文档内容
2026年菁优中考数学解密之图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2025•南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错
误的是（ ）
DH CH GE CG AF HG FH BF
A． = B． = C． = D． =
FH BH DF CB CE CG AG FA
2．（2025•余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b=√5，c＝2√3，d=√15
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a=√2，b＝3，c＝2，d=√3
3．（2025•芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的
是（ ）
AB AC AB BC
A． = B．∠B＝∠D C． = D．∠C＝∠AED
AD AE AD DE
4．（2025•广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，
其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则
CD的长是（ ）
第1页（共45页）100 25
A．30cm B． cm C．20cm D． cm
3 4
5．（2025•灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年
前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为 10cm，像距为
18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
10 13
A． B．4 C． D．5
3 3
6．（2025•威海一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接CE，DF，CE与
▱
EH
DF交于点G，连接BG，过点D作DM∥BG，分别交CE、BC于点H、M，则 的值为（ ）
HC
1 2 5 3
A． B． C． D．
2 3 8 4
7．（2025•铁东区三模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝
30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
第2页（共45页）A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
8．（2025•天津校级模拟）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，
GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
AB AG DF DG FG EG AE CF
A． = B． = C． = D． =
AE AD CF AD AC BD BE DF
9．（2025•云岩区校级模拟）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色
部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025•萧山区二模）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位
1
似中心，相似比为 ，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
2
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
第3页（共45页）C．（﹣4，8） D．（﹣4，8）或（4，﹣8）
二．填空题（共10小题）
11．（2025•观山湖区校级一模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水
面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，
且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为 cm．
12．（2025•安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么
AF
= ．
CF
13．（2025•苍溪县模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如
果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ．
14．（2025•光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢
条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝
60cm，则AF的长度为 cm．
第4页（共45页）15．（2025•汕头模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点
E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为 ．
16．（2025•徐汇区模拟）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白
银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的
A5 矩形纸片，且 A4、A5 这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为
．
17．（2025•徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、
AB、BC上，如果AE＝2BE，且S ＝36．那么正方形CDEF的面积为 ．
△ABC
4
18．（2025•徐汇区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB= ，E是边AB上一点，将△BCE沿直线
5
AE
CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么 的值为 ．
EB
第5页（共45页）19．（2025•徐汇区模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝
GH
DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么 的值为 ．
HF
20．（2025•旌阳区二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之
美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若
A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•池州一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE，交对角线BD于点F，且AE
＝CE．
（1）若∠ADB＝35°，求∠DCE的度数；
（2）若EF＝1，CF＝4，求DE的长；
EF
（3）若DE＝DF，求 的值．
CF
22．（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园
南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
第6页（共45页）实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子
落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F
处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线
上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑
的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原
因（写出一条即可）．
23．（2025•威海一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安
装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分
别为DP、EQ，这两面墙间距DE＝3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁
DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边 DH紧贴着左侧院墙，DH＝2米．图3
是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离
AD＝2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC＝1.6m，AC＝0.8m．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙
EG落在地面上的影子是EF，EG＝1.2m．
第7页（共45页）（1）根据以上数据，求圆心O到地面的距离；
（2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端
G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）如图5，当遮阳棚边缘B的影子正好落在点D处时，求此时围墙的影长．
24．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，
点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a=√2时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a=√2时，求MN+ND的最小值．
25．（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点
G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
EF
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求 的值．
BC
第8页（共45页）第9页（共45页）2026年菁优中考数学解密之图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A B C D A B
一．选择题（共10小题）
1．（2025•南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错
误的是（ ）
DH CH GE CG AF HG FH BF
A． = B． = C． = D． =
FH BH DF CB CE CG AG FA
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
DH CH
∴ = ，
FH BH
故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∽△CDH，
GE CG
∴ = ，
DH CH
EG DH
∴ = ，
CG CH
∵AB∥CD，
第10页（共45页）CH DH
∴ = ，
CB DF
DH DF
∴ = ，
CH CB
GE DF
∴ = ，
CG CB
GE CG
∴ = ，
FD CB
故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
DE HG
∴ = ，
CE CG
AF HG
∴ = ，
CE CG
故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
FH BF
∴ = ，
AG FA
故本选项符合题目要求．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比
例式是解此题的关键．
2．（2025•余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b=√5，c＝2√3，d=√15
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a=√2，b＝3，c＝2，d=√3
【考点】比例线段．
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【答案】B
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得
第11页（共45页）出答案．
【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误；
B、2×√15=√5×2√3，四条线段成比例，故本选项正确；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误；
D、√2×3≠2×√3，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和
最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2025•芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的
是（ ）
AB AC AB BC
A． = B．∠B＝∠D C． = D．∠C＝∠AED
AD AE AD DE
【考点】相似三角形的判定．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角
形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果
两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．（2025•广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，
其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则
第12页（共45页）CD的长是（ ）
100 25
A．30cm B． cm C．20cm D． cm
3 4
【考点】相似三角形的判定与性质．
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【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算
即可求解．
【解答】解：根据题意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
CD 2
∴ = ，
AB 3
∵AB＝50cm，
2 100
∴CD= ×50= (cm)，
3 3
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
5．（2025•灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年
前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为 10cm，像距为
18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
第13页（共45页）10 13
A． B．4 C． D．5
3 3
【考点】相似三角形的应用．
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【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是
xcm，
10 x
由相似三角形的性质得 = ，
18 6
10
解得x= ，
3
10
即蜡烛火焰的高度是 cm，
3
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等
于相似比．
6．（2025•威海一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接CE，DF，CE与
▱
EH
DF交于点G，连接BG，过点D作DM∥BG，分别交CE、BC于点H、M，则 的值为（ ）
HC
1 2 5 3
A． B． C． D．
2 3 8 4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例．
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【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】延长DF交CB的延长线于点N，利用平行四边形的性质相似三角形的判定与性质得到BN＝
1 3
BC＝AD，再利用相似三角形的判定与性质得到 BM= BC，得到 CM＝BC﹣BM= BC，由
4 4
第14页（共45页）1
BC
EH DE 2 2
△DEH∽△MCH得到 = = = ，即可得出答案．
HC CM 3 3
BC
4
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
延长DF交CB的延长线于点N，如图，
∵F是AB的中点，
1 1
∴BF= AB= CD，
2 2
1
∴NB= NC，
2
∴BN＝BC＝AD，
∴NC＝2BC，
∵E是AD的中点，
1 1
∴DE= AD= BC，
2 2
AB∥CD，
∴△NBF∽△NCD，
NB BF
∴ = ，
NC CD
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△NCG
1
BC
∴DG DE 2 1，
= = =
NG NC 2BC 4
∵DM∥GB，
第15页（共45页）BM DG 1
∴ = =
BN NG 4
1 1
∴BM= BN= BC，
4 4
3
∴CM＝BC﹣BM= BC，
4
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△MCH，
1
BC
EH DE 2 2
∴ = = = ，
HC CM 3 3
BC
4
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练
掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2025•铁东区三模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝
30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【考点】平行线分线段成比例．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和
差求解即可．
【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，
AC BD
∴ = ，
CE DF
50 45
∴ = ，
30 DF
第16页（共45页）解得：DF＝27cm．
∴BF＝BD+DF＝72cm，
∴BF＝BD+DF＝72cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
8．（2025•天津校级模拟）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，
GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
AB AG DF DG FG EG AE CF
A． = B． = C． = D． =
AE AD CF AD AC BD BE DF
【考点】相似三角形的判定与性质．
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【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA；根据相似三角形的对应边成比例，
即可解答题目．
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
AE AG DG DF
∴ = ， = ，
AB AD DA DC
AE AG CF
∴ = = ．
BE DG DF
AE AG CF
∴结论一定正确的是 = = ．
BE DG DF
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9．（2025•云岩区校级模拟）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色
部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
第17页（共45页）A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
CD 2 AC
A、∵ = = ，∠C＝∠C，
AC 4 BC
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
AD 3 AB
B、∵ = ≠ ，
AB 6 AC
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
BD 4 AB
C、∵ = ≠ ，
AB 6 BC
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
BD 4 BC
D、∵ = ≠ ，
BC 8 AB
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
10．（2025•萧山区二模）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位
1
似中心，相似比为 ，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
2
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣4，8） D．（﹣4，8）或（4，﹣8）
第18页（共45页）【考点】位似变换；坐标与图形性质．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
1
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为 ，把△AOB缩小，点A的坐标为（﹣2，4），
2
1 1 1 1
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣2× ，4× ）或[﹣2×（- ），4×（- ）），即（﹣1，2）或（1，
2 2 2 2
﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比
为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•观山湖区校级一模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水
面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，
且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为 6.1 8 cm．
【考点】黄金分割．
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【专题】运算能力．
【答案】6.18．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
AC
≈0.618，
AB
因为AB＝10cm，
所以AC≈6.18（cm）．
故答案为：6.18．
第19页（共45页）【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12．（2025•安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么
AF 1
= ．
CF 2
【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．
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【专题】图形的相似；推理能力．
1
【答案】 ．
2
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中线，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中点，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2025•苍溪县模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如
4
果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ．
3
第20页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
4
【答案】 ．
3
【分析】由等边三角形的性质得出AB＝DC，∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的
AB AD
性质得出 = ，则可求出答案．
DC DE
【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
AB AD
∴ = ，
DC DE
∵BD：DC＝1：2，
BC 3
∴ = ，
CD 2
AB 3
∴ = ，
CD 2
3 2
∴ = ，
2 DE
4
∴DE= ．
3
4
故答案为： ．
3
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性
质是解题的关键．
第21页（共45页）14．（2025•光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢
条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝
60cm，则AF的长度为 1 5 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用矩形性质可以证明△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，然后利用相似
三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，矩形护栏ABCD中，AB＝60cm，
∴AB∥CD，
∴△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，
∴AE：EC＝AH：GC＝1：4，
∴AF：CD＝AE：CE＝1：4，
1
∴AF= CD＝15cm．
4
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运
用题目已知条件得出结论．
15．（2025•汕头模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点
10
E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为 ．
3
第22页（共45页）【考点】平行线分线段成比例．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
BE 2
【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到 = ，计算即可．
EC 1
【解答】解：过点D作DH∥AE交BC于H，
CH CD BE BF
∴ = ， = ，
HE DA EH FD
∵D是AC的中点，BF：FD＝4：1，BC＝10，
∴CD＝DA，BF＝4FD，
CH CD BE BF
∴ = =1， = =4，
HE DA EH FD
∴CH＝HE，BE＝4EH，
∴BE＝2CE，
∴10＝BC＝BE+CE＝2CE+CE，
10
∴CE= ，
3
10
即CE的长为 ．
3
10
故选： ．
3
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（2025•徐汇区模拟）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白
银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的
第23页（共45页）√2
A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
2
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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【专题】图形的相似；推理能力．
√2
【答案】 ．
2
【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
1
则对折后的矩形的长为y，宽为 x，
2
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
1
∴x：y＝y： x，
2
√2
解得y：x＝1：√2= ，
2
√2
∴这个“白银比”为 ．
2
√2
故答案为： ．
2
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．
17．（2025•徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、
AB、BC上，如果AE＝2BE，且S ＝36．那么正方形CDEF的面积为 1 6 ．
△ABC
【考点】平行线分线段成比例；三角形的面积；正方形的性质．
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【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
第24页（共45页）【答案】16．
【分析】设正方形CDEF的边长为x，得到CD＝CF＝EF＝DE＝x根据平行线分线段成比例定理得到
AD AE BF BE 1 1 3
= =2， = = ，求得AD＝2CD＝2x，BF= x，AC＝3x，BC= x，根据三角形的面积
CD BE CF AE 2 2 2
公式列方程得到CD＝4，于是得到正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，
∴CD＝CF＝EF＝DE＝x
∵DE∥BC，EF∥AC，
AD AE BF BE 1
∴ = =2， = = ，
CD BE CF AE 2
1
∴AD＝2CD＝2x，BF= x，
2
3
∴AC＝3x，BC= x，
2
∵S ＝36．
△ABC
1 1 3
∴ AC⋅BC= 3x• x＝36，
2 2 2
∴x＝4（负值舍去），
∴CD＝4，
∴正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线
段成比例定理是解题的关键．
4
18．（2025•徐汇区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB= ，E是边AB上一点，将△BCE沿直线
5
AE 8 2
CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么 的值为 或 ．
EB 5 5
第25页（共45页）【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
8 2
【答案】 或 ．
5 5
4
【分析】根据tanB= ，设AC＝4x，BC＝5x，运用勾股定理可得AB=√41x，分类讨论：如图所示，
5
将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，AB'∥BC，设AB，CB'交于点F，运用勾股定理可得AB
15x 3√41x
＝3x，由平行可证△AB'F∽△BCF，可得解得B'F= ，AF= ，再证△B'EF∽△AEB'，可得
8 8
15x
B'E 8 即可求解；将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于
=
AE 3x
点G，运用勾股定理可得 AB'＝3x，由折叠与平行的性质可得 BC＝B'C＝B'G，则 AG＝2x，再证
AE AG 2x 2
△AGE∽△BCE，得到 = = = 即可求解．
BE BC 5x 5
4
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanB= ，
5
AC 4
∴tanB= = ，
BC 5
设AC＝4x，BC＝5x，
∴AB=√AC2+BC2=√(4x) 2+(5x) 2=√41x，
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB′∥BC，设AB，CB'交于点F，
∴BC＝B'C＝5x，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
在Rt△AB'C中，AB'=√(B'C) 2-AC2=√(5x) 2-(4x) 2=3x，
∵AB'∥BC，
第26页（共45页）∴△AB'F∽△BCF，
AB' AF B'F 3
∴ = = = ，
BC BF CF 5
∵CF+B'F＝CB'＝5x，
∴CF＝5x﹣B'F，
B'F 3
∴ = ，
5x-B'F 5
15x
解得：B'F= ，
8
同理，AF+BF=AB=√41x，
∴BF=√41x-AF，
AF 3
∴ = ，
√41x-AF 5
3√41x
解得：AF= ，
8
∵折叠，
∴∠CBE＝∠CB'E，BE＝B'E，
∵AB'∥BC，
∴∠CBA＝∠B'AB，
∴∠EB'F＝∠EAB'，且∠B'EF＝∠AEB'，
∴△B'EF∽△AEB'，
15x
B'E B'F EF
∴ = = ，即B'E 8 ，
AE AB' EB' =
AE 3x
B'E 5
整理得， = ，
AE 8
∵B'E＝BE，
AE 8
∴ = ；
BE 5
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，
第27页（共45页）∴B'G∥BC，
∴∠G＝∠BCG，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
∵折叠，
∴∠BCG＝∠B'CG，BC＝B'C＝5x，
∴∠G＝∠B'CG，
∴B'C＝B'G＝5x，
在Rt△ACB'中，AB'=√B'C2-AC2=√(5x) 2-(4x) 2=3x，
∴AG＝B'G﹣AB'＝5x﹣3x＝2x，
∵AG∥BC，
∴△AGE∽△BCE，
AE AG 2x 2
∴ = = = ；
BE BC 5x 5
AE 8 2
综上所述， 的值为 或 ，
EB 5 5
8 2
故答案为： 或 ．
5 5
【点评】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三
角形的判定方法及性质是解题的关键．
19．（2025•徐汇区模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝
GH 7
DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么 的值为 ．
HF 4
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
第28页（共45页）7
【答案】 ．
4
【分析】延长DA、CE交于点P，设AE＝m，则AE＝BF＝DG＝m，由AE：BE＝1：2，得BE＝2AE＝
2m，由正方形的性质得AD＝BC＝AB＝3m，所以AG＝CF＝2m，由AP∥BC，证明△APE∽△BCE，由
AP AE 1 1 3 7 GH PG 7
= = ，所以AP= BC= m，则PG= m，再证明△PGH∽△CFH，则 = = ，于是得
BC BE 2 2 2 2 HF CF 4
到问题的答案．
【解答】解：延长DA、CE交于点P，设AE＝m，
∵AE＝BF＝DG，AE：BE＝1：2，
∴AE＝BF＝DG＝m，BE＝2AE＝2m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝m+2m＝3m，AD∥BC，
∴AG＝CF＝3m﹣m＝2m，
∵AP∥BC，
∴△APE∽△BCE，
AP AE 1
∴ = = ，
BC BE 2
1 1 3
∴AP= BC= ×3m= m，
2 2 2
3 7
∴PG＝2m+ m= m，
2 2
∵PG∥CF，
∴△PGH∽△CFH，
7
m
∴GH PG 2 7，
= = =
HF CF 2m 4
7
故答案为： ．
4
第29页（共45页）【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的
关键．
20．（2025•旌阳区二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之
美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若
A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 4√2π ．
【考点】位似变换；正方形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观．
【答案】4√2π．
【分析】由题意得正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′
的面积比为1：4，可得正方形A′B′C′D′的面积为16，则可得正方形A′B′C′D′的边长为4，进而可得四边
形A′B′C′D′的外接圆的直径为4√2，从而可得答案．
【解答】解：∵A′B′：AB＝2：1，
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为1：4，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为16，
∴正方形A′B′C′D′的边长为4．
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的直径为4√2，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为4√2π．
故答案为：4√2π．
【点评】本题考查位似变换、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质、正方形的性
质等相关知识点是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•池州一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE，交对角线BD于点F，且AE
＝CE．
（1）若∠ADB＝35°，求∠DCE的度数；
第30页（共45页）（2）若EF＝1，CF＝4，求DE的长；
EF
（3）若DE＝DF，求 的值．
CF
【考点】相似形综合题．
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【专题】三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，连接AC，交对角线BD于点O，根据矩形的性质得到OA＝OD，∠ADC＝90°，
则∠CAD＝∠ADB＝35°，由等边对等角得到∠ECA＝∠EAC＝35°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝
70°，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
EF ED
（2）根据矩形的性质得到△EFD∽△CFB， = ，则BC＝4DE，设DE＝x，则BC＝AD＝4x，AE
CF BC
＝CE＝EF+CF＝1+4＝5，所以DE＝AD﹣AE＝4x﹣5，由此列式求解即可；
（3）设DE＝DF＝a，CE＝AE＝b，由矩形的性质，结合题意得到∠DEF＝∠DFE＝∠BFC＝∠BCF，
BC＝BF＝AD＝a+b，BD＝BF+DF＝BF+DE＝a+b+a＝2a+b，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2﹣BC2
＝CD2，在Rt△CDE中，由勾股定理得EC2﹣ED2＝CD2，整理得b2﹣2ab﹣4a2＝0，所以b=(1±√5)a，
即 BE=a+b=(2+√5)a， 由 （ 2 ） 知 △ EFD∽△CFB ， 可 得
EF DF a a 1
= = = = =√5-2，由此即可求解．
CF BF a+b (2+√5)a √5+2
【解答】解：（1）如图，连接AC，交对角线BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADB＝35°，
∵CE＝AE，
∴∠ECA＝∠EAC＝35°，
第31页（共45页）∴∠DEC＝70°，
∴∠DCE＝90°﹣∠DEC＝90°﹣70°＝20°．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠FCB，∠EDF＝∠FBC，
∴△EFD∽△CFB，
EF ED
∴ = ，
CF BC
∵EF＝1，CF＝4，
ED EF 1
∴ = = ，即BC＝4DE，
BC CF 4
设DE＝x，则BC＝AD＝4x，
∵AE＝CE＝EF+CF＝1+4＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝4x﹣5，
即x＝4x﹣5，
5
解得x= ，
3
5
∴DE的长为 ．
3
（3）设CE＝AE＝b，DE＝DF＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴∠DEF＝∠FCB，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠BFC＝∠BCF，
∴BD＝BF+DF＝BF+DE＝a+b+a＝2a+b，BC＝BF＝AD＝a+b，
在Rt△BCD中，BD2﹣BC2＝CD2，
在Rt△CDE中，EC2﹣ED2＝CD2，
∴BD2﹣BC2＝EC2﹣ED2，即（2a+b）2﹣（a+b）2＝b2﹣a2，
整理得b2﹣2ab﹣4a2＝0，
∴b=(1±√5)a，
第32页（共45页）∵a＞0，b＞0，
∴b=(1+√5)a，
∴BE=a+b=(2+√5)a，
由（2）知△EFD∽△CFB，
EF DF a a 1
∴
= = = = =√5-2．
CF BF a+b (2+√5)a √5+2
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是
解题的关键．
22．（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园
南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子
落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F
处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线
上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑
的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原
因（写出一条即可）．
【考点】相似三角形的应用．
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【专题】图形的相似；应用意识．
第33页（共45页）【答案】（1）见解析；
（2）纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）小红的结果误差较大，理由见解析．
AC DE
【分析】（1）根据平行投影的性质可得 = ，即可证明结论；
CD DF
（2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设AB＝xm，证明△NEH﹣△NAB得
EH NH
到 = ，求出x的值即可；
AB NB
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E
的影子落在点F处，
AC DE
∴ = ，
CD DF
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，
∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH∥AB，
第34页（共45页）∴△NEH∽△NAB，
EH NH
∴ = ，
AB NB
0.9 1
∴ = ，
x 2.2+x
解得：x＝19.8，
经检验，x＝19.8是原方程的解，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度
为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影
响计算结果．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性
质是解题关键．
23．（2025•威海一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安
装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分
别为DP、EQ，这两面墙间距DE＝3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁
DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边 DH紧贴着左侧院墙，DH＝2米．图3
是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离
AD＝2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC＝1.6m，AC＝0.8m．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙
EG落在地面上的影子是EF，EG＝1.2m．
第35页（共45页）（1）根据以上数据，求圆心O到地面的距离；
（2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端
G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）如图5，当遮阳棚边缘B的影子正好落在点D处时，求此时围墙的影长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行投影；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的
判定与性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）圆心O到地面的距离为0.6m；
（2）小明的说法正确，如图，设光线的延长线交ED延长线于K，
∵BK∥FG，
∴∠GFE＝∠K，
∵BC∥DE，
∴∠K＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠GFE，
∵AC＝0.8m，OB＝OA＝2m，
∴EG＝1.2m，OC＝2﹣0.8＝1.2m，
∴OC＝EG，
第36页（共45页）∵∠OCB＝∠GEF＝90°，
∴△BCO≌△FEG（AAS），
∴OB＝FG，
∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧
AB的半径，小明的说法正确；
16
（3） m．
15
【分析】（1）由题意可得：BC⊥AD，OA＝OB，设OA＝OB＝rm，再利用勾股定理求解r，从而可得
答案；
（2）如图，设光线的延长线交ED于K，证明△BCO≌△FEG，可得OB＝FG，从而可得结论；
（3）过B作GF∥BD交DE于F，过B作BK⊥DE于K，证明四边形CDKB为矩形，可得CD＝BK，DK
16
＝BC＝1.6，证明△BDK∽△GFE，可得EF= m．
15
【解答】解：（1）设OA＝OB＝rm，
∵AC＝0.8m，
∴CO＝（r﹣0.8）m，
∵BC＝1.6m，
∴r2＝1.62+（r﹣0.8）2，
解得r＝2，
∴圆心O到地面的距离为AD﹣AO＝2.6﹣2＝0.6（m）；
（2）小明的说法正确．理由如下：
如图，设光线的延长线交ED延长线于K，
∵BK∥FG，
∴∠GFE＝∠K，
∵BC∥DE，
∴∠K＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠GFE，
∵AC＝0.8m，OB＝OA＝2m，
第37页（共45页）∴EG＝1.2m，OC＝2﹣0.8＝1.2m，
∴OC＝EG，
∵∠OCB＝∠GEF＝90°，
∴△BCO≌△FEG（AAS），
∴OB＝FG，
∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧
AB的半径，小明的说法正确；
（3）过B作BK⊥DE于K，过G作GF∥BD交DE于F，
∵BC⊥AD，
∴∠BCD＝∠CDE＝∠BKD＝90°，
则由题意得四边形CDKB为矩形，
∴DK＝BC＝1.6m，CD＝BK＝2.6﹣0.8＝1.8m，
∴∠BKD＝∠GEF＝90°，∠BDK＝∠GFE，
∴△BDK∽△GFE，
1.8 1.6
∴ = ，
1.2 EF
16
∴EF= ，
15
16
答：围墙的影长 m．
15
【点评】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判
定与性质．
24．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，
点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a=√2时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a=√2时，求MN+ND的最小值．
第38页（共45页）【考点】相似形综合题．
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【专题】图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力．
√2
【答案】（1） ；
2
（2）3-√5；
（3）√10．
【分析】（1）先求出AB、AC的长，再根据中点求出AD、BN的长，即可得a的值；
（2）设BN＝x，得到AD=√2x，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，进而得到CD=AC-AD=2√2-√2x，分
△CDN∽△BMN和△CND∽△BMN两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可；
（3）法一（几何法）：以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，易得△AED为等腰直角三
角形，得到AD=√2DE=√2AE，∠DAE＝45°，进而得到四边形EDNB为平行四边形，得到BE＝
DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，证明△AEB≌△BNF，得到BE＝DF，进而得到
DF＝DN，得到MN+ND＝MN+NF≥MF，勾股定理求出MF的长即可．法二（代数法）：作ME⊥BC于
点 E，DF⊥BC 于点 F，由 BM=√2，可得 BE＝ME＝1，设 BN＝x，则 AD=√2BN=√2x，CD
=2√2-√2x，
√2
DF＝CF= CD＝2﹣x，EN=¿，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，由勾股定理可得 MN+ND
2
=√M E2+EN2+√DF2+N F2=√(x-1) 2+(0-1) 2+√(x-2) 2+(0-2) 2，上式结果可看成点（x，
0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，根据将军饮马原理即可求得结果．
【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，
∴AB＝AC=2√2．
当点D和点N分别是AC和BC的中点时，
1 1
可得AD= AC=√2，BN= BC＝2，
2 2
AD √2
故a= = ．
BN 2
（2）∵a=√2，AD＝aBN，
第39页（共45页）∴AD=√2BN，设BN＝x，则AD=√2x，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，
∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴AB=AC=2√2，CD=AC-AD=2√2-√2x，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM=√2，
∴∠B＝∠C＝45°，
当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：
CD CN
①当△CDN∽△BMN时，则 = ，
BM BN
2√2-√2x 4-x
即 = ，此方程无解，不符合题意；
√2 x
CN CD
②当△CND∽△BMN时，则 = ，
BM BN
4-x 2√2-√2x
∴ = 解得：x=3+√5（不符合题意，舍去）或x=3-√5，
√2 x
∴BN=3-√5，
综上可得BN=3-√5．
（3）法一（几何法）：
∵a=√2，AD＝aBN，
∴AD=√2BN．
以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°，
如图所示：
∴AD=√2DE=√2AE，
第40页（共45页）∴AE＝DE＝BN，
∵∠ADE＝∠C＝45°，
∴DE∥BN，
∴四边形EDNB为平行四边形，
∴BE＝DN，
将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，
则BF＝AB＝2√2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠NBF＝45°＝∠BAE，
又∵AB＝BF，AE＝BN，
∴△AEB≌△BNF（SAS），
∴BE＝NF，
∴DN＝NF，
∴MN+ND＝MN+NF≥MF，
∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长，
1
在Rt△MBF中，BM= AB=√2，BF=2√2，
2
故MF=√BM2+BF2=√10，
∴MN+ND的最小值为√10．
法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示：
∵BM=√2，
∴BE＝ME＝1，设BN＝x，
则AD=√2BN=√2x，CD＝AC﹣AD=2√2-√2x，
∵∠C＝45°，
√2
∴DF＝CF= CD＝2﹣x，
2
∴EN=¿，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，
第41页（共45页）由勾股定理可得MN+ND=√M E2+EN2+√DF2+N F2
=√(x-1) 2+(0-1) 2+√(x-2) 2+(0-2) 2，
上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，
欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1），
则MN+ND的最小值为√(2-1) 2+(2+1) 2=√10．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和
性质，勾股定理，求线段和的最小值等知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形是解题关键．
25．（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点
G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
EF
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求 的值．
BC
【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①点I到BC的距离为2；
EF 2
② = ．
BC 3
AG AD
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到 = ，得到
CG MC
AG
BC＝2CM，求得AD＝2CM，得到 =2，于是得到AG＝2GC；
CG
第42页（共45页）（2）①根据勾股定理得到AC=√62+82=10，求得BD＝AC＝10，如图，过点I作IH⊥BC，垂足为
1 1
H，设IH＝r，则 （BC+CD+BD）•r= BC•CD，得到r＝2，于是得到结论；
2 2
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，由
b+c 1 b+c 1 b+c 1
AB+AC＝2BC得BC= ，在△BCD中， (b+c+ )⋅r= ⋅ ⋅c，解方程得到r= c，根
2 2 2 2 2 3
GQ CG 1
据相似三角形的性质得到 = ，求得GQ= c，得到GQ＝IH，根据相似三角形的性质即可得到
AB CA 3
结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADG∽△CMG，
AG AD
∴ = ，
CG MC
∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM，
∴AD＝2CM，
AG
∴ =2，
CG
∴AG＝2GC；
（2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC=√62+82=10，
∴BD＝AC＝10，
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，
第43页（共45页）1 1
设IH＝r，则 （BC+CD+BD）•r= BC•CD，
2 2
∴r＝2，
即IH＝2，
∴点I到BC的距离为2；
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，
设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，
b+c
由AB+AC＝2BC得BC= ，
2
1 b+c 1 b+c
在△BCD中， (b+c+ )⋅r= ⋅ ⋅c，
2 2 2 2
1
∴r= c，
3
∵GQ∥AB，
∴△CGQ∽△CAB，
GQ CG
∴ = ，
AB CA
∵AG＝2GC，
∴AC＝3GC，
GQ 1
∴ = ，
AB 3
1
∴GQ= c，
3
∴GQ＝IH，
∵IH⊥BC，GQ⊥BC，
∴GQ∥IH，
∴四边形GQHI是平行四边形，
∴GI∥BC，
第44页（共45页）即EF∥BC，
AG DF
∴ = ，
AC DC
∴△DEF∽△DBC，
EF DF
∴ = ，
BC DC
EF AG 2
∴ = = ．
BC AC 3
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌
握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
第45页（共45页）
