文档内容
2026年菁优中考数学解密之整式
一．选择题（共10小题）
1．（2025•南岗区校级四模）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a3）3＝a6
C．3a3+2a3＝5a3 D．a9÷a3＝a3
2．（2025•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6
3．（2025•扬州三模）已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A．8 B．15 C．40 D．125
4．（2025•威海一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．例如：
f（4）＝f（2+2）＝f（2）•f（2）．若f（3）＝k，那么f（300）的结果为（ ）
A．3100 B．1003 C．3100k D．k100
5．（2025•晋中二模）下列运算正确的是（ ）
A．5a2﹣a2＝4 B．（﹣a2）3＝a6
C．（1+x）2＝1+x+x2 D．m4÷m3＝m
6．（2025•龙岗区校级模拟）下列多项式中，属于完全平方式的是（ ）
1 1 1
A．x2-x+ B．x2+ x+
4 2 4
1 1 1 1
C．x2+ x- D．x2- x+
4 4 4 4
7．（2025•利通区校级二模）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a3）2＝a6 D．（3ab）3＝9a3b3
8．（2025•广西模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（ab2）3＝a3b5
C．（m+2n）2＝m2+4n2+4mn D．（m+4）（m﹣4）＝m2﹣4
9．（2025•东昌府区二模）下列运算中不正确的是（ ）
A．2a2•3a3＝6a5 B．（﹣4a2b）2＝16a4b2
C．3a﹣a＝2a D．（﹣2a）3÷a＝8a2
10．（2025•长春模拟）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
第1页（共22页）A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•阿城区一模）定义新运算：a※b＝（a+1）（b+1），则 x※（x﹣1）的运算结果为
．
12．（2025•河北一模）计算：20252﹣2024×2026＝ ．
13．（2025•银川校级一模）若ax＝2，ay＝3，则a3x+2y＝ ．
14．（2025•九龙坡区校级三模）对于一个四位正整数M，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个
位数字小2，那么称这个数M为“得胜数”．例如：M＝6325，因为6＝2×3，5＝3+2，所以6325是个
“得胜数”；又如M＝6528，因为8≠5+2，所以6528不是一个“得胜数”．则满足条件的最小“得胜
数”是 ．已知一个四位正整数N，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个
新的四位数，称这个数为数N的“超越数”，记F（N）为四位正整数N与其“超越数”之差，例如：
N＝5876，其“超越数”为6785，F（5876）＝5876﹣6785＝﹣909．若一个“得胜数”M的十位数字
为a，百位数字为b，T（M）＝F（M）+a﹣4b﹣4，若T（M）是9的倍数，则满足条件的M的最大值
是 ．
15．（2025•海陵区校级三模）如果2m÷4n＝8，那么（m+2n）2﹣8mn＝ ．
16．（2025•琼中县一模）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别
是S 和S ，两正方形的面积和S +S ＝100，已知BG＝14，则图中阴影部分面积为 ．
1 2 1 2
第2页（共22页）17．（2025•重庆模拟）一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与
十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数2457，∵2+7＝9，4+5＝9，∴2457
是“九九数”．最小的“九九数”为 ；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的
M的最大值与最小值之差为 ．
18．（2025•双流区模拟）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，则这两
个正方形的边长之和为 cm．
19．（2025•哈尔滨模拟）定义一种新运算：a☆b＝ab﹣a2，则x☆（x+y）＝ ．
{n2 ，n＜10
20．（2025•东港区校级三模）对于正整数n，定义F(n)= ，其中f（n）表示n的首位数
f(n)，n≥10
字、末位数字的平方差的绝对值．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝|12﹣32|＝8．规定F （n）＝F
1
（n），F （n）＝F（F （n））（k为正整数），例如，F （123）＝F（123）＝8，F （123）＝F
k+1 k 1 2
（F （123））＝F（8）＝64．按此定义，则F （3）＝ ．
1 2025
三．解答题（共5小题）
21．（2025•雨花区校级二模）先化简，再求值：[（x﹣3y）（x+3y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中
1
x＝﹣2，y= ．
2
22．（2025•渠县校级三模）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均
分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
（2）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：
；
【解决问题】
第3页（共22页）（3）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＞y，则x﹣y＝ ；
【实际应用】
（4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝
OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞
台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为 84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面
积和．
23．（2025•澄迈县校级模拟）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方
式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log N．比
a
如指数式24＝16可以转化为4＝log 16，对数式2＝log 25可以转化为52＝25．
2 5
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞
a a a
0）；理由如下：
设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an
a a
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log （M•N）
a
又∵m+n＝log M+log N
a a
∴log （M•N）＝log M+log N
a a a
解决以下问题：
（1）将指数43＝64转化为对数式： ．
M
（2）仿照上面的材料，试证明：log =log M-log N(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．
a N a a
（3）拓展运用：计算log 2+log 6﹣log 4．
3 3 3
24．（2025•西和县模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣
1，y＝2．
第4页（共22页）25．（2025•涿州市校级三模）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正
方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别
为a，b（a＞b）．
（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为 ，
还可以用两边的乘积表示为 ，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等
式 ；
（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为 90cm2，每个丙种矩形纸板的面积为
18cm2，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．
第5页（共22页）2026年菁优中考数学解密之整式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D D A C C D A
一．选择题（共10小题）
1．（2025•南岗区校级四模）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a3）3＝a6
C．3a3+2a3＝5a3 D．a9÷a3＝a3
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则A不符合题意，
（a3）3＝a9，则B不符合题意，
3a3+2a3＝5a3，则C符合题意，
a9÷a3＝a6，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是
解题的关键．
2．（2025•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
m2•m4＝m6，则B符合题意，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则C不符合题意，
第6页（共22页）（2m2）3＝8m6，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是
解题的关键．
3．（2025•扬州三模）已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A．8 B．15 C．40 D．125
【考点】同底数幂的乘法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵2x＝5，
∴2x+3
＝2x×23
＝5×8
＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用．
4．（2025•威海一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．例如：
f（4）＝f（2+2）＝f（2）•f（2）．若f（3）＝k，那么f（300）的结果为（ ）
A．3100 B．1003 C．3100k D．k100
【考点】同底数幂的乘法．
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【专题】新定义；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据新定义进行计算即可求解．
【解答】解：∵f（m+n）＝f（m）•f（n），f（3）＝k，
∴
f(300)=f(3+3+3+⋯+3)=f(3)f(3)f(3)⋯f(3)=k⋅k⋅k⋯k=k100
，
¿ ¿ ¿
即f（300）的结果为k100．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成
常规运算．
5．（2025•晋中二模）下列运算正确的是（ ）
第7页（共22页）A．5a2﹣a2＝4 B．（﹣a2）3＝a6
C．（1+x）2＝1+x+x2 D．m4÷m3＝m
【考点】整式的混合运算．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方与同底数幂除法运算法则、完全平方公式分别计算各项，
然后再进行判断即可．
【解答】解：A、5a2﹣a2＝4a2，故A不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B不符合题意；
C、（1+x）2＝1+2x+x2，故C不符合题意；
D、正确，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项、积的乘方与完全平方公式、同底数幂除法运算，熟练掌握运算
法则是解答此题的关键．
6．（2025•龙岗区校级模拟）下列多项式中，属于完全平方式的是（ ）
1 1 1
A．x2-x+ B．x2+ x+
4 2 4
1 1 1 1
C．x2+ x- D．x2- x+
4 4 4 4
【考点】完全平方式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可．
1 1 1
【解答】解：A.x2-x+ =x2-x+(
)
2=(x-
)
2
，故选项A符合题意；
4 2 2
1 1
B.x2+ x+ 不符合完全平方公式的特征，故选项B不符合题意；
2 4
1 1
C.x2+ x- 不符合完全平方公式的特征，故选项C不符合题意；
4 4
1 1
D.x2- x+ 不符合完全平方公式的特征，故选项D不符合题意．
4 4
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
第8页（共22页）7．（2025•利通区校级二模）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a3）2＝a6 D．（3ab）3＝9a3b3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据选项各自的运算法则一一计算并判断即可．
【解答】解：根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方以及积的乘方运算法则逐项分析判断
如下：
A．计算结果是a7，原计算错误，故该选项不符合题意；
B．计算结果是a4，原计算错误，故该选项不符合题意；
C．（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故该选项符合题意；
D．计算结果是27a3b3，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方以及积的乘方运算，熟练掌握
运算法则是关键．
8．（2025•广西模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（ab2）3＝a3b5
C．（m+2n）2＝m2+4n2+4mn D．（m+4）（m﹣4）＝m2﹣4
【考点】整式的混合运算．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，逐一计算即可解答．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，不符合题意；
B、（ab2）3＝a3b6，不符合题意；
C、（m+2n）2＝m2+4n2+4mn，符合题意；
D、（m+4）（m﹣4）＝m2﹣16，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
9．（2025•东昌府区二模）下列运算中不正确的是（ ）
A．2a2•3a3＝6a5 B．（﹣4a2b）2＝16a4b2
第9页（共22页）C．3a﹣a＝2a D．（﹣2a）3÷a＝8a2
【考点】整式的混合运算．
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【专题】数与式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式法则逐项
判断即可得．
【解答】解：A．2a2•3a3＝6a5，不符合题意；
B．（﹣4a2b）2＝16a4b2，不符合题意；
C．3a﹣a＝2a，不符合题意；
D．（﹣2a）3÷a＝﹣8a3÷a＝﹣8a2，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，熟练
掌握各运算法则是解题关键．
10．（2025•长春模拟）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】完全平方公式的几何背景．
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【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可．
【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释，
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
第10页（共22页）二．填空题（共10小题）
11．（2025•阿城区一模）定义新运算：a※b＝（a+1）（b+1），则x※（x﹣1）的运算结果为 x 2 + x ．
【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算．
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【专题】新定义；整式；运算能力．
【答案】x2+x．
【分析】根据a※b＝（a+1）（b+1），可以求得将所求式子化简．
【解答】解：∵a※b＝（a+1）（b+1），
∴x※（x﹣1）
＝（x+1）（x﹣1+1）
＝（x+1）•x
＝x2+x，
故答案为：x2+x．
【点评】本题考查整式的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．（2025•河北一模）计算：20252﹣2024×2026＝ 1 ．
【考点】平方差公式．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：20252﹣2024×2026
＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1）
＝20252﹣（20252﹣1）
＝20252﹣20252+1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2025•银川校级一模）若ax＝2，ay＝3，则a3x+2y＝ 7 2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
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【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据幂的乘方的法则分别求出a3x和a2y的值，然后按照同底数幂的乘法法则求解a3x+2y．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴a3x＝（ax）3＝8，
第11页（共22页）a2y＝（ay）2＝9，
则a3x+2y＝a3x•a2y＝72．
故答案为：72．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂的乘法
法则．
14．（2025•九龙坡区校级三模）对于一个四位正整数M，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个
位数字小2，那么称这个数M为“得胜数”．例如：M＝6325，因为6＝2×3，5＝3+2，所以6325是个
“得胜数”；又如M＝6528，因为8≠5+2，所以6528不是一个“得胜数”．则满足条件的最小“得胜
数”是 301 2 ．已知一个四位正整数N，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的
四位数，称这个数为数N的“超越数”，记F（N）为四位正整数N与其“超越数”之差，例如：N＝
5876，其“超越数”为6785，F（5876）＝5876﹣6785＝﹣909．若一个“得胜数”M的十位数字为
a，百位数字为b，T（M）＝F（M）+a﹣4b﹣4，若T（M）是9的倍数，则满足条件的M的最大值是
9234 ．
【考点】整式的加减；规律型：数字的变化类．
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【专题】新定义；整式；数感；运算能力．
【答案】3012；9234．
【分析】根据题干中“得胜数”的定义，设出该四位正整数及相应字母取值范围，即可求得最小的
“得胜数”；
根据题意表示出F（M）、T（M），然后再根据T（M）是9的倍数，化简后即可在对应范围内求得满
足条件的M的最大值．
【解答】解：∵对于一个四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，
∴设这个四位正整数M=(3a)ba(b+2)，且可得1≤a≤3，0≤b≤7，
∵要求最小的“得胜数”，∴a＝1，b＝0，则3a＝3，b+2＝2，
∴满足条件的最小“得胜数”是3012；
∵“得胜数”M 的十位数字是a，百位数字是b，
∴该“得胜数”为(3a)ba(b+2)，则数M的超越数为(b+2)ab(3a)，
∴F（M）＝（3000a+100b+10a+b+2）﹣（1000b+2000+100a+10b+3a）＝2907a﹣909b﹣1998，
∴T（M）＝F（M）+a﹣4b﹣4＝2908a﹣913b﹣2002，
又∵T（M）是9的倍数，
即（9×323a+a）﹣（9×101b+4b）﹣（9×202+4）是9的倍数，
第12页（共22页）即a﹣4b﹣4是9的倍数，
又∵1≤a≤3，0≤b≤7，且要求M的最大值，
∴a＝3，b＝2，
∴满足条件的M的最大值是9234．
故答案为：3012；9234．
【点评】本题是一道新定义类题目，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义
是解答的关键．
15．（2025•海陵区校级三模）如果2m÷4n＝8，那么（m+2n）2﹣8mn＝ 9 ．
【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】9．
【分析】逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得2m÷4n＝2m÷（22）n＝2m÷22n＝2m﹣2n，由题意可得m﹣2n
＝3，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解．
【解答】解：2m÷4n＝8，
2m÷（22）n＝8，
2m÷22n＝8，
2m﹣2n＝8，
2m﹣2n＝23，
∴m﹣2n＝3，
∴（m+2n）2﹣8mn＝m2+4mn+4n2﹣8mn
＝m2﹣4mn+4n2
＝（m﹣2n）2
＝32
＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．
16．（2025•琼中县一模）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别
是S 和S ，两正方形的面积和S +S ＝100，已知BG＝14，则图中阴影部分面积为 2 4 ．
1 2 1 2
第13页（共22页）【考点】完全平方公式的几何背景．
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【专题】整式；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】24．
【分析】设BC＝a，CG＝b，依题意得S阴影 ＝1/2ab，S
1
+S
2
＝a2+b2＝100，a+b＝14，进而得（a+b）2
＝142，由此得ab＝48，据此即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
1
∴正方形ABCD的面积S
1
＝a2，正方形CEFG的面积S
2
＝b2，S阴影 =
2
ab，
∵S +S ＝100，
1 2
∴a2+b2＝100，
又∵BG＝14，
∴a+b＝14，
∴（a+b）2＝142，
∴a2+2ab+b2＝196，
∴2ab＝196﹣100＝96，
∴ab＝48，
1
∴ ab＝24，
2
∴阴影部分的面积为24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了正方形的面积，完全平方公式，熟练掌握正方形的面积，完全平方公式的结
构特征是解决问题的关键．
17．（2025•重庆模拟）一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与
十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数2457，∵2+7＝9，4+5＝9，∴2457
第14页（共22页）是“九九数”．最小的“九九数”为 1098 ；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M
的最大值与最小值之差为 871 2 ．
【考点】整式的加减．
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【专题】创新题型；能力层次．
【答案】1098，8712．
【分析】先列出千位上的数字与个位上的数，百位上的数字与十位上的数字之间的关系，根据数的规
律进行分析．
【解答】解：设这个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字分别为x，y，m，n．
则这个四位数可以表示为1000x+100y+10m+n，
由题意得：x+n＝9，y+m＝9，
想要这个四位数最小，则高位取值越小即可，
所以x＝1，则n＝8，y＝0，则m＝9，
所以这个四位数为1098．
因为x＝9﹣n，y＝9﹣m，
所以这个数还可以表示为 1000（9﹣n）+100（9﹣m）+10m+n＝9900﹣999n﹣90m＝9900﹣9
（111n+10m），
∵9900能被11整除，
∴如果这个数想要被11整除，则n+10m需要能被11整除
∵m，n越大这个数越小，
∴m＝n＝8时，最小的数为1188，m＝n＝0时，最大的数为9900，
∴最大数和最小数的差为8712．
故答案为1098，8712．
【点评】本题主要考查整式加减．解题的关键是根据题意列出关系式．
18．（2025•双流区模拟）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，则这两
个正方形的边长之和为 4 0 cm．
【考点】平方差公式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】40．
【分析】设正方形Ⅰ的边长为acm，正方形Ⅱ的边长为bcm，根据题意可得：4a﹣4b＝96，a2﹣b2＝
960，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设正方形Ⅰ的边长为acm，正方形Ⅱ的边长为bcm，
第15页（共22页）由题意得：4a﹣4b＝96，a2﹣b2＝960，
∴a﹣b＝24，（a+b）（a﹣b）＝960，
解得：a+b＝40，
∴这两个正方形的边长之和为40cm，
故答案为：40．
【点评】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（2025•哈尔滨模拟）定义一种新运算：a☆b＝ab﹣a2，则x☆（x+y）＝xy ．
【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算．
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【专题】新定义；整式；运算能力．
【答案】xy．
【分析】根据a☆b＝ab﹣a2，可以将所求式子变形，然后化简即可．
【解答】解：∵a☆b＝ab﹣a2，
∴x☆（x+y）
＝x（x+y）﹣x2
＝x2+xy﹣x2
＝xy，
故答案为：xy．
【点评】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
{n2 ，n＜10
20．（2025•东港区校级三模）对于正整数n，定义F(n)= ，其中f（n）表示n的首位数
f(n)，n≥10
字、末位数字的平方差的绝对值．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝|12﹣32|＝8．规定F （n）＝F
1
（n），F （n）＝F（F （n））（k为正整数），例如，F （123）＝F（123）＝8，F （123）＝F
k+1 k 1 2
（F （123））＝F（8）＝64．按此定义，则F （3）＝ 4 5 ．
1 2025
【考点】平方差公式；绝对值；规律型：数字的变化类．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】45．
【分析】分别计算F （3）、F （3）、F （3）、F （3）、F （3）、F （3），发现规律为每5次是
1 2 3 4 5 6
一组循环即可求解．
【解答】解：由题意得，F (3)=32=9，
1
∴F (3)=F(F (3))=F(9)=92=81，
2 1
第16页（共22页）F (3)=F(F (3))=F(81)=|82-12|=63，
3 2
F (3)=F(F (3))=F(63)=|62-32|=27，
4 3
F (3)=F(F (3))=F(27)=|22-72|=45，
5 4
F (3)=F(F (3))=F(45)=|42-52|=9，
6 5
……，
∴可知每5次9，81，63，27，45是一组循环，
∵2025÷5＝401，
∴F （3）＝F （3）＝45，
2025 5
故答案为：45．
【点评】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•雨花区校级二模）先化简，再求值：[（x﹣3y）（x+3y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中
1
x＝﹣2，y= ．
2
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
7
【答案】x﹣3y，- ．
2
【分析】先根据整式的运算法则和运算顺序进行化简，再代值计算即可．
【解答】解：原式＝[x2﹣9y2﹣（x2﹣2xy+y2）+2xy﹣2y2]÷4y
＝（x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷4y
＝（4xy﹣12y2）÷4y
＝x﹣3y；
1 1 7
当x=-2，y= 时，原式=-2-3× =- ．
2 2 2
【点评】本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键．
22．（2025•渠县校级三模）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均
分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
第17页（共22页）（1）图2中的阴影部分正方形的边长是 a ﹣ b （用含a，b的代数式表示）；
（2）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是： （ a + b ） 2 ﹣ （ a ﹣ b ） 2 ＝
4 ab ；
【解决问题】
（3）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＞y，则x﹣y＝ 4 ；
【实际应用】
（4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝
OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞
台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为 84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面
积和．
【考点】完全平方公式的几何背景．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a﹣b；
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）4；
（4）116．
【分析】（1）根据图形即可求解；
（2）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可；
（3）利用（2）所得的等量关系解得即可；
（4）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，可得a+b＝20，ab＝84，再利用完全平方公式计算即可求解．
【解答】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的边长为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）大正方形的面积为（a+b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
第18页（共22页）长方形的面积为ab，
由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）由（2）可得，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵（x+y）2＝28，xy＝3，
∴28﹣（x﹣y）2＝4×3，
∴（x﹣y）2＝16，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴x﹣y＝4，
故答案为：4；
（4）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，
∵AC＝20，
∴a+b＝20，
∴（a+b）2＝400，
即a2+b2+2ab＝400，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，
∵无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，
1 1
∴ ab+ ab=ab=84，
2 2
∴2ab＝168，
∴a2+b2＝400﹣168＝232，
1 1 1
∴主舞台和观众区的面积和为 a2+ b2= (a2+b2 )=116．
2 2 2
【点评】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的
运用是解题的关键．
23．（2025•澄迈县校级模拟）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方
式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log N．比
a
第19页（共22页）如指数式24＝16可以转化为4＝log 16，对数式2＝log 25可以转化为52＝25．
2 5
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞
a a a
0）；理由如下：
设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an
a a
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log （M•N）
a
又∵m+n＝log M+log N
a a
∴log （M•N）＝log M+log N
a a a
解决以下问题：
（1）将指数43＝64转化为对数式： 3=log 64 ．
4
M
（2）仿照上面的材料，试证明：log =log M-log N(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．
a N a a
（3）拓展运用：计算log 2+log 6﹣log 4．
3 3 3
【考点】同底数幂的乘法；有理数的混合运算；数学常识．
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【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）3=log 64；
4
（2）见解答过程；
（3）1．
【分析】（1）根据对数式的形式进行求解即可；
（2）参照材料进行求解即可；
（3）结合对数式的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）43＝64转化为对数式为：3=log 64，
4
故答案为：3=log 64；
4
（2）证明：设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴M÷N＝am÷an＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log （M÷N），
a
又∵m﹣n＝log M﹣log N，
a a
∴log （M÷N）＝log M﹣log N，
a a a
M
即 log N =log M-log N；
a a a
（3）log 2+log 6﹣log 4
3 3 3
第20页（共22页）=log 2×6÷4
3
=log 3
3
＝1．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．（2025•西和县模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣
1，y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】4x2+3y2，16．
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算
即可．
【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y）
原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy
＝4x2+3y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝4×（﹣1）2+3×22
＝4+12
＝16．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．
25．（2025•涿州市校级三模）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正
方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别
为a，b（a＞b）．
（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为 2 a 2 + 2 b 2 + 5 a b ，还可
以用两边的乘积表示为 （ a + 2 b ）（ 2 a + b ） ，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式
（ a + 2 b ）（ 2 a + b ）＝ 2 a 2 + 2 b 2 + 5 a b ；
第21页（共22页）（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为 90cm2，每个丙种矩形纸板的面积为
18cm2，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式．
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【专题】整式．
【答案】（1）2a2+2b2+5ab，（a+2b）（2a+b），2a2+2b2+5ab＝（a+2b）（2a+b）．
（2）54cm．
【分析】（1）矩形纸板的面积可以用2个大正方形、2个小正方形和5个矩形的面积的和表示，也可
以利用矩形的面积公式直接表示，所以得到多项式乘法（a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab；
（2）由于2a2+2b2＝90，ab＝18，所以a2+b2＝45，2ab＝36，两式相加得到（a+b）2＝81，则a+b＝
9，而所有裁剪线（虚线）的长度之和为6（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为2a2+2b2+5ab，还可以
用两边的乘积表示为（a+2b）（2a+b），
所以利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab；
故答案为：2a2+2b2+5ab，（a+2b）（2a+b），2a2+2b2+5ab＝（a+2b）（2a+b）；
（2）根据题意可得：2a2+2b2＝90，ab＝18，
∴a2+b2＝45，2ab＝36，
∴a2+b2+2ab＝45+36＝81，
∴（a+b）2＝81，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝9，
∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为6（a+b）＝6×9＝54（cm）．
【点评】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使
问题简单化，并且迅速地解决相关问题．
第22页（共22页）
