文档内容
2025年菁优高考数学解密之直线与方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024•盐湖区一模）直线 与直线 相交于点 ， ，则 的
取值范围是
A． B．
C． D．
2．（2024•永寿县校级模拟）已知直线 ， ，则“ ”是“
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024•贵州模拟）已知直线 倾斜角的余弦值为 ，且经过点 ，则直线 的方程为
A． B． C． D．
4．（2024•开福区校级模拟）“ ”是“直线 与直线 平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024•重庆模拟）已知 ， ，两直线 ， 且 ，则
的最小值为
A．2 B．4 C．8 D．9
6．（2024•海南模拟）已知直线 的倾斜角为 ，则
1A． B． C． D．
7．（2024•江苏模拟）莱莫恩 定理指出：过 的三个顶点 ， ， 作它的外接圆的切线，
分别和 ， ， 所在直线交于点 ， ， ，则 ， ， 三点在同一条直线上，这条直线被称
为三角形的 线．在平面直角坐标系 中，若三角形的三个顶点坐标分别为 ， ，
，则该三角形的 线的方程为
A． B． C． D．
8．（2024•东湖区校级一模）设直线 ，一束光线从原点 出发沿射线 向直线
射出，经 反射后与 轴交于点 ，再次经 轴反射后与 轴交于点 ．若 ，则 的值为
A． B． C． D．2
9．（2024•威宁县校级模拟）直线 和直线 ，则“ ”是“
”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024•大通县二模）已知直线 与直线 平行，则 的值为
A．4 B． C．2或 D． 或4
二．多选题（共5小题）
11．（2024•浙江一模）已知正方形 在平面直角坐标系 中，且 ，则直线
的方程可能为
2A． B． C． D．
12．（2024•辽宁一模）设直线系 （其中 ， ， 均为参数， ， ，
， ，则下列命题中是真命题的是
A．当 ， 时，存在一个圆与直线系 中所有直线都相切
B．存在 ， ，使直线系 中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C．当 时，坐标原点 到直线系 中所有直线的距离最大值为1，最小值为
D．当 ， 时，若存在一点 ，使其到直线系 中所有直线的距离不小于1，则
13．（2024•香河县校级模拟）已知直线 经过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，则
直线 的方程可能为
A． B． C． D．
14．（2024•回忆版）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 的一部分，已知 过坐标
原点 ，且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则
A．
B．点 ， 在 上
C． 在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点 ， 在 上时，
315．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线 使这两组点
分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的距离的最
小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网
购文具的费用 （单位：百元）和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将 ， ，
和 为第Ⅰ组点．将 ， 和 归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直
线，记为 ．给出下列四个结论：
①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300元，则小明的这两项网购花销的费用所对
应的点与第Ⅱ组点位于 的同侧；
④如果从第1组点中去掉点 ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
其中所有正确结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
三．填空题（共5小题）
16．（2024•九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心
垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知 ， ， ，且 为圆
内接三角形，则 的欧拉线方程为 ．
417．（2024•未央区校级模拟）经过点 ，且在 轴和 轴上的截距相等的直线方程是 ．
18．（2024•济南二模）过直线 和 的交点，倾斜角为 的直线方程为 ．
19．（2024•铜川一模）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边
塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强
的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．
诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边
饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所
在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
“将军饮马” 的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
20．（2024•江苏模拟）已知 ， ， ，若平面内满足到直线 的
距离为1的点 有且只有3个，则实数 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个
点 ， 和 ， ，记 ，称 为点 与点 之间的“
距离”，其中 ， 表示 ， 中较大者．
（1）计算点 和点 之间的“ 距离”；
（2）设 ， 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集
合叫做以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”，求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积；
（3）证明：对任意点 ， ， ， ， ， ， ．
22．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，
5那么称 为 ， 两点间的曼哈顿距离．
（1）已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
（2）已知点 是直线 上的动点，点 与点 的曼哈顿距离 的最
小值记为 ，求 的最大值；
（3）已知点 ， ，点 ， ， ， ， 是自然对数的底），当 时， 的最
大值为 ，求 的最小值．
23．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系 中，定义 ， ， ， 两点间的“直角距离”
为 ．
（Ⅰ）填空：（直接写出结论）
①若 ， ，则 ，B）＝_____；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_____；
③记到 ， 两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线 ，则曲线 所围成的封闭
图形的面积的值为_____；
（Ⅱ）设点 ，点 是直线 上的动点，求 的最小值及取得最小值时点 的坐
标；
（Ⅲ）对平面上给定的两个不同的点 ， ， ， ，是否存在点 ，同时满足下列两个条
件：
① ， ， ， ；
② ， ， ．
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．
624．（2023•宝鸡三模）已知点 在曲线 上．
（1）求动点 的轨迹 的参数方程，并化为直角坐标方程；
（2）过原点的直线 与（1）中的曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的斜率．
25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别是 、
，点 是线段 上的动点．
（1）求 所在直线的一般式方程；
（2）当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程．
72025年菁优高考数学解密之直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•盐湖区一模）直线 与直线 相交于点 ， ，则 的
取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】直线的斜率
【专题】直线与圆；数学运算；转化思想；计算题；综合法
【分析】求出直线 、 所过定点的坐标，分析可知 ，即 ，然后求出点 的轨迹方程，设
，根据直线 与曲线 有公共点，利用直线与圆的位置关系列出关
于 的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：直线 的方程可化为 ，可知直线 经过 与 的交点
同理可得直线 经过 与 的交点 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，整理 ，
当 ， ，点 不在直线 上，所以点 的轨迹是曲线 ，
设 ，可得 ，
8由题意得直线 与曲线 有公共点，
曲线 是圆心为原点，半径为3的圆，所以 ，解得 ，
当 ， 时， ；当 ， 时， ，所以 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于
中档题．
2．（2024•永寿县校级模拟）已知直线 ， ，则“ ”是“
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件
【专题】转化思想；综合法；数学运算；直线与圆
【分析】 时可以推出两条直线平行，两条直线平行时，可得 的值，判断出“ ”是“ ”
的充要条件．
【解答】解： 时，直线 ， ，可得两条直线的斜率相同，在 轴的截
距不同，所以两条直线平行，
即此时“ ”是“ ”的充分条件；
时，则 ，整理可得 ，解得 ，此时 ”是“ ”的必要条件，
综上所述：“ ”是“ ”的充要条件．
故选： ．
【点评】本题考查充要条件的证法，属于基础题．
93．（2024•贵州模拟）已知直线 倾斜角的余弦值为 ，且经过点 ，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线的点斜式方程
【专题】转化思想；逻辑推理；直线与圆；综合法；计算题；数学运算
【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：已知直线 倾斜角的余弦值为 ，即 ，故 ，
所以 ，
由于直线经过点 ，
故直线的方程为 ，整理得 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（2024•开福区校级模拟）“ ”是“直线 与直线 平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件；直线的一般式方程与直线的平行关系
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑
【分析】根据两直线平行时，两直线的方向向量共线，且在 轴上的截距不相等，解方程求 的值，根据
集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由 ，且 ，
解得 或 ，
故 是直线 与直线 平行充分不必要条件，
故选： ．
10【点评】本题考查两直线平行的性质，考查充分必要条件，是一道基础题．
5．（2024•重庆模拟）已知 ， ，两直线 ， 且 ，则
的最小值为
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；数据分析
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得 ，再利用基本不等式的，求得 的最小值．
【解答】解： ， ，两直线 ， ，且 ，
，即 ， ，当且仅当 时，等号成立．
则 的最小值为8，
故选： ．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
6．（2024•海南模拟）已知直线 的倾斜角为 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线的倾斜角
【专题】综合法；三角函数的求值；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆
【分析】根据题意先求得 ，然后根据同角三角函数的基本关系式与诱导公式，算出所求式子的
值．
【解答】解：根据题意，直线 的斜率 ， ，
则 ，解得 ，或 （舍 ，
11所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．
7．（2024•江苏模拟）莱莫恩 定理指出：过 的三个顶点 ， ， 作它的外接圆的切线，
分别和 ， ， 所在直线交于点 ， ， ，则 ， ， 三点在同一条直线上，这条直线被称
为三角形的 线．在平面直角坐标系 中，若三角形的三个顶点坐标分别为 ， ，
，则该三角形的 线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】待定系数法求直线方程
【专题】综合法；计算题；直线与圆；数学运算；转化思想
【分析】根据题意设 ， ， ，求出 的外接圆方程，然后求出过 点的切线与直
线 的交点 ，以及过 点的切线与直线 的交点 ，根据直线方程的两点式，算出 的
线的方程．
【解答】解：设 ， ， ，
则 ， ，可得 ，所以 ．
因此， 的外接圆是以 为直径的圆，圆心为 的中点 ，半径 ．
所以 的外接圆方程为 ，
12求得直线 ，与过 点的切线 交于点 ， ，直线 ，与过 点的切线
交于点 ，
直线 的方程为 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角形外接圆方程的求法、直线的方程及其应用、直线与圆的位置关系等知识，
考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
8．（2024•东湖区校级一模）设直线 ，一束光线从原点 出发沿射线 向直线
射出，经 反射后与 轴交于点 ，再次经 轴反射后与 轴交于点 ．若 ，则 的值为
A． B． C． D．2
【答案】
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】数学运算；计算题；转化思想；综合法；直线与圆
【分析】求出入射点 的坐标关于 的表达式，根据 、 、 三点共线解出点 的坐标关于 的表达
式，同理求出点 的坐标关于 的表达式，然后利用两点间的距离公式列式解出 的值，即可得到本题的
答案．
【解答】解：根据题意得原点 关于直线 的对称点为 ，
13一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出，经 反射后与 轴交于点 ，
根据 ，解得 ，可知入射点 ， ；
由点 、 、 三点共线，解得 ．
设 关于 轴的对称点为 ， ，
光线再次经 轴反射后与 轴交于点 ．则 、 、 三点共线，
设 ，则 ，解得 ，即 ，
所以 ，解得 不符合题意，舍去）．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、轴对称的性质、两条直线的交点求法等知识，考查了计算
能力、图形的理解能力，属于中档题．
9．（2024•威宁县校级模拟）直线 和直线 ，则“ ”是“
”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
14【专题】综合法；数学运算；解题思想；直线与圆
【分析】由题意先求出 时的 的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可．
【解答】解：由题设 ，可得 ，解得 或 ．
所以 ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了充要条件的判断，两直线的位置关系，是基础题．
10．（2024•大通县二模）已知直线 与直线 平行，则 的值为
A．4 B． C．2或 D． 或4
【答案】
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【专题】直线与圆；转化思想；综合法；数学运算；计算题
【分析】根据两条直线平行建立关于 的方程，求出 的值并加以检验，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，直线 与直线 重合，不符合题意；
当 时，直线 与直线 平行．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能
力，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•浙江一模）已知正方形 在平面直角坐标系 中，且 ，则直线
的方程可能为
A． B． C． D．
【答案】
15【考点】直线的一般式方程与直线的性质
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用直线的夹角公式求出结果．
【解答】解：直线 ，整理得 ，由于直线 的斜率为 ，
设直线 的斜率 ，
利用直线的夹角公式， ，解得 或 ；
故满足条件的直线方程只有 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：直线的方程，夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
12．（2024•辽宁一模）设直线系 （其中 ， ， 均为参数， ， ，
， ，则下列命题中是真命题的是
A．当 ， 时，存在一个圆与直线系 中所有直线都相切
B．存在 ， ，使直线系 中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C．当 时，坐标原点 到直线系 中所有直线的距离最大值为1，最小值为
D．当 ， 时，若存在一点 ，使其到直线系 中所有直线的距离不小于1，则
【答案】
【考点】点到直线的距离公式；恒过定点的直线
【专题】数学运算；综合法；直线与圆；转化思想；计算题；逻辑推理
【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的位置以及恒成立问题的应用判断 、 、 、 的结论．
【解答】解：对于 ，当 ， 时，直线系方程为 ，原点到直线的距离
，此时圆 与直线系 中所有直线都相切，故 正确；
对于 ，当 时，直线系方程为 ，直线经过定点 ，当 ， ，
16时，直线方程化为 ，显然不过第三象限，当 或 或 ，直线 ，也
不过第三象限，
所以直线不过第三象限，故 正确；
对于 ，当 时，直线系 为 ，原点到直线系 中所有直线的距离
，当 时，则直线系 为 ，则原点到直线的距离
，故 错误；
对于 ，当 ， 时，直线系 为 ，设 ， ，
故点 ，则点 到直线系 中所有直线的距离 ，
设 ，
故 ，解得 ，故 ，故 正确
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：点到直线的距离公式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能
力，属于中档题．
13．（2024•香河县校级模拟）已知直线 经过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，则
直线 的方程可能为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】点到直线的距离公式
【专题】直线与圆；方程思想；数学运算；综合法
【分析】分别讨论直线 的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求方程．
【解答】解：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
17到直线 的距离为5， 到直线 的距离为3，显然不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由已知得 ，
所以 或 ，
所以直线 的方程为 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线方程，以及点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．（2024•回忆版）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 的一部分，已知 过坐标
原点 ，且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则
A．
B．点 ， 在 上
C． 在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点 ， 在 上时，
【答案】
【考点】点到直线的距离公式
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆
【分析】结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．
【解答】解： 对，因为 在曲线上，所以 到 的距离为 ，而 ，所以有 ，
，那么曲线的方程为 ，
18对，因为代入 知满足方程；
错，因为 ，求导得 ，那么有 （2） ，
，
于是在 的左侧必存在一小区间 ， 可以取无限小的数）上满足 ，因此最大值一定大
于1；
对，曲线的方程为 ，
可化为 ，
即 ，
因为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了点的轨迹方程，新定义问题，是中档题．
15．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线 使这两组点
分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的距离的最
小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网
购文具的费用 （单位：百元）和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将 ， ，
和 为第Ⅰ组点．将 ， 和 归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直
线，记为 ．给出下列四个结论：
19①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300元，则小明的这两项网购花销的费用所对
应的点与第Ⅱ组点位于 的同侧；
④如果从第1组点中去掉点 ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
其中所有正确结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【考点】直线的一般式方程与直线的性质
【专题】直线与圆；定义法；转化思想；数学运算；逻辑推理；新定义
【分析】由图象写出对应点的坐标，结合题意，对题目中的命题真假性进行分析、判断正误即可．
【解答】解：由图象知， ， ， ， ， ， ， ；
对于①，当直线 为分类直线时， ，
当直线 为分类直线时， ，
所以直线 分类效果好，①错误；
对于②，由图知定位 的位置由 ， ， 确定，
所以直线 过点 ， ， 的外心，
设直线方程为 ，则由 ，解得 ，②正确；
20对于③，当 到直线 的距离与 到 的距离相等时为 的临界值，此时点 在 的右侧，③正确；
对于④，去掉点 后，由 ，解得 ，这与原来 不同，所以④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了直线方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心
垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知 ， ， ，且 为圆
内接三角形，则 的欧拉线方程为 ．
【答案】 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质
【专题】直线与圆；数学运算；综合法；计算题；转化思想
【分析】根据题意，将点 、 坐标代入 的外接圆方程，由此求出圆心 与点 的坐标，然后算
出 的重心 的坐标，由 确定的直线求出 的欧拉线方程．
【解答】解：根据题意，圆 经过 、 ，所以 ，解得
，
可得圆方程为 ，即 ，圆心为 ，半径 ．
将 代入圆 的方程，得 ，解得 或1．
①当 时， 的坐标为 ，可得 的重心为 ， ，即 ， ，
结合 的外心为 ，可得欧拉线就是直线 ，方程为 ；
②当 时， 的坐标为 ，可得 的重心为 ， ，即 ， ，
21同理可得 的欧拉线方程为 ．
综上所述， 的欧拉线方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、圆的方程及其性质等知识，属于中档题．
17．（2024•未央区校级模拟）经过点 ，且在 轴和 轴上的截距相等的直线方程是 或
．
【答案】 或 ．
【考点】直线的截距式方程
【专题】构造法；直线与圆；对应思想；逻辑推理
【分析】分类讨论：当直线过原点时，可得斜率，可得方程，当直线不过原点时，设直线方程为
，代入点 可得 的方程，解方程可得 值，可得直线的方程，整理为一般式即可．
【解答】解：当直线过原点时，斜率为 ，
故方程为 ，整理为一般式可得 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
代入点 可得 ，解得 ，
故直线方程为
整理为一般式可得 ，
综上可得直线的方程为： 或
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题．
18．（2024•济南二模）过直线 和 的交点，倾斜角为 的直线方程为
22．
【答案】 ．
【考点】直线的点斜式方程
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算
【分析】求出两条直线的交点，由点斜式方程可得所求的直线的方程．
【解答】解：联立 ，解得 ， ，
所以两条直线的交点坐标为 ， ，
所以所求的直线方程为 ，
整理可得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查两条直线的交点的求法及直线方程的求法，属于基础题．
19．（2024•铜川一模）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边
塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强
的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．
诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边
饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所
在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
“将军饮马” 的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】整体思想；直线与圆；综合法；数学运算
【分析】由题可知 ， 在 的同侧，设点 关于直线 的对称点为 ，然后
结合对称性可求．
【解答】解：由题可知 ， 在 的同侧，
23设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，
解得 ， ，即 ，
将军从出发点到河边的路线所在直线即为 ，又 ，
所以直线 的方程为 ，
设将军在河边饮马的地点为 ，则 即为 与 的交点，
联立 ，解得 ， ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了点关于直线的对称性的应用，属于中档题．
20．（2024•江苏模拟）已知 ， ， ，若平面内满足到直线 的
距离为1的点 有且只有3个，则实数 ．
【考点】点到直线的距离公式
【专题】直线与圆；方程思想；数学运算；定义法
【分析】求出点 的轨迹方程是圆，根据题意知圆心到直线的距离 ，由此列方程求出 的值．
【解答】解：设点 ，由 ， ， ，
得 ，化简得 ；
平面内满足到直线 的距离为1的点 有且只有3个，
则圆心 到直线 的距离 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
24四．解答题（共5小题）
21．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个
点 ， 和 ， ，记 ，称 为点 与点 之间的“
距离”，其中 ， 表示 ， 中较大者．
（1）计算点 和点 之间的“ 距离”；
（2）设 ， 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集
合叫做以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”，求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积；
（3）证明：对任意点 ， ， ， ， ， ， ．
【答案】（1） ；
（2） 圆的面积为4；
（3）证明见解析．
【考点】两点间的距离公式
【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想
【分析】（1）直接根据“ 距离”的定义代入数据求解即可；
（2）根据“ 距离”，“ 圆”的定义，求出圆的半径，即可求得圆的面积；
（3）根据“ 距离”的定义，代入化简，结合绝对值不等式证明即可．
【解答】解：（1）由题中“ 距离”的定义可得 ，
（2）设 是以原点 为圆心，以 为半径的 圆上任一点，则 ，
若 ，则 ， ；
若 ，则有 ， ，
25作出图像如下：
以原点 为圆心，以 为半径的 圆为一个正方形，边长为2，面积为4；
（3）证明：考虑函数 ，
求导可得 ，
所以函数 在区间 ， 上单调递增．
又 由 绝 对 值 不 等 式 ， 可 得
，
当且仅当 时，不等式取等，
同理有 ，不妨设 ，
则 ， ，
，
故不等式成立．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，新定义问题，绝对值不等式，是中档题．
22．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，
26那么称 为 ， 两点间的曼哈顿距离．
（1）已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
（2）已知点 是直线 上的动点，点 与点 的曼哈顿距离 的最
小值记为 ，求 的最大值；
（3）已知点 ， ，点 ， ， ， ， 是自然对数的底），当 时， 的最
大值为 ，求 的最小值．
【答案】（1） 的最小值为2， 的最小值为1；
（2）5；
（3） ．
【考点】两点间的距离公式
【专题】计算题；数学运算；综合法；函数的性质及应用；整体思想
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到 ，从而得到 的最大值；
（3）根据题意，令 ，然后分别构造函数 ， ， ， 即可得
到 ，从而得到结果．
【解答】解：（1） ，
27则 ，即 的最小值为2；
，
则 ，即 的最小值为1；
（2）当 时， ，
点 为直线 上一动点，
则当 时， ，
即 ；
当 时， ，
即 ；
所以 ，又当 时， ，
当 时， ，
所以 的最大值为5；
（3）令 ，则 ， ，
， ，
令 ， ，则 在区间 ， 内成立，
则 在区间 ， 内单调递增，则 ，
令 ， ，则 在区间 ， 内成立，
则 在区间 ， 内单调递减，则 （e） （1） ，
28所以 ，
所以 ，
当 且 时，取最小值，
的最小值 ．
【点评】本题考查了新概念问题，属于难题．
23．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系 中，定义 ， ， ， 两点间的“直角距离”
为 ．
（Ⅰ）填空：（直接写出结论）
①若 ， ，则 ，B）＝_____；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_____；
③记到 ， 两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线 ，则曲线 所围成的封闭
图形的面积的值为_____；
（Ⅱ）设点 ，点 是直线 上的动点，求 的最小值及取得最小值时点 的坐
标；
（Ⅲ）对平面上给定的两个不同的点 ， ， ， ，是否存在点 ，同时满足下列两个条
件：
① ， ， ， ；
② ， ， ．
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．
【答案】见解答．
【考点】两点间的距离公式
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；分类讨论
29【分析】（Ⅰ）对于①②③利用 ，代入即可，再结合方程画出图像求面积；
（Ⅱ）设 点的坐标，代入 ．利用绝对值性质求最值．（Ⅲ）分三种情况结
合绝对值性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）填空：① ； ② 即 ；
③因为 ， 所以 ，
如图：
即封闭图形的面积时一个正方形与两个全等的三角形面积之和，即 ；
（Ⅱ）因为点 为直线 上的动点，
故可设点 的坐标为 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 此时点 的坐标为 ，
因为点 为直线 上的动点，故可设点 的坐标为 ，则 ，
①当 时， 当且仅当 时取得等号；
②当 ． ，当且仅当 时取得等
号；
③当 时 ，当且仅当 时取得等
30号；
综上，当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 此时点 的坐标为 ．
（Ⅲ）注意到点 ， 与点 ， 不同，下面分三种情况讨论：
（1）若 ，则 ，由条件②得 ，
即 所以 ，
由条件①得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因此，所求的点 为 ；
（2）若 则 类似于前证，可得符合条件的点 为 ；
（3）若 且 时，不妨设 ，
由条件①得 ， ，
，
当且仅当 与 同时成立时取等号，
即当且仅当 与 同时成立时条件①成立， 若 时，则由上述证明
可知，要使条件①成立，则有 ，
从而由条件②得 ，
因此所求点 的集合为 ，
若 时，类似地由条件①可得 且 ，
31从而由条件②得 ，
因此所求点 的集合为 ．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
24．（2023•宝鸡三模）已知点 在曲线 上．
（1）求动点 的轨迹 的参数方程，并化为直角坐标方程；
（2）过原点的直线 与（1）中的曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的斜率．
【答案】（1）参数方程为 ， 为参数；直角坐标方程为 ；
（2） ．
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合
【专题】综合法；数学运算；坐标系和参数方程；整体思想
【分析】（1）先将曲线 化为参数方程，可得到动点 ，从而得到点
的轨迹 的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；
（2）先设 的参数方程，再代入曲线 的方程得 ，再结合韦达定理和同角三角函
数的基本关系求解即可．
【解答】解：（1）由题意，曲线 的参数方程为 ， 为参数，
则 ，
再设 ，则 ， 为参数，
消去参数，得到 ，
故点 的轨迹 的方程为 ；
（2）设 的参数方程为 为参数），且 ，
32代入曲线 的方程得 ，
设 ， 两点对应得参数分别为 ， ，则 ，
所以 ，则 ，
即直线 的斜率为 ．
【点评】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属
于中档题．
25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别是 、
，点 是线段 上的动点．
（1）求 所在直线的一般式方程；
（2）当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；与直线有关的动点轨迹方程
【专题】计算题；转化思想
【分析】（1）求出 所在直线的向量，然后求出 所在的直线方程；
（2）设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ，利用平行四边形，推出 与 坐标关系，利用
当 在线段 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程．
【解答】（本小题满分10分）
解：（1） ， 所在直线的斜率为： ．
所在直线方程是 ，即 ．
33（2）：设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ，
由平行四边形的性质得点 的坐标是 ，
是线段 的中点， ， ，
于是有 ， ，
点 在线段 上运动，
， ，
即 ， ．
【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．
34考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．充分条件必要条件的判断
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，⇒则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
35充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l
的倾斜角． α
2．范围：[0， ） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现π了直线对x轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0， ），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而π斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a≠ 时，k＝tan ；当 ＝ 时，斜率不存在；
α α
②根据正切函数k＝tan 的单调性：当 [0， ）时，k＞0且tan 随 的增大而增大，当 （
， ）时，k＜0 且tan 随 α的增大而增大．α∈ α α α∈
π α α
36【解题方法点拨】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线
倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现
是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线 x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解答：因为直线 x+y﹣1＝0的斜率为：﹣ ，
直线的倾斜角为： ．
α
所以tan ＝﹣ ，
α
＝120°
α故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k＝ ＝1，
∴直线AB的倾斜角 ＝45°．
故选B． α
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价
转化．
4．直线的斜率
【知识点的认识】
1．定义：当直线倾斜角 ≠ 时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝
tan ． α
α
372．斜率的求法
（1）定义：k＝tan （ ≠ ）
α α
（2）斜率公式：k＝ ．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0， ），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而π斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当 ≠ 时，k＝tan ；当 ＝ 时，斜率不存在；
α α α
②根据正切函数k＝tan 的单调性：当 [0， ）时，k＞0且随 的增大而增大，当 （ ， ）时，
k＜0且随 的增大而增大α． α∈ α α∈ π
【解题方法α点拨】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线
倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现
是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
5．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【知识点的认识】
在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特
例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：
①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；
②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为 k ，k ，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；
1 2
反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．
l ⊥l k ＝﹣ k •k ＝﹣1．
1 2 2 1 2
⇔ ⇔
【解题方法点拨】
38例：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1＝0，则直线
PB的方程是 ．
解：根据|PA|＝|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，
根据x﹣2y+1＝0求出点A的坐标为（﹣1，0），由P的横坐标是2代入x﹣2y+1＝0求得纵坐标为 ，则
P（2， ），P在x轴上的投影为Q（2，0），又因为Q为A与B的中点，所以得到B（5，0），所以直
线PB的方程为：y﹣0＝ （x﹣5）化简后为x+2y﹣5＝0
故答案为：x+2y﹣5＝0．
6．直线的点斜式方程
【知识点的认识】
设P（x，y）是直线l上不同于P 的任意一点．
0
方程y﹣y ＝k（x﹣x ）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．
0 0
7．直线的截距式方程
【知识点的认识】
直线的截距式方程：
若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截
距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式： 可推得直线的斜截距方程为： ．
#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．
8．直线的一般式方程与直线的性质
【知识点的认识】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的
一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
1、两条直线平行与垂直的判定
39对于两条不重合的直线l 、l ，其斜率分别为k 、k ，有：
1 2 1 2
（1）l ∥l k ＝k ；（2）l ⊥l k •k ＝﹣1．
1 2 1 2 1 2 1 2
2、直线的一⇔般式方程： ⇔
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式
方程y＝﹣ x﹣ ，表示斜率为﹣ ，y轴上截距为﹣ 的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C ＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直
1
线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C ＝0．
1
（3）已知直线l ，l 的方程分别是：l ：A x+B y+C ＝0（A ，B 不同时为0），l ：A x+B y+C ＝0（A ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
2
①l ⊥l A A +B B ＝0；
1 2 1 2 1 2
②l
1
∥l 2⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
≠0；
③l
1
与l⇔2 重合 A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
＝0；
④l
1
与l
2
相交⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
≠0．
⇔
如果A B C ≠0时，则l ∥l ；l 与l 重合 ；l 与l 相交 ．
2 2 2 1 2 1 2 1 2
9．直线的一般式方程与直线⇔的平行关系 ⇔ ⇔
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l 、l ，其斜率分别为k 、k ，有：
1 2 1 2
（1）l ∥l k ＝k ；（2）l ⊥l k •k ＝﹣1．
1 2 1 2 1 2 1 2
2、直线的一⇔般式方程： ⇔
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式
方程y＝﹣ x﹣ ，表示斜率为﹣ ，y轴上截距为﹣ 的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C ＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直
1
线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C ＝0．
1
（3）已知直线l ，l 的方程分别是：l ：A x+B y+C ＝0（A ，B 不同时为0），l ：A x+B y+C ＝0（A ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
2
①l ⊥l A A +B B ＝0；
1 2 1 2 1 2
②l
1
∥l 2⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
≠0；
③l
1
与l⇔2 重合 A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
＝0；
⇔
40④l 与l 相交 A B ﹣A B ≠0．
1 2 1 2 2 1
⇔
如果A B C ≠0时，则l ∥l ；l 与l 重合 ；l 与l 相交 ．
2 2 2 1 2 1 2 1 2
10．直线的一般式方程与直线⇔的垂直关系 ⇔ ⇔
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l 、l ，其斜率分别为k 、k ，有：
1 2 1 2
（1）l ∥l k ＝k ；（2）l ∥l k •k ＝﹣1．
1 2 1 2 1 2 1 2
2、直线的一⇔般式方程： ⇔
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式
方程y＝﹣ x﹣ ，表示斜率为﹣ ，y轴上截距为﹣ 的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C ＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直
1
线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C ＝0．
1
（3）已知直线l ，l 的方程分别是：l ：A x+B y+C ＝0（A ，B 不同时为0），l ：A x+B y+C ＝0（A ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
2
①l ⊥l A A +B B ＝0；
1 2 1 2 1 2
②l
1
∥l 2⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
≠0；
③l
1
与l⇔2 重合 A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
＝0；
④l
1
与l
2
相交⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
≠0．
⇔
如果A B C ≠0时，则l ∥l ；l 与l 重合 ；l 与l 相交 ．
2 2 2 1 2 1 2 1 2
11．待定系数法求直线方程⇔ ⇔ ⇔
【知识点的认识】
求直线方程的一般方法：
（1）直接法：
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特
点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两
坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．
（2）待定系数法：
先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，
已知两点坐标等．
41利用待定系数法求直线方程的步骤：
①设方程；
②求系数；
③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x ，y ），可以利用直线的点斜式y﹣y ＝k（x﹣x ）
0 0 0 0
求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．
12．恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x ，y ）的方程形式为：
1 1
a（x﹣x ）+b（y﹣y ）＝0
1 1
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x ，y ）代入直线方程．
1 1
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x ）+b（y﹣y ）＝0
1 1
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
13．与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的认识】
﹣对称直线：
﹣点对称：直线l关于点（x ，y ）的对称直线方程为：
0 0
﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．
【解题方法点拨】
﹣求对称直线方程：
1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程．
2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程．
42【命题方向】
﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程．
14．两点间的距离公式
【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x ，y ）和（x ，y ）之间的距离由公式：
1 1 2 2
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
【命题方向】
﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现．
15．点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x ，y ）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
0 0
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．
2．计算绝对值：计算Ax +By +C的绝对值．
0 0
3．计算模：计算法向量的模 ．
4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．
16．与直线有关的动点轨迹方程
43【知识点的认识】
﹣动点轨迹：动点P（x，y）满足一定条件（如到定点距离等于常数）的轨迹方程．常见轨迹包括直线、
圆等．
【解题方法点拨】
﹣求轨迹方程：
1．分析条件：将动点的条件转化为方程．
2．转换方程：将几何条件转化为坐标方程，如点到直线的距离或点到点的距离等于常数．
3．求解方程：通过代数方法或几何方法得到轨迹方程．
【命题方向】
﹣动点轨迹：考查如何从动点条件推导出轨迹方程，常涉及几何图形的方程构建．
17．直线与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的
方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【解题方法点拨】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F （﹣1，0）、F （1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心
1 2
率 ．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F 的任意一条直线与圆锥曲线 C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点 P，使
2
的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为 （a＞b＞0），
∴c＝1，
∵ ，
∴a＝2，
∴ ，
44所求方程为 ．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由 ，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而 ， ，
设P（t，0），则
＝
当 ，
解得
此时对 k R， ；
当AB⊥∀x轴∈ 时，直线AB的方程为x＝1，
x ＝x ＝1， ，
A B
对 ， ，
即存在x轴上的点 ，使 的值为常数 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种
特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是
求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，
这也是常用的方法．
【命题方向】
45必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大
可以适当的放到最后做．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 18:43:56；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
46
