文档内容
2026年菁优深圳中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是 40mm±0.05mm，这表示乒乓球的标准直径是
40mm，允许偏差是±0.05mm．下面乒乓球的直径合格的是（ ）
A．39.94mm B．39.89mm C．40.04mm D．40.06mm
2．（3分）山西省怀仁市被誉为“中国北方日用瓷都”．如图所示的是当地生产的瓷器笔洗，下列说法
正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球
的概率最大（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
4．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达
的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从 3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为
50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（ ）
A．50sin24°米 B．50cos24°米
50 50
C． 米 D． 米
sin24° cos24°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6 B．（x2）3＝x6
C．x2•x3＝x6 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
6．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
第1页（共32页）A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株
脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每
株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 7200文能买多
少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
7200 7200
A．4(x-1)= B． =4
x x-1
7200 7200
C．4x-1= D． =4
x x
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△CDE沿CE折叠，使点D落在正方形
ABCD的内部一点F处，则∠AFB的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知x＝2是关于x的方程5x﹣m＝8的解，则m的值是 ．
10．（3 分）将点 P（﹣2，3）向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，所得的点的坐标为
．
3a 3
11．（3分）计算 + 的结果是 ．
a+1 a+1
4 4
12．（3分）如图，反比例函数y=- (x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=- (x＞0)的图象
x x
上，直线AB与y轴交于点C，连接OB，若AB＝3AC，则OB的长为 ．
第2页（共32页）13．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，点E在AD边上，连接OE，将线段OE绕着点O逆时
针旋转90°得到线段OF（点F在矩形ABCD内部），连接AF，EF．若AB＝2，AD＝4，则△AEF面积
的最大值是 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
1 -1
14．（6分）计算：(-1) 2024×(3-π) 0-√3 8+( ) ．
2
{
2x+4＜0
15．（7分）解不等式组： x+8 ．
-2＞0
2
16．（8分）一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献
爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整
理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生 人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 元，中位数是 元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农
第3页（共32页）户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知 2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百
香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 40元 50元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目
前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果 m箱，两种水果
全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式；在满足公司要求的情况下，m为何值时本次
采购中张先生获利最大．
18．（10分）如图，AB是 O的直径，点C为 O上一动点，CD⊥AB于点E，交 O于点D，BD交过
点A的直线于点F，∠C⊙AB＝∠F．且当CD＝⊙8时，AE＝2． ⊙
（1）求证：直线AF是 O的切线；
（2）点G为AC的中点⊙，当点C从A出发在 O上运动一周又回到点A处时，求点G经过的路径长；
48 ⊙ FH
（3）当CD= 时，过点A、O，D三点的圆交AF于点H．求 的值．
5 AC
19．（10分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人
10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的
比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直
角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的
过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）
2+k（a＜0）．
第4页（共32页）（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根据上述数据，直接写出 k 的值为 ，直接写出满足的函数关系式：
；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣
68，记她训练的入水点的水平距离为d ，比赛当天入水点的水平距离为d ，请通过计算比较d 与d 的
1 2 1 2
大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到
水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完
成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转 交直线
CD于点F． α
（1）如图①，若四边形 ABCD 为菱形，∠B＝60°， ＝60°，则 AE 与 AF 之间的数量关系是
； α
（2）如图②，若四边形ABCD为正方形， ＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线
α
第5页（共32页）段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明；
1
（3）若四边形ABCD为正方形， ＝45°，连接EF，当AB=4，BE= BC时，请直接写出EF的长．
2
α
第6页（共32页）2026年菁优深圳中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A B B A C
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是 40mm±0.05mm，这表示乒乓球的标准直径是
40mm，允许偏差是±0.05mm．下面乒乓球的直径合格的是（ ）
A．39.94mm B．39.89mm C．40.04mm D．40.06mm
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格乒乓球的直径的范围，据此即可求得答案．
【解答】解：乒乓球的标准直径是40mm，允许偏差是±0.05mm，
则合格乒乓球的直径的范围为39.95mm～40.05mm，
那么只有40.04mm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）山西省怀仁市被誉为“中国北方日用瓷都”．如图所示的是当地生产的瓷器笔洗，下列说法
正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【考点】简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义解答即可．
第7页（共32页）【解答】解：主视图和左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
3．（3分）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球
的概率最大（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：在一个不透明的布袋内，有红球5个，白球1个，它们除颜色外、质地都相同，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
5
摸到红球的概率是： ，
12
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
4．（3分）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达
的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从 3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为
50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（ ）
A．50sin24°米 B．50cos24°米
50 50
C． 米 D． 米
sin24° cos24°
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°，
第8页（共32页）BC BC
∴sinA= = ，
AB 50
∴BC＝50sinA＝50sin24°（米），
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6 B．（x2）3＝x6
C．x2•x3＝x6 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐
一判断即可解答．
【解答】解：A、x4与x2不能合并，故A不符合题意；
B、（x2）3＝x6，故B符合题意；
C、x2•x3＝x5，故C不符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练
地进行计算是解题的关键．
6．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过点G作GH∥AB，先证AB∥GH∥CD，则∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，进而得
∠EGF＝∠BEG+∠DFG，再根据∠EGF＝90°，∠BEG＝x 得∠DFG＝90°﹣x，然后根据
第9页（共32页）∠CFG+∠DFG＝180°即可得出∠CFG的度数．
【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，
∴∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，
即∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，
∴90°＝x+∠DFG，
∴∠DFG＝90°﹣x，
∵∠CFG+∠DFG＝180°，
∴∠CFG＝180°﹣∠DFG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株
脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每
株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 7200文能买多
少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
7200 7200
A．4(x-1)= B． =4
x x-1
7200 7200
C．4x-1= D． =4
x x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，根据“这批椽的价钱为7200文”、“每株椽的运费为4文，剩下的
椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解．
第10页（共32页）【解答】解：设这批椽的数量为x株，
∵这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于
一株椽的价钱，
7200
∴4(x-1)= ，
x
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△CDE沿CE折叠，使点D落在正方形
ABCD的内部一点F处，则∠AFB的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由正方形的性质得BC＝DC，∠D＝∠BCD＝90°，由折叠得EC＝DC，FE＝DE，∠CFE＝
1 1
∠D＝90°，∠DEC＝∠FEC= ∠DEF，∠DCE＝∠FCE= ∠DCF，则AE＝FE，BC＝EC，∠DEF＝
2 2
1 1
2∠DEC，所以∠EFA＝∠EAF，∠CFB＝90°- ∠BCF，推导出∠EFA＝∠DEC＝90°- ∠DCF，求得
2 2
∠CFB+∠EFA＝135°，进而求得∠AFB＝135°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E为AD边的中点，
∴BC＝DC，AE＝DE，∠D＝∠BCD＝90°，
1 1
由折叠得EC＝DC，FE＝DE，∠CFE＝∠D＝90°，∠DEC＝∠FEC= ∠DEF，∠DCE＝∠FCE=
2 2
∠DCF，
∴AE＝FE，BC＝EC，∠DEF＝2∠DEC，
第11页（共32页）1 1
∴∠EFA＝∠EAF，∠CFB＝∠CBF= （180°﹣∠BCF）＝90°- ∠BCF，
2 2
∴∠DEF＝∠EFA+∠EAF＝2∠EFA，
∴2∠EFA＝2∠DEC，
1
∴∠EFA＝∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°- ∠DCF，
2
1 1 1
∴∠CFB+∠EFA＝180°- （∠BCF+∠DCF）＝180°- ∠BCD＝180°- ×90°＝135°，
2 2 2
∴∠AFB＝360°﹣（∠CFB+∠EFA）﹣∠CFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知
识，推导出∠CFB+∠EFA＝135°是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知x＝2是关于x的方程5x﹣m＝8的解，则m的值是 2 ．
【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】将x＝2代入方程5x﹣m＝8，求解参数，即可作答．
【解答】解：根据题意可知，5×2﹣m＝8，
10﹣m＝8，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
10．（3分）将点P（﹣2，3）向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得的点的坐标为 （ 1 ，﹣
2 ） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
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【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1，﹣2）．
【分析】让P的横坐标加3，纵坐标减5即可得到所求点的坐标．
【解答】解：∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位，再向下平移5个单位，
∴所求点的横坐标为：﹣2+3＝1，纵坐标为3﹣5＝﹣2，
∴所求点的坐标为（1，﹣2）．
第12页（共32页）故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点
的纵坐标，下减，上加．
3a 3
11．（3分）计算 + 的结果是 3 ．
a+1 a+1
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】3
【分析】根据分式的加减法法则进行计算．
3a+3
【解答】解：原式=
a+1
3(a+1)
=
a+1
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则是关键．
4 4
12．（3分）如图，反比例函数y=- (x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=- (x＞0)的图象
x x
√130
上，直线AB与y轴交于点C，连接OB，若AB＝3AC，则OB的长为 ．
2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
√130
【答案】 ．
2
【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，先求出点A的坐标，得到
AB DE 4 √2
OD的长，然后由AD∥BE得到 = ，求出DE=3√2，然后代入y=- 求出BE= ，然后利
AC OD x 2
用勾股定理求解即可．
第13页（共32页）【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，
{ 4
y=-
联立 x ，
y=-2x
{ x=√2 {x=-√2
解得 或 （舍去），
y=-2√2 y=2√2
4
∵反比例函数y=- (x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，
x
∴A(√2，-2√2)，
∴OD=√2，
∵BE⊥x轴，AD⊥x轴，
∴AD∥BE，
AB DE
∴ = ，
AC OD
∵AB＝3AC，
DE
∴3= ，即DE=3√2，
√2
∴OE=√2+3√2=4√2，
4 √2
∴将x=4√2代入y=- 得y=- ，
x 2
√2
∴B(4√2，- )，
2
√2
∴BE= ，
2
√130
∴若AB＝3AC，则OB=√OE2+BE2= ．
2
√130
故答案为： ．
2
第14页（共32页）【点评】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题
的关键是掌握以上知识点．
13．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，点E在AD边上，连接OE，将线段OE绕着点O逆时
针旋转90°得到线段OF（点F在矩形ABCD内部），连接AF，EF．若AB＝2，AD＝4，则△AEF面积
9
的最大值是 ．
8
【考点】旋转的性质；二次函数的最值；矩形的性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
9
【答案】 ．
8
【分析】如图，连接BD，则O为BD的中点，取AD的中点M，连接OM，过F作FH⊥AD于H，作
FN⊥OM于N．分两种情况讨论：当E在M右侧时，（或与M重合时），当E在M点左侧时，证得
1
△MEO≌△NOF（AAS），然后利用S△AEF= AE⋅HF列式解答即可．
2
【解答】解：如图1，连接BD，则O为BD的中点，取AD的中点M，连接OM，过F作FH⊥AD于
H，作FN⊥OM于N．
①如图1，当E在M右侧时，（或与M重合时），
设ME＝x，
∵OM为△DAB的中位线，
∴OM∥AB，
1
∴OM⊥AD，OM= AB=1，
2
第15页（共32页）在Rt△MEO中，∠MEO+∠MOE＝90°，
又∵∠NOF+∠MOE＝∠EOF＝90°，
∴∠MEO＝∠NOF，
又∵∠OME＝∠FNO＝90°，OE＝FO，
∴△MEO≌△NOF（AAS），
∴ME＝NO＝x，MO＝NF＝1，
∴MN＝MO﹣ON＝1﹣x，
又∵FN⊥NM，
∴FN∥HM，HF⊥HM，NM⊥HM，
∴FN⊥HF，
∴四边形HFNM为矩形．
∴HF＝MN＝1﹣x，
又∵AE＝AM+ME＝2+x，
1
∴S△AEF= AE⋅HF
2
1
= (2+x)(1-x)
2
1
= (2-x-x2 )
2
1
=- (x2+x-2)
2
1 1 1
=- (x2+x+ - -2)
2 4 4
1 1 9
=- (x+ ) 2+ ，
2 2 8
1 1
抛物线对称轴为直线x=- ，开口向下，x≥0＞- ，
2 2
1
∵x≥0＞-
2
∴S△AEF随x的增大而减小，
1 1 9
故当x＝0时，S△AEF 有最大值，为-
2
×(
2
) 2+
8
=1；
②当E在M点左侧时，如图2，
第16页（共32页）设EM＝y，由①同理可证△EMO≌△ONF，
∴EM＝ON＝y，AE＝AM﹣EM＝2﹣y，HF＝MN＝OM+ON＝1+y，
1
∴S△AEF= AE⋅HF
2
1
= (2- y)(1+ y)
2
1
= (2+ y- y2 )
2
1
=- (y2- y-2)
2
1 1 1
=- (y2- y+ - -2)
2 4 4
1 1 9
=- (y- ) 2+
2 2 8
1 9
故当y=
2
时，S△AEF 有最大值为
8
，
9
综上，△AEF面积的最大值是 ，
8
9
故答案为： ．
8
【点评】本题主要考查了旋转的性质，二次函数的最值以及矩形的性质，全等三角形的判定与性质，
解答本题的关键是作出恰当的辅助线，构建全等三角形．
三．解答题（共7小题，满分61分）
1 -1
14．（6分）计算：(-1) 2024×(3-π) 0-√3 8+( ) ．
2
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
第17页（共32页）【解答】解：原式＝1×1﹣2+2＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
{
2x+4＜0
15．（7分）解不等式组： x+8 ．
-2＞0
2
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4＜x＜﹣2．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
{2x+4＜0①
【解答】解： x+8 ，
-2＞0②
2
由①得，x＜﹣2，
由②得，x＞﹣4，
故不等式组的解集为：﹣4＜x＜﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小
小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
16．（8分）一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献
爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整
理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生 6 0 人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 1 0 元，中位数是 1 5 元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
【考点】条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图．
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【专题】数据的收集与整理；统计的应用；运算能力；推理能力．
第18页（共32页）【答案】（1）60；
将条形统计图补充完整如图：
；
（2）10，15；
（3）捐款20元及以上的学生估计有345人．
【分析】（1）用D：捐款20元的人数所占的比例即可求出抽查了多少学生，抽查人数减去其他几组
人数即可得出C的人数，即可将条形统计图补充完整；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）用总人数乘捐款20元及以上的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），
C的人数：60﹣9﹣20﹣12﹣3＝16（人），
将条形统计图补充完整如图：
；
故答案为：60；
（2）捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10，15；
12+3
（3）捐款20元及以上的学生估计有1380× =345（人），
60
第19页（共32页）答：捐款20元及以上的学生估计有345人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，众数和中位数，读懂统计图，从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农
户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知 2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百
香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 40元 50元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目
前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果 m箱，两种水果
全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式；在满足公司要求的情况下，m为何值时本次
采购中张先生获利最大．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）每箱百香果的售价是50，每箱金桔的售价是65元；
（2）w关于m的函数表达式为w＝﹣5m+7500；在满足公司要求的情况下，m＝250时本次采购中张先
生获利最大．
【分析】（1）分别设每箱百香果的售价、每箱金桔的售价为未知数，根据题意列二元一次方程并求解
即可；
（2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（500﹣m）箱，获利W元．根据题意列关于m的一元一
次不等式组并求其解集；写出w关于m的函数关系式，并根据一次函数的增减性，确定当m取何值时
w值最大．
【解答】解：（1）设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元．
{2x+4 y=360
根据题意，得 ，
x+3 y=245
{x=50
解得 ，
y=65
答：每箱百香果的售价是50，每箱金桔的售价是65元；
（2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（500﹣m）箱，获利w元．
w＝（50﹣40）m+（65﹣50）（500﹣m）＝﹣5m+7500，
第20页（共32页）{0≤m≤400
根据题意，得 ，
m≥500-m
解得250≤m≤400，
∵﹣5＜0，
∴w随m的减小而增大，
∴当m＝250时，w值最大，
∴在满足公司要求的情况下，m＝250时本次采购中张先生获利最大．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程
组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18．（10分）如图，AB是 O的直径，点C为 O上一动点，CD⊥AB于点E，交 O于点D，BD交过
点A的直线于点F，∠C⊙AB＝∠F．且当CD＝⊙8时，AE＝2． ⊙
（1）求证：直线AF是 O的切线；
（2）点G为AC的中点⊙，当点C从A出发在 O上运动一周又回到点A处时，求点G经过的路径长；
48 ⊙ FH
（3）当CD= 时，过点A、O，D三点的圆交AF于点H．求 的值．
5 AC
【考点】圆的综合题．
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【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有
关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．
FH 5 5
【答案】（1）证明见解析；（2）5 ；（3） 的值 或 ．
AC 6 8
π
【分析】（1）利用圆周角定理，平行线的判定与性质得到OA⊥AF，再利用圆的切线的判定定理解答
即可；
（2）连接OG，OC，利用垂径定理得到∠AGO＝90°，当点C从A出发在 O上运动一周又回到点A
处时，点G经过的路径为以OA为直径的圆，设OA＝OC＝r，则OE＝r﹣2，⊙利用垂径定理和勾股定理
求得r值，再利用圆的周长的公式解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当CD在点O的左侧时，利用圆周角定理和
第21页（共32页）垂径定理得到OH为AD的垂直平分线，则AH＝HF；利用相似三角形的判定与性质和垂径定理求得线
段FA，AC的长度，代入运算即可得出结论；②当CD在点O的左侧时，利用①中的方法解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠F，∠CAB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠F，
∴CD∥AF，
∵CD⊥AB，
∴OA⊥AF．
∵OA为 O的半径，
∴直线A⊙F是 O的切线；
（2）解：连接⊙OG，OC，如图，
∵点G为AC的中点，
∴OG⊥AC，
∴∠AGO＝90°，
∴当点C从A出发在 O上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径为以OA为直径的圆．
∵CD⊥AB，CD＝8，⊙
1
∴DE＝EC= CD＝4，
2
设OA＝OC＝r，则OE＝r﹣2，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴OA＝5，
∴当点C从A出发在 O上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径为 •OA＝5 ．
（3）解：连接OD，⊙OH，AD，设AD，OH交于点M，如图， π π
①当CD在点O的左侧时，
第22页（共32页）∵∠HAO＝90°，
∴OH为过点A、O，D三点的圆的直径，
∵OA＝OD，
∴O^A=O^D，
∴OH为AD的垂直平分线，
∴OM⊥AD．
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴BD⊥AD，
∴OH∥BF，
∵OA＝OB，
∴AH＝HF，
48
∵CD⊥AB，CD= ，
5
1 24
∴CE＝DE= CD= ．
2 5
7
∴OE=√OD2-DE2=
，
5
18 32
∴AE＝OA﹣OE= ，BE＝OE+OB= ．
5 5
∵CD∥AF，
∴△BDE∽△BFA，
DE BE
∴ = ，
FA BA
24 32
∴ 5 5 ，
=
FA 10
15
∴FA= ，
2
第23页（共32页）1 15
∴FH= FA= ．
2 4
∵AC=√AE2+CE2=6，
15
∴FH 4 5；
= =
AC 6 8
②当CD在点O的左侧时，
∵∠HAO＝90°，
∴OH为过点A、O，D三点的圆的直径，
∵OA＝OD，
∴O^A=O^D，
∴OH为AD的垂直平分线，
∴OM⊥AD．
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴BD⊥AD，
∴OH∥BF，
∵OA＝OB，
∴AH＝HF，
48
∵CD⊥AB，CD= ，
5
1 24
∴CE＝DE= CD= ．
2 5
第24页（共32页）7
∴OE=√OD2-DE2=
，
5
32 18
∴AE＝OA+OE= ，BE＝OB﹣OE= ．
5 5
∵CD∥AF，
∴△BDE∽△BFA，
DE BE
∴ = ，
FA BA
24 18
∴ 5 5 ，
=
FA 10
40
∴FA= ，
3
1 20
∴FH= FA= ．
2 3
∵AC=√AE2+CE2=8，
20
∴FH 3 5．
= =
AC 8 6
48 FH 5 5
综上，当CD= 时，过点A、O，D三点的圆交AF于点H， 的值 或 ．
5 AC 6 8
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形
的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，点的轨迹，圆的有关计算，利用分类讨论的思想方法
是解题的关键．
19．（10分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人
10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的
比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直
角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的
过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）
2+k（a＜0）．
第25页（共32页）（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根据上述数据，直接写出k的值为 11.2 5 ，直接写出满足的函数关系式： y ＝﹣ 5 （ x ﹣ 3.5 ） 2 +11.25
；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣
68，记她训练的入水点的水平距离为d ，比赛当天入水点的水平距离为d ，请通过计算比较d 与d 的
1 2 1 2
大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到
水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完
成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
（2）d ＜d ；
1 2
（3）她当天的比赛不能成功完成此动作．
【分析】（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可．
【解答】解：（1）根据表格得：函数图象过点（4，10），（4.5，6.25），（3，10），
3+4
∴h= =3.5，
2
第26页（共32页）∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+k，
{ a(3-3.5) 2+k=10
∴5 ，
a(4.5-3.5) 2+k=6.25
{ a=-5
解得： ，
k=11.25
∴的函数关系y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25；y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
（2）对于y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时，0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x ＝5，x ＝2（不合题意，舍去），
1 2
∴d ＝5米，
1
对于y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时，﹣5x2+40x﹣68＝0，
2√15 2√15
解得：x =4+ ，x =4- （不合题意，舍去），
1 5 2 5
2√15
∴d =4+ ，
2 5
2√15
∵4+ ＞5，
5
∴d ＜d ；
1 2
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴点B坐标为（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，则她当天的比赛不能
成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转 交直线
CD于点F． α
第27页（共32页）（1）如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°， ＝60°，则AE与AF之间的数量关系是 AE ＝ AF
； α
（2）如图②，若四边形ABCD为正方形， ＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线
段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证α明；
1
（3）若四边形ABCD为正方形， ＝45°，连接EF，当AB=4，BE= BC时，请直接写出EF的长．
2
α
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直
观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AE＝AF；
（2）BE﹣DF＝EF，证明如下：
如图，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠DAF＝∠DAE+∠BAF′＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．
∵AE＝AE，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
第28页（共32页）∴EF′＝EF，
∴BE﹣DF＝BE﹣BF′＝EF′＝EF，
即BE﹣DF＝EF；
10
（3） 或10．
3
【分析】（1）根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，得出相等的角和边，证明△ABE≌△ACF即
可得出结论；
（2）在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，根据条件证明△ABF′≌△ADF，得出AF′＝
AF，∠BAF′＝∠DAF，再证明△AEF′≌△AEF，即可得出结论；
（3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假
设边的长度，利用勾股定理，列方程求解即可．
【解答】解：（1）AE＝AF，理由如下：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC．
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°．
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
故答案为：AE＝AF．
（2）BE﹣DF＝EF，证明如下：
如图，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，
第29页（共32页）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠DAF＝∠DAE+∠BAF′＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．
∵AE＝AE，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF，
∴BE﹣DF＝BE﹣BF′＝EF′＝EF，
即BE﹣DF＝EF；
（3）①如图，当点E在线段BC上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到
△ABF′，
∴AF＝AF′，∠BAF′＝∠DAF，DF＝BF′，
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠BAF′+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′＝BF′+BE＝BE+DF，
∵AB＝4，
∴BE＝EC＝2．
第30页（共32页）设EF＝x，则DF＝x﹣2，CF＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即22+（6﹣x）2＝x2，
10
解得x= ，
3
10
即EF= ；
3
②如图，当点E在CB延长线上时，取CD的中点G，连接AG，
1
∴DG= CD，
2
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠D，BC＝CD，∠BAD＝90°，
1
∵BE= BC=2，
2
∴BE＝DG＝2，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∴∠BAE+∠BAG＝∠DAG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，
设EF＝x，则DF＝x+2，CF＝x+2﹣4＝x﹣2，CE＝BE+BC＝2+4＝6，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即62+（x﹣2）2＝x2，
第31页（共32页）解得x＝10，
即EF＝10．
10
综上所述，EF的长为 或10．
3
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判
定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
第32页（共32页）
