文档内容
2026年菁优深圳中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若把向北走2km记作
“+2km”，则向南走3km应记作（ ）
A．﹣3km B．﹣5km C．3km D．5km
2．（3分）在下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）数学的英语单词为“math”．现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，背面朝上洗匀．
小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“a”的概率是（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
4．（3分）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（ ）
6 6
A．6cos52°米 B．6sin52°米 C． 米 D． 米
cos52° sin52°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．4a2﹣2a2＝2
6．（3分）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N
所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿
PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
第1页（共29页）A．74° B．72° C．70° D．68°
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．
每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株
椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210文能买多少
株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ）
6210 x+1 6210
A． = B． =3(x-1)
x 3 x
6210 6210 x-1
C． =3(x+1) D． =
x x 3
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB边的中点，连接MC，将△CBM沿直线CM向正方形
ND
内翻折，点B的对应点为点N，连接DN，AN，则 等于（ ）
NC
1 √2 √6 √10
A． B． C． D．
2 2 4 5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）如果x＝1是关于x的方程2x﹣3a＝14的解，那么a的值是 ．
10．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移 4个单位，得到的点P 的坐标为
1
．
x2+1 2x
11．（3分）计算 - 的结果是 ．
x-1 x-1
第2页（共29页）1 1 1
12．（3分）函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y= 的图象交于点（m，n），则 + 的值为 ．
x m n
13．（3分）如图，E是矩形ABCD的中心，点F在线段CD上运动，连接EF，将线段EF绕E顺时针旋
转 90°得到线段 EG，连接 CG，GF．若 AB＝8，BC＝6，则△GFC 面积的最大值是
．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：-12024+√9-|-2|+(-8)÷4．
15．（7分）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
{2x+3＞3x-7
4x-2 ．
≤2x-5
3
16．（8分）海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，
根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为 分、中位数为 分；
（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
17．（8分）为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进A、B两种瓶装饮品共300箱，两
种饮料的成本与销售价如下表：
饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱）
第3页（共29页）A 30 45
B 40 60
（1）若该超市花了10000元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？
（2）设购进A种饮料a箱（80≤a≤100），300箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系
式，并求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
18．（10分）如图， O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝8，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，
∠ACD＝∠B． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AD＝2，求⊙DC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
19．（10分）综合与实践
玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉
米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究，综合实践小组的同学收集相关数据，运用数学知识探究玉
米种植、销售过程中的实际问题，活动报告如下：
活动主题 探究玉米种植、销售过程中的实际问题
收集信息 信息1：该试验中每亩钾肥施用量x（公斤）的范围是0≤x≤15．
信息2：玉米每亩销售收入y （元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的
1
关系如下表所示：
每亩钾肥 0 5 10 15 20 25
施用量x
（公斤）
玉米每亩 600 850 1000 1050 1000 850
销售收入
y （元）
1
信息3：经市
场调查，玉米每
亩种植成本 y
2
（元）与每亩钾
肥施用量x（公
斤）满足一次函
第4页（共29页）数关系，如果不
施用钾肥，那么
玉米每亩种植成
本为 m 元；如
果每亩钾肥施用
量为 15 公斤，
那么玉米每亩种
植 成 本 为 300
元．
信息4：每亩
玉米的利润为
W（元），W＝
y ﹣y ．
1 2
解决问题 …
根据活动报告中的信息解决下列问题：
（1）根据活动报告中的信息可知，玉米每亩销售收入y （元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的关
1
系之间的变化规律可用我们学习过二次函数刻画，则其函数表达式为 ；
（2）当m＝150时，解决下列问题：
①请直接写出玉米每亩种植成本 y （元）与每亩钾肥施用量 x（公斤）之间的函数表达式为
2
；
②若玉米每亩的利润为678元，求每亩钾肥的施用量；
（3）若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大．请通过计算确定相应的m的值．
20．（12分）折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达
“三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的
变换问题．
【操作发现】
如图1，在矩形ABCD中，按如下步骤操作：
①如图1﹣a，第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，C与D重合，展平纸片得到折痕MN；
②如图1﹣b，第二次折叠，点C落在MN上，折痕与MN交于点F；
③如图1﹣c，第三次折叠，点D与点E重合；
⑤如图1﹣d，展平纸片；
第5页（共29页）（1）判断△DEH的形状，并说明理由；
【初步探究】
（2）在（1）的基础上，如图 2，作∠BCD 的平分线交 HF 于点 P，连接 PE，求证：∠PEH＝
∠CPF；
【深入探究】（3）在图2上补全图形，过点P作CD的平行线，分别交HE，BC，HD于点Q，R，
S，试判断SP，PQ，QR的数量关系，并说明理由．
第6页（共29页）2026年菁优深圳中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C B B D
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若把向北走2km记作
“+2km”，则向南走3km应记作（ ）
A．﹣3km B．﹣5km C．3km D．5km
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作﹣3km，
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）在下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．
【解答】解：A、俯视图是圆，故不符合题意；
B、俯视图是矩形，故不符合题意；
C、俯视图是三角形，故符合题意；
D、俯视图是圆，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
第7页（共29页）3．（3分）数学的英语单词为“math”．现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，背面朝上洗匀．
小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“a”的概率是（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵数学的英语单词为“math”，现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，
1
∴小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“a”的概率是 ，
4
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
4．（3分）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（ ）
6 6
A．6cos52°米 B．6sin52°米 C． 米 D． 米
cos52° sin52°
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】B
AB
【分析】根据正弦函数的定义得sin∠ACB= ，由此可得出答案．
AC
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6米，∠ACB＝52°，
AB
∵sin∠ACB= ，
AC
∴AB＝AC•sin∠ACB＝6sin52°（米）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
第8页（共29页）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．4a2﹣2a2＝2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则进行计算．
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，原式计算正确，符合题意；
D、4a2﹣2a2＝2a2，原式计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计
算法则是解题的关键．
6．（3分）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N
所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿
PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，∠CPM＝∠HPM，据此
可得∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，再根据HP∥GM得∠HPM+∠GMP＝180°，根据CP∥BM得
∠CPM＝∠AMP＝2∠1，据此可求出∠1＝36°，进而可求出∠CPM的度数．
【解答】解：由翻折的性质得：∠AMN＝∠NMP，∠CPM＝∠HPM，
∵四边形ABCD为长方形，
第9页（共29页）∴AB∥CD，
∴∠AMN＝∠1，
∴∠NMP＝∠1，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，
∴∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，
∵HP∥GM，
∴∠HPM+∠GMP＝180°，
即：∠HPM+3∠1＝180°，
∵CP∥BM，
∴∠CPM＝∠AMP＝2∠1，
∴∠HPM＝∠CPM＝2∠1，
∴2∠1+3∠1＝180°，
∴∠1＝36°，
∴∠CPM＝2∠1＝72°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，长方形的性质，解答此题的关键是准确识图，利用
图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．
每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株
椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210文能买多少
株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ）
6210 x+1 6210
A． = B． =3(x-1)
x 3 x
6210 6210 x-1
C． =3(x+1) D． =
x x 3
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为 3（x﹣1）文，结合单价＝总价÷数量，即可列出关
于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为x株，
第10页（共29页）∴每株椽的价钱为3（x﹣1）文．
6210
根据题意得： = 3（x﹣1）．
x
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB边的中点，连接MC，将△CBM沿直线CM向正方形
ND
内翻折，点B的对应点为点N，连接DN，AN，则 等于（ ）
NC
1 √2 √6 √10
A． B． C． D．
2 2 4 5
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】延长MN交AD于点E，可证明Rt△NCE≌Rt△DCE，得NE＝DE，则CE垂直平分DN，设正
方形ABCD的边长为6m，NE＝DE＝x，则MN＝BM＝AM＝3m，由勾股定理得（3m）2+（6m﹣x）2＝
1 1
（3m+x）2，求得x＝2m，则CE＝2√10m，由S四边形CDEN =
2
×2√10m•ND＝2×
2
×6m×2m，求得ND
6√10 ND √10
= m，进而求得 = ，于是得到问题的答案．
5 NC 5
【解答】解：延长MN交AD于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝DC，
由翻折得∠MNC＝∠B＝90°，NC＝BC＝DC，
∴∠ENC＝∠EDC＝90°，
∵CE＝CE，NC＝DC，
∴Rt△NCE≌Rt△DCE（HL），
∴NE＝DE，S△NCE ＝S△DCE ，
第11页（共29页）∴CE垂直平分DN，
设正方形ABCD的边长为6m，NE＝DE＝x，则AB＝AD＝BC＝NC＝DC＝6m，
∵点M是边AB的中点，
∴MN＝BM＝AM＝3m，
∵AM2+AE2＝ME2，且AE＝6m﹣x，ME＝3m+x，
∴（3m）2+（6m﹣x）2＝（3m+x）2，
∴x＝2m，
∴CE=√(2m) 2+(6m) 2=2√10m，
1 1
∵S四边形CDEN =
2
×2√10m•ND＝2×
2
×6m×2m，
6√10
∴ND= m，
5
6√10
m
∴ND 5 √10，
= =
NC 6m 5
故选：D．
【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知
识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）如果x＝1是关于x的方程2x﹣3a＝14的解，那么a的值是 ﹣ 4 ．
【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】将x＝1代入方程可得一个关于a的一元一次方程，解方程即可得．
【解答】解：由题意可得：2×1﹣3a＝14，
解得a＝﹣4，
故答案为：﹣4．
第12页（共29页）【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
10．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点P 的坐标为 （ 2 ，
1
1 ） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
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【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（2，1）．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点P′的坐标为（﹣1+3，﹣
3+4），再计算即可．
【解答】解：点P（﹣1，﹣3）先向右平移3个单位，再向上平移4个单位后得到点P ，
1
则点P 的坐标为（﹣1+3，﹣3+4），
1
即（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是掌握点的坐标平移后的变化规律．
x2+1 2x
11．（3分）计算 - 的结果是 x ﹣ 1 ．
x-1 x-1
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣1．
【分析】同分母相加，分母不变，分子相加即可．
x2+1-2x (x-1) 2
【解答】解：原式= = =x-1．
x-1 x-1
故答案为：x﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
1 1 1
12．（3分）函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y= 的图象交于点（m，n），则 + 的值为 5 ．
x m n
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】本题可先根据交点同时在两个函数图象上，得到关于 m、n的等式，再对所求式子进行变形，
最后代入计算．
1
【解答】解：函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y= 的图象交于点（m，n），
x
把（m，n）代入y＝﹣x+5，得m+n＝5，
第13页（共29页）1
把（m，n）代入y= ，得mn＝1，
x
1 1
+
m n
m+n
=
mn
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的是根据交点同时在两个函数图象上，得
到关于m、n的等式．
13．（3分）如图，E是矩形ABCD的中心，点F在线段CD上运动，连接EF，将线段EF绕E顺时针旋
49
转90°得到线段EG，连接CG，GF．若AB＝8，BC＝6，则△GFC面积的最大值是 ．
8
【考点】旋转的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
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【专题】二次函数图象及其性质；图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；
推理能力．
49
【答案】 ．
8
【分析】过点 E 作 DC 的垂线段于点 N，过点 G 作 EN 的垂线段于点 M，证明△NFE≌△MEG
（AAS），设FC＝x，分类讨论表示出△GFC的高，利用二次函数的性质即可解答．
【解答】解：如图1，E是矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，过点E作DC的垂线段于点N，过点
G作EN的垂线段于点M，
第14页（共29页）∴DC＝8，AD＝6，
1 1
∴NC= DC=4，EN= AD=3，
2 2
∵将线段EF绕E顺时针旋转90°得到线段EG，
∴∠FEG＝90°，EF＝EG，
∴∠NEF+∠GEM＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠GEM＝∠EFN，
在△NFE和△MEG中，
{∠FNE=∠EMG=90°
∠EFN=∠GEM ，
EF=GE
∴△NFE≌△MEG（AAS），
∴NF＝EM，NE＝MG，
当点F在线段NC上运动时，点G在点E下方，
设FC＝x，则此时0≤x＜4，
∴NF＝NC﹣FC＝4﹣x，
∴NM＝NE+EM＝3+4﹣x＝7﹣x，
FC⋅NM x(7-x) 1 7 1 7 2 49
∴S = = =- x2+ x=- (x- ) + ，
△GFC 2 2 2 2 2 2 8
7 49
当x=
2
时，S△GFC 有最大值为
8
；
当点G在DC上时，如图2，
第15页（共29页）∵将线段EF绕E顺时针旋转90°得到线段EG，
∴∠FEG＝90°，EF＝EG，
∴∠GFE＝45°，
∵EN⊥DC，
∴∠NEF＝45°，
∴FN＝EN＝3，
此时CF＝FN+NC＝7；
当4≤x≤7时，点G在点E和线段DC之间，如图3，
∴∠NEF+∠GEM＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠GEM＝∠EFN，
在△NFE和△MEG中，
{∠FNE=∠EMG=90°
∠EFN=∠GEM ，
EF=GE
∴△NFE≌△MEG（AAS），
∴NF＝EM，NE＝MG，
∴NM＝NE﹣EM＝3﹣（x﹣4）＝7﹣x，
第16页（共29页）FC⋅NM x(7-x) 1 7 1 7 2 49
∴S = = =- x2+ x=- (x- ) + ，
△GFC 2 2 2 2 2 2 8
当x＝4时，S△GFC 有最大值为6；
当7＜x≤8时，点G在线段DC之上，如图4，
同理可得△NFE≌△MEG（AAS），
∴NF＝EM，NE＝MG，
∴NM＝EM﹣EN＝x﹣4﹣3＝x﹣7，
FC⋅NM x(x-7) 1 7 1 7 2 49
∴S = = = x2- x= (x- ) - ，
△GFC 2 2 2 2 2 2 8
当x＝8时，S△GFC 有最大值为4；
49
综上，△GFC面积的最大值是 ，
8
49
故答案为： ．
8
【点评】本题考查了二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，分类讨
论是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：-12024+√9-|-2|+(-8)÷4．
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：-12024+√9-|-2|+(-8)÷4
＝﹣1+3﹣2+（﹣2）
第17页（共29页）＝﹣1+3﹣2﹣2
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（7分）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
{2x+3＞3x-7
4x-2 ．
≤2x-5
3
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】7，8，9．
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再确
定整数解即可．
{2x+3＞3x-7①
【解答】解： 4x-2
≤2x-5②
3
解不等式①得：x＜10，
13
解不等式②得：x≥ ，
2
13
所以不等式组的解为： ≤x＜10，
2
所以整数解为：7，8，9．
【点评】本题考查的是求解不等式组的整数解，通过解不等式组求得x的取值范围是解题的关键．
16．（8分）海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，
根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为 5 0 ，图2中m的值为 2 8 ；
第18页（共29页）（2）本次调查获取的样本数据的众数为 1 2 分、中位数为 1 1 分；
（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
【考点】条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图．
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【专题】数据的收集与整理；统计的应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）50，28；
（2）12，11；
（3）600．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据众数和中位数；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16＝50（人），
14
m%= ×100%=28%，
50
故答案为：50，28；
（2）由条形统计图可得众数是12分，
由题意得，中位数是第25，26个数据的平均数，
∴由条形统计图可得，（11+11）÷2＝11（分），
故答案为：12，11；
14+16
（3）我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1000× =600（人）．
50
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（8分）为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进A、B两种瓶装饮品共300箱，两
种饮料的成本与销售价如下表：
饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱）
A 30 45
B 40 60
（1）若该超市花了10000元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？
（2）设购进A种饮料a箱（80≤a≤100），300箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系
式，并求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
第19页（共29页）【答案】（1）购进A种饮料200箱，B种饮料100箱；
（2）当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元．
【分析】（1）设购进A种饮料x箱，B种饮料y箱，根据购进饮料的总数和进货的费用列方程组求解；
（2）根据两种饮料的单件利润和进货的数量，可得W＝﹣5a+6000，根据一次函数的性质可知，当购
进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元．
【解答】解：（1）设购进A种饮料x箱，B种饮料y箱，
{30x+40 y=10000
由题意得 ，
x+ y=300
{x=200
解得 ，
y=100
答：购进A种饮料200箱，B种饮料100箱．
（2）由题意得W＝（45﹣30）a+（60﹣40）（300﹣a）＝﹣5a+6000，
∵﹣5＜0，
∴W随a的增大而减小，
又∵80≤a≤100，
∴当a＝80时，W有最大值，为﹣5×80+6000＝5600元，
答：当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，掌握以上知识点是解题的关键．
18．（10分）如图， O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝8，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，
∠ACD＝∠B． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AD＝2，求⊙DC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；
图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
第20页（共29页）【分析】（1）连接OC，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，圆周角定理和圆的切线的判定定
理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质求得AC的长度，利用勾股定理解答即可得出结论；
（3）利用圆的直径的性质和等边三角形的判定与性质球儿∠AOC的度数，再利用图中阴影部分的面
积＝S梯形ADCO ﹣S扇形OAC 解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AB为 O的直径，
∴∠BCA⊙＝90°，
∴∠B+∠OAC＝90°，
∴∠OCA+∠B＝90°．
∵∠ACD＝∠B，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥EF，
∵OC为 O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解⊙：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD，
∴△ACB∽△ADC，
AB AC
∴ = ，
AC AD
∴AC2＝AB•AD＝8×2＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
∴CD=√AC2-AD2=√42-22=2√3；
（3）解：∵直径AB＝8，
∴OC＝OA＝4．
由（2）知：AC＝4，
∴OC＝AC＝OA，
∴△OCA为等边三角形，
第21页（共29页）∴∠AOC＝60°．
∵OC⊥EF，AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴四边形ADCO为梯形，
∴图中阴影部分的面积＝S梯形ADCO ﹣S扇形OAC
1 60π×42
= （AD+OC）•CD-
2 360
1 8
= （4+2）×2√3- π
2 3
8
＝6√3- π．
3
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，
相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，梯形，扇形的面积公式，连接经过切点的半径
是解决此类问题常添加的辅助线．
19．（10分）综合与实践
玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉
米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究，综合实践小组的同学收集相关数据，运用数学知识探究玉
米种植、销售过程中的实际问题，活动报告如下：
活动主题 探究玉米种植、销售过程中的实际问题
收集信息 信息1：该试验中每亩钾肥施用量x（公斤）的范围是0≤x≤15．
信息2：玉米每亩销售收入y （元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的
1
关系如下表所示：
每亩钾肥 0 5 10 15 20 25
施用量x
（公斤）
玉米每亩 600 850 1000 1050 1000 850
销售收入
y （元）
1
信息3：经市
第22页（共29页）场调查，玉米每
亩种植成本 y
2
（元）与每亩钾
肥施用量x（公
斤）满足一次函
数关系，如果不
施用钾肥，那么
玉米每亩种植成
本为 m 元；如
果每亩钾肥施用
量为 15 公斤，
那么玉米每亩种
植 成 本 为 300
元．
信息4：每亩
玉米的利润为
W（元），W＝
y ﹣y ．
1 2
解决问题 …
根据活动报告中的信息解决下列问题：
（1）根据活动报告中的信息可知，玉米每亩销售收入y （元）与每亩钾肥施用量x（公斤）之间的关
1
系之间的变化规律可用我们学习过二次函数刻画，则其函数表达式为 y =-2x2+60x+600 ；
1
（2）当m＝150时，解决下列问题：
①请直接写出玉米每亩种植成本 y （元）与每亩钾肥施用量 x（公斤）之间的函数表达式为 y ＝
2 2
10 x +150 ；
②若玉米每亩的利润为678元，求每亩钾肥的施用量；
（3）若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大．请通过计算确定相应的m的值．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y =-2x2+60x+600；
1
（2）①y ＝10x+150；
2
②每亩钾肥的施用量6公斤；
（3）120．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解二次函数解析式即可；
（2）①利用待定系数法进行求解一次函数解析式即可；
②利用W＝y ﹣y ，得出W＝﹣2x2+50x+450，将W＝678代入求解，并验根即可；
1 2
第23页（共29页）300-m
（3）先利用待定系数法进行求出 y 与 x 的函数表达式为 y = x+m，那么可得
2 2 15
600+m
W =-2x2+ x+600-m，再利用二次函数的性质求解即可．
15
【解答】解：（1）由题意设y =ax2+bx+c(a≠0)，
1
将（0，600），（5，850），（10，1000）代入，
{
c=600
得
52a+5b+c=850
，
102a+10b+c=1000
{a=-2
解得 b=60 ，
c=600
∴其函数表达式为y =-2x2+60x+600；
1
故答案为：y =-2x2+60x+600；
1
（2）①由题意设y ＝kx+n（k≠0），
2
因为如果不施用钾肥，那么玉米每亩种植成本为m元；如果每亩钾肥施用量为15公斤，那么玉米每亩
种植成本为300元，m＝150，
∴y ＝kx+n（k≠0）的图象过点（0，150），（15，300），
2
{ n=150
代入y ＝kx+n（k≠0），得 ，
2 15k+n=300
{k=10
解得 ，
n=150
∴y ＝10x+150；
2
故答案为：y ＝10x+150；
2
②由题可知W＝y ﹣y ，
1 2
即W＝﹣2x2+60x+600﹣10x﹣150＝﹣2x2+50x+450，
将W＝678代入W＝﹣2x2+50x+450中，
得﹣2x2+50x+450＝678，
解得x ＝6，x ＝19，
1 2
∵0≤x≤15，
∴x＝6．
第24页（共29页）答：利润为678元；
（3）由题可设y ＝px+q（p≠0），
2
将x＝0，y＝m和x＝15，y＝300分别代入y ＝px+q（p≠0）中，
2
{ q=m
得 ，
15p+q=300
{
300-m
p=
解得 15 ，
q=m
300-m
所以玉米每亩种植成本y 与每亩钾肥施用量x之间的函数表达式为y = x+m，
2 2 15
300-m 600+m
那么W =-2x2+60x+600- x-m=-2x2+ x+600-m，
15 15
600+m
对称轴为直线 15 600+m m ，
x=- = =10+ ＞0
2×(-2) 60 60
∵0≤x≤15，
m
当10+ ≤15时，
60
∵a＝﹣2＜0，
m
∴当x=10+ 时，W取最大值，
60
m
即10+ =12，
60
解得m＝120；
m
当10+ ＞15时，
60
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝15时，W取最大值，与题意x＝12时W取最大值不符；
综上，若每亩钾肥施用量为12公斤时，每亩玉米的利润最大，则m＝120．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．（12分）折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达
“三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的
变换问题．
【操作发现】
第25页（共29页）如图1，在矩形ABCD中，按如下步骤操作：
①如图1﹣a，第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，C与D重合，展平纸片得到折痕MN；
②如图1﹣b，第二次折叠，点C落在MN上，折痕与MN交于点F；
③如图1﹣c，第三次折叠，点D与点E重合；
⑤如图1﹣d，展平纸片；
（1）判断△DEH的形状，并说明理由；
【初步探究】
（2）在（1）的基础上，如图 2，作∠BCD 的平分线交 HF 于点 P，连接 PE，求证：∠PEH＝
∠CPF；
【深入探究】（3）在图2上补全图形，过点P作CD的平行线，分别交HE，BC，HD于点Q，R，
S，试判断SP，PQ，QR的数量关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、
旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）△DEH是等边三角形，理由见解答；
（2）证明见解答；
（3）PQ2＝QR2+PS2．
【分析】（1）连接DO，CO，根据折叠的性质，证得△DOC是等边三角形，根据矩形的性质求出
∠HDE，即可解答；
（2）根据折叠的性质及角平分线的性质，求出∠FPC，连接PD，过P作PG⊥CD于G，PR⊥BC于
R，证明△PGD≌△PRE（SAS），进而证明△PED是等腰直角三角形，求出∠HEP，即可得证；
第26页（共29页）（3）根据题意作图，得到四边形SDCR是矩形，四边形SPGD是矩形，四边形PRCG是正方形，进而
得到SP＝RE，PQ＝QE，利用勾股定理即可解答．
【解答】（1）解：△DEH是等边三角形，理由如下：
由折叠知HE＝DH，
如图，连接DO，CO，
∵由折叠知MN垂直平分CD，
∴DO＝CO，
∵DC＝DO，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ODE＝∠CDE＝30°，
∵矩形ABCD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠HDE＝90°﹣∠CDE＝60°，
∴△DEH是等边三角形．
（2）证明：由折叠知∠DHF＝∠EHF＝30°，
∴∠HKD＝90°﹣∠DHF＝60°，
∵CP平分∠BCD，
1
∴∠DCP= ∠BCD=45°，
2
∴∠FPC＝∠DHF﹣∠DCP＝15°，
如图，连接PD，过P作PG⊥CD于G，PR⊥BC于R，
∴∠PGD＝∠PRE＝90°，
第27页（共29页）∵CP平分∠BCD，
∴PR＝PG，
又∵MN垂直平分CD，
∴PE＝PD，
∴△PGD≌△PRE（SAS），
∴∠RPE＝∠DPG，
∴∠DPG+∠GPE＝∠RPE+∠GPE＝90°，
即∠DPE＝90°，
∴△PED是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°，
∴∠HEP＝∠HED﹣∠PED＝60°﹣45°＝15°，
∴∠HEP＝∠FPC．
（3）解：PQ2＝QR2+PS2，理由如下：
如图，
∵PR∥CD，矩形ABCD，
∴∠DSR＝∠PRC＝∠SDC＝∠DCR＝90°，
∴四边形SDCR是矩形，四边形SPGD是矩形，四边形PRCG是正方形，
∴SP＝DG，
由（2）得△PGD≌△PRE，DG＝RE，
∴SP＝RE，
∵△DEH是等边三角形，
∴∠DHE＝60°，
∴∠HQS＝∠PSD﹣∠DHQ＝90°﹣60°＝30°，
由（2）得∠HEP＝15°，
∴∠EPQ＝∠PQH﹣∠QEP＝30°﹣15°＝15°，
∴PQ＝QE，
在Rt△QRE中，QE2＝QR2+ER2，
第28页（共29页）∴PQ2＝QR2+PS2．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形
的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键．
第29页（共29页）
