文档内容
2025年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系
一．选择题（共10小题）
1．（2024•白山一模）设集合 ， ，则
A． B． ， C． ， D．
2．（2024•张家口三模）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2024•上海） ， ， ， ，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
4．（2024•南开区一模）若 ，则 的最小值是
A．2 B． C．3 D．
5．（2024•浙江模拟）已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为
A． B．8 C． D．
6．（2024•高州市模拟）已知 ， ，则下面结论正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 有最小值4
D．若 ，则
7．（2024•崇明区二模）若 ， ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
8．（2024•嘉兴二模）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是
1A． B． C． D．2
9．（2024•定西模拟） 的最小值为
A． B． C． D．
10．（2024•九龙坡区校级模拟）已知 ， 且 ，则 的最小值为
A． B． C．1 D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•河池二模）若 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
12．（2024•随州模拟）设正实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是
A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最大值 D． 有最小值
13．（2024•广东模拟）若 ， ， ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
14．（2024•甘肃模拟）已知 ， ，若 ，则
A． 的最大值为 B． 的最小值为1
C． 的最小值为8 D． 的最小值为
15．（2024•北京模拟）已知正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是
A． 的最小值是4 B． 的最大值是
2C． 的最大值是 D． 的最大值是
三．填空题（共5小题）
16．（2024•运城二模）已知集合 ， ，若 ，则
的子集的个数为 ．
17．（2024•静安区二模）在下列关于实数 、 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确
的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
18．（2024•濮阳模拟）设 ， ，记 为 三个数中最大的数，则 的最小值 ．
19．（2024•拉萨一模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
20．（2024•上海）已知 ， 的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•雅安模拟）已知 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求 的最大值．
22．（2023•绵阳模拟）已知函数 ， ，且 的解集为 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ，且 ，证明： ．
23．（2023•陕西模拟）已知 ， ， 为正实数且 ．
（1）求 的最小值；
（2）当 时，求 的值．
24．（2022•上海模拟）已知函数 的定义域为 ，值域为 ．若 ，则称 为“ 型函
3数”；若 ，则称 为“ 型函数”．
（1）设 ， ， ，试判断 是“ 型函数”还是“ 型函数”；
（2）设 ， ，若 既是“ 型函数”又是“ 型函数”，求实数 ，
的值；
（3）设 ， ， ，若 为“ 型函数”，求 （2）的取值范围．
25．（2022•全国四模）已知不等式 的解集为 ， ， ．
（1）若 ，或 ，求 的最小值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
42025年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•白山一模）设集合 ， ，则
A． B． ， C． ， D．
【答案】
【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算；其他不等式的解法
【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；集合；数学抽象
【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得．
【解答】解：在 中，由 得 ，即 ， ，
又由 可得： ，解得 ，即 ， ，
故 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．（2024•张家口三模）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解
【分析】在等式 两边同时乘以 ，利用基本不等式可得出关于 的不等式，进
而可解得 的最大值．
【解答】解：因为 ， 为正数，则 ，当且仅当
时，等号成立，
因为 ，
5所 以 ， 在 等 式 两 边 同 时 乘 以 ， 可 得 ：
，
即 ，解得 ，
当且仅当 时，即当 时， 取得最大值8．
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，是中档题．
3．（2024•上海） ， ， ， ，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于 ，若 ，则 ，选项不成立，故 错误；
对于 ， ， ，
由不等式的可加性可知， ，故 正确．
对于 、 ，若 ，则选项不成立，故 、 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（2024•南开区一模）若 ，则 的最小值是
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【考点】 ：基本不等式及其应用
【专题】11：计算题
6【分析】将 变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以
当且仅当 即 时取“ ”
故选： ．
【点评】利用基本不等式求函数的最值，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等．
5．（2024•浙江模拟）已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为
A． B．8 C． D．
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】数学运算；转化法；转化思想；不等式的解法及应用
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，
故 ， ，
故 ，当且仅当 时，等号成立．
故选： ．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
6．（2024•高州市模拟）已知 ， ，则下面结论正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 有最小值4
7D．若 ，则
【答案】
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质；基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；整体思想；不等式
【分析】由已知结合基本不等式及不等式性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 ， ，
若 ，则 ，当且仅当 时取等号， 错误；
当 时， 显然错误；
若 ，则 ，当且仅当 时取等号， 正确；
因为 ，所以 ， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质的应用，属于基础题．
7．（2024•崇明区二模）若 ， ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】不等式的基本性质
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解： ， ，
， 与 大小关系不确定， ， 与 的大小关系不确定．
则下列不等式成立的是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2024•嘉兴二模）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是
A． B． C． D．2
【答案】
8【考点】基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；不等式；转化思想
【分析】根据条件得出 ，从而得出 ，然后根据基本不等式即可求出 的最小值．
【解答】解：正数 ， 满足 ，
，
，当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，是基础题．
9．（2024•定西模拟） 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】根据基本不等式可得结果．
【解答】解：由题意得 ，则 ，当且仅当 时等号成立，所以最
小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
10．（2024•九龙坡区校级模拟）已知 ， 且 ，则 的最小值为
A． B． C．1 D．
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】不等式；数学运算；综合法；转化思想；计算题
9【分析】根据题意，以 与 为基本量，化简得 ，然后根据基本不等
式，结合“1的代换”算出所求最小值．
【解答】解：根据题意，可得
，
因为 ，所以 ，
由 ，且 与 都是正数，
可得 ．
当且仅当 时，即 时，等号成立．
因此， 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，利用基本不等式求最值等知识，考查计算能力，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•河池二模）若 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式
【专题】转化思想；数学运算；转化法；不等式的解法及应用
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解： ，
， ，
10，即 ，故 正确；
不妨取 ， ， ， ， ，显然 ，故 错误；
，
， ，
，即 ，故 正确；
，
， ， ，
，
， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
12．（2024•随州模拟）设正实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是
A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】由 ，根据 ，逐一判断各选项即可．
【解答】解：正实数 ， 满足 ，
对于 ，即有 ，可得 ，
即有 ，即有 时， 取得最小值4，故 正确；
对于 ，由 ，可得 有最大值 ，故 错误；
11对于 ，由 ，
可得 时， 取得最大值 ，故 正确；
对于 ，由 可得 ，
则 ，当 时， 取得最小值 ，故 正确．
综上可得 ， ， 均正确．
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，属于基础题．
13．（2024•广东模拟）若 ， ， ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；转化法
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，依次求解．
【解答】解： ，
对于 ， ，当且仅当 时，等号成立，故 正确；
对于 ， ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 时，等号成立，故 正
确；
对于 ， ， ， ，
则 ，当且仅当 ，即 ，
时，等号成立，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查转化能力，属于中档题．
1214．（2024•甘肃模拟）已知 ， ，若 ，则
A． 的最大值为 B． 的最小值为1
C． 的最小值为8 D． 的最小值为
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；转化法；逻辑推理
【分析】对于 ， 选项，直接由基本不等式即可求出最值；对于 选项，化为 ，
即可求出最小值；对于 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可．
【解答】解：对于选项 ，由 ，即 ，
当且仅当 ，且 ，即 时，取等号，所以 正确；
对于选项 ，因为 ，
当且仅当 时， 取到最小值 ，所以 错误；
对于选项 ，因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取等号，所以 正确；
对于选项 ，当且仅当 ，且 ，
即 时，取等号，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
15．（2024•北京模拟）已知正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是
A． 的最小值是4 B． 的最大值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】
【考点】基本不等式及其应用
13【专题】转化思想；综合法；数学运算；不等式的解法及应用
【分析】根据正实数 ， 满足 ，结合基本不等式分别判断各选项即可．
【解答】解： ，当且仅当 等号成立，
所以 的最小值为4，故 正确；
，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故 错误；
由基本不等式，可得 ，当且仅当 等号成立，
所以 的最大值为 ，故 正确；
由基本不等式，可得 ，当且仅当 等号成立，
所以 的最大值为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•运城二模）已知集合 ， ，若 ，则
的子集的个数为 8 ．
【答案】8．
【考点】并集及其运算；指、对数不等式的解法；交集及其运算
【专题】数学运算；综合法；整体思想；集合
【分析】先求出集合 ，然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出 ，进而可求 ，结合集合
的并集及集合子集的个数规律即可求解．
【解答】解：因为 ， ， ，
若 ，则 ，
所以 ，即 ， ， ，
14，1， ，子集个数为 ．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题．
17．（2024•静安区二模）在下列关于实数 、 的四个不等式中，恒成立的是 ②③④ ．（请填入全
部正确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】②③④．
【考点】基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；转化思想；不等式
【分析】根据基本不等式可判断①不成立；作差比较法可判断②④是否成立；根据绝对值不等式的性质
可判断③成立．
【解答】解： ， 时， 不成立，①不成立；
， ，②成立；
，③成立；
， ，④成立．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了基本不等式的条件，绝对值不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题．
18．（2024•濮阳模拟）设 ， ，记 为 三个数中最大的数，则 的最小值 2 ．
【答案】2．
【考点】不等式比较大小
【专题】转化思想；转化法；数学运算；不等式的解法及应用
【分析】分类讨论 的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小
于和的一半，即可得出结论．
【解答】解：由 ， ，
①当 时， ，
15而 ，可得 至少有一个不小于2，
则 的最小值为2；
②当 时，
，
而 ，可得 至少有一个不小于2，
的最小值不小于2．
综上， 的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
19．（2024•拉萨一模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 2 ．
【答案】2．
【考点】基本不等式及其应用
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；转化法；数学运算
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：正数 ， 满足 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
20．（2024•上海）已知 ， 的最小值为 1 2 ．
【答案】12．
【考点】基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；不等式；整体思想
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
16【 解 答 】 解 ： 由 ， ， 当 且 仅 当 ， 即 或
时取最小值12，
所以 的最小值为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•雅安模拟）已知 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求 的最大值．
【答案】（1） ．
（2）8．
【考点】运用基本不等式求最值
【专题】综合法；计算题；数学运算；不等式的解法及应用；整体思想
【分析】（1）由 得 ，则 ，可得结果．
（2）利用基本不等式先求出 的最值，再求出 的最值，可得结果．
【解答】解：（1）因为 ，所以 且 ，
所以 ，则 ，
解得 ，
又 ，所以 的取值范围为 ．
（2） ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
17，
即 ，当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
22．（2023•绵阳模拟）已知函数 ， ，且 的解集为 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ，且 ，证明： ．
【考点】 ：基本不等式及其应用
【专题】34：方程思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用
【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；
（2）运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．
【解答】解：（1）函数 ， ，且 的解集为 ， ，
可得 的解集为 ， ，即有 ， ， ，
可得 ；
（2）证明： ， ， ，且 ，
则
，
当且仅当 ，取得等号．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不
等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
23．（2023•陕西模拟）已知 ， ， 为正实数且 ．
（1）求 的最小值；
18（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） 的最小值为 ；（2） ．
【考点】基本不等式及其应用
【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由基本不等式可得 ，结合条件得 ，从而求 、 、
的值，即可得 的值．
【解答】解：（1）由柯西不等式得，
，
故 ；
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立；
故 的最小值为 ；
（2）由基本不等式可得，
，
，
，
故 ，
故 ，
当且仅当 ，且 ，
即 ， ， 时，等号成立，
又 ，
，
19即 ， ， ，
．
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．
24．（2022•上海模拟）已知函数 的定义域为 ，值域为 ．若 ，则称 为“ 型函
数”；若 ，则称 为“ 型函数”．
（1）设 ， ， ，试判断 是“ 型函数”还是“ 型函数”；
（2）设 ， ，若 既是“ 型函数”又是“ 型函数”，求实数 ，
的值；
（3）设 ， ， ，若 为“ 型函数”，求 （2）的取值范围．
【答案】（1） 是“ 型函数”；
（2） ， ；
（3） ， ．
【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；基本不等式及其应用
【专题】数学运算；整体思想；不等式的解法及应用；数形结合；函数的性质及应用；综合法
【分析】（1）利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；
（2）分 ， 和 ， 结合函数的单调性分类讨论求解；
（3）分 不同的取值结合“ 型函数”的定义即可求范围．
【解答】解：（1）当 ， 时， ，
当且仅当 时取等号，
由于 （1） ， （4） ，
所以函数 的值域为 ，
20因为 ，所以 ，
所以 是“ 型函数”；
（2） ，定义域为 ， ，
由题意得函数 的值域也为 ， ，
显然 ，否则值域不可能由负到正，
当 ， 时， 在 ， 上单调递增，
则 ，得 ， ；
当 ， 时， 在 ， 上单调递减，
则 得 ， ；
（3） ， ， ，
由题意得函数 的值域 ， ，
当 时， 的最小值 （1） ，
当 时， 的最小值 （a） ，
当 时， 的最小值 （3） ，
当 时， 的最大值 （3） ，
当 时， 的最大值 （1） ，
因为 （2） ，由点 所在的可行域，
当 ， 时， （2）取最大值，最大值为2，
当 （2） 与 相切，
21即 ， 时， （2）取最小值，最小值为1，
因此 （2）的取值范围是 ， ．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
25．（2022•全国四模）已知不等式 的解集为 ， ， ．
（1）若 ，或 ，求 的最小值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
【答案】（1） 的最小值为3；
（2） 的最小值等于 ．
【考点】一元二次不等式及其应用；基本不等式及其应用；不等式的基本性质
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】（1）不等式的解可转化为方程 的两个根为1，2，由根与系数的关系求 ，
，再利用绝对值的性质求解 的最小值即可；
（2）由 ，且 ，可得 ，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）由于不等式的解集为 ，或 ，
所以 ，可得 ， ，即 ．
22（当且仅当 时，等号成立），
（2）当 时，不等式为 ， ，
因为 ， ，所以可得 ，
所以 ，
（当且仅当 时，等号成立），所以 的最小值等于 ．
【点评】本题考查了二次不等式及二次方程的性质应用，基本不等式的应用，属于中档题．
23考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x A或x B}．
∈ ∈
图形语言： ．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝
，两个集合都是空集．⑦∅ A∪（ A）＝U．⑧ （A∪⊇B）＝（C⊇UA）∩（CUB）．⇔ ⊆
U U
∅ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函
数的定义域，值域联合命题．
2．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
24【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
3．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等⇔式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞⇒b+c．
④同向可加性：⇒a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞⇒bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞⇒b＞0，c＞d＞0 ac＞⇒bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且⇒n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
4．不等关系与不等式 ⇒ ∈
【知识点的认识】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如 与 就是相等关系．
而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说 a＞b，a
﹣b＞0就是不等式．
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依
据． ⇔ ⇒ ⇔
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
25④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【命题方向】
例1：解不等式：sinx≥ ．
解：∵sinx≥ ，
∴2k + ≤x≤2k + （k Z），
π π ∈
∴不等式sinx≥ 的解集为{x|2k + ≤x≤2k + ，k Z}．
这个题很典型，考查了不等式和π三角函数的相π关知识，∈也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这
个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
⇔
证明：由ab＞0，知 ＞0．
又∵a＞b，∴a ＞b ，即 ；
若 ，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可
这种技巧在选择题上用的最广．
5．不等式比较大小
【知识点的认识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
26【命题方向】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p＝ 与q＝a+b的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解 ： p﹣ q ＝ ﹣ a﹣ b ＝ ＝ （ b2﹣ a2 ） ＝
，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜
D． ＜ ＜
解：由指数函数的单调性可知， ＞ ，
由幂函数的单调性可知， ＞ ，
则 ＞ ＞ ，
27故 ＜ ＜ ，
故选：B．
6．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
28若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
294、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
30例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
31技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
7．运用基本不等式求最值
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．
【解题方法点拨】
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+
的最小值，可以利用均值不等式 从而得出最小值为 2，并且在 x＝1 时取到最小值．需
要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
【命题方向】
均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代
数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最
值求解，并能正确代入和计算．
已知正数a，b满足a+b＝1，则 的最大值是_____．
解：因为正数a，b满足a+b＝1，
所以a+1+b+1＝3，
则 ＝ ，
32当且仅当a＝b＝ 时取等号．
故答案为： ．
8．指、对数不等式的解法
【知识点的认识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
33注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
9．其他不等式的解法
【知识点的认识】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数
和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【解题方法点拨】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点
其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝log （x﹣1），g（x）＝log （3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，
a a
讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 log （x﹣1）≥log （3﹣x），
a a
∴当a＞1时，有 ，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有 ，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然
后变成一个对数函数来求解也可以．
【命题方向】
34本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点
希望大家好好学习．
10．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0
或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特
征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可
求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的
解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
35≥0 ；
⇔
≤0 ．
⇔
11．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解
析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式
有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是
由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数
定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义
域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
12．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域 ∈
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式
法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
36（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分
析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出
现，是常考题型．
13．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的
纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最
小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点
未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要
求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 15:51:06；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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