文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练10
一．选择题（共13小题）
1．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 的定义域为 ，则下列条件中，能推出1一定不是
的极小值点的为
A．存在无穷多个 ，满足 （1）
B．对任意有理数 ， ， ，均有 （1）
C．函数 在区间 上为严格减函数，在区间 上为严格增函数
D．函数 在区间 上为严格增函数，在区间 上为严格减函数
2．（2024•新县校级模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．若
（3） ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2024•江西一模）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，且
， 为偶函数，则 （7）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024•江西模拟）已知函数 在 处的切线斜率为 ，
若 在 上只有一个零点 ，则 的最大值为
A． B． C．2 D．
5．（2024•简阳市校级模拟）若对于任意正数 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围是
1A． B． C． D．
6．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图像如图所示，
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则
A．函数 的最大值为1 B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1 D．函数 的最小值为1
7．（2024•邢台模拟）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B．1 C． D．
8．（2024•梅江区校级模拟）已知0为函数 的极小值点，则 的取值范围是
A． B． C． D． ，
9．（2024•宜宾三模）定义在 上的单调函数 ，对任意的 都有 ，若
方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
10．（2024•德阳模拟）已知函数 及其导函数 在定义域均为 且 是偶函数，
，则不等式 （3）的解集为
A． B． C． D． ，
211．（2024•咸阳模拟）已知函数 ，若 是函数 的唯一极小值点，则 的取值范
围为
A． ， B． C． ， D． ，
12．（2024•青羊区校级模拟）设 ， ， ，则下列大小关系正确的是
A． B． C． D．
13．（2024•博白县模拟）已知函数 ，当实数 时，对于 都有 恒成立，
则 的最大值为
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
14．（2024•市中区校级二模）对于具有相同定义域 的函数 和 ，若存在函数 ，
为常数）对任给的正数 ，
存在相应的 使得当 且 时，总有 ，则称直线 为曲线
和 的“分渐近线”．下列定义域均为 的四组函数中，曲线 和
存在“分渐近线”的是
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
315．（2024•建阳区一模）已知函数 ， ， ， 是 的导函数，则
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 ， 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
16．（2024•扬州校级一模）若正数 ， 满足 ，则
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
17．（2024•淄博一模）设方程 ， 的根分别为 ， ，函数 ，
令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
18．（2024•沧县校级模拟）已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数
．
19．（2024•回忆版）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ．
20．（2024•白云区校级模拟）已知函数 ，设曲线 在点 ，
处切线的斜率为 ，2， ，若 ， ， 均不相等，且 ，则 的最小值为
．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•沙河口区校级二模）已知函数 ．
4（1）若 ，求 的极值；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
22．（2024•黄州区校级四模）已知函数 ．
（1）当 时，求 在 ， （1） 处的切线方程；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
23．（2024•天津）设函数 ．
（1）求 图像上点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若 在 时恒成立，求 的值；
（3）若 ， ，证明 ．
24．（2024•贵州模拟）已知函数 ．
（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， ， ， ， ， （其中 且 ， ， 成等比数列）是曲线
上三个不同的点，判断直线 与曲线 在点 处的切线能否平行？请说明理由．
25．（2024•平罗县校级三模）设函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围．（其中 是自然对数的底数）
52025年菁优高考数学压轴训练10
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 的定义域为 ，则下列条件中，能推出1一定不是
的极小值点的为
A．存在无穷多个 ，满足 （1）
B．对任意有理数 ， ， ，均有 （1）
C．函数 在区间 上为严格减函数，在区间 上为严格增函数
D．函数 在区间 上为严格增函数，在区间 上为严格减函数
【答案】
【考点】利用导数研究函数的极值
【专题】综合法；综合题；导数的综合应用；逻辑推理；函数思想
【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果．
【解答】解：由极值的定义可知，当函数 在 处取得极小值时，
在 左侧的函数图象存在点比 处的函数值小，
在 右侧的函数图象存在点比 处的函数值小，故排除 ， ；
对于 ，函数 在区间 上为严格减函数，
在区间 上为严格增函数，则 是函数的极小值点；
对于 ，函数 在区间 上为严格增函数，
在区间 上为严格减函数，则 不是函数的极小值点．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
2．（2024•新县校级模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．若
6（3） ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】转化思想；导数的概念及应用；方程思想；综合法；数学运算；计算题
【分析】根据题意，求出函数 的导数，分析可得 在 上递增，设 ，分析可得
为奇函数且在 上递增，原不等式变形可得 （3） ，结合 的奇偶性、单调
性可得关于 的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 ，其导数 ，
易得 ，则 在 上递增，
设 ， ，其定义域为 ，
有 ，则 为奇函数，
易得 在 上递增，
若 （3） ，即 （3） ，则有 （3），
而 为奇函数，
则有 ，必有 ，解可得 ，则 的取值范围为 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及不等式的解法，属于中档题．
3．（2024•江西一模）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，且
， 为偶函数，则 （7）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】基本初等函数的导数
7【专题】导数的概念及应用；数学运算；转化思想；转化法
【分析】对 两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可．
【解答】解：因为 为偶函数， ，
所以 ，
对 两边同时求导，得 ，
所以有 ，所以函数
的周期为8，
在 中，令 ，所以 （2） ，
因此 （2） ，
因为 为偶函数，
所以有 （7） （1），
（7） （2），
由（1），（2）可得： （7） ，
所以 （7） ，
故选： ．
【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
4．（2024•江西模拟）已知函数 在 处的切线斜率为 ，
若 在 上只有一个零点 ，则 的最大值为
A． B． C．2 D．
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
8【专题】综合法；数学运算；导数的概念及应用；函数思想
【分析】求出函数的导函数，由 求出 ，由 的取值范围求出 的范围，再根据 在
上只有一个零点 得到 ，即可求出 的取值范围，从而得解．
【解答】解：由题意得， ，则 ，即 ，
又 ，解得 ，
，
由 得 ，
， ，
，
又 ， 在 上只有一个零点 ，
，解得 ，
的最大值为2．
故选： ．
【点评】本题考查导数的几何意义以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（2024•简阳市校级模拟）若对于任意正数 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解
【分析】对不等式分离参数得到 ，令 ，构造函数 ， ，则
9，通过导数研究 单调性求出最大值即可．
【解答】解：由不等式 恒成立，且 ， ，
分离参数得： ，即 ，
设 ，得 ， ，
设 ， ，
则 ．
，由 得 ，
当 时， ， 单调递增；当 ， 时， ， 单调递减；
．
．
故选： ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
6．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图像如图所示，
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则
A．函数 的最大值为1 B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1 D．函数 的最小值为1
【答案】
10【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值
【专题】数学运算；整体思想；综合题；函数思想；导数的综合应用
【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为 ，再求函数 的单调性可求出最值．
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递
增，判断可知，虚线部分为 ，实线部分为 ，则 ， 显然错误，
对于 ， 而言， ，由图像可知 单调递增，
， 单调递减，所以函数 在 处取得最大值为1．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
7．（2024•邢台模拟）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】逻辑推理；导数的综合应用；综合题；构造法；转化思想；数学运算；综合法
【分析】求导，根据题意可得 恒成立， ，分离参数，可得 ，构造函数
， ，求导，利用导数研究 的单调性和最值，即可求出结果．
【解答】解：因为函数 在区间 上单调递增，
所以 恒成立， ，
即 恒成立， ，
令 ， ，
，
所以 在 上单调递减，
11所以 （1） ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题．
8．（2024•梅江区校级模拟）已知0为函数 的极小值点，则 的取值范围是
A． B． C． D． ，
【答案】
【考点】由函数的极值求解函数或参数
【专题】综合法；综合题；整体思想；导数的综合应用；数学运算
【分析】先求出导数，再利用导数的导数找出单调性可得结果．
【解答】解：由题意得 ， 的导函数为 ，
若 ， ， 在 上单调递增，因为 ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，成立；
若 ，当 时， ， 在 上单调递增，因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，成立；
若 ，当 时， ，当 时， ，因为 ，
所以 ，不成立；
若 ，当 时， ， ，
易得 在 递增，在 上单调递减，不成立；
综上， 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查导数的应用和逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
129．（2024•宜宾三模）定义在 上的单调函数 ，对任意的 都有 ，若
方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
【答案】
【考点】由函数的单调性求解函数或参数
【专题】数形结合；导数的综合应用；数学运算；综合法
【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得 为定值，可以设 ，则
，又由 ，即 ，解可得 的值，可得 的解析式，对其求导可得 ；将
与 代入 ，求出函数的最大值，即可得答案．
【解答】解： 是定义在 上的单调函数， ，
为大于0的常数，
设 ，则 ，
又由 ，即 ，解得 ，
， ，
，
设 ，则 ，
易得函数 在 上单调递增， 上单调递增，
时，函数 取得最大值1，其大致图象如图所示，
方程 有两个不同的实数根，
．
故选： ．
13【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出 的
解析式．
10．（2024•德阳模拟）已知函数 及其导函数 在定义域均为 且 是偶函数，
，则不等式 （3）的解集为
A． B． C． D． ，
【答案】
【考点】抽象函数的奇偶性；利用导数求解函数的单调性和单调区间
【专题】综合法；导数的综合应用；函数思想；数学运算
【分析】依题意得函数 在 上单调递增，因为 （3），所以 （1），
得 ，求解即可．
【解答】解：由 ，得 ，
则当 时，得 ，
，
则当 时， ，得函数 在 上单调递增，
因为 （3），所以 （1），
14由于 是偶函数，则 （1），
而函数 在 上单调递增，得 ，
得 ，
得 ．
故选： ．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11．（2024•咸阳模拟）已知函数 ，若 是函数 的唯一极小值点，则 的取值范
围为
A． ， B． C． ， D． ，
【答案】
【考点】由函数的极值求解函数或参数
【专题】导数的综合应用；数学运算；转化思想；综合法
【分析】求导分析 的符号， 单调性，进而可得极值点，判断是否符合题意，即可得出答案．
【解答】解： ，
，且 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 是函数 唯一的极小值点，
当 时， ，
所以存在 使得 ， 在 单调递减，
15所以当 时， ，
所以 在 上单调递减，与0是函数 的极小值点矛盾，
综上所述， ，
所以 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
12．（2024•青羊区校级模拟）设 ， ， ，则下列大小关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】转化法；转化思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】首先通过构造函数得到当 时， ，再通过构造函数
进一步得到 ， ，由此即可比较 ， ，通过构造函数 即可
比较 ， ，由此即可得解．
【解答】解：设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
从而 ，即 ， ，
所以 ， ，
从而当 时， ，
16令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
综上所述： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于中档题．
13．（2024•博白县模拟）已知函数 ，当实数 时，对于 都有 恒成立，
则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】数学运算；综合法；导数的综合应用；转化思想
【分析】通过求导分析 的单调性得到 的最小值，由 恒成立得到 ，得到
，构造函数 （a） ，由 （a）的最小值得到 的最大值．
【解答】解： ，令 得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
所以 ，则 恒成立，则 ，
令 （a） ， （a） ，
令 （a） 得 ，令 （a） 得 ，
所以 （a）在 上单调递增，在 上单调递减，
17所以 ．
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查导数在函数恒成立问题中的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
14．（2024•市中区校级二模）对于具有相同定义域 的函数 和 ，若存在函数 ，
为常数）对任给的正数 ，
存在相应的 使得当 且 时，总有 ，则称直线 为曲线
和 的“分渐近线”．下列定义域均为 的四组函数中，曲线 和
存在“分渐近线”的是
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【考点】 ：极限及其运算
【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、
解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是 时， 进行作答，
是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．
【解答】解： 和 存在分渐近线的充要条件是 时， ．
， ，当 时便不符合，所以 不存在；
18对于 ， ， 肯定存在分渐近线，因为当时， ；
对于 ， ， ， ，
设 ， ，且 ，
所以当 时 越来愈大，从而 会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于 ， ， ，当 时， ，
故选： ．
【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目
15．（2024•建阳区一模）已知函数 ， ， ， 是 的导函数，则
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 ， 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
【答案】
【考点】函数的奇偶性；基本初等函数的导数；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【专题】计算题；转化思想；导数的综合应用；运算求解；综合法
【分析】根据奇函数的定义域与性质及充分必要条件的定义可判断 ；由导函数与单调性的关系及充分
必要条件的定义可判断 ；由不等式的解集可得 的单调性与极值及函数的零点，从而可得 ， ，
的值，求出 解析式，由导数判断函数的单调性，从而可得函数的极小值，即可判断 ；由△ 及
根与系数的关系可求出 的取值范围，即可判断 ．
【解答】解：当 时， ， ，所以 为奇函数，充分性成
19立；
若 为奇函数，则 ，
则 恒成立，所以 ，必要性成立，故 项正确；
当 时， ， ，所以 为增函数；
由题意得 ，当 为增函数时，△ ，
所以“ ”是“ 为增函数”的充分不必要条件，故 项错误；
，若不等式 的解集为 且 ，
则 在 上先增后减再增，则 ， （1） ，解得 ，
故 ，
，
令 ，解得 或 ，
所以在区间 内， ， 单调递增，
在区间 内， ， 单调递减，
在区间 内， ， 单调递增，
所以 的极小值为 ，故 项正确；
，因为 ， 是方程 的两个不同的根，
所以△ ，即 ①，
， ，
由 ，得 ，
20所以 ，即 ②，
由①②得 ，解得 或 ，故 项正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数单调性与奇偶性的判断，充分必要条件的定义，
考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
16．（2024•扬州校级一模）若正数 ， 满足 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】构造法；导数的综合应用；函数思想；不等式；数学运算
【分析】结合基本不等式可求 的范围，然后结合基本不等式及指数，对数的运算性质检验选项 ，
结合选项中不等式的特点，合理的构造函数，结合导数与单调性关系检验选项 ， ．
【解答】解：因为正数 ， 满足 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则 ， 错误；
，当且仅当 时取等号， 正确；
因为 ， ，
令 ， ，
则 ，即 在 上单调递增，
所以 （1） ，即 ，
所以 ，
所以 ， 正确；
因为 ，
21令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及函数的性质在不等关系的判断中的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
17．（2024•淄博一模）设方程 ， 的根分别为 ， ，函数 ，
令 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】数学运算；转化思想；转化法；导数的综合应用
【分析】先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得 ，由此
得到 ，再结合函数的单调性判断即可．
【解答】解：由 ，得 ，由 ，得 ，
因为方程 的根为 ，所以函数 与 的图象交点 的横坐标为 ，
同理函数 与 的图象交点 的横坐标为 ，
因为 与 互为反函数，所以两函数图象关于 对称，
易知直线 与直线 互相垂直，所以 ， 两点关于直线 对称，
即 ， 的中点 一定落在 ，亦即点 为 与 的交点，
联立 ，解得 ，即 ，所以 ，
22所以 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
而 ，
又 ， ， ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数与方程的综合，函数值大小的比较，考查了转化
思想，属中档题．
18．（2024•沧县校级模拟）已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数
3 ．
【答案】3．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解
【分析】先设在 上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在 上的切点，即可求出 的
值．
【解答】解：设直线 与曲线 相切于点 ， ，
由 ，得 ，因为 与曲线 相切，
所以 ，消去 ，得 ，解得 ．
设 与曲线 相切于点 ， ，由 ，得 ，即 ，
因为 ， 是 与曲线 的公共点，
23所以 ，消去 ，得 ，即 ，解得 ．
故答案为：3．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2024•回忆版）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
．
【答案】 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】综合法；计算题；转化思想；数学运算；导数的综合应用
【分析】求解切线方程，利用已知条件，求解曲线 的切点坐标，即可得到 的值．
【解答】解：曲线 ，可得 ，
在点 处切线的斜率为： ，
切线方程为： ，即 ．
曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，
设 的切点的横坐标为 ，可得切线的斜率为： ，可得 ，
代入 ，可得切点坐标为： ， ，
切点在曲线 上，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
20．（2024•白云区校级模拟）已知函数 ，设曲线 在点 ，
处切线的斜率为 ，2， ，若 ， ， 均不相等，且 ，则 的最小值为
18 ．
【答案】18．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】不等式的解法及应用；导数的概念及应用；方程思想；数学运算；综合法
24【分析】求得 的导数，以及 ， ， ，
运用基本不等式可得所求最小值．
【 解 答 】 解 ： ， 即 为
，
可得 的导数为 ，
则 ，
由 ，可得 ，
，
，
则
，当且仅当 ，即 时，取得等号．
故答案为：18．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及解不等式的运用，考查方程思想和运算能力，属于
中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•沙河口区校级二模）已知函数 ．
（1）若 ，求 的极值；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）极小值为 ，无极大值；
（2） 的取值范围为 ， ．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值
25【专题】数学运算；转化思想；转化法；逻辑推理；导数的综合应用；综合题
【分析】（1）由题意，将 代入函数 解析式中，对函数 进行求导，利用导数得到函数
的单调性，进而即可求解；
（2）构造函数 ，此时问题转化成 在 上恒成立，对函数 进行求导，分
别讨论当 和 这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
当 时， ，
可得 ，
不妨设 ，函数定义域为
可得 ，
又 （1） ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时，函数 取得极小值，极小值 （1） ，无极大值；
（2）若 ， ，
不妨设 ，函数定义域为 ， ，
可得 ，
26不妨设 ，函数定义域为 ， ，
可得 ，
不妨设 ，函数定义域为 ， ，
可得 ，
所以函数 在定义域上单调递增，
此时 ，
当 时， ， ，所以 ，
当 ， 时， ，所以 ，
此时 在 ， 上恒成立，
则函数 在定义域上恒成立，
所以 在 ， 上单调递增，
当 ，即 时， ，
所以函数 单调递增，
则 恒成立，符合题意；
当 ，即 时，
因为 ， ，
所以在区间 上存在一点 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值也是最小值，最小值 ，不符合题意，
27综上，满足条件的 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
22．（2024•黄州区校级四模）已知函数 ．
（1）当 时，求 在 ， （1） 处的切线方程；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ．
（2） ， ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】数学运算；计算题；综合法；导数的综合应用；转化思想
【分析】（1）由题意，求出 （1） ， （1） ，即可得出切线方程；
（2）由函数 在 上单调递增得，当 时， ，分离参数得 对于
恒成立，由导数求出最值，即可求解．
【解答】解：（1）当 时， ，
，则 （1） ， （1） ，
所以 在 ， （1） 处的切线方程为 ，即 ．
（2） ，
若函数 在 上单调递增，
则当 ， ，即 对于 恒成立，
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，故 ，
28即 的取值范围是 ， ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求
解能力，属于中档题．
23．（2024•天津）设函数 ．
（1）求 图像上点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若 在 时恒成立，求 的值；
（3）若 ， ，证明 ．
【答案】（1） ；
（2）2；
（3）详见解答过程．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】逻辑推理；导数的综合应用；数学运算；整体思想
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可切线斜率，进而可求切线方程；
（2）设 ，命题等价于对任意 ，都有 ，利用特殊值赋值法，即可求解；
（3）结合重要不等式 可先证明对 ，有 ，然后结合 ， 的
各种情况进行证明即可．
【解答】解：（1）由于 ，故 ，
所以 （1） ， （1） ，
所以所求的切线经过 ，且斜率为1，
故其方程为 ；
（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上递减，在 ， 上递增，这就说明 （1），
即 ，且等号成立当且仅当 ，
29设 ，
则 ．
当 时， 的取值范围是 ，
所以命题等价于对任意 ，都有 ．
一方面，若对任意 ，都有 ，则对 ，
有 ，
取 ，得 ，故 ．
再取 ，得 ，
所以 ．
另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件．
综合以上两个方面知 ．
证明：（3）先证明一个结论：对 ，有 ．
证明：前面已经证明不等式 ，
故 ，
且 ，
所以 ，
即 ．
30由 ，可知当 时， ，当 时 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论．
情况一：当 时，有 ，结论成
立；
情况二：当 时，有
对任意的 ，设 ，则
由 于 单 调 递 增 ， 且 有
，
且当 时，由 可知，
．
所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时
故 在 ， 上递减，在 ， 上递增．
①当 时，有 （c） ；
②当 时，由于 ，故我们可以取 ．
从而当 时，由 ，
31可得 ，
再根据 在 ， 上递减，即知对 都有 ；
综合①②可知对任意 ，都有 ，即 ．
根据 和 的任意性，取 ， ，就得到
所以
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，
可得 ， ，
而根据 的单调性，知 或 ．
故一定有 成立．
综上，结论成立．
【点评】本题主要考查了导数几何意义在切削方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范
围，及不等式的证明，属于难题．
24．（2024•贵州模拟）已知函数 ．
（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， ， ， ， ， （其中 且 ， ， 成等比数列）是曲线
上三个不同的点，判断直线 与曲线 在点 处的切线能否平行？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）不能，详见解答过程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值
【专题】整体思想；数学运算；综合法；导数的综合应用
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在条件即可求解；
（2）由已知结合直线的斜率公式及等比数列的性质可得关于 的方程，结合等式特点构造函数，对其求
导，结合导数与单调性关系即可求解．
32【解答】解：（1）令 ，由题设知方程 有两个实数根，
因为 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
当 时，函数取得极小值 ，
当 及 时， ，且 ，
当 时 ， （1） 且 时 ．
所以当 时， 与 有两个不同的交点，即 有两个不同的零点．
（2）因为 且 ， ， 成等比数列，设公比为 ，
则 ， ，（8分）
直线 的斜率 ，
函数 在点 处的切线斜率 ，
假设直线 与函数 在点 处的切线平行，则 ，
整理成 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 （1） ，
所以 在 时无实数解，
所以直线 与函数 在点 处的切线不能平行．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在零点存在问题中的应用，还考查了等比数列性
33质的应用，属于中档题．
25．（2024•平罗县校级三模）设函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围．（其中 是自然对数的底数）
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值
【专题】综合法；数学运算；转化思想；计算题；导数的综合应用
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得 ，构造函数 ，其中 ，转化为最值问题，即
可求解．
【解答】解：（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 ．
函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）令 ，则 ．
令 ，其中 ，
则 ．
令 ，解得 ，令 ，解得 ．
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ，
34（1） ．
又 ，函数 在 上有两个零点，
的取值范围是 ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
35考点卡片
1．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
2．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函
数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
⇒
36令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档
题和小题为主，要引起重视．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于 0等），此时，函数中
的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此
适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x R恒成立∈，
∴mx2+mx+m＜1，
∈
∴ x R，m＜ 恒成立，
∀ ∈
∵x2+x+1＝（x+ ）2+ ≥ ，
∴0＜ ≤ ，
∴m≤0．
4．极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
37（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时， an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则 an＝1；若a＝﹣1，则 an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时， an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果 ，那么
特别地，如果C是常数，那么 ．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝ （|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限． ＝a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x （但不等于x ）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说
0 0
当x趋近于x 时，函数f（x）的极限为a．记作 ＝a或当x→x 时，f（x）→a．
0 0
38注：当x→x 时，f（x）是否存在极限与f（x）在x 处是否定义无关，因为x→x 并不要求x＝x ．（当然，
0 0 0 0
f（x）在x 是否有定义也与f（x）在x 处是否存在极限无关．函数f（x）在x 有定义是 存
0 0 0
在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝ 在x＝1处无定义，但 存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果 ，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x 连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），
0
（g（x）≠0）在点 x＝x 处都连续．
0
（2）函数f（x）在点x＝x 处连续必须满足三个条件：
0
39①函数f（x）在点x＝x 处有定义；② 存在；③函数f（x）在点x＝x 处的极限值等于该
0 0
点的函数值，即． ＝f（x ）．
0
（3）函数f（x）在点x＝x 处不连续（间断）的判定：
0
如果函数f（x）在点x＝x 处有下列三种情况之一时，则称x 为函数f（x）的不连续点．
0 0
①f（x）在点x＝x 处没有定义，即f（x ）不存在；② 不存在；③ 存在，但
0 0
≠f（x ）．
0
5．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n R）
③（sinx）′＝cosx ∈
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log x）]′＝ *（log e）＝ （a＞0且a≠1）⑧[lnx]′
a a
＝ ．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[ ]′＝ ．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公
40式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且
要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算
失误．
【命题方向】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a R，b R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣
2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ∈ ）∈
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（ ）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B， 成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D， 成立，故D正确．
故选C．
416．利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解
集为（ ） ∈
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（∈x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
42则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； ∈
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t [1，2]，函数
∈
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： ．
解：（Ⅰ） （2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ） 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴ ，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t [1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∈
所以有： ，∴ （10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x （1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜∈x﹣1对一切x （1，+∞）成立，（12分）
∈
43∵n≥2，n N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∈
∴
∴
7．利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解
集为（ ） ∈
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x R，f′（x）＞2，
∈ 44∴对任意x R，g′（x）＞0，
即函数g（∈x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
8．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； ∈
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t [1，2]，函数
∈
45在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： ．
解：（Ⅰ） （2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ） 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴ ，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t [1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∈
所以有： ，∴ （10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x （1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜∈x﹣1对一切x （1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n N*，则有∈0＜lnn＜n﹣1，
∈
∴
∴
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f（x）＜f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值 ＝f（x
0
），x
0
是极大值点；
46（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有 f（x）＞f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值 ＝f（x
0
），x
0
是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，并
0 0 0 0 0
且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f′（x）在
方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）
在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，
也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数
没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间
47必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连
续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极
值点，也可能不是极值点．
10．由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，并
0 0 0 0 0
且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
【解题方法点拨】
﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．
﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括通过极值求解函数的参数或特定值，结合具体函数进行分析．
已知函数 在区间（m，m+3）上存在极大值与极小值，则实数m的取值范围是_____．
解： ，
则f'（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，
48x （﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故∈f（x）的极大值点是x＝﹣2，极小值点是x＝0．
由于函数f（x）在区间 （m，m+3）上存在极大值与极小值，
∴ ，解得：﹣3＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
11．利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x ）与f（x ）是极小值，f（x ）是极
1 3 2
大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x ）．
1
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数 f（x）＝ 在
（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必
要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一
个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就
可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
49一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，
也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数
没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间
必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连
续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极
值点，也可能不是极值点．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:24:43；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
50
