文档内容
2025年菁优高考数学解密之空间向量的应用
一．选择题（共10小题）
1．（2024•怀仁市校级模拟）正方体 中， 为正方形 内一点（不含边界），记
为正方形 的中心，直线 ， ， ， 与平面 所成角分别为 ， ， ， ．若
， ，则点 在
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
2．（2024•南昌模拟）在空间中，“经过点 ， ， ，法向量为 ， ， 的平面的方程
（即平面上任意一点的坐标 ， ， 满足的关系式）为： ”．用此
方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结果为 和 ，则这两平面所成角的余
弦值为
A． B． C． D．
3．（2024•朝阳区一模）在棱长为1的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 ．则下列说法正确的是
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
1C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
4．（2024•安庆二模）如图，在长方体 中， ，点 是棱 上任意一
点（端点除外），则
A．不存在点 ，使得
B．空间中与三条直线 ， ， 都相交的直线有且只有1条
C．过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有且只有1条
D．过点 与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条
5．（2024•回忆版）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面 所
成角的正切值为
A． B．1 C．2 D．3
6．（2024•新华区校级一模）在正方体 的棱长为2， 为线段 上的动点，则点 到
平面 距离的最小值为
A．1 B． C． D．2
7．（2024•黄浦区校级三模）如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线
2与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹长度为
A． B． C． D．
8．（2024•李沧区校级一模）已知某圆锥的侧面积为 ，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所
成的角为
A． B． C． D．
9．（2024•濮阳模拟）如图，将绘有函数 部分图像的纸片沿 轴折
成直二面角，此时 ， 之间的距离为 ，则
A． B． C． D．
10．（2024•日照模拟）如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 ．
四面体 以 所在的直线为轴旋转 弧度，且四面体 始终在水平放置的平面 的上方．如果
将四面体 在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ，则函数 的最小正周期与
取得最小值时平面 与平面 所成角分别为
3A． ，0 B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•玄武区三模）已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则
A．
B．
C． 与 为相交直线或异面直线
D． 在 向量上的投影向量为
12．（2024•全国模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A． 与 是异面直线
B．存在点 ，使得 ，且 平面
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
13．（2024•南关区校级模拟）如图，在正三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，
，则下列说法正确的是
4A．若 ，则异面直线 和 所成的角的余弦值为
B．若 ，则点 到平面 的距离为
C．存在 ，使得 平面
D．若三棱柱 存在内切球，则
14．（2024•宁化县校级一模）已知函数 的部分图象如图1所示， 、
分别为图象的最高点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ，点 为该部分图象与 轴的交点．
将绘有该图象的纸片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时 ，则下列四个结论正确的有
A．
B．
C．图2中，
5D．图2中， 是△ 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则 表示的区域的
面积大于
15．（2024•辽宁模拟）如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ，
的动点，则下列结论正确的是
A． 与底面所成角为
B．圆锥 的表面积为
C． 的取值范围是
D．若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为
三．填空题（共5小题）
16．（2024•南昌模拟）如图，在长方体 中， ， ，点 为 的中点，
则点 到平面 的距离为 ．
17．（2024•昌黎县校级模拟）二面角 的棱上有两个点 、 ，线段 与 分别在这个二面
角的两个面内，并且垂直于棱 ，若 ， ， ， ，则平面 与平面 的夹角
为 ．
18．（2024•通州区模拟）如图，几何体是以正方形 的一边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转
6形成的面所围成的几何体，点 是圆弧 的中点，点 是圆弧 上的动点， ，给出下列四
个结论：
①不存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③不存在点 ，使得点 到平面 的距离大于 ；
④存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．其中所有正确结论的序号是 ．
19．（2024•重庆模拟）如图，在正四棱柱 中， ， ， 为 的中点，
则 中点到平面 的距离为 ．
20．（2024•博白县模拟）如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得从 ，
到库底与水坝的交线 的距离分别为 ， ．又测得 的长为 ， 的长为
，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 ．
7四．解答题（共5小题）
21．（2024•天心区校级模拟）如图，圆柱的轴截面 是正方形，点 在底面圆周上， ，
为垂足．
（1）求证： ．
（2）当直线 与平面 所成角的正切值为2时．
①求平面 与平面 夹角的余弦值；
②求点 到平面 的距离．
22．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
23．（2024•抚州模拟）已知四棱锥 的底面是一个梯形， ． ，
， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
824．（2024•天津）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面 ，
，其中 ， ． 是 的中点， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
25．（2024•保定三模）如图，在三棱柱 中， ，四边形 为菱形， ，
．
（1）证明： ．
（2）已知平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
92025年菁优高考数学解密之空间向量的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•怀仁市校级模拟）正方体 中， 为正方形 内一点（不含边界），记
为正方形 的中心，直线 ， ， ， 与平面 所成角分别为 ， ， ， ．若
， ，则点 在
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
【答案】
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】空间角；空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】作出示意图形，根据 证出点 在平面 内的射影 在线段 上，然后根据
证出 ，推导出 ，进而得到本题答案．
【解答】解：过点 作 平面 于 ，连接 、 ，
则 为 与平面 所成角， 为 与平面 所成角，
因为 ，所以 ，可得 ，
结合 ， 为公共边，可得△ △ ，点 在 的平分线上，
10即 在平面 内的射影 在正方形 的对角线 上，
因为 、 分别是 、 在平面 内的射影，
所以 为 与平面 所成角， 为 与平面 所成角，
结合 ，得 ，可得 ，
由 ，可得 ，所以点 在线段 （不含 点）上运动．
故选： ．
【点评】本题主要考查正方体的结构特征、直线与平面所成角的定义与求法等知识，考查了图形的理解
能力，属于中档题．
2．（2024•南昌模拟）在空间中，“经过点 ， ， ，法向量为 ， ， 的平面的方程
（即平面上任意一点的坐标 ， ， 满足的关系式）为： ”．用此
方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结果为 和 ，则这两平面所成角的余
弦值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【专题】数学运算；转化思想；空间角；向量法
【分析】根据题意，由两平面的方程，得到两平面的法向量，由法向量夹角公式即可求得结论．
【解答】解：由题意，平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
11则两平面所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查二面角的概念和求法，考查空间向量数量积运算，属基础题．
3．（2024•朝阳区一模）在棱长为1的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 ．则下列说法正确的是
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
【答案】
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角
【专题】立体几何；综合法；数学运算；整体思想
【分析】取 的中点 ，连接 ，可求得 ，可知不存在点 ，使得直线 与直线
相交，进而可判断 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立
空间直角坐标系，利用空间向量知识可判断 ，根据正方体的结构特征可判断 ．
【解答】解：连接 ， ，所以 ，取 的中点 ，连接 ，
所以 ，点 到线段 的最短距离大于1，所以不存在点 ，使得直线 与直线 相
12交，
故 不正确；
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，0， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，1， ，
所以点 到平面 的距离为 ，而 ，所以不存在点 ，使得直线
平面 ，故 不正确；
因 为 ， 所 以 平 面 ， 连 接 交 于 点 ， 所 以 为 的 中 点 ，
，
所以 为直线 与平面 所成角，
因为 ，在 中， ，
所以 ，因为 △ 与 全等，所以 ，故 正确；
延长 交 的延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接
， ， ，
13则 ， ， ，平面 被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为 ，
所以截面面积为 ，故 不正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求直线与平面所成的角，考查了正方体的结
构特征，属于中档题．
4．（2024•安庆二模）如图，在长方体 中， ，点 是棱 上任意一
点（端点除外），则
A．不存在点 ，使得
14B．空间中与三条直线 ， ， 都相交的直线有且只有1条
C．过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有且只有1条
D．过点 与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条
【答案】
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角
【专题】逻辑推理；数形结合；综合法；立体几何
【分析】当 为 的中点时判断 ；作图判断 ；利用角平分面的特征判断 ；建立空间直角坐标系，
分析判断 ．
【解答】解：对于 ，当 为 的中点时，连接 ，则 ，即有 ，
而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，因此 平面 ，而 平面 ，则 ，
故 错误；
对于 ，连接 ， ， ，平面 与直线 交于 ，点 在线段 上，不含
端点，
则直线 与直线 相交，同理直线 与直线 相交，因此直线 、 分别与三条直线 ，
， 都相交，故 错误；
对于 ， 平面 ，而 平面 ，则 ，又 ，于是 是二面角
的平面角，且 ，
显然 的平分线与平面 和平面 所成角都等于 ，过点 与此直线平行的直线符合要求，
这样的直线只有1条；
半平面 与半平面 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面 和平面 所成角都等
于 ，
15在此角平分面内过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有2条，
因此过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有3条，故 错误；
对于 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
直线 ， ， 的方向向量分别为 ，0， ， ，1， ， ，0， ，
设过点 的直线 方向向量为 ，由直线 分别与直线 ， ， 所成角都相等，
得 ，于是 ，
不妨令 ，有 ，1， 或 ，1， 或 ， ， 或 ，
显然使得 成立的向量 有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，
所以过点 与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，直线与平面所成角，属于中档题．
165．（2024•回忆版）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面 所
成角的正切值为
A． B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】数学运算；综合法；数学建模；空间角；转化思想
【分析】由正三棱台的体积公式计算出棱台的高 ，由台体的性质结合线面角的定义求解即可．
【解答】解：设棱台的高为 ，三条侧棱延长后交于一点 ，
则由 得： 到上底面 的距离为 ， 到下底面 的距离为 ，
所以 与平面 所成角即为 与平面 所成角 ，
又 ， ，
所以 ，
解得 ，
因为上底面中心 到顶点 的距离为 ，
17所以 与平面 所成角的正切值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查台体的体积公式，空间中直线与平面所成角的求解，属于中档题．
6．（2024•新华区校级一模）在正方体 的棱长为2， 为线段 上的动点，则点 到
平面 距离的最小值为
A．1 B． C． D．2
【答案】
【考点】空间中点到平面的距离
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算；逻辑推理
【分析】作出图形，利用等体积法，求解即可得出答案．
【解答】解：作出图形，如图所示：
由题意得 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
由图形得当 与 重合时， 最大，最大为 ，此时 最小，为 ．
故选： ．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7．（2024•黄浦区校级三模）如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线
与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹长度为
18A． B． C． D．
【答案】
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；空间角
【分析】由题意易得点 的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，进而求解即可．
【解答】解：若直线 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交
轨，
在平面 内，点 的轨迹为对角线 （除掉 点，不影响）；
在平面 内，点 的轨迹为对角线 （除掉 点，不影响）；
在平面 内是以点 为圆心2为半径的 圆弧，如图，
故点 的轨迹长度为 ．
故选： ．
【点评】本题考查轨迹的长度的计算，属中档题．
8．（2024•李沧区校级一模）已知某圆锥的侧面积为 ，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所
成的角为
19A． B． C． D．
【答案】
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】空间角；数学运算；转化思想；综合法
【分析】设出相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得 ，再结合线面夹角运算求解．
【解答】解：设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，高为 ，
由题意可得： ，解得 ，
设该圆锥的母线与底面所成的角为 ，则 ，
可得 ，所以该圆锥的母线与底面所成的角为 ．
故选： ．
【点评】本题考查圆锥的性质及直线与平面所成角的求法，属中档题．
9．（2024•濮阳模拟）如图，将绘有函数 部分图像的纸片沿 轴折
成直二面角，此时 ， 之间的距离为 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正弦函数的图象；几何法求解二面角及两平面的夹角
20【专题】转化思想；转化法；数学运算；立体几何
【分析】根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可．
【解答】解：如图，因为 的周期为 ，
所以 ，
，
所以折成直二面角时， ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 或 ，
又因为函数 在 轴右侧附近单调递减，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数图象应用，考查二面角的计算，属于中档题．
10．（2024•日照模拟）如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 ．
21四面体 以 所在的直线为轴旋转 弧度，且四面体 始终在水平放置的平面 的上方．如果
将四面体 在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ，则函数 的最小正周期与
取得最小值时平面 与平面 所成角分别为
A． ，0 B． C． D．
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【专题】转化法；转化思想；数学运算；立体几何
【分析】根据对称性得出 的周期；取 中点 ，可得 ， 到 的距离为 ，且直线
与平面 所成的角为 ， 面 ，面 面 ，设 在平面 的投影为 ，可得
，讨论一个周期内的情形，当 ， 时， ，则 ；当 ，
时， ，求出 及此时 与 的关系，即可求出此时平面 与平面 所
成角．
【解答】解：设过 且平行于平面 的平面为 ，
由题意知，四面体 在平面 的上方时和下方时完全对称，故函数 的周期为 ，
取 中点 ，连接 、 ，如图，
22， ， ， ，
， ， ， ，
则 ，而 ，故 ， ，
到 的距离为 ．
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ，
则 为直线 与平面 所成的角，又 ，
直线 与平面 所成的角为 ，
， ， 为 中点，
， ，又 ， ， 在平面内，则 面 ，
又 面 ，则 ，
， ， ， ， 在平面内，则 面 ，
又 面 ，则面 面 ，
设 在平面 的投影为 ，可得 ，
下面讨论一个周期内的情形：
当 时，如图，
23，
， ，
则 ，
故 ，
当 时，如图，
到 的距离为 ， ，当 时等号成立，
，即 ，
综上所述， ，
此时 ，又直线 与平面 所成的角为 ，
平面 与平面 所成的角为 ．
故选： ．
24【点评】本题考查立体几何的综合应用，属于难题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•玄武区三模）已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则
A．
B．
C． 与 为相交直线或异面直线
D． 在 向量上的投影向量为
【答案】
【考点】平面的法向量；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【专题】空间向量及应用；定义法；逻辑推理；转化思想
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于 ，因为 ，0， ， ， ， ，且 ，所以 ，
或 ，选项 错误；
对于 ，因为 ， ，计算 ，所以 ，平面 ，选
项 正确；
对于 ，因为 ， ， 与 不共线，所以直线 与 相交或异面，选项 正确；
对于 ， 在 向量上的投影向量为 ，1， ， ， ，选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了利用空间向量研究直线与平面之间的位置关系应用问题，是基础题．
12．（2024•全国模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A． 与 是异面直线
B．存在点 ，使得 ，且 平面
25C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【专题】转化思想；数学运算；空间向量及应用；综合法
【分析】建立空间直角坐标系，通过向量的关系逐项判断各个选项．
【解答】解： 选项，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ，
，0， ， ，0， ， ，2， ，
则 ， ，由于 ，故 与 平行， 错误；
选项，设 ， ， ，因为 ，所以 ， ， ， ， ，即 ，
解得 ， ， ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，则 ，因为 ，故 ，
平面 ，故存在点 ，使得 ，且 平面 ， 正确；
26选项，平面 的法向量为 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 与平面 所成角的余弦值为 ， 正确；
选项，设平面 的法向量为 ，则 ，令
，则 ， ，故 ，
则点 到平面 的距离为 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查点到面的距离，考查线面的位置关系，属于中档题．
13．（2024•南关区校级模拟）如图，在正三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，
，则下列说法正确的是
27A．若 ，则异面直线 和 所成的角的余弦值为
B．若 ，则点 到平面 的距离为
C．存在 ，使得 平面
D．若三棱柱 存在内切球，则
【答案】
【考点】直线与平面垂直；异面直线及其所成的角；空间中点到平面的距离
【专题】转化思想；数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；空间角
【分析】根据题设条件，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量夹角坐标公式判断 ；利
用点到平面的距离公式判断 ；利用向量数量积公式判断 ；利用三棱柱内切球特征求出其半径，判断
．
【解答】解：过点 作 的平行线 ，交 于点 ，则 平面 ，
， 分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，0， ， ，0， ，
28对于 ， ， ，0， ， ， ，
则 ， ， ，0， ，
， ，
异面直线 和 所成角的余弦值为 ，故 正确；
对于 ，依题意 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，0， ，
，0， ，
点 到平面 的距离为 ，故 正确；
对于 ，设 ，则 ， ， ， ，
由 ，知 与 不垂直，故不存在 ，使得 平面 ，故 错误；
对于 ，若三棱柱 存在内切球，不妨设其半径为 ，
则 ，且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆，
，解得 ， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查异面直线所成角、点到平面的距离、线面垂直、三棱柱内切球等基础知识，考查运算
求解能力，是中档题．
2914．（2024•宁化县校级一模）已知函数 的部分图象如图1所示， 、
分别为图象的最高点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ，点 为该部分图象与 轴的交点．
将绘有该图象的纸片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时 ，则下列四个结论正确的有
A．
B．
C．图2中，
D．图2中， 是△ 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则 表示的区域的
面积大于
【答案】
【考点】二面角的平面角及求法；正弦函数的图象
【专题】数学运算；综合法；立体几何；对应思想
【分析】在图2中，以点 为坐标原点， 、 的方向分别为 、 轴的正方向建立空间直角坐标
系 ，根据已知条件求出 的值，即可判断 ；结合 的取值范围求出 的值，可判断 ；利用
空间向量数量积的坐标运算可判断 ；求出 ，结合扇形的面积公式可判断 ．
【解答】解：函数 的最小正周期为 ，
在图2中，以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
30对于 ， ，设点 ， ， ，则点 ， ， 、 ， ， ，
，因为 ，解得 ，故 正确；
所以 ，则 ，可得 ，
又因为函数 在 附近单调递减，且 ，所以， ，故 错误；
对于 ，因为 ，可得 ，
又因为点 是函数 的图象在 轴左侧距离 轴最近的最高点，则 ，可得 ，
所以 ，
因为点 是函数 在 轴右侧的第一个对称中心，所以， ，可得 ，
翻折后，则有 、 ， 、 、
所以 ， ，
所以在图2中， ，故 正确；
对于 ，在图2中，设点 ， ， ， ，
可得 ，
， ， ，
易知 为锐角，则 ，
31所以，区域 是坐标平面 内以点 为圆心，半径为 ，且圆心角为 的扇形及其内部，
故区域 的面积 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了立体几何与三角函数的综合应用，属于难题．
15．（2024•辽宁模拟）如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ，
的动点，则下列结论正确的是
A． 与底面所成角为
B．圆锥 的表面积为
C． 的取值范围是
D．若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；二面角的平面角及求法
【专题】数学运算；综合法；立体几何；数形结合
【分析】由线面角定义，可得 即为 与底面所成角，求其大小即可判定 ；由圆锥的表面积公式
即可判断 ；求出 的范围，再利用 ，求范围即可判断 ；取 的中点 ，证
得 面 ，则 为二面角 的平面角，求解可判断 ．
【解答】解：如图，在 中， ，半径 ，
对于 ，由线面角定义， 即为 与底面所成角，
满足 ，即 ，故 正确；
对于 ，圆锥 的侧面积为： ，底面积为 ，
32故圆锥表面积为 ，故 错误；
对于 ，当点 与点 重合时， 为最小角，
当点 与点 重合时， ，达到最大值，
又因为 与 ， 不重合，则 ，
又 ，可得 ，故 正确；
对于 ，取 的中点 ，连接 ， ，
又 为 的中点，则 ，
， ，
面 ， 面 ， ，
， 面 ，
面 ， ，故 为二面角 的平面角，
点 为弧 的中点， ， ，
则 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查线面角，二面角，空间几何体表面积等知识，属难题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•南昌模拟）如图，在长方体 中， ， ，点 为 的中点，
则点 到平面 的距离为 ．
33【考点】点、线、面间的距离计算
【专题】计算题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离
【分析】以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 到平面 的距离．
【解答】解： 在长方体 中， ， ，
点 为 的中点，
以 为原点，建立空间直角坐标系，如图
，2， ， ，2， ，1， ，
，0， ，
，1， ， ，1， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，
取 ，得 ，1， ，
点 到平面 的距离：
．
故答案为： ．
34【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
17．（2024•昌黎县校级模拟）二面角 的棱上有两个点 、 ，线段 与 分别在这个二面
角的两个面内，并且垂直于棱 ，若 ， ， ， ，则平面 与平面 的夹角
为 ．
【答案】
【考点】二面角的平面角及求法
【专题】综合法；空间角；计算题；转化思想；数学运算
【分析】先设平面 与平面 的夹角为 ，因为 ， ，所以 ，根
据空间向量得 ，两边平方代入数值即可求出答案．
【解答】解：设平面 与平面 的夹角为 ，
因为 ， ，
所以 ，
由题意得 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即平面 与平面 的夹角为 ．
35故答案为： ．
【点评】本题考查了二面角的夹角计算，属于中档题．
18．（2024•通州区模拟）如图，几何体是以正方形 的一边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转
形成的面所围成的几何体，点 是圆弧 的中点，点 是圆弧 上的动点， ，给出下列四
个结论：
①不存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③不存在点 ，使得点 到平面 的距离大于 ；
④存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【答案】②③④．
【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【专题】综合法；直观想象；空间向量及应用；整体思想
【分析】将图形补全为一个正方体 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分
别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误
【解答】解：由题意可将图形补全为一个正方体 ，如图所示：
以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ，0， 、 ，0， 、 ，0， 、 ，0， 、 ，2， 、 ，2， ，
，
设点 ， ， ，其中 ，
对于①， ， ，设 ， ， 平面 ，
36则 ，
取 ，则 ， ，可得 ， ， ，
设 为平面 的法向量，
， ，
则 ，
取 ，则 ， ，可得 ， ， ，
若平面 平面 ，则 ，解得 ，
所以存在 ，使得平面 平面 ，故①错误；
对于②， ， ， ，若 平面 ，则 ，
即 ，即 ， ，故 ，0， ，故存在点 ，使得 平面
，故②正确；
对于③， ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以不存在点 ，使得点 到平面 的距离大于 ，故③正确；
37对于④， ， ， ， ，则直线 与平面 的所成角为 ，
所以
， ，
整理可得 ，
因 为 函 数 在 时 的 图 象 是 连 续 的 ， 且 ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为 ，④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了空间向量在平行及垂直关系的应用，还考查了空间向量在空间角及空间距离求
解中的应用，属于中档题．
19．（2024•重庆模拟）如图，在正四棱柱 中， ， ， 为 的中点，
则 中点到平面 的距离为 ．
38【答案】 ．
【考点】点、线、面间的距离计算
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算
【分析】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ，
所以 ，1， ， ，0， ，
设 中点为 ，则 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，
39取 ，则 ， ，所以 ，0， ，
所以 中点到平面 的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查空间中点到面距离的求法，熟练掌握利用向量法求点到面的距离是解题的关键，考查
空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（2024•博白县模拟）如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得从 ，
到库底与水坝的交线 的距离分别为 ， ．又测得 的长为 ， 的长为
，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 ．
【答案】 ．
【考点】二面角的平面角及求法
【专题】立体几何；转化思想；数学运算；转化法
【分析】作 且 ，连接 ，可得 是所求二面角的平面角，进而求得 ， ，
再利用余弦定理可求得 ，可求得 ．
【解答】解：如图，作 且 ，连接 ，又 ，则四边形 是矩形，
．又 ，所以 是所求二面角的平面角，
因为 ， ，则 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
40所以 ， ，
所以 ， ，
由题可知 ，
则 ，
又 是三角形的内角，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查二面角的计算，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•天心区校级模拟）如图，圆柱的轴截面 是正方形，点 在底面圆周上， ，
为垂足．
（1）求证： ．
（2）当直线 与平面 所成角的正切值为2时．
①求平面 与平面 夹角的余弦值；
②求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解答；（2）① ；② ．
【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【专题】向量法；空间向量及应用；数形结合；数学运算；立体几何；计算题
【分析】（1）先证明 平面 ，证明 ，进而证明 平面 ，根据线面垂直的性质
定理可证明结论；
（2）①建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出相关向量的坐标，求出平面 的法向量，
利用空间向量的夹角公式即可求出答案；②利用空间向量的距离公式求出答案即可．
【解答】解：（1）证明：由题意可知 底面 ， 平面 ，故 ，
41又 ， ， ， 平面 ，
故 平面 ，
由 平面 ，得 ，
又 ， ， ， 平面 ，
故 平面 ，由 平面 ，可得 ；
（2）①由题意，以 为原点，
分别以 ， 所在直线为 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
并设 的长度为2，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
因为 平面 ，所以 就是直线 与平面 所成的角，
所以 ，所以 ，
所以
由以上可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，
取 ，得 ，
又 ，0， 是平面 的一个法向量，设平面 与平面 夹角的大小为 ，
所以 ，
42所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
②因为 ，
所以点 到平面 的距离 ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，考查了二面角以及点到面距离的求法，属于中档题．
22．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】 证明过程请见解答；（Ⅱ） ．
【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法
【专题】空间位置关系与距离；逻辑推理；向量法；空间角；转化思想；数学运算
【分析】 连接 ，设 ，连接 ，由中位线的性质知 ，再由线面平行的判定
定理，即可得证；
（Ⅱ）先证 ， ， 两两相互垂直，再以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面
角，即可得解．
【解答】 证明：连接 ，设 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，
43所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）解：因为 ， ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，
所以 ， ， 两两相互垂直，
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，2， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，所以 ，1， ，
因为 平面 ，
44所以 是平面 的一个法向量，
所以 ，
由题意知，二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定、性质定理，
以及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23．（2024•抚州模拟）已知四棱锥 的底面是一个梯形， ． ，
， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法
【专题】空间角；向量法；转化思想；数学运算
【分析】（1）分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，结合等腰三角形的性质与勾股定
理，可证 ， ，从而知 平面 ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
【解答】（1）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
在直角梯形 中， ， ，
因为 ，
所以 ，且 ，
又 ， 是 的中点，
45所以 ，
所以 ，即 ，
又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，4， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ， ， ， ，4， ， ，4， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，
取 ，则 ， ，所以 ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，
取 ，则 ， ，所以 ，1， ，
所以 ， ，
由图可知，二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 ．
46【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是
解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
24．（2024•天津）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面 ，
，其中 ， ． 是 的中点， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解答；
（2） ；
（3） ．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；点、线、面间的距离计算
【专题】数学运算；转化思想；综合法；逻辑推理；空间位置关系与距离；空间角
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，易证四边形 是平行四边形，所以 ，由
线面平行的判定定理证明即可；
（2）以 为原点建系，利用向量法分别求出平面 与平面 的法向量，利用向量的夹角公式，
求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（3）由（2）得 及平面 的法向量，利用向量法即可求点 到平面 的距离．
47【解答】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，得 ，且 ，
由 是 的中点，得 ，且 ，
则 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．
（2）解：以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，1， ，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，则 ，3， ，
设平面 的法向量为 ，
，则 ，1， ，
48所以 ， ，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
（3）解：因为 ，平面 的法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
【点评】本题考查直线与平面平行、点到平面的距离、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向
量解决立体几何问题的方法，属于中档题．
25．（2024•保定三模）如图，在三棱柱 中， ，四边形 为菱形， ，
．
（1）证明： ．
（2）已知平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解答；（2） ．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直
【专题】数学运算；转化思想；转化法；立体几何
【分析】（1）通过线面、面面的位置关系证平行四边形 为菱形即可；
（2）先证 平面 ，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解．
【解答】解：（1）证明：设 为 的中点，连接 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
49因为四边形 为菱形， ，
所以 为等边三角形，则 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，所以四边形 为菱形，即 ．
（2）因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
，
所以 平面 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 ，0， ， ， ， ， ， ， ，1， ，
可得 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，可得 ，
50设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，
令 ，则 ， ，
可得 ，
，
故二面角 的正弦值为 ．
【点评】本题考查线面垂直与空间向量的应用，属于中档题．
51考点卡片
1．正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
（2k ﹣ ，2k ）
（2k ﹣ ，2k + ） （k Z）； （k ﹣ ，k + ）
π π π
π
（k Z）；
π 递减区间： π
（k Z）
π
∈
递减 ∈ 区间： （2k ，2k + ） ∈
（k Z）
π π π
（2k + ，2k + ）
∈
（k Z）
π π
最 值 ∈ x＝2k （k Z）时，y max ＝ 无最值
x＝2k + （k Z）时，y 1；
max
π ∈
＝1；
x＝2k + （k Z） 时，
π ∈
y ＝﹣1
π πmin ∈
x＝2k ﹣ （k Z）时，
y ＝﹣1
π min ∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0）
（k Z） 对称中心：（k + ，0） 对称中心：（ ，0）
π
（k Z） （k Z）
∈ π
对称轴：x＝k + ，k Z 对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
∈ ∈
周期 2 π ∈ 2 π ∈
2．旋转体（圆柱、圆锥、圆π台）的体积 π π
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该
定直线
52叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
53圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几
何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
54②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
3．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
554．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a ，b ，a∥b，则a∥ ．
2⊄、α直线⊂与α平面平行的判定α定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直
线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥ ，a ， ∩ ＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性α质定⊂理β 的α实质β 是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平
行． ⇒
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论⇒是：a∥ ，若b ，则b与a的关系是：异面或平行．即平面 内的直线分成两大类，一类与
a平行有无数条，另α一类与⊂aα异面，也有无数条． α
5．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ ，
α α α
56其中l叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直α的判定： α
（1）定义法：对于直线l和平面 ，l⊥ l垂直于 内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直α线中的α⇔一条垂直于α一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥ ，b⊥ a∥b
②由定义可知：a⊥ ，b a⊥b． α α⇒
6．平面与平面垂直 α ⊂α⇒
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
7．空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量 以及与 共
线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的
“方向”．如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，记作 ⊥ ，如
α α
57果 ⊥ ，那么向量 叫做平面 的法向量．注意：
α α
①法向量一定是非零向量；
②一个平面 有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
α
③向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 • ＝0．
④一个平面 的法向量也是所有与平面 平行的平面的法向量．
4、法向量的求α 法： α
（1）设：设出平面法向量的坐标为 ＝（u，v，w）；
（2）列：根据 ＝0， ＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量 的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M （x ，y ，z ）， ＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任
0 0 0 0
意一点，则 ＝（x﹣x ，y﹣y ，z﹣z ），且 ∥ ．由两向量平行的充要条件可知
0 0 0
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子
为零）．
若直线L的方程为 ，平面 的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面 平行的
π π
充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面 垂直得充要条件是
π
2、空间直线的参数方程：
在直线方程 中，记其比值为t，则有
58（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的
点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
8．平面的法向量
【知识点的认识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量 以及与 共
线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的
“方向”．如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，记作 ⊥ ，如
α α
果 ⊥ ，那么向量 叫做平面 的法向量．注意：
α α
①法向量一定是非零向量；
②一个平面 有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
α
③向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 • ＝0．
④一个平面 的法向量也是所有与平面 平行的平面的法向量．
4、法向量的求α 法： α
（1）设：设出平面法向量的坐标为 ＝（u，v，w）；
（2）列：根据 ＝0， ＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量 的坐标．
9．直线与平面所成的角
59【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下
的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线
是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什
么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平
面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的
大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为
θ
60，则有sin ＝|cos |＝ ．
φ 10．几何法求θ 解直线φ与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．
【解题方法点拨】
具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角．
11．空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，
θ φ
61则有sin ＝|cos |＝ ．
θ φ
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．
12．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂
直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位
62于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面
的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
α β θ
（1）当0≤＜ ， ＞≤ ， ＝＜ ， ＞，
θ
此时cos ＝cos＜ ， ＞＝ ．
θ
（2）当 ＜＜ ， ＞＜ 时， ＝ ﹣＜ ， ＞，
π θ π
cos ＝﹣cos＜ ， ＞＝﹣ ．
13．θ几何法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
α β α β
63OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
【解题方法点拨】
求二面角的平面角：在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂
直于棱l的射线OA和OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． α β
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角．
14．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
α β θ
64（1）当0≤＜ ， ＞≤ ， ＝＜ ， ＞，
θ
此时cos ＝cos＜ ， ＞＝ ．
θ
（2）当 ＜＜ ， ＞＜ 时， ＝ ﹣＜ ， ＞，
π θ π
cos ＝﹣cos＜ ， ＞＝﹣ ．
θ
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
15．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
656616．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x ，y ，z ）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离
1 1 1
为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
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