考虑最后两行：若第1列还有红点，那么，有红点的这一行不能再有其他的红点，如第 1列还有2个红点，
这时能增加9个行对， 方格表中共有 个行对；
如第1列还有1个红点，不妨设第1列第5行的小方格有红点，
这时即使第6行除第1列外的其他小方格都有红点，那么，可增加 个行对， 方格表中
共有 个行对；
如第1列没有其他的红点，那么，在最后两行中最多还有两个行对，这两个行对占去了两列，在余下的
三列中，每列最多有1个红点，
于是，可增加行对 个，这时， 方格表中最多有 个行对．这说明27是可能
的行对总数的最大值，
设第 列的红点数为 ， ， ，且 ，则所有行对的总数 ，
即 ，
由柯西不等式有 ，
所以 ，
19解得 ，
由 为正整数知 ，这说明 方格表中红点个数最多为21个，
又当 时，方格表中红点总数不大于 个，这说明 的最小值不小于7．
综上，该代表队至少有7名选手．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于难题．
22．（2024•黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元
次多项式方程在复数域上至少有一根 ．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着
基础作用．由此定理还可以推出以下重要结论： 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根
按重数计算）．对于 次复系数多项式 ，其中 ， ， ， ，
若方程 有 个复根 ， ， ， ，则有如下的高阶韦达定理：
（1）在复数域内解方程 ；
（2）若三次方程 的三个根分别是 ， ， 为虚数单位），求 ，
， 的值；
（3）在 的多项式 中，已知 ， ， ， 为非零
实数，且方程 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 的式子表示）．
【答案】（1） ；
（2） ， ， ；
20（3） ．
【考点】类比推理；二项式定理；复数的运算
【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；二项式定理；数系的扩充和复数；转化思想；计算题
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
（3）根据题意结合韦达定理可得 ，结合不等式可得 ，由
可得 ，结合不等式成立条件分
析求解．
【解答】解：（1）由 ，可得 ，解得 ．
（2）由题意可知： ，
将 ， ， 代入可得 ，
所以 ， ， ．
（3）设 ， ，
， ， ， ， ， ， ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
因为方程 的根恰好全是正实数，
21设这 个正根分别为 ， ， ， 且 ， ， ，
由题意可知： ，
因为 ，且 ， ， ， 均为正数，
则
，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
即 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查二项式定理，复数的运算，考查运算求解能力，属于难题．
23．（2022•兰州一模）（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选
法？
（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？
【答案】（1）35，（2）120．
【考点】排列组合的综合应用
【专题】排列组合；方程思想；计算题；数学运算；定义法
【分析】（1）根据题意，由组合数公式计算可得答案；
（2）根据题意，由排列数公式计算可得答案．
【解答】解：（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有 种不同选法；
（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，共有 种．
22【点评】本题考查排列组合数公式的应用，注意排列、组合的不同，属于基础题．
24．（2020•宿城区校级模拟）已知 为给定的正整数，设 ， ．
（1）若 ，求 ， 的值：
（2）若 ， 的值．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；转化法；排列组合；二项式定理；数学运算
【分析】（1）利用二项式展开式公式计算 时 和 的值；
（2）由 时，写出 ，利用 ，讨论 和 时，计算 的值即可．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ， ；
（2）当 时， ，
又因为 ，
当 时， ；
当 时，
23，当 时，也符合．
所以 的值为 ．
【点评】本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．
25．（2022•兰州一模）已知二项式 ．
（1）求展开式的第三项的系数；
（2）求展开式的二项式系数之和．
【答案】（1）189；（2）128．
【考点】二项式系数与二项式系数的和
【专题】综合法；转化思想；二项式定理；数学运算
【分析】（1）根据二项式的展开式的通项即可求解；
（2）根据二项式系数之和的结论即可求解．
【解答】解：（1） 二项式 的展开式的通项为： ，
展开式的第三项的系数为 ；
（2）二项式 的展开式的二项式系数之和为 ．
【点评】本题考查二项式的展开式的通项的应用，二项式系数之和的结论的应用，属基础题．
24考点卡片
1．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
2．用样本估计总体的集中趋势参数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均
数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均
数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即 ．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
25（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
3．数字问题
【知识点的认识】
﹣数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排．例如：求解由数字构成的不同整数的数
量、分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数．
﹣数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合．
【解题方法点拨】
﹣首先分析题目中的数字特性，如数字的范围、允许的重复次数等．
﹣使用排列数或组合数来计算数字的不同排列组合方式，必要时采用分类讨论的方式处理特殊情况．
﹣在涉及限制条件（如某些数位必须满足特定要求）时，先处理限制条件，再进行组合计算．
【命题方向】
﹣典型的数字问题命题包括：计算由给定数字组成的不同整数的数量，或者确定某一数位上特定数字出
现的频率．
﹣可能涉及到数字排列的特殊情况，如求解满足某些数位条件的整数个数，或计算某些数字在排列中的
特定组合数量．
﹣在更复杂的问题中，可能需要结合多种计数方法，如递推公式或生成函数来处理数字的排列组合．
4．部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
26﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个
元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内
部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
【命题方向】
﹣常见命题方向包括要求特定元素相邻的排列问题，或多组元素必须相邻排列的情况．
﹣题目可能涉及多个相邻条件的处理，要求考生灵活应用相邻元素排列的策略．
5．组合及组合数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取
m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素
中，任意取出m个元素的组合数，用符号 表示．
2．组合数公式： ＝ ．m，n N ，且m≤n．
+
3．组合数的性质： ∈
性质1
性质2 ．
6．简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为 ．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
27【解题方法点拨】
﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列
考虑顺序．
﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．
﹣在复杂组合问题中，分类讨论和递推公式可能是有效的解题工具．
【命题方向】
﹣常见命题包括基本组合问题的计算，如从一组元素中选出子集的总数，或计算特定组合情况的可能性．
﹣命题可能涉及对组合数公式的直接应用，以及对组合问题的基础性理解与操作．
7．从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一
定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合
要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
【命题方向】
﹣可能要求考生计算从不同类别中挑选特定数量物品的组合数，或者分析在多种类别条件下的组合情况．
﹣命题可能涉及复杂的分类讨论，如多类别选择、不同选择条件的叠加等．
8．排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
28⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行
分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们
“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决
“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置
的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的
解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 ；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排
在某r个指定位置则有 ；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A
策略，排列 ；组合 ；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A
29策略，排列 ；组合 ；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个
元素中的s个元素．先C后A策略，排列 ；组合 ．
9．二项式定理
【知识点的认识】
二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝ an﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次
方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.10 5 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+ •19×0.01+ •18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把 把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T ＝ × ＝120×3 i＝360 i．
8
故答案为：360 i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题
的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
性质
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数
叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
30（4）二项式定理通常有如下变形：
① ；
② ；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项 叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展
开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方
面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 ；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（ 1 ） 对 称 性 ： 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 ， 即
；
（2）增减性与最大值：当k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减
小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项 的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的
两项 ， 相等，且同时取得最大值．
10．二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为 ，其中 为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接
找到所需项．
31【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，
再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参
数．
【命题方向】
﹣可能要求考生直接求解二项展开式中某一特定项的系数或幂次，或分析展开式中的通项规律．
﹣命题可能涉及二项式定理在不完全展开中的应用，要求考生逆向推导或分析已知条件．
11．二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系
数和的性质 ．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
【解题方法点拨】
﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．
﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．
﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．
【命题方向】
﹣可能要求考生计算二项式系数的总和、特定项的系数和，或证明二项式系数的恒等式．
﹣命题可能涉及二项式系数的递推关系、对称性分析，以及在复杂求和问题中的应用．
12．二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于
复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性 和递推关系 是常用的基本工具．
32【解题方法点拨】
﹣熟练运用二项式系数的对称性和递推关系，特别是在复杂展开式或求和问题中，这些性质可以简化计
算．
﹣在涉及多项式展开或二项式定理应用时，可以通过生成函数或其他工具进一步理解二项式系数的分布
规律．
﹣对于证明问题，使用二项式系数的性质来构造证明路径，尤其是递推关系可以有效帮助推导复杂的等
式．
【命题方向】
﹣常见命题包括二项式系数性质的直接应用、二项式系数递推关系的推导与证明，或要求考生利用二项
式系数的性质解决复杂展开问题．
﹣命题可能涉及二项式系数在其他数学领域中的应用，如在数列、组合问题中的延伸应用．
13．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或
相似的推理形式．
2．类比推理的形式：
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一
般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
33解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:03:22；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
34
