文档内容
2025年菁优高考数学解密之复数
一．多选题（共15小题）
1．（2024•南通模拟）已知复数 ， ，满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
2．（2024•南通模拟）已知 ， 都是复数，下列正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2024•贵港模拟）已知复数 ， ， ，则下列说法中正确的有
A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4．（2024•阳江模拟）设复数 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的有
A．若 ，则 或
B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则
D．若 ，则点 的集合所构成图形的面积为
5．（2024•潍坊二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数， 就是一个多项式复变函数．
1给定多项式复变函数 之后，对任意一个复数 ，通过计算公式 ， 可以得到一列值
， ， ， ， ， ．如果存在一个正数 ，使得 对任意 都成立，则称 为
的收敛点；否则，称为 的发散点．则下列选项中是 的收敛点的是
A． B． C． D．
6．（2024•辽宁模拟）已知 满足 ，则
A．
B．复平面内 对应的点在第一象限
C．
D． 的实部与虚部之积为
7．（2024•安徽模拟）已知 为虚数单位，复数 ，下列说法正确的是
A．
B．复数 在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D． 为纯虚数
8．（2024•重庆模拟）已知复数 ， 均不为0，则
A． B． C． D．
9．（2024•延边州模拟）已知 、 都是复数，下列正确的是
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
210．（2024•湖南模拟）已知 为虚数单位，下列说法正确的是
A．若复数 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．复数 在复平面内对应的点为 ，若 ，则点 的轨迹是一个椭圆
11．（2024•琼海模拟）设 ， 为复数，则下列结论中正确的是
A．若 为虚数，则 也为虚数
B．若 ，则 的最大值为
C．
D．
12．（2024•安徽模拟）若复数 ， 是方程 的两根，则
A． ， 实部不同
B． ， 虚部不同
C．
D． 在复平面内所对应的点位于第三象限
13．（2024•遵义二模）关于复数 ，下列结论正确的是
A．
B．若 ，则
3C．若 ，则
D．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
14．（2024•河池模拟）已知 为虚数单位，复数 ， 为方程 的两个根，则下列选项中正
确的有
A．
B．
C．复数 在复平面上对应的点在第二象限
D．
15．（2024•莆田三模）若 是非零复数，则下列说法正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二．填空题（共5小题）
16．（2024•红桥区一模） 是虚数单位，复数 ．
17．（2024•普陀区校级模拟）设复数 满足 ，则 ．
18．（2024•松江区二模）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 ．
19．（2024•金溪县校级模拟）复数 的实部为 ．
20．（2024•天津）已知 是虚数单位，复数 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数： 与 ，我们把它们互称为
共轭复数， 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
4（1）
（2） （当 时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5） ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、
商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设 ， ．求证： 是实数；
（2）已知 ， ， ，求 的值；
（3）设 ，其中 ， 是实数，当 时，求 的最大值和最小值．
22．（2024•西山区模拟）我们把 （其中 ， 称为一元 次多项式
方程．
代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ， ， 为实数）在复数集内
至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有 个复数根
（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化
为 个一元一次多项式的积．
即 ，其中 ， ， ， ，
， ， 为方程 的根．
进 一 步 可 以 推 出 ： 在 实 系 数 范 围 内 （ 即 ， ， ， ， 为 实 数 ） ， 方 程
的有实数根，则多项式 必可分解因式．例如：观察
5可 知 ， 是 方 程 的 一 个 根 ， 则 一 定 是 多 项 式 的 一 个 因 式 ， 即
，由待定系数法可知， ．
（1）解方程： ；
（2）设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
分解因式： ；
记点 ， 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
23．（2022•上海模拟）设复数 ， ，其中 ， ．
（1）若复数 为实数，求 的值；
（2）求 的取值范围．
24．（2021•株洲模拟）已知复数 、 ，满足 ， ，其中
为虚数单位， 表示 的共轭复数
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 ．
25．（2024•大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 对应复平面内的点
，设 ， ，则任何一个复数 都可以表示成： 的形式，这种
形式叫做复数三角形式，其中 是复数 的模， 称为复数 的辐角，若 ，则 称为复数 的辐
角主值，记为 ．复数有以下三角形式的运算法则：若 ， ，2， ，则：
6， 特 别 地 ， 如 果
，那么 ，这个结论叫做棣莫弗定理．
请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 ， 的模 和辐角主值 （用 表示）；
（2）设 ， ，若存在 满足 ，那么这样的 有多少个？
（3）求和： ．
72025年菁优高考数学解密之复数
参考答案与试题解析
一．多选题（共15小题）
1．（2024•南通模拟）已知复数 ， ，满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数学运算；计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数
【分析】对选项 ， ，利用特殊值法即可判断 ， 错误，对选项 ，根据复数模长的性质即可判断
正确，对选项 ，根据复数模长公式即可判断 正确．
【解答】解：对选项 ，设 ，
则 ， ，不满足 ，故 错误；
对选项 ，设 ， 在复平面内表示的向量分别为 ，且 ，
当 方向相同时， ，
当 方向不相同时， ，
综上 ，故 正确；
对选项 ，设 ， ， ，
，故 错误；
对选项 ，设 ， ， ， ， ， ，
，
8则 ，
，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算，属于中档题．
2．（2024•南通模拟）已知 ， 都是复数，下列正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模；共轭复数
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】结合复数的基本概念及复数的四则运算及复数的运算性质检验各选项即可判断．
【解答】解：若 ，则 ， 正确；
当 ， 满足 ， 显然错误；
当 ， 时，满足 ，但 ， ， 显然错误；
设 ， ， ， ， 都为实数），
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的运算性质的综合应用，考查了分析问题的能力，属于
中档题．
3．（2024•贵港模拟）已知复数 ， ， ，则下列说法中正确的有
9A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数系的扩充和复数；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】对于 ，由题意可得 进而即可得解；
对于 ，由题意可求 以3为周期，进而可得 ，即可得解；
对于 ，取 ， ，即可判断得解；
对于 ，利用复数的模的定义即可求解．
【解答】解：对于 ， 或 ，故 正确；
对于 ， ， ， ，所以 以3为周期，
所以 ，故 正确；
对于 ，取 ， ，
则 ，此时 ，故 错误；
对于 ， ， ，
所以 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算，考查了转化思想，属于中档题．
104．（2024•阳江模拟）设复数 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的有
A．若 ，则 或
B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则
D．若 ，则点 的集合所构成图形的面积为
【答案】
【考点】复数对应复平面中的点
【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】对于 ，结合特殊值法，即可求解；对于 ，结合复数的几何意义，即可求解；对于 ，结合
复数模公式，即可求解；对于 ，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：对于 ，令 ，满足 ，但 或 不成立，故 错误；
对于 ， ，
则点 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
表示圆上的点到原点 的距离，
则 的最小值为 ，故 正确；
对于 ， ，
则 ，故 错误；
对于 ，设 ，则
因为 ，
所以 ，
所以点 的集合所构成的图形的面积为 ，所以 正确．
11故选： ．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
5．（2024•潍坊二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数， 就是一个多项式复变函数．
给定多项式复变函数 之后，对任意一个复数 ，通过计算公式 ， 可以得到一列值
， ， ， ， ， ．如果存在一个正数 ，使得 对任意 都成立，则称 为
的收敛点；否则，称为 的发散点．则下列选项中是 的收敛点的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的乘法及乘方运算；复数的模
【专题】综合法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】根据计算公式 结合收敛点的定义判断即可．
【解答】解：对 ，由 可得数列 ，2，4， 不合题意，故 错误；
对 ，由 可得数列 ， ，1，
则存在一个正数 ，使得 对任意 都成立，满足题意，故 正确；
对 ，由 可得数列 ， ， ， 不满足题意，故 错误；
对 ，由 可得数列
因为 ，
存在一个正数 ，使得 对任意 都成立，满足题意，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
126．（2024•辽宁模拟）已知 满足 ，则
A．
B．复平面内 对应的点在第一象限
C．
D． 的实部与虚部之积为
【答案】
【考点】共轭复数；复数的运算
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数 ，逐一判断各选项是否正确．
【解答】解：设 ，
则由已知得 ，即 ，
所以 解得
所以 ，则 ，其对应点为 ，在第三象限，故 项正确， 项错误；
， 的实部为 ，虚部为1，
所以 的实部与虚部之积为 ，故 ， 项正确．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
7．（2024•安徽模拟）已知 为虚数单位，复数 ，下列说法正确的是
A．
B．复数 在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D． 为纯虚数
【答案】
【考点】复数的运算
13【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法
【分析】化简复数 ，逐一核对选项检验即可．
【解答】解： ，
选项 ， ，正确；
选项 ，复数 在复平面内对应的点为 ， ，位于第四象限，正确；
选项 ， ，正确；
选项 ， ，不是纯虚数，错误．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
8．（2024•重庆模拟）已知复数 ， 均不为0，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；数学运算；转化思想；综合法
【分析】利用复数的运算性质对四个选项逐一判断可得答案．
【解答】解： 复数 ， 均不为0，
对于 ，不妨令 ，则 ， ， ， 错误；
对于 ， ， 正确；
对于 ，由复数的运算性质，可得 ， 正确；
对于 ， ，
故 ， 正确．
14故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
9．（2024•延边州模拟）已知 、 都是复数，下列正确的是
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
【答案】
【考点】复数的模；共轭复数；复数的运算
【专题】转化法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，复数模的性质，复数的概念，即可求解．
【解答】解：令 ， ，满足 ，但 不成立，故 错误；
由复数模的性质可知， ，故 正确；
令 ， ，满足 ，但 不成立，故 错误；
设 ， ，
，
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
10．（2024•湖南模拟）已知 为虚数单位，下列说法正确的是
A．若复数 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．复数 在复平面内对应的点为 ，若 ，则点 的轨迹是一个椭圆
【答案】
15【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数系的扩充和复数；综合法；转化思想；数学运算
【分析】根据复数的运算性质逐项判断即可．
【解答】解：对于 ，因为 ，所以 ，故 正确；
对于 ，取 ， 满足 ，但 ，所以 不成立，故 错误；
对于 ，若 ，根据模的性质 ，故 正确；
对于 ，复数 在复平面内对应的点为 ，若 ，则点 的轨迹是线段，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算性质，属于中档题．
11．（2024•琼海模拟）设 ， 为复数，则下列结论中正确的是
A．若 为虚数，则 也为虚数
B．若 ，则 的最大值为
C．
D．
【答案】
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；定义法；数系的扩充和复数；对应思想
【分析】对于 ，由 为虚数，得 为虚数，从而可判断 ，对于 ，由 进行判断，对
于 ，设 ， ， ， ， ，然后分别求解 进行判断，对于 ，根据
复数的向量表示及向量的不等式分析判断．
【解答】解：对于 ，因为 为虚数， 为实数，所以 为虚数，所以 也为虚数，所以
16正确，
对于 ，当 时，满足 ，此时 ，所以 错误，
对于 ，设 ， ， ， ， ，则
，
，
所以 ，
，
所以 ，所以 正确，
对于 ，设 ， 确定的向量分别为 ，则由向量不等式得 ，
所以 恒成立，所以 正确，
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
12．（2024•安徽模拟）若复数 ， 是方程 的两根，则
A． ， 实部不同
B． ， 虚部不同
C．
D． 在复平面内所对应的点位于第三象限
【答案】
【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；复数的模
【专题】定义法；数系的扩充和复数；方程思想；数学运算
【分析】在复数集内解方程 ，求出 ，再根据复数的模及其几何意义、共轭复数、
复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，逐项判定，即可求出结果．
17【解答】解：因为方程 可化为 ，所以 ，
则 ， 是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，所以 错误， 正确；
因为 ，所以 正确；
因为 ，
所以 在复平面内所对应的点为 ，
位于第一象限，所以 错误．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
13．（2024•遵义二模）关于复数 ，下列结论正确的是
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模；复数的运算
【专题】计算题；整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】由复数的运算和几何意义运算可得结果．
【解答】解：对于 ，设 ，则 ，
所以 ，所以 ，故 正确；
对于 ，若 ，则 ，所以 不一定是 ，故 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，故 错误；
对于 ，设 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 在复平面内对应的
点的轨迹为一条直线，故 正确．
18故选： ．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14．（2024•河池模拟）已知 为虚数单位，复数 ， 为方程 的两个根，则下列选项中正
确的有
A．
B．
C．复数 在复平面上对应的点在第二象限
D．
【答案】
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；数系的扩充和复数
【分析】由题意可知： ，进而可判断 ；结合 可判断 ；根据复数的几何意义判断 ．
【解答】解：对于选项 ：由方程 解得 ，可知： ，所以 ，故
正确；
对于选项 ：对于任意复数 ，则 ，可得 ，所以
，故 正确；
对于选项 ：由方程 解得 ，即 或 ，可知复数 在复平面上对应
的点在第一象限或第四象限，故 错误；
对于选项 ：由选项 可知： ．故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查复数运算、复数模，考查数学运算能力，属于中档题．
15．（2024•莆田三模）若 是非零复数，则下列说法正确的是
19A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】
【考点】复数的乘法及乘方运算
【专题】数系的扩充和复数；定义法；方程思想；数学运算
【分析】利用共轭复数的定义可判定 、 ，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定 、 ．
【解答】解：由 ，得 ，则 错误．
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），则 正确．
设 ， ，且 ，
则 ，所以 ，则 正确．
由 ，得 ．
设 ， ，且 ，则 ，
，从而 ，则 正确．
故选： ．
【点评】本题考查复数的应用，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
16．（2024•红桥区一模） 是虚数单位，复数 ．
【答案】 ．
【考点】复数的运算
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
2017．（2024•普陀区校级模拟）设复数 满足 ，则 5 ．
【考点】复数的模；共轭复数
【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】设 ，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得 ， ，再根据模长公式求解即可得
答案．
【解答】解：设 ，则 ，于是 ，
解得 ，则 ．
故答案为：5．
【点评】本题考查复数的共轭复数、复数相等，属于基础题．
18．（2024•松江区二模）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 ．
【答案】 ．
【考点】复数的运算
【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据复数的运算性质计算即可．
【解答】解：由题意得： ，
故 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的运算，是基础题．
19．（2024•金溪县校级模拟）复数 的实部为 ．
【答案】 ．
【考点】复数的运算
【专题】数学运算；转化思想；数系的扩充和复数；转化法
【分析】根据已知条件，先对 化简，再结合实部的定义，即可求解．
【解答】解：因为 ，
21所以 的实部为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
20．（2024•天津）已知 是虚数单位，复数 ．
【答案】 ．
【考点】复数的运算
【专题】转化法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，是基础题．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数： 与 ，我们把它们互称为
共轭复数， 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1）
（2） （当 时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5） ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、
商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设 ， ．求证： 是实数；
22（2）已知 ， ， ，求 的值；
（3）设 ，其中 ， 是实数，当 时，求 的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解答；
（2） ；
（3） ， ．
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】（1）设 ，利用 ， ，可证得 是实数；
（2）设 ，结合题意，可得关于 ， 的方程组，解之即可；
（3）设 ， ，依题意，可得 ，从而可求得 的最大值
和最小值．
【解答】解：（1）证明：设 ， ， ，
， ，
是实数；
（2）设 ，
则 ，
， ， ，
①；
又 ，
23②；
联立①②，解得 ， ，
；
（3） ，设 ， ，
则 ，
，
，
， ．
【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用，考查转化与化归思想及方程思想的综合运用，属于中档
题．
22．（2024•西山区模拟）我们把 （其中 ， 称为一元 次多项式
方程．
代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ， ， 为实数）在复数集内
至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有 个复数根
（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化
为 个一元一次多项式的积．
即 ，其中 ， ， ， ，
， ， 为方程 的根．
进 一 步 可 以 推 出 ： 在 实 系 数 范 围 内 （ 即 ， ， ， ， 为 实 数 ） ， 方 程
24的有实数根，则多项式 必可分解因式．例如：观察
可 知 ， 是 方 程 的 一 个 根 ， 则 一 定 是 多 项 式 的 一 个 因 式 ， 即
，由待定系数法可知， ．
（1）解方程： ；
（2）设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
分解因式： ；
记点 ， 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
【答案】（1） ， ， ；
（2） ；
证明过程见解析．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化
【分析】（1）观察可知 是方程 的一个根，所以设 ，对
照可得 ， ， ，得到 ，即可求出方程的根；
（ 2 ） 是 方 程 的 一 个 根 ， 所 以 设
， 对 照 可 得 ，
， ，从而可得出答案；
令 ， 故 是 方 程 的 最 小 正 实 根 ， 由 知
25，设 ，根据 开口方
向，结合 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为 ，结合 时，
（1） ，故 ，得到 ．
【解答】解：（1）观察可知： 是方程 的一个根； 分
所以： ，
由待定系数法可知， ， ， ；
所以 ，即 或 ，
则方程的根为 ， ， ； 分
（2） 由 可知： 是方程 的一个根，
所以： ，
由待定系数法可知， ， ， ，
所 以 ；
分
令 ，即 ，
点 ， 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 是方程 的最小正实根； 分
由 知： 是方程 的一个正实根，
且 ， 分
设 ，由 ， ， ， 可知 为开口向上的二次函数，
26又因为 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为 ，
又 ，可得 ，
所以 （1） ，
当 时， （1） ，
由 二 次 函 数 单 调 性 可 知 ， 即 是 方 程 的 最 小 正 实 根 ．
分
【点评】本题考查三次函数，解题关键是需要求解出三次函数的零点，可以先求出一个零点后将三次函
数转化为二次函数再进行解题．
23．（2022•上海模拟）设复数 ， ，其中 ， ．
（1）若复数 为实数，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1） ．（2） ．
【考点】复数的运算；共轭复数
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘除法法则，即可求解．
（2）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：（1） 复数 ，
，
，
复数 为实数，
，即 ，
， ，
．
27（2） ， ，
，
，
， ，
，即 ，
的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．
24．（2021•株洲模拟）已知复数 、 ，满足 ， ，其中
为虚数单位， 表示 的共轭复数
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 ．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
【考点】共轭复数；复数的运算
【专题】转化思想；数系的扩充和复数；数学运算；定义法
【分析】（Ⅰ）将 代入 ，求出 ，再由模的计算公式求解即可；
（Ⅱ）由 ，利用等差数列的定义以及通项公式，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ， ， ，
所以 ，故 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ， ， ，
28，
所以 ，
又 ，
则 ，
所以 ， ，
则 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
则 ，故 ，
因为 ， ，所以 ， ， ， ，
所以 ．
【点评】本题考查了复数的运算，共轭复数定义的应用，复数模的求解，等差数列定义以及通项公式的
运用，考查了运算能力，属于中档题．
25．（2024•大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 对应复平面内的点
，设 ， ，则任何一个复数 都可以表示成： 的形式，这种
形式叫做复数三角形式，其中 是复数 的模， 称为复数 的辐角，若 ，则 称为复数 的辐
角主值，记为 ．复数有以下三角形式的运算法则：若 ， ，2， ，则：
， 特 别 地 ， 如 果
，那么 ，这个结论叫做棣莫弗定理．
请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 ， 的模 和辐角主值 （用 表示）；
29（2）设 ， ，若存在 满足 ，那么这样的 有多少个？
（3）求和： ．
【答案】（1） ； ．
（2）506．
（3）1017．
【考点】复数的相等
【专题】综合法；转化思想；数学运算；逻辑推理；数系的扩充和复数
【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得．
（2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即可．
（3）令 ，利用等比数列及错位相减法求出 ，
再利用复数相等即可得解．
【解答】解：（1）由复数 ， ， ， ，
得 ，
， ， ， ，
， ， ， ．
（2）由 ，
，
，
， ，解得 ，
， ， ， ， ，
符合条件的 有506个，
这样的 有506个．
30（3）令 ，而 ，则 ，
令 ，
则 ，
两边同乘 ，得：
，
，
，
，
．
【点评】本题考查复数模、辐角主值的定义、三角变换、诱导公式、正余弦函数的周期性、等比数列、
错位相减法、复数相等等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
31考点卡片
1．复数的相等
【知识点的认识】
复数z ＝a +b i和z ＝a +b i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a ＝a 和b ＝b ．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
【命题方向】
﹣复数相等的判定：考查如何根据复数的实部和虚部判断复数的相等．
﹣复数方程的应用：如何在复数方程中应用复数相等的性质．
2．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单
位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→
复平面内的点z（a，b）→平面向量 ．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z |表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
0
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi R b＝0（a，b R）；②z R ＝z．
∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b R）；
⇔ ∈
②b≠0时，z﹣ ＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z+ ＝0且z≠0．
⇔
3．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
32建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单
位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→
复平面内的点z（a，b）→平面向量 ．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z |表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
0
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
4．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如 2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语
言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数 ＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
； ； ；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共
轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复
数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
5．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi
为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；∈若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d R）．
⇔ ∈
333、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d R）．
⇔ ∈
4、复数的模： 的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝ ．
6．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
7．复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z ＝a +b i和z ＝a +b i的乘积是（a a ﹣b b ）+（a b +b a ）i．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
【命题方向】
﹣复数乘法运算：考查复数乘法及其性质．
﹣复数的乘方：如何使用复数的乘方运算解决问题，如幂运算和多项式根．
（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．
解：依题意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．
8．复数的除法运算
【知识点的认识】
复 数 除 法 涉 及 分 子 与 分 母 的 复 数 ． 对 于 复 数 z ＝ a +b i 和 z ＝ a +b i ， 除 法 结 果 是
1 1 1 2 2 2
34．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
【命题方向】
﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．
﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．
i是虚数单位， ＝_____．
解： ＝ ＝ ＝1+i．
9．复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（cos +isin ），其中r为模， 为辐角．两种形式可以通过公式互
相转换． θ θ θ
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模 和辐角 ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcos 和b＝rsin 转换θ．
θ θ
【命题方向】
﹣形式互化的应用：考查如何在实际问题中将复数的代数形式与三角形式互相转换．
﹣三角形式的应用：如何利用三角形式进行复数运算和问题求解．
复数﹣1+ i的三角形式是_____．
解：﹣1+ i＝2（﹣ + i）＝2（cos +isin ）．
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