文档内容
2025年菁优高考数学解密之一元函数导数及其应用
一．选择题（共10小题）
1．（2024•宜宾三模）若曲线 的一条切线方程是 ，则
A． B．1 C． D．
2．（2024•江西模拟）已知函数 和 的导函数 ， 图象分别如图所示，则关于函数
的判断正确的是
A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
3．（2024•江西一模）已知 ，则
A． B． C． D．
4．（2024•江西一模）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，且
， 为偶函数，则 （7）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024•江西模拟）已知函数 在 处的切线斜率为 ，
1若 在 上只有一个零点 ，则 的最大值为
A． B． C．2 D．
6．（2024•桥西区模拟）“ ”是“直线 与曲线 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图像如图所示，
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则
A．函数 的最大值为1 B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1 D．函数 的最小值为1
8．（2024•邢台模拟）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B．1 C． D．
9．（2024•宜宾三模）定义在 上的单调函数 ，对任意的 都有 ，若
方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
10．（2024•江苏模拟）若命题：“ ， ，使得 ”为假命题，则 ， 的大小关
系为
A． B． C． D．
2二．多选题（共5小题）
11．（2024•建阳区一模）已知函数 ， ， ， 是 的导函数，则
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 ， 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
12．（2024•回忆版）设函数 ，则
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
13．（2024•扬州校级一模）若正数 ， 满足 ，则
A． B．
C． D．
14．（2024•常德模拟）已知 ， ，其中 ，则 的取值可以是
A． B． C． D．
15．（2024•山西模拟）已知函数 ，则
A． 的图象关于直线 对称
B．
C．
D． 在区间 上的极大值为
3三．填空题（共5小题）
16．（2024•江西模拟）已知函数 ， ， ，则 的取值范围为 ．
17．（2024•淄博一模）设方程 ， 的根分别为 ， ，函数 ，
令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
18．（2024•怀化二模）已知 ，则 的单调增区间为 ．
19．（2024•重庆模拟）若直线 为曲线 的一条切线，则 的最大值为 ．
20．（2023秋•红桥区期末）已知函数 ，则 的导函数 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•贵州模拟）已知函数 ．
（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， ， ， ， ， （其中 且 ， ， 成等比数列）是曲线
上三个不同的点，判断直线 与曲线 在点 处的切线能否平行？请说明理由．
22．（2024•江西一模）已知函数 ．
（1）若 ，求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 有两个极值点 ， ．
①求 的取值范围；
②求证： ．
23．（2024•榆林四模）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的极值；
（Ⅱ）若 ， ， ，求 的取值范围．
424．（2024•烟台一模）已知曲线 在 处的切线与直线 垂
直．
（1）求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
25．（2024•邢台模拟）定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线 在 和
处的切线重合，则称 ， 为曲线 的“双重切点”，直线 为曲线 的“双重切线”．
（1）直线 是否为曲线 的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数 ，求曲线 的“双重切线”的方程；
（3）已知函数 ，直线 为曲线 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值
为 ， ， ，若 ，4，5， ， ，证明： ．
52025年菁优高考数学解密之一元函数导数及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•宜宾三模）若曲线 的一条切线方程是 ，则
A． B．1 C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】数学运算；数学模型法；方程思想；导数的概念及应用
【分析】求出原函数的导函数，利用切点处的导数值等于切线的斜率求解切点坐标，把切点坐标代入切
线方程求 值．
【解答】解：由 ，得 ，
设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
切点坐标为 ，代入 ，
得 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
2．（2024•江西模拟）已知函数 和 的导函数 ， 图象分别如图所示，则关于函数
的判断正确的是
6A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
【答案】
【考点】函数在某点取得极值的条件
【专题】数形结合；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算
【分析】由已知结合函数的单调性与极值的关系进行分析即可求解．
【解答】解：结合函数图象可知，当 时， ，此时 ，函数单调递增，
当 时， ，此时 ，函数单调递减，
当 时， ，此时 ，函数单调递增，
当 时， ，此时 ，函数单调递减，
故函数在 ， 处取得极大值，在 处取得极小值．
故选： ．
7【点评】本题主要考查了函数极值的判断，属于基础试题．
3．（2024•江西一模）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数线；对数值大小的比较
【专题】逻辑推理；导数的综合应用；转化法；函数思想
【分析】利用正弦函数的单调性可得 ，利用导数可证不等式 成立，故可判断 ，
故可得三者大小关系．
【解答】解： ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上为减函数，
所以 （1） ，即 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
4．（2024•江西一模）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，且
8， 为偶函数，则 （7）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】基本初等函数的导数
【专题】导数的概念及应用；数学运算；转化思想；转化法
【分析】对 两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可．
【解答】解：因为 为偶函数， ，
所以 ，
对 两边同时求导，得 ，
所以有 ，所以函数
的周期为8，
在 中，令 ，所以 （2） ，
因此 （2） ，
因为 为偶函数，
所以有 （7） （1），
（7） （2），
由（1），（2）可得： （7） ，
所以 （7） ，
故选： ．
【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
5．（2024•江西模拟）已知函数 在 处的切线斜率为 ，
9若 在 上只有一个零点 ，则 的最大值为
A． B． C．2 D．
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】综合法；数学运算；导数的概念及应用；函数思想
【分析】求出函数的导函数，由 求出 ，由 的取值范围求出 的范围，再根据 在
上只有一个零点 得到 ，即可求出 的取值范围，从而得解．
【解答】解：由题意得， ，则 ，即 ，
又 ，解得 ，
，
由 得 ，
， ，
，
又 ， 在 上只有一个零点 ，
，解得 ，
的最大值为2．
故选： ．
【点评】本题考查导数的几何意义以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2024•桥西区模拟）“ ”是“直线 与曲线 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
10【考点】充分条件与必要条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；导数的综合应用
【分析】求出函数 的导函数，设切点坐标，利用切点处的导数值等于3求得切点横坐标，再
由切点处的函数值相等列式求解 ．然后判断充要条件．
【解答】解：由 ，得 ，
设切点坐标为 ， ，则 ，
由 ，得 ，
，解得 ．
所以“ ”是“直线 与曲线 相切”的充分必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图像如图所示，
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则
A．函数 的最大值为1 B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1 D．函数 的最小值为1
【答案】
【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值
【专题】数学运算；整体思想；综合题；函数思想；导数的综合应用
【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为 ，再求函数 的单调性可求出最值．
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递
11增，判断可知，虚线部分为 ，实线部分为 ，则 ， 显然错误，
对于 ， 而言， ，由图像可知 单调递增，
， 单调递减，所以函数 在 处取得最大值为1．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
8．（2024•邢台模拟）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】逻辑推理；导数的综合应用；综合题；构造法；转化思想；数学运算；综合法
【分析】求导，根据题意可得 恒成立， ，分离参数，可得 ，构造函数
， ，求导，利用导数研究 的单调性和最值，即可求出结果．
【解答】解：因为函数 在区间 上单调递增，
所以 恒成立， ，
即 恒成立， ，
令 ， ，
，
所以 在 上单调递减，
所以 （1） ，
所以 ．
故选： ．
12【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题．
9．（2024•宜宾三模）定义在 上的单调函数 ，对任意的 都有 ，若
方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
【答案】
【考点】由函数的单调性求解函数或参数
【专题】数形结合；导数的综合应用；数学运算；综合法
【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得 为定值，可以设 ，则
，又由 ，即 ，解可得 的值，可得 的解析式，对其求导可得 ；将
与 代入 ，求出函数的最大值，即可得答案．
【解答】解： 是定义在 上的单调函数， ，
为大于0的常数，
设 ，则 ，
又由 ，即 ，解得 ，
， ，
，
设 ，则 ，
易得函数 在 上单调递增， 上单调递增，
时，函数 取得最大值1，其大致图象如图所示，
方程 有两个不同的实数根，
．
13故选： ．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出 的
解析式．
10．（2024•江苏模拟）若命题：“ ， ，使得 ”为假命题，则 ， 的大小关
系为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】存在量词和存在量词命题；利用导数研究函数的单调性
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；简易逻辑；数学抽象
【分析】由题意得， ， ，使得 ，即 恒成立，构造函数
， ，结合导数判断函数的单调性，利用单调性即可判断．
【解答】解：若命题：“ ， ，使得 ”为假命题，则 ， ，使得
，
即 恒成立，
令 ， ，
则 ，即 在 上单调递增，
由 （a） （b），可得 ．
14故选： ．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，还考查了导数与单调性关系在不等式大小比
较中的应用，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•建阳区一模）已知函数 ， ， ， 是 的导函数，则
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 ， 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
【答案】
【考点】函数的奇偶性；基本初等函数的导数；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【专题】计算题；转化思想；导数的综合应用；运算求解；综合法
【分析】根据奇函数的定义域与性质及充分必要条件的定义可判断 ；由导函数与单调性的关系及充分
必要条件的定义可判断 ；由不等式的解集可得 的单调性与极值及函数的零点，从而可得 ， ，
的值，求出 解析式，由导数判断函数的单调性，从而可得函数的极小值，即可判断 ；由△ 及
根与系数的关系可求出 的取值范围，即可判断 ．
【解答】解：当 时， ， ，所以 为奇函数，充分性成
立；
若 为奇函数，则 ，
则 恒成立，所以 ，必要性成立，故 项正确；
当 时， ， ，所以 为增函数；
由题意得 ，当 为增函数时，△ ，
15所以“ ”是“ 为增函数”的充分不必要条件，故 项错误；
，若不等式 的解集为 且 ，
则 在 上先增后减再增，则 ， （1） ，解得 ，
故 ，
，
令 ，解得 或 ，
所以在区间 内， ， 单调递增，
在区间 内， ， 单调递减，
在区间 内， ， 单调递增，
所以 的极小值为 ，故 项正确；
，因为 ， 是方程 的两个不同的根，
所以△ ，即 ①，
， ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ②，
由①②得 ，解得 或 ，故 项正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数单调性与奇偶性的判断，充分必要条件的定义，
考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
12．（2024•回忆版）设函数 ，则
16A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】
【考点】利用导数研究函数的极值
【专题】数学运算；综合法；函数思想；导数的综合应用
【分析】对于 ，对函数 求导，判断其单调性，进而得到极值情况，可判断；对于 ，由
，结合单调性，可判断；对于 ，直接计算 以及 与0的关系，可判断；
对于 ，利用作差法，可判断．
【解答】解：对于 ， ，
易知当 时， ，则函数 在 上单调递减，
当 ， ， 时， ，则函数 在 ， 上单调递增，
故 是函数 的极小值点，选项 正确；
对于 ，当 时， ，且 ，
又 在 上单调递增，
则 ，选项 错误；
对于 ，由于 ，
一方面， ，
另一方面， ，
则 ，选项 正确；
对于 ，由于 ，
则 ，
即 ，选项 正确．
17故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，考查运算求解能力，属于中档题．
13．（2024•扬州校级一模）若正数 ， 满足 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】构造法；导数的综合应用；函数思想；不等式；数学运算
【分析】结合基本不等式可求 的范围，然后结合基本不等式及指数，对数的运算性质检验选项 ，
结合选项中不等式的特点，合理的构造函数，结合导数与单调性关系检验选项 ， ．
【解答】解：因为正数 ， 满足 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则 ， 错误；
，当且仅当 时取等号， 正确；
因为 ， ，
令 ， ，
则 ，即 在 上单调递增，
所以 （1） ，即 ，
所以 ，
所以 ， 正确；
因为 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
18故 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及函数的性质在不等关系的判断中的应用，属于中档题．
14．（2024•常德模拟）已知 ， ，其中 ，则 的取值可以是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数的运算性质；利用导数研究函数的单调性
【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算
【分析】令 ，利用导数判断函数的单调性，由已知可得 ，不妨设
， 利 用 换 元 法 令 ， 将 已 知 两 式 相 减 化 简 可 得 ， 令
， ，利用导数判断函数的单调性，判断 ，可得 ，进而可
求得 的取值范围，从而可得答案．
【解答】解：令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
， ， ，
又 ，不妨设 ，
令 ；两式相减，可得 ，
则 ， ；
令 ， ，则 ，
因为 在 上恒成立，
19所以 在 上单调递增，
因为 （1） 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
则 （1） ，即 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
15．（2024•山西模拟）已知函数 ，则
A． 的图象关于直线 对称
B．
C．
D． 在区间 上的极大值为
【答案】
【考点】利用导数研究函数的极值
【专题】导数的综合应用；转化思想；综合法；计算题；数学运算
【分析】对于 选项，把轴对称转化为等式 成立，结合诱导公式，从而可以得证；对于
选项，先化简 ，然后结合基本不等式，即可求得最小值；对于 选项，令 ，举反
例，可得 错误；对于 选项，利用导数求函数极值，即可求解．
【解答】解：对于 选项，因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，故 正确；
对于 选项，
20，当且仅当 时取等号，故 正确；
对于 选项， ，故 错误；
对于 选项，因为 ，当 时， ， ，则 ；
当 时， ，
设 ， ，则 ，所以 在 上单调递减．
由 ，得 ， 且 ， ， ，
又 ，则 ，则 在 上单调递增；
当 时， ，结合 选项知 在 上单调递增，在 ，上单调递减，故 的
极大值为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•江西模拟）已知函数 ， ， ，则 的取值范围为
．
【考点】利用导数研究函数的最值
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算
【分析】令 ，然后求导，找到 最大值，当 恒成立时， 最大值小于
等于零，解出 ．
【解答】解：令 ，
有 ，
当 时， ，当 时， ，
21所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最大值 ，
若 恒成立，则 ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17．（2024•淄博一模）设方程 ， 的根分别为 ， ，函数 ，
令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】数学运算；转化思想；转化法；导数的综合应用
【分析】先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得 ，由此
得到 ，再结合函数的单调性判断即可．
【解答】解：由 ，得 ，由 ，得 ，
因为方程 的根为 ，所以函数 与 的图象交点 的横坐标为 ，
同理函数 与 的图象交点 的横坐标为 ，
因为 与 互为反函数，所以两函数图象关于 对称，
易知直线 与直线 互相垂直，所以 ， 两点关于直线 对称，
即 ， 的中点 一定落在 ，亦即点 为 与 的交点，
联立 ，解得 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ，
22令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
而 ，
又 ， ， ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数与方程的综合，函数值大小的比较，考查了转化
思想，属中档题．
18．（2024•怀化二模）已知 ，则 的单调增区间为 ．
【答案】 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】转化思想；数学运算；分析法；导数的综合应用
【分析】求出导函数，根据导函数的正负即可求解结论．
【解答】解： 的定义域为 ，
，
当 时， ，
故 的单调增区间为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（2024•重庆模拟）若直线 为曲线 的一条切线，则 的最大值为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】函数思想；分析法；导数的概念及应用；数学运算
23【分析】设 ，切点为 ，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出 ，
的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可．
【解答】解：设 ，则 ，
设切点为 ，则 ，
则切线方程为 ，整理可得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 ．
【点评】本题主要考查用导函数解决曲线上的切线问题，属于中档题．
20．（2023秋•红桥区期末）已知函数 ，则 的导函数 ．
【考点】63：导数的运算
【分析】直接利用导数运算法则即可得出答案．
【解答】解：由导数的运算法则可知 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了导数的运算，学生应熟练掌握特殊函数的导数，是送分的题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•贵州模拟）已知函数 ．
（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；
24（2）已知 ， ， ， ， ， （其中 且 ， ， 成等比数列）是曲线
上三个不同的点，判断直线 与曲线 在点 处的切线能否平行？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）不能，详见解答过程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值
【专题】整体思想；数学运算；综合法；导数的综合应用
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在条件即可求解；
（2）由已知结合直线的斜率公式及等比数列的性质可得关于 的方程，结合等式特点构造函数，对其求
导，结合导数与单调性关系即可求解．
【解答】解：（1）令 ，由题设知方程 有两个实数根，
因为 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
当 时，函数取得极小值 ，
当 及 时， ，且 ，
当 时 ， （1） 且 时 ．
所以当 时， 与 有两个不同的交点，即 有两个不同的零点．
（2）因为 且 ， ， 成等比数列，设公比为 ，
则 ， ，（8分）
直线 的斜率 ，
函数 在点 处的切线斜率 ，
假设直线 与函数 在点 处的切线平行，则 ，
25整理成 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 （1） ，
所以 在 时无实数解，
所以直线 与函数 在点 处的切线不能平行．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在零点存在问题中的应用，还考查了等比数列性
质的应用，属于中档题．
22．（2024•江西一模）已知函数 ．
（1）若 ，求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 有两个极值点 ， ．
①求 的取值范围；
②求证： ．
【答案】（1） ；
（2）① ；②证明见解析．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】数学运算；逻辑推理；转化思想；导数的综合应用；函数思想；综合法
【分析】（1）利用切点和导数几何意义即可求解；
（2）①令 ，由题意可知， 在 有两个不相等的实数根，根据 的
单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；
②由①分析得 ， ，令 ，可得 在 上单调递增，
26因为 ，所以 ，根据不等式性质计算即可得证．
【解答】解：（1）若 ，则 ，所以 ，
所以 （1） ，又 （1） ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 ．
（2）①由题意知 ．
令 ，则 ．
因为 有两个极值点 ， ，所以 有两个不等正实根 ， ．
若 ， ，则 在 上单调递增，
所以 在 上至多有一个零点，不符合题意；
若 ，令 ，解得 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 时， 取得极大值，即最大值为 ，
所以 ，解得 ．
当 时， ，又 ，所以 ，
由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得 ．
又 ，令 ，
所以 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
27所以 ，所以 ，
由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得 ．
所以当 时， 有两个不等正实根 ， ．
综上， 的取值范围是 ．
②证明：由①知 ，且 ，所以 ，
因为 在 上为增函数，及 （1） ，所以 ，
又 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ．
令 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
所以 ．
【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了构造函数解决问题的能力，考查了函数思想及转化思想，
属于难题．
23．（2024•榆林四模）已知函数 ，其中 ．
28（Ⅰ）当 时，求函数 的极值；
（Ⅱ）若 ， ， ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） 的极小值为 ，极大值为 ；
（Ⅱ） ， ．
【考点】利用导数求解函数的极值
【专题】数学运算；综合法；综合题；导数的综合应用；函数思想
【分析】（Ⅰ）求导数， ，根据单调性可得极值．
（Ⅱ）分别讨论 和 ，根据单调性和 ， ， ，可得结果．
【解答】解：（Ⅰ） ，则 ，
令 ，解得 或 ．
所以当 时 函数 单调递减；
当 时 ，函数 单调递增；
当 时 ，函数 单调递减，
所以函数 的极小值为 ，极大值为 ．
（Ⅱ） ，
①若 ，即 时， ，函数 单调递减，
则 ，不符合题意．
②若 ，令函数 ，则 的图象开口向下，且与 轴有两个交点，
令 ，则 ， ，
因为 ，且 ， ， ，
29所以 不可能是函数 的极大值．
则 ，即 ．
当 ，即 时，
若 ， ，则 ，函数 单调递减；
若 ， ，则 ，函数 单调递增．
所以 ，符合题意．
当 ，即 时，
若 ， ，则 ，函数 单调递减；
若 ，则 ，函数 单调递增；
若 ，则 ，函数 单调递减；
又 ，故只需 即可，解得 ，所以 ，
综上， 的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
24．（2024•烟台一模）已知曲线 在 处的切线与直线 垂
直．
（1）求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值
【专题】数学运算；转化思想；逻辑推理；导数的综合应用；函数思想；综合法
【分析】（1）对 求导，求出曲线在 处的切线斜率，由该切线与直线 垂直，再由互
相垂直的直线斜率之积等于 即可求出 的值；
30（2）由（1）的结论， 恒成立，分离常数得 ，
【解答】解：（1）因为 ，则 ，
所以 （2） ，
因为曲线 在 处的切线与直线 垂直，
所以 ，所以 ．
（2）由（1）有， ，定义域为 ，
所以不等式 等价于 ，
即 ，
令 ，
则 恒成立等价于 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
25．（2024•邢台模拟）定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线 在 和
处的切线重合，则称 ， 为曲线 的“双重切点”，直线 为曲线 的“双重切线”．
（1）直线 是否为曲线 的“双重切线”，请说明理由；
31（2）已知函数 ，求曲线 的“双重切线”的方程；
（3）已知函数 ，直线 为曲线 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值
为 ， ， ，若 ，4，5， ， ，证明： ．
【答案】（1）不是，理由见解答；
（2） ；
（3）证明见解答．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值
【专题】综合题；导数的综合应用；函数思想；综合法；数学运算
【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；
（2）求出导数 ，利用其单调性可设切点为 ， ， ， ，且 ，写出两切线方程
后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；
（3）设 对应的切点为 ， ， ， ， 对应的切点为 ， ， ，
，由导数几何意义得 ， ，由周期性，只需研究
的情形，由余弦函数的性质，只需考虑 ， 情形，在此条件下求
得 ， ， 即 ， 构 造 函 数
，则 ，由导数确定单调性，从而得出 缩小的范围
，所以 ，证明则 ，再由不等式的性质可证结论．
32【解答】解：（1）不是，理由如下：
由已知 ，由 解得 ， ，
又 ，不妨设切点为 ，
在点 处的切线的方程为 ，即 ，
在点 的切线方程为 ，即 与直线 不重合，
所以直线 不是曲线 的“双重切线”．
（2）由题意 ，函数 和 都是单调函数，
则可设切点为 ， ， ， ，且 ，
所以在点 处的切线的方程为 ，
在点 的切线方程为 ，设 ，
则 ，所以 是减函数，
又 ，所以 在 时只有一解 ，
所以方程 的解是 ，从而 ，
在点 处切线方程为 ，即 ，
在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以“双重切线”方程为 ；
（3）证明：设 对应的切点为 ， ， ， ， ， 对应的切点为 ， ，
， ，
33由于 ，所以 ， ，
由余弦函数的周期性，只要考虑 的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑 ，
情形．
则 ，
其中 ，所以 ，
又 ， ，
即 ，
时， ， ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，又 ，所以 ，
所以 ，此时 ，则 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查导数的综合应用，属于难题．
34考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．存在量词和存在量词命题
【知识点的认识】
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“ ”． ∃
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”∃、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有
的”等词，用符号“ ”表示．
∃
35特称命题：含有存在量词的命题．“ x M，有p（x ）成立”简记成“ x M，p（x ）”．
0 0 0 0
“存在一个”，“至少有一个”叫做∃存在∈量词． ∃ ∈
命题 全称命题 x M，p（x） 特称命题 x M，p（x ）
0 0
表述方法 ①所有的x ∀M，∈使p（x）成立 ①存在x M∃，∈使p（x ）成立
0 0
②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
③对每一个∈x M，使p（x）成立 ③某些x M，∈ 使p（x）成立
④对任给一个∈x M，使p（x）成立 ④存在某一个∈x M，使p（x ）成立
0 0
⑤若x M，∈则p（x）成立 ⑤有一个x M∈，使p（x ）成立
0 0
【解题方法点拨】由于全∈称量词的否定是存在量词，而存在量词的否∈定又是全称量词；因此，全称命题
的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是
两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若 p 则q”形式的命题而言，
既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立
词语的否定 或 一个也没有 至多有n﹣1个 至少有两个 存在一个x不成立
【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
3．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
36解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
5．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图
的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．三角函数线
【知识点的认识】
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线
的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角 的正弦线，余弦线和正切线．
α
37【命题方向】
若 ，则（ ）
A．sin ＞cos ＞tan B．cos ＞tan ＞sin C．sin ＞tan ＞cos D．tan ＞sin ＞cos
分析：α根据题α意在坐α标系画出α单位α圆，并α且作出角α 得正α弦线、α 余弦线α和正切α线，再α由 的范围比较出
三角函数线的大小． α α
解：由三角函数线的定义作出下图：OP是角 的终边，圆O是单位圆，
则AT＝tan ＞1，OM＝cos ，MP＝sin ， α
α α α
∵ ，
∴OM＜MP＜1，即tan ＞sin ＞cos ，
故选D． α α α
点评：本题考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是正确作图，利用角的范围比较出三
角函数线的大小．
7．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n R）
③（sinx）′＝cosx ∈
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log x）]′＝ *（log e）＝ （a＞0且a≠1）⑧[lnx]′
a a
＝ ．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
38③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[ ]′＝ ．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公
式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且
要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算
失误．
【命题方向】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a R，b R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣
2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ∈ ）∈
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ ln2
39C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（ ）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B， 成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D， 成立，故D正确．
故选C．
8．利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解
∈
40集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（∈x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； ∈
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t [1，2]，函数
∈
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： ．
解：（Ⅰ） （2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ） 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴ ，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
41∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t [1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∈
所以有： ，∴ （10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x （1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜∈x﹣1对一切x （1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n N*，则有∈0＜lnn＜n﹣1，
∈
∴
∴
9．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
42情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； ∈
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t [1，2]，函数
∈
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： ．
解：（Ⅰ） （2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ） 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴ ，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t [1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∈
所以有： ，∴ （10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x （1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜∈x﹣1对一切x （1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n N*，则有∈0＜lnn＜n﹣1，
∈
43∴
∴
10．利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f（x）＜f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值 ＝f（x
0
），x
0
是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有 f（x）＞f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值 ＝f（x
0
），x
0
是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，并
0 0 0 0 0
且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f′（x）在
方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）
在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
44【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，
也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数
没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间
必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连
续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极
值点，也可能不是极值点．
11．函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑
的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以
确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于 0
时，即左边单调递增，右边的导函数小于 0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他
理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作
为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
【命题方向】
例1：求函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数．
解：∵函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9
∴f'（x）＝15x4﹣15x2
令f'（x）＝0
则x＝﹣1，x＝0或x＝1
又∵当x （﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；
当x （﹣∈1，0）时，f'（x）＜0；
∈ 45当x （0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
故函∈数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数有2个．
这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为0的点有几个，即它的极值点有几个．
例2：已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x﹣x3的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于
．
解：已知实数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，
∵y′＝3﹣3x2＝0，则x＝±1，
经检验，x＝1是极大值点．极大值为2．
∴b＝1，c＝2
由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．
这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的左边必须要大于
0，要是单调递增的，右边必须小于0，既是单调递减的，这样这个点才处于波峰的位置，这个时候就是
极大值，这里的验证其实就是做这个工作．
12．利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，并
0 0 0 0 0
且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f′（x）在
方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）
在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．
﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．
46【命题方向】
常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．
已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．
解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
令f'（x）＝0，得 ，解得 ，
令f'（x）＞0，得 ；令f'（x）＜0，得 ，
故f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，
所以f（x）存在极小值为 ，无极大值．
13．利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x ）与f（x ）是极小值，f（x ）是极
1 3 2
大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x ）．
1
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数 f（x）＝ 在
（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必
要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一
个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就
可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
47【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，
也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数
没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间
必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连
续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极
值点，也可能不是极值点．
14．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
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