文档内容
2025年菁优高考数学解密之一、二次函数及方程、不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2024•湖北模拟）已知全集是实数集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分所表示的集合为
A． B． C． D． 或
2．（2024•浙江模拟）已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
3．（2024•玄武区校级二模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ，0， D． ，3，
4．（2024•河北模拟）已知集合 ，集合 ，则
A． B． ，1，3，4， C． ，4， D． ，
5．（2024•陕西模拟）已知变量 ， 满足约束条件 则 的最小值为
A． B． C． D．
6．（2024•晋中模拟）设集合 ，1，2， ， ，则
A． B． ， C． ， D． ，2，
7 ． （ 2024• 雁 峰 区 校 级 模 拟 ） 已 知 命 题 ： 集 合 ， 命 题 ： 集 合
1，则 是 的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．（2024•河北区模拟）设 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共5小题）
9．（2024•4月份模拟）若函数 在 上单调，则实数 的值可以为
A． B． C． D．3
10．（2024•聊城三模）设方程 的两根 ， 在复平面内对应的点分别是 ， ，则
A． 的实部为1 B． ， 关于 轴对称
C． D．
11．（2024•定西模拟）设集合 ， ， ，则
A． B． 的元素个数为16
C． D． 的子集个数为64
12．（2024•辽阳一模）已知集合 ，则
A． ，2，3， B．
C． ， D． ，
13．（2022•丹东模拟）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么下列数值中，
2可取到的数为
A． B．0 C．1 D．2
三．填空题（共7小题）
14．（2024•日照一模）设 满足：对任意 ，均存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 ．
15．（2024•铜川一模）若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
16．（2024•重庆模拟）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的
取值范围是 ．
17．（2024•黄浦区校级三模）已知全集 ，集合 ，则 ．
18．（2024•四川模拟）若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
19．（2024•浙江模拟）已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
则关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
20．（2024•上海）已知 ，则不等式 的解集为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•东兴区校级模拟）已知 ．
（1）若 ，求 的最大值，并求出此时 的值；
（2）若 且 ，求 的最大值．
22．（2024•北京模拟）已知关于 的不等式 的解集是 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
3（2）若 ，求实数 ， 的值．
23．（2023•南阳模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 ， 上的值域；
（2）当 时，求函数 在 ， 上的最大值．
24．（2023•南阳模拟）已知集合 是函数 的定义域，集合 是不等式
的解集， ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
25．（2024•莲湖区校级三模）已知 ， ．
（1）若 是真命题，求对应 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
42025年菁优高考数学解密之一、二次函数及方程、不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024•湖北模拟）已知全集是实数集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分所表示的集合为
A． B． C． D． 或
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算；一元二次不等式及其应用
【专题】整体思想；集合；数学抽象；综合法
【分析】根据题意，求得 且 ，结合 ，即可求解．
【解答】解：由不等式 ，解得 或 ，所以 或 ，
又由 ，可得 且 ，
又因为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
2．（2024•浙江模拟）已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】交集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】不等式的解法及应用；集合；集合思想；函数思想；综合法；数学运算
【分析】先求出集合 ， ，再利用集合的交集运算求解．
【解答】解：集合 或 ，集合 ，
5所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
3．（2024•玄武区校级二模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ，0， D． ，3，
【答案】
【考点】交集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】数学运算；综合法；集合；整体思想
【分析】由解一元二次不等式解出集合 ，再由交集的运算求出最后结果即可．
【解答】解：由题意可得 ， ， ，
则 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
4．（2024•河北模拟）已知集合 ，集合 ，则
A． B． ，1，3，4， C． ，4， D． ，
【答案】
【考点】交集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】数学运算；转化思想；集合；转化法
【分析】先求出集合 ， ，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ，1，2，3，4， ，
集合 或 ，
故 ，4， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
65．（2024•陕西模拟）已知变量 ， 满足约束条件 则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；转化思想；综合法；不等式的解法及应用
【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组
求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：画出不等式组表示的可行域，
如图：
线性区域的端点坐标为 ，
，可得 ，
可知当过点 时，直线在 轴上的截距最大， 有最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．（2024•晋中模拟）设集合 ，1，2， ， ，则
A． B． ， C． ， D． ，2，
【答案】
【考点】交集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；整体思想；集合
7【分析】利用交集的定义，将两个集合的条件联立即可得到结果．
【解答】解： ，1，2， ， 或
，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
7 ． （ 2024• 雁 峰 区 校 级 模 拟 ） 已 知 命 题 ： 集 合 ， 命 题 ： 集 合
，则 是 的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】
【考点】充分条件与必要条件；一元二次不等式及其应用
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】解出集合 、 ，利用集合的包含关系判断可得出结论．
【 解 答 】 解 ： 或 ，
或 ，
是 的真子集，
因此， 是 的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
8．（2024•河北区模拟）设 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】二次函数的性质与图象；充分条件与必要条件
8【专题】函数的性质及应用；综合法；逻辑推理；转化思想；计算题；数学运算；简易逻辑
【分析】直接利用二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用求出结果．
【解答】解：函数 的对称轴为 ，由于函数在 上单调递增，
所以 ，解得 ；
故“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：二次函数的对称轴和单调性的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生
的运算能力，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
9．（2024•4月份模拟）若函数 在 上单调，则实数 的值可以为
A． B． C． D．3
【答案】
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用二次函数的性质和函数的对称轴和区间的关系求出结果．
【解答】解：令 ， ， ，对称轴为 ，
则 或 或 或 ，
解得 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，函数的对称轴和区间的关系，考查数学运算能力，属于基础
题．
10．（2024•聊城三模）设方程 的两根 ， 在复平面内对应的点分别是 ， ，则
A． 的实部为1 B． ， 关于 轴对称
9C． D．
【答案】
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系
【专题】转化法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】解方程得 ，根据复数减法运算及复数概念判断 ，根据复数的几何意
义判断 ，根据复数模的运算判断 ，根据共轭复数的定义和乘法运算求解判断 ．
【解答】解：由实系数一元二次方程求根公式知：
方程 的两根为 ，
则 ，所以 的实部为0，故 错误；
在复平面内对应的点分别是 ，
他们关于 轴对称，故 正确；
，
则 ，
即 ，故 正确；
，
则 ，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查韦达定理的应用，以及复数的四则运算，属于基础题．
11．（2024•定西模拟）设集合 ， ， ，则
10A． B． 的元素个数为16
C． D． 的子集个数为64
【答案】
【考点】交集及其运算；并集及其运算；一元二次不等式及其应用
【专题】定义法；集合思想；数学运算；不等式的解法及应用
【分析】化简集合 、 ，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：集合 ， ，
， ， ， ，
则 ，选项 错误， ，选项 正确；
， ， ， ， ， ，0，1，2，3，4，5，6，7，8， ，有16个元素，选项 正确；
， ，0，1，2， ，子集有 （个 ，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
12．（2024•辽阳一模）已知集合 ，则
A． ，2，3， B．
C． ， D． ，
【答案】
【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断；一元二次不等式及其应用；并集及其运算
【专题】数学运算；综合法；集合思想；集合；函数思想
【分析】先求出集合 ， ，再结合集合的基本运算可判断 ， ， ，结合对数函数的性质可判断 ．
【解答】解：集合 ，1，2，3，5， ， ，
所以 ，1，2，3， ， ，故 错误， 正确；
因为 ，所以 ， ，故 正确；
11若 ，则△ ，
所以当 时， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了对数函数的性质，属于基础题．
13．（2022•丹东模拟）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么下列数值中，
可取到的数为
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【考点】一元二次不等式及其应用
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】根据题意，利用不等式成立的条件，求出 的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：不等式 可化为 ，
因为不等式的解集为 ，
所以 ，得 ．
验证 时， ； 时， ；
所以 可取到的值为1和2．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
三．填空题（共7小题）
14．（2024•日照一模）设 满足：对任意 ，均存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】数学运算；计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】令 ，由题意 ，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可．
12【解答】解：令 ．
因为对任意 ，均存在 ，使得 ，所以 的值域是 值域的子集，
所以 ，即 ，解得 ，即 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于中档题．
15．（2024•铜川一模）若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 1 4 ．
【答案】14．
【考点】简单线性规划
【专题】数形结合法；不等式；综合法；对应思想；数学运算
【分析】首先画出可行域，将目标函数变形，根据其几何意义即可求得答案．
【解答】解：根据题意画出满足约束条件的可行域如下图中着色部分所示：
将目标函数 变形可得 ，
若 取得最大值，即直线 在 轴上的截距取得最小值，
将 平移到过点 时，直线 在 轴上的截距最小，
此时目标函数 有最大值为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了简单的线性规划，数形结合思想，属于基础题．
16．（2024•重庆模拟）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的
13取值范围是 ， ．
【答案】 ．
【考点】一元二次不等式及其应用
【专题】数学运算；不等式的解法及应用；函数思想；转化法
【分析】根据一元二次不等式的解集得到对称轴，再根据端点得到两个等式和一个不等式，求出 的取值
范围，把 都表示成 的形式即可求解．
【解答】解：因为不等式 的解集为 ，
所以二次函数 的对称轴为直线 ，
且需满足 ，即 ，解得 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端
点的值，是中档题．
17．（2024•黄浦区校级三模）已知全集 ，集合 ，则 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】一元二次不等式及其应用；补集及其运算
【专题】集合；转化法；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合补集的运算，即可求解．
【解答】解：全集 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
1418．（2024•四川模拟）若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 1 ．
【答案】1．
【考点】简单线性规划
【专题】数形结合；不等式的解法及应用；数学运算；综合法
【分析】利用分式表示斜率求解最大值．
【解答】解：可行域如图阴影所示，
设 ，则 为可行域内的点与点 连线的斜率，
可知当直线过点位于 时， 取得最大值1．
故答案为：1．
【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（2024•浙江模拟）已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
则关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
【答案】 ．
【考点】一元二次不等式及其应用
【专题】不等式的解法及应用；数学运算；整体思想；综合法
【 分 析 】 由 韦 达 定 理 可 得 ， ， 且 ， ， ， 设 方 程
的 两 个 根 为 ， ， 可 得 ，
，所以 和 是方程 的两个根，再结合
15， 求解即可．
【解答】解： 关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
， 是一元二次方程 的两个根，且 ，
，
， ， ，
设方程 的两个根为 ， ，
则 ，
，
和 是方程 的两个根，
， ，
又 ， ， ，
，
关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．
20．（2024•上海）已知 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】 ．
【考点】一元二次不等式及其应用
【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；综合法
【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可．
16【解答】解： 可化为 ，
解得 ，
故不等式的解集为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•东兴区校级模拟）已知 ．
（1）若 ，求 的最大值，并求出此时 的值；
（2）若 且 ，求 的最大值．
【答案】（1） 的最大值为3，此时 ；
（2）3．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值
【专题】不等式；数学运算；转化思想；逻辑推理；综合法
【 分 析 】 （ 1 ） 设 ， 则 ， 代 入 中 ， 得
，设 ，根据一元二次方程根的分布得到不
等式，求出 ，进而可得答案；
（ 2 ） 设 ， 由 于 ， ， 故 ， 将 代 入 等 式 中 得
，根据根的判别式得到 ，验证当 时满足要求，从而得到最大值．
【解答】解：（1）设 ，则 ，
代入 ，得 ，即 ，
令 ，开口向上，则 ，
17要想 在 上有解，
则 （1） 或 ，
由 （1） ，解得 ，
由 ，即 ，解得 ，
综上， ，故 的最大值为3，此时 ，解得 ．
（2）设 ，由于 且 ，故 ，
将 代入 中，得 ，
即 ，△ ，
要想方程在 上有解，则△ ，
解得 ，
又 ，故 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，此时 ，符合要求，
故 的最大值为3．
【点评】本题考查一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系，考查转化思想，属于中档题．
22．（2024•北京模拟）已知关于 的不等式 的解集是 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 ， 的值．
【答案】（1） ；
（2） ， ．
18【考点】由一元二次不等式的解求参数
【专题】数学运算；综合法；函数思想；不等式的解法及应用
【分析】（1）由题意得， ，求出 的取值范围即可；
（2）由题意可知，方程 的两个根为 ， ，且 ，再结合韦达定理求
解．
【解答】解：（1）由题意得， ，
解得 ，
故 的范围为 ；
（2）由题意可知，方程 的两个根为 ， ，且 ，
由韦达定理可得， ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
解得 ．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
23．（2023•南阳模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 ， 上的值域；
（2）当 时，求函数 在 ， 上的最大值．
【答案】（1）值域是 ， ；（2） ．
【考点】二次函数的值域；二次函数的最值
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理
【分析】（1）函数在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，可得函数 在区间 ， 上
19的值域；
（2）当 时， ，分类讨论，即可求函数 在区间 ， 上的最大
值．
【解答】解：（1）当 时， ，其图象对称轴为直线 ；
所以函数 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
， ， ， （3） ，
函数 在区间 ， 上的值域是 ， ；
（2）当 时， ，
当 ，函数 在区间 ， 上的最大值 ；
当 ，函数 在区间 ， 上的最大值 ；
函数 在区间 ， 上的最大值 ．
【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学
思想，属于中档题．
24．（2023•南阳模拟）已知集合 是函数 的定义域，集合 是不等式
的解集， ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其应用
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑
【分析】（1）分别求函数 的定义域和不等式 的解集化简集合
，由 得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到 的取值范围；
20（2）求出 对应的 的取值范围，由 是 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点
值的关系列不等式组求解 的范围．
【解答】解：（1）由条件，得 ， 或
若 ，则必须满足
所以 的取值范围为 ， ；
（2）易得 或 ，
是 的充分不必要条件，
或 是 或 的真子集，
则 ， ，
的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．
25．（2024•莲湖区校级三模）已知 ， ．
（1）若 是真命题，求对应 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ．
【考点】充分条件与必要条件；一元二次不等式及其应用
【专题】不等式的解法及应用；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；
（2）由 是 的必要不充分条件，可得 ，解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1） 是真命题， ，
21，解得 ，
的取值范围是 ， ．
（2）由（1）知： ， 即 ，
因为 是 的必要不充分条件，
所以 ，
解得： ，
综上所述， 的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查必要不充分条件、含绝对值不等式的性质等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
22考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母
a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a A或a A．
2∈、集合中∉元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及
的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m Z，n Z}．求证：
（1）3 A； ∈ ∈
（2）偶∈数4k﹣2（k Z）不属于A．
分析：（1）根据集合∈ 中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明
要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3 A；
（2）设4k﹣2 A，则存在m，n ∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇∈ 或同偶时，m﹣∈n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2 A．
点评：本题∉考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
23题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3 A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a∈+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3 A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝∈1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或 ，…（10分）
由 ，得 ，成立…（12分）
故 …（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x A或x B}．
∈ ∈
图形语言： ．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝
，两个集合都是空集．⑦∅ A∪（ A）＝U．⑧ （A∪⊇B）＝（C⊇UA）∩（CUB）．⇔ ⊆
U U
∅ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函
24数的定义域，值域联合命题．
3．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
4．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简
称为集合 A 的补集，记作 A，即 A＝{x|x U，且 x A}．其图形表示如图所示的 Venn 图．
U U
∁ ∁ ∈ ∉
．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义
25域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
5．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
Venn图表示N∩（ M）为： ．
U
∁
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞∈10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 （M∪N）＝[0，8]．
R
∁
6．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
26充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
7．运用基本不等式求最值
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．
【解题方法点拨】
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+
的最小值，可以利用均值不等式 从而得出最小值为 2，并且在 x＝1 时取到最小值．需
要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
【命题方向】
均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代
数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最
值求解，并能正确代入和计算．
已知正数a，b满足a+b＝1，则 的最大值是_____．
27解：因为正数a，b满足a+b＝1，
所以a+1+b+1＝3，
则 ＝ ，
当且仅当a＝b＝ 时取等号．
故答案为： ．
8．二次函数的性质与图象
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣
；最值为：f（﹣ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x
轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝﹣ ，含义为抛
物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得
取得，这也是一个常考点．
9．二次函数的值域
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
28二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
﹣确定二次函数的开口方向（通过 a 的正负判断）．
﹣计算顶点 x 坐标， ．
﹣计算顶点处的函数值 ．
﹣根据开口方向确定值域范围．
【命题方向】
主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题．函数 f（x）＝x2+x﹣2
（x [0，2]）的值域是_____．
∈
解：函数f（x）＝x2+x﹣2的对称轴为 ，
故函数f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上单调递增，
又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，
所以函数f（x）＝x2+x﹣2（x [0，2]）的值域是[﹣2，4]．
10．二次函数的最值 ∈
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）＝ax2+bx+c，最值为 ，根据 a 的正负判断最值类
型．
﹣计算顶点 x 坐标 ．
﹣计算顶点处的函数值 ．
﹣根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
【命题方向】
主要考查二次函数最值的计算与应用题．
29设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为 ，则a的值为_____．
解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，
当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；
当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为 ，
即﹣a2﹣2a+3＝ ，解得a＝﹣ 或a＝﹣ （舍），
综上，a的值为﹣ ．
故选：C．
11．二次函数的应用
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
﹣分析实际问题，抽象出二次函数模型．
﹣确定二次函数的解析式，结合实际情况求解相关参数．
﹣运用二次函数性质求解实际问题，如最值、单调性等．
【命题方向】
常见的应用题包括抛物线轨迹问题、工程优化设计问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型并求解
的能力．
2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）
之间的关系可表示为 ．若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．
解：设利润为g（x），
30则 ，
当x＝40时，g（x） ＝70万元；
max
12．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0
或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特
征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可
求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的
解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
31＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
≥0 ；
⇔
≤0 ．
⇔
13．由一元二次不等式的解求参数
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0
或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征
当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求
解．
【命题方向】
一元二次不等式ax2+bx+c＞0，
﹣设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式．
﹣求出根，结合数轴分析区间．
32﹣通过区间分析，确定参数的取值范围．
设a，b，c为常数，若不等式 ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式 ax2﹣bx+c＜0的解集是
（ ）
解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），
可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＜0，
则 ，解得 ＝1， ＝﹣6，
不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2﹣ x+ ＞0，
即x2﹣x﹣6＞0，
解得x＞3或x＜﹣2，
所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．
14．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【知识点的认识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它
的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
【解题方法点拨】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根
的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴（x +x ）2＝ + +2x x ，即9＝ + +2，
1 2 1 2
∴ + ＝7，又 ＝（x x ）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
1 2
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x +x 与x •x 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以
1 2 1 2
33应用上面的公式（韦达定理）．
【命题方向】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系
然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
15．简单线性规划
【知识点的认识】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模
型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我
们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最
值或者是斜率的最值．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距 取最大值时，z也取
最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距 取最大值时，z取最小值；截距 取最小
值时，z取最大值．
【命题方向】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件 ．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S＝ ＝ ．
34（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表
示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0， ）在已知的平面区域内，直线系过定点（0， ），结合图形寻找直
线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx+ 过定点（0， ）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+ 能平分平面区域．
35因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（ ， ）．
当y＝kx+ 过点（ ， ）时， ＝ + ，所以k＝ ．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，
也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件： ，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l ：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
0
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线
l ：x+y＝0，再将直线l 平移，当l 的平行线l 过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l 的平行线l 过点
0 0 0 1 0 2
A时，可使z＝x+y达到最大值．故z ＝2，z ＝7．
min max
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关
系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和
韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位
亩）分别为（ ）
36A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函
数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种
植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找
出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足 ，则 的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上 的一个动点，则|
+ |的最小值是 ．
37分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给
定代数式的几何意义来完成．
解答：（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1， ）处取到最大值．
（2）依题意得， + ＝（x+1，y），| + |＝ 可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的
距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由
点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此| +
|的最小值是 ＝ ．
故答案为：（1） （2） ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2） 表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4） 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
16．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解
析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式
有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是
由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数
定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
38“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义
域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
17．求对数函数的值域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数 y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是
a
（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定其值域．
﹣利用对数函数的性质，验证值域的准确性．
【命题方向】
常见题型包括直接求解对数函数的值域，结合具体函数形式分析其值域．
已知函数f（x）＝ （2x﹣1）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）若x [1， ]，求函数f（x）的值域．
∈
解：（1）要使函数有意义，则2x﹣1＞0，解得x＞ ，
所以函数f（x）的定义域为（ ，+∞），
由对数函数的性质可知函数f（x）的值域为R．
（2）由复合函数的单调性可知f（x）＝ （2x﹣1）在[1， ]上为减函数，
又f（1）＝ 1＝0，f（ ）＝ （2× ﹣1）＝ 8＝﹣3，
所以函数f（x）的值域为[﹣3，0]．
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