文档内容
2025年菁优高考数学解密之三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024•河南模拟）若 ，且 ，则
A． B． C． D．
2．（2024•双鸭山四模）已知函数 在区间 ， 内恰有3条对称轴，则 的
取值范围是
A． B． C． D．
3．（2024•红谷滩区校级模拟）已知函数 在区间 上的最小值恰为
，则所有满足条件的 的积属于区间
A． ， B． ， C． D． ，
4．（2024•江西一模）已知集合 ， ，则
A． B． ， C． ，0， D．
5．（2024•吉安模拟）若 ，则
A． B．2 C． D．1
6．（2024•江西一模）已知 ，则
A． B． C． D．
7．（2024•辽宁模拟）已知 ， 均为锐角，且 ，则 的最大值是
A．4 B．2 C． D．
18．（2024•临沂二模）已知函数 图象的一个对称中心为 ，则
A． 在区间 上单调递增
B． 是 图象的一条对称轴
C． 在 上的值域为
D．将 图象上的所有点向左平移 个长度单位后，得到的函数图象关于 轴对称
9．（2024•南通模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
10．（2024•榆林四模）已知 ， ，则
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•河南模拟）已知函数 ，下列说法正确的是
A． 的最小正周期为
B．点 为 图象的一个对称中心
C．若 在 上有两个实数根，则
D．若 的导函数为 ，则函数 的最大值为
12．（2024•湖南模拟）已知 ， ，下列结论正确的是
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
2C．若 在 ， 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
13．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，则下
列说法正确的是
A．
B． 为偶函数
C． 在 上单调递增
D．若 ，则 的最小值为
14．（2024•安顺二模）已知函数 ， ，则
A．
B．
C． 在 上单调递减
D． 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
15．（2024•东阳市模拟）已知函数 的部分图象如图所
示，则
A．
3B．
C． 为偶函数
D． 在区间 的最小值为
三．填空题（共5小题）
16．（2024•抚顺模拟）已知 ， 是函数 的两个零点，且
，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在
内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ．
17．（2024•黄浦区校级三模）若 ， ，则 ．
18．（2024•资阳模拟）已知函数 ，若存在 ， ， ，使得
，则 的最小值为 ．
19．（2024•东城区一模）已知角 ， 的终边关于直线 对称，且 ，则 ， 的一组
取值可以是 ， ．
20．（2024•昆明一模）已知角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，点 ，
在角 终边上，且 ，则 的值可以是 ．（写一个即可）
四．解答题（共5小题）
21．（2024•天津）在 中 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 ．
22．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ， ．
4（1）求函数 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 中，若 （A） ， ，求 的面积．
23．（2024•抚州模拟）已知函数 ， ， ，函数 和它的导
函数 的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ，求 的值．
24．（2024•东城区模拟）已知函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上的最大值和最
小值．
条件①：函数 是奇函数；
条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象；
条件③： ．
525．（2024•南岸区模拟）已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 在 ， 上的单调增区间；
（2）在 中角 ， ， 的对边分别是 ， ， 满足 ，求函数 （A）的
取值范围．
62025年菁优高考数学解密之三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•河南模拟）若 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】整体思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】由已知结合两角差的正弦公式及同角基本关系可求出 ， ，然后结合
两角和的正弦公式即可求解．
【解答】解：因为 ，
又 ，
所以 ，
则 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
2．（2024•双鸭山四模）已知函数 在区间 ， 内恰有3条对称轴，则 的
取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】余弦函数的图象
【专题】逻辑推理；三角函数的图象与性质；综合法；数学运算；三角函数的求值；计算题；转化思想
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．
7【解答】解：由于函数 的对称轴方程为 ， ，
令 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（2024•红谷滩区校级模拟）已知函数 在区间 上的最小值恰为
，则所有满足条件的 的积属于区间
A． ， B． ， C． D． ，
【答案】
【考点】三角函数的最值；余弦函数的图象
【专题】综合法；数学运算；计算题；三角函数的求值；转化思想；逻辑推理；三角函数的图象与性质
【分析】根据余弦型函数的性质判断能否取到最小值进行分类讨论即可．
【解答】解：当 时 ，因为此时 的最小值为 ，
所以 ，即 ．
若 ，此时 能取到最小值 ，即 ，
整理得： ，
代入可得 ，满足要求；
若 取不到最小值 ，
则需满足 ，即 ，
所以 或者 ，
所以所有满足条件的 的积属 和 ，
故满足的区间为 ，
8故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4．（2024•江西一模）已知集合 ， ，则
A． B． ， C． ，0， D．
【答案】
【考点】正弦函数的定义域和值域；交集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】数学运算；不等式的解法及应用；定义法；集合思想
【分析】求出 ， 后利用交集的定义可求 ．
【解答】解： ，
，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
5．（2024•吉安模拟）若 ，则
A． B．2 C． D．1
【答案】
【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】逻辑推理；转化思想；综合法；数学运算；三角函数的求值
【分析】由辅助角公式及两角和的正弦公式可得 ，进而可得 的值．
【解答】解：因为
，
，
所以 ，
可得 ，
9可得 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查辅助角公式的应用，属于中档题．
6．（2024•江西一模）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数
【专题】转化法；数学运算；三角函数的求值；转化思想
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得．
【解答】解：由 ，得 ，即 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角恒等变形，属于中档题．
7．（2024•辽宁模拟）已知 ， 均为锐角，且 ，则 的最大值是
A．4 B．2 C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】三角函数的求值；综合法；数学运算；转化思想
【分析】将 变形，配角 ，利用两角差的正弦公式展开化简计算，
可得关于 的一元二次方程，根据△ 列不等式求解 的取值范围，即可得最大值．
10【 解 答 】 解 ： ，
，
， ，
， ，
，又因为 为锐角，所以该方程有解，
△ ，解得 ，又 为锐角， ．
所以 的最大值是 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查两角和差公式，属于基础题．
8．（2024•临沂二模）已知函数 图象的一个对称中心为 ，则
A． 在区间 上单调递增
B． 是 图象的一条对称轴
C． 在 上的值域为
D．将 图象上的所有点向左平移 个长度单位后，得到的函数图象关于 轴对称
【答案】
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数 的图象变换
【专题】三角函数的图象与性质；转化思想；数学运算；综合法
【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得出 、 的真假；结合正弦函数最值可得出 的真假；
得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得出 的真假．
11【解答】解：由函数的对称中心可得 ，解得 ，
又 ，故 ，即 ；
对 ：当 时， ，
由函数 在 ， ， ，
故 在区间 上不为单调递增，故 错误；
对 ：当 时， ，
由 不是函数 的对称轴，
故 不是 图象的对称轴，故 错误；
对 ：当 时， ，
则 ，故 错误；
对 ：将 图象上的所有点向左平移 个长度单位后，
可得 ，
该函数关于 轴对称，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
9．（2024•南通模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；数学运算；三角函数的求值；整体思想
【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为 ，
12所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
10．（2024•榆林四模）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数；运用诱导公式化简求值
【专题】综合法；转化思想；数学运算；三角函数的求值
【分析】根据同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为 ， ，可得 ．
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•河南模拟）已知函数 ，下列说法正确的是
A． 的最小正周期为
B．点 为 图象的一个对称中心
13C．若 在 上有两个实数根，则
D．若 的导函数为 ，则函数 的最大值为
【答案】
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性
【专题】综合法；数学运算；三角函数的图象与性质；整体思想
【分析】由三角函数的性质逐一判断出所给命题的真假．
【解答】解： 中，因为 ，所以函数的最小正周期 ，所以 正确；
中，因为 ， ，所以 不正确；
中， ， ，可得 ， ，当 ， 时， 有唯一解，
当 ， ，且 时， 两解，
所以 ， 时， 有两解，所以 正确；
中， ，
所以 ， ，
所以当 ， 时，
即 ， ，函数 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
12．（2024•湖南模拟）已知 ， ，下列结论正确的是
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
C．若 在 ， 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
14D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 的图象变换；三角函数的周期性
【专题】综合法；数学运算；整体思想；三角函数的图象与性质
【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：
，
对于 ， ，又 ， ，故 正确；
对于 ，将 的图象向左平移 个单位长度后得到 ，
若所得图象关于 轴对称，则 ，得 ， ，所以 ，故 正确；
对于 ，由 ， ，得 ，
若 在 ， 上恰有4个极值点，则 ，
解得 ，故 正确；
对于 ，由 ， ，
结合正弦函数的性质可知， 在 上不可能单调递减，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
13．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，则下
列说法正确的是
A．
B． 为偶函数
15C． 在 上单调递增
D．若 ，则 的最小值为
【答案】
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；函数思想；综合法
【分析】利用正弦函数的对称性质可求得 ，再对各个选项逐一判断即可．
【解答】解： 的图象关于直线 对称，
，
，
， 错误；
，
，是偶函数， 正确；
， ， 在 上不单调， 错误；
的最小正周期 ，
若 ，则 的最小值为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数的对称性、单调性及周期性等性质的运用，属于中档题．
14．（2024•安顺二模）已知函数 ， ，则
A．
B．
C． 在 上单调递减
D． 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
16【答案】
【考点】函数 的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性
【专题】综合法；转化思想；数学运算；三角函数的图象与性质
【分析】根据正弦函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：因为函数 的图象的一条对称轴方程为 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
对于 ， ， 错误；
对于 ，因为 图象的一个对称中心为 ，所以 正确：
对于 ，当 时， ，
所以 在 上单调递减， 正确；
对于 ， 的图象向左平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为 ，
显然 是偶函数，其图像关于 轴对称， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．．
15．（2024•东阳市模拟）已知函数 的部分图象如图所
示，则
17A．
B．
C． 为偶函数
D． 在区间 的最小值为
【答案】
【考点】由 的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出 ，可得 正确， 错误；由诱导公式
可得 正确；整体代入由正弦函数的值域可得 正确．
【解答】解：由题意得 ，
由图象可得 ，
又 ，所以 ，
由五点法可得 ，
所以 ．
：由以上解析可得 ，故 正确；
：由以上解析可得 ，故 错误；
，故 正确；
：当 时， ，
所以最小值为 ，故 正确；
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•抚顺模拟）已知 ， 是函数 的两个零点，且
18，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在
内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】函数 的图象变换
【专题】数学运算；综合法；三角函数的图象与性质；整体思想
【分析】由已知结合正弦函数的性质先求出 的解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解 的范围．
【解答】解：由题意，函数 的两个零点，且 ，
则 ， ，
， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
又因为将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，
所以 为偶函数，
则 ， ，
又因为 ，
所以 ， ，
当 时， ，函数有且只有两个最值点，
所以 ，
19解得 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了正弦函数最值取得条件
的应用，属于中档题．
17．（2024•黄浦区校级三模）若 ， ，则 ．
【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；计算题；三角函数的求值；综合法；逻辑推理
【分析】利用同角三角函数关系得 ，再结合诱导公式即可得到答案．
【解答】解： ， ， ， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18．（2024•资阳模拟）已知函数 ，若存在 ， ， ，使得
，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】根据两角差的正弦公式得出 ，然后根据题意即可得出 ，从而可
得出 的最小值．
【解答】解： ，
20因为存在 ， ， ，使得 ，
所以 ，解得 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，是中档题．
19．（2024•东城区一模）已知角 ， 的终边关于直线 对称，且 ，则 ， 的一组
取值可以是 ， ．
【答案】 ； ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解
【分析】角 ， 的终边关于直线 对称，可得 ， 的关系，再由 ，由可得 ，
的关系，进而求出 ， 的一组值．
【解答】解：因为角 ， 的终边关于直线 对称，可得 ， ，
又因为 ，可得 或 ， ，
所以 ，或 ，
取 ， ．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查三角函数的求值，属于基础题．
20．（2024•昆明一模）已知角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，点 ，
在角 终边上，且 ，则 的值可以是 2 （答案不唯一） ．（写一个即可）
21【答案】2（答案不唯一）．
【考点】任意角的三角函数的定义
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；转化法
【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：点 ， 在角 终边上，且 ，
则 ，解得 ，
，
则 的值为 ， ，0，1，2，
，
故 的值可以是0或 或 ．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•天津）在 中 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 ．
【答案】（1）4； （2） ； （3） ．
【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】（1）设 ，则 ， ，利用余弦定理能求出 ；
（2）由同角三角函数关系式，先求出 ．再由正弦定理求出 ．
（3）利用二倍角公式求出 ，再由同角三角函数关系式求出 ，利用两角差三角函数能求出
．
【解答】解：（1）在 中 ， ， ，
设 ，则 ， ，
22，
解得 ，
；
（2）由（1）得 ， ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
解得 ．
（3） ， ， 是锐角，且 ，
，
，
．
【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 中，若 （A） ， ，求 的面积．
【答案】（1） ．
23（2） ．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化法；转化思想；数学运算；三角函数的求值
【分析】（1）先对 恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，先求出 ，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）
，
由 ，得 ，
故函数 的单调增区间是 ．
（2） ，
则 ，
在锐角三角形 中，
则 ，
故 ，即 ，所以 ，
又 ，所以， ，
故 的面积 ．
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
23．（2024•抚州模拟）已知函数 ， ， ，函数 和它的导
函数 的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
24（2）已知 ，求 的值．
【考点】由 的部分图象确定其解析式
【专题】数学运算；转化思想；三角函数的图象与性质；综合法
【分析】（1）由图可得， ， ， 的图象过点 ， ，可得 ， ，进而
可得结论；
（2）由（1）及题意得 ，而 ，结合二倍角公式
求解即可．
【解答】解：（1）函数 ， ，
由图可得， ， ，
又 ，所以 ， ，
因为 的图象过点 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）及 ，得 ，
．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式，属于中档题．
2524．（2024•东城区模拟）已知函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上的最大值和最
小值．
条件①：函数 是奇函数；
条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象；
条件③： ．
【答案】（Ⅰ） ．
（Ⅱ）最大值为1，最小值为 ．
【考点】函数 的图象变换；由 的部分图象确定其解析式
【专题】整体思想；数学运算；综合法；三角函数的图象与性质
【分析】（Ⅰ）结合函数图象可求周期，结合周期公式即可求解 ；
（Ⅱ）结合正弦函数的奇偶性及三角函数图象的变换可求 ，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
（Ⅱ）选择条件①：函数 是奇函数，
则 ，
因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，
26因为 ，所以 ，
于是， ，
因为 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最大值为1．
当 ，即 时， 取得最小值为 ；
选择条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，
因为其图象与 的图象相同，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
于是， ，
因为 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最大值为1．
当 ，即 时， 取得最小值为 ；
选择条件③： ，
所以 ， ，
此时 不存在．
27【点评】本题主要考查了函数 解析式的求解，还考查了三角函数图象变换及正弦函数性
质的应用，属于中档题．
25．（2024•南岸区模拟）已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 在 ， 上的单调增区间；
（2）在 中角 ， ， 的对边分别是 ， ， 满足 ，求函数 （A）的
取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用
【专题】整体思想；三角函数的图象与性质；数学运算；计算题；综合法
【分析】（1）利用三角恒等变换化简 ，再利用整体代入法即可得解；
（2）利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式求得角 ，从而得到 的取值范围，进而利用三角
函数的性质即可得解．
【解答】解：（1）
，
，
，
故 ，
由 ，解得 ，
28当 时， ，
又 ， ，
所以 在 ， 上的单调增区间为 ；
（2）由 ，得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（A）的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理以及三角函数的性质，考查了计算能力和转化思
想，属于中档题．
29考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
2．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0
或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
30故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特
征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可
求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的
解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
≥0 ；
⇔
≤0 ．
⇔
3．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin ＝ y ，cos ＝ x ，
α α α
tan ＝ ．
2．α几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起
点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
31利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目
中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【命题方向】
已知角 的终边经过点（﹣4，3），则cos ＝（ ）
α α
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos 的值．
α
解：∵角 的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝ ＝5．
α
∴cos ＝ ＝ ＝﹣ ，
故选：αD．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
4．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f
（ x + T ）＝ f （ x ） ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f
（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ x+ ），x R及函数y＝Acos（ x+ ）；x R（其中A、 、 为常数，且A≠0， ＞
ω φ ∈ ω φ ∈ ω φ ω
0）的周期T＝ ．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ x+ ）的单调区间时，应注意 的符号，只有当 ＞0时，才能把 x+ 看作一个整体，
代入y＝sin t的相ω应单φ调区间求解，否则将出现错ω误． ω ω φ
2．两类点
y＝sin x，x [0，2 ]，y＝cos x，x [0，2 ]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的∈三种方π法 ∈ π
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
32②利用公式：y＝Asin（ x+ ）和y＝Acos（ x+ ）的最小正周期为 ，y＝tan（ x+ ）的最小正
ω φ ω φ ω φ
周期为 ．
③利用图象．图象重复的x的长度．
5．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于
180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
6．正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ x+ ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin xω＝t，φ化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数
求解．
7．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ x+ ）或y＝Acos（ x+ ）（其中， ＞0）的单调区间时，要视“ x+ ”为一个
整体，通过解不等式ω求φ解．但如果 ＜0ω，那φ么一定先借助ω诱导公式将 化为正数，防止ω把单φ调性弄错．
8．正弦函数的奇偶性和对称性 ω ω
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有 sin（﹣x）＝﹣sinx．
33另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝k + ，k z．
【解题方法点拨】 π ∈
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝ ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝ ，
而函数y＝sint的对称轴为
则 ，解得 （k Z）
∈
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为 ．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣ 看成
一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
【命题方向】
这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．
9．余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
[2k ﹣ ，2k ] （k Z）
（k Z）； （k Z）；
π π π ∈
递减区间： 递减区间：
∈ ∈
[2k ，2k + ]
（k Z） （k Z）
π π π
∈ ∈
34最 值 x＝2k +（k Z）时，y ＝ x＝2k （k Z）时，y ＝ 无最值
max max
1； 1；
π ∈ π ∈
x＝2k ﹣（k Z）时， x＝2k + （k Z） 时，
y ＝﹣1 y ＝﹣1
π min ∈ π πmin ∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0） 对称中心：（k Z） 对称中心：（k Z）
（k Z）
对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
π ∈ ∈
对称轴：x＝k +，k Z
∈
π ∈
周期 2 π ∈ 2
10．函数y＝Asin（ x+ ）的π图象变换 π π
【知识点的认识】 ω φ
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象的步骤
ω φ ω
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是| |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，
φ
平移的量是 （ ＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】ω
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ x+ ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣
ω φ
A+b，故A＝ ．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ x+ ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的
图象变换到y＝Asin （ x+ ）的图ω象φ，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的
ω φ 35量是| |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是 （ ＞0）个单位．原因在于
相位φ变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于 xω加减多少值．
3．三点提醒 ω
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin x的图象得到y＝Asin（ x+ ）的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是| |．
11．由y＝Asinω（ x+ ）的部分图象确定ω其解φ析式 φ
【知识点的认识】ω φ
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝ ，k＝ ， 由周期T确定，
ω
即由 ＝T求出， 由特殊点确定．
12．三角函数的最φ值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、
单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合
三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ + cos （ 2 x + ） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ ﹣ +2• ＝ + （cos2x﹣sin2x）
＝ + cos（2x+ ）．
故答案为： + cos（2x+ ）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函
数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换
特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t [﹣1，1]
∈
36∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝ 时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候
要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法
融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
13．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝ cos cos + sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝ cos coαs ﹣β sin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝ sin α cos β+ cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝ siαn coβs ﹣ cαos βsin ；
α β
α β α β α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）＝ ．
α β
α β
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）＝ ．
14．二倍α角β的三角函α数
β
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即 ＝ 的一种特例，其公式为：sin2 ＝
2sin •cos ；其可拓展为1+sin2 ＝（sin +cos ）2． α β α
二倍α角的α余弦其实属于余弦函数α 和差化α积里α面的一个特例，即 ＝ 的一种特例，其公式为：cos2 ＝
cos2 ﹣sin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ． α β α
二倍α角的正α切其实属α 于正切函数和α差化积里面的一个特例，即 ＝ 的一种特例，其公式为：tan2 ＝
α β α
．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
37例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
π
＝ +sin2x
＝sin2x﹣ cos2x+
＝ sin（2x+ ）+ ，（tan ＝﹣ ）
φ φ
∴其周期T＝ ＝ ．
故答案为： ． π
这个简单的π例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可
以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种
公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公
式．
15．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三
角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2k +x）＝sinx，sin（ +x）＝sin（ ﹣x）＝cosx
π
②余弦函数有y＝cos（2k +x）＝cosx，cos（ ﹣x）＝sinx
π
③正切函数有y＝tan（k +x）＝tanx，tan（ ﹣x）＝cotx，
π
④余切函数有y＝cot（ ﹣x）＝tanx，cot（k +x）＝cotx．
【解题方法点拨】 π
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于
解 ： ， ，
38，
，
∴原式＝ ．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值
求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数
的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
16．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2 +cos2 ＝1．
α α
（2）商数关系： ＝tan ．
2．诱导公式 α
公式一：sin（ +2k ）＝sin ，cos（ +2k ）＝cos ，tan（ +2k ）＝tan ，其中k Z．
公式二：sin（α+ ）π＝﹣sin α，cos（ α+ ）π＝﹣cos α，tan（ α+ ）π＝tan ．α ∈
公式三：sin（π﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣π α）＝cos ，αtan（﹣ π）α＝﹣tan ．α
公式四：sin（ ﹣α ）＝sin α，cos（ ﹣α ）＝﹣αcos ，tan（α ﹣ ）＝α﹣tan ．
π α α π α α π α α
公式五：sin（ ﹣ ）＝cos ，cos（ ﹣ ）＝sin ，tan（ ﹣ ）＝cot ．
α α α α α α
公式六：sin（ + ）＝cos ，cos（ + ）＝﹣sin ，tan（ + ）＝﹣cot ．
3．两角和与差的正α弦、余弦α、正切公式 α α α α
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝cos cos +sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝cos coαs ﹣βsin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝sin αcos β+cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝siαn coβs ﹣cαos sβin ；
α β
α β α β α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）＝ ．
α β
α β
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）＝ ．
α β
α β
394．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S ：sin 2 ＝2sin cos ；
2
（2）C
2
α：cos 2α ＝cos2α ﹣sαin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ；
α
α α α α α
（3）T ：tan 2 ＝ ．
2
α
α
17．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
40（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
41∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
18．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accosB，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
形式 cosA＝ ，
②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
42③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosB＝ ，
cosC＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角 两角
形的
问题
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
2．S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
3．S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
43解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
形的
问题
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
443、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
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