文档内容
2025年河南省郑州市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）（2025•新疆三模）课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中
气温最低的是（ ）
A．乌鲁木齐﹣4℃ B．郑州6℃
C．呼和浩特﹣3℃ D．成都10℃
2．（3分）（2025•郑州二模）2024年河南粮食总产量达1343.9亿斤，同比增长1.4%，连续8年稳定在
1300亿斤以上，产量占全国的四分之一，数据“1343.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.13439×1011 B．1.3439×1012
C．1.3439×1011 D．13.439×1010
3．（3分）（2025•郑州二模）一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2025•郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（
）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6
5．（3分）（2025•郑州二模）从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若AD∥BC，BE∥DC，BF平
分∠EBC，交AD于点G．若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
1 2
6．（3分）（2025•怀宁县二模）化简 + 的结果是（ ）
x-1 1-x2
1 x+3
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
x+1 x2-1
第1页（共35页）7．（3分）（2025•郑州二模）小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中
任意选择一个数，然后两人各转动一次转盘（如图），谁事先选择的数等于两人转得的数字之和谁就
获胜；如果两人选择的数都不等于转得的数字之和就再做一次上述游戏，直至决出胜负，如果你是游
戏者，你获胜选择的数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）（2025•郑州二模）如图，点A，B，C，D为 O上的点，四边形OABC为菱形，点D在优弧
^ADC上，则∠D的度数为（ ） ⊙
A．45° B．50° C．60° D．70°
9．（3分）（2025•郑州二模）将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m（m＞0）个单位后，与x轴交于A，B两点，
若AB＝4，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）（2025•郑州二模）如图，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（6，0），点A在第一象
限内，点C在边OB上且BC＝2，点D为边AB上一动点（不与点B重合），连接CD，将△BCD沿
CD折叠得到△ECD，当△AOE的面积最小时，点E的坐标为（ ）
4
A．(3，√3) B．(4- √3，1)
3
C．(4-√3，1) D．(2，√3)
第2页（共35页）二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）（2025•郑州二模）一次函数y＝kx﹣2（k是常数，且k≠0），y随x的增大而减小，则k的值
可以是 ．（写出一个值即可）
12．（3分）（2025•郑州二模）某公司2023﹣2024年的总支出情况如图所示，该公司2023年的工资支出
占总支出的60%，2024年与2023年相比在工资方面的支出金额的变化情况是 ．（填“变
多”“变少”或“不变”）
{x＞3
13．（3分）（2025•郑州二模）若x＝4是一元一次不等式组 的一个整数解，则m的取值范围是
x＞m
．
14．（3分）（2025•郑州二模）如图，已知点P在直线l外，利用如下方法可以作出过点P与直线l平行
的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为
圆心，以PA长为半径作弧；以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线PC，则
PC∥l．接 BP，AC，若直线 PC 与 l 之间的距离为√2，PA＝2，则图中阴影部分的面积为
．
15．（3分）（2025•凉州区二模）已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的直角顶点A重合，
AB=AC=3√2，AD＝AE＝2．连接BE，CD，将△ADE绕点A在平面内旋转，旋转后的三角形为
AE′D′，若点M是BE的中点，当E′，D′，C三点共线时，线段AM的长为 ．
第3页（共35页）三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
1
16．（10分）（2025•怀宁县二模）（1）计算：6sin45°-√18+( ) -1-(π-2) 0 ；
2
（2）（a+2b）2﹣b（4a﹣b）．
17．（9分）（2025•郑州二模）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿
度、光照传感器，结合AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，
随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量（单位：g）、糖度（单位：Brix）进行测评，并对
数据进行整理、描述和分析：
甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 24.1 25.3 22.5 23.9 26.0 21.2 24.7 25.8 20.7 23.4
糖度 9.5 10.3 8.8 9.7 10.6 8.9 11.0 10.2 9.1 10.4
乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 19.5 21.0 18.3 20.6 22.1 17.8 20.2 19.1 21.5 18.4
糖度 11.7 10.9 12.0 11.3 10.6 12.2 11.5 10.8 12.1 11.2
甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下：
平均数 中位数 方差
质量 甲 23.76 23.65 3.0204
乙 19.85 19.3 1.9185
糖度 甲 9.85 9.6 0.5225
乙 11.43 11.25 0.2881
（1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？
（2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．
3 k
18．（9分）（2025•郑州二模）如图，已知一次函数y = x与反比例函数y = (k≠0)的图象相交于点
1 2 2 x
第4页（共35页）A（m，3）．
（1）m的值为 ，k的值为 ；
（2）直接写出y ＞y 时自变量x的取值范围；
1 2
（3）以OA为边，在直线 OA的下方作正方形 OABC，请通过计算判断点 B是否落在反比例函数
k
y = (k≠0)上．
2 x
19．（9分）（2025•郑州二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12．
（1）如图（1），点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积平分，并说
明理由；
1
（2）如图（2），若点E为对角线AC上一点，且AE= AC，点F为边AB上一点，作直线EF交边
4
AD于点G，直接写出△AFG面积的最小值．
20．（9分）（2025•郑州二模）在“体育与心率”综合实践活动课上，研究小组选取九年级部分男同学，
通过佩戴同一品牌的运动手环进行运动中即时速度、心率和摄氧量的测量，收集到如下 15组数据，并
给出有氧运动的控制阈值：
组别 跑步速度 心率 摄氧量 运动强度
（m/s） （bpm） （ml/kg/min）
第1组 3.0 115 32 低强度有氧
第2组 3.2 122 35 有氧区间
第3组 3.4 128 38 有氧区间
第5页（共35页）第4组 3.6 135 42 有氧区间
第5组 3.8 142 46 有氧区间
第6组 4.0 148 49 有氧阈值
第7组 4.2 155 52 有氧峰值
第8组 4.3 162 53 混合代谢
第9组 4.4 168 53 无氧过渡
第10组 4.5 175 53 无氧运动
第11组 4.6 178 53 无氧运动
第12组 4.7 182 53 无氧运动
第13组 4.8 185 53 无氧运动
第14组 4.9 188 53 无氧运动
第15组 5.0 192 53 无氧运动
用x表示跑步速度，用y表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，发现速度在 3～4.2m/s时可
用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系：
（1）不妨取表中第1组和第6组数据代入函数模型，求出y关于x的函数表达式；
（2）某位同学跑完1000米用时4分4秒，请通过计算判断该同学的运动强度；
（3）1000米跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间时身体
从有氧向无氧代谢过渡．研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标准需
兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级定男生1000米跑的满分标准，并解释其合理性．
21．（9分）（2025•郑州二模）在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，过点A作 O的切线
AM，在AM上截取AD＝BC，连接CD交 O于点F． ⊙ ⊙
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理⊙由；
（2）连接AF，若 O的半径为5，AB＝4√5，求AF的长．
⊙
第6页（共35页）22．（10分）（2025•郑州二模）郑州市某公园计划要建造一个直径为20m的圆形喷水池，在喷水池的周
边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心 4m处达到最高，高度为6m．
如图，以水平方向为x轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为
多高？
（3）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心4m处达到
最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为y＝a x2+b x+c （a ≠0），若（1）中抛物线表达式为y＝
2 2 2 2
a x2+b x+c （a≠0），则a a ，b b ，c
1 1 1 2 1 2 1 2
c （填“＞”“＜”或“＝”）．
1
23．（10分）（2025•郑州二模）如图（1），点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂
线，垂足分别为D，E，F．试探究AF+BD+CE与△ABC周长的关系．记l＝AF+BD+CE，c＝△ABC的
周长．
第7页（共35页）（1）从特殊情形入手：
①若点P在△ABC的中心，如图（2），此时l与c的关系为 ；
②若点P在△ABC的一条高AG上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由．
（2）若点P不在△ABC的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请写出解
决过程．
第8页（共35页）2025年河南省郑州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C． D B B B B C B C
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）（2025•新疆三模）课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中
气温最低的是（ ）
A．乌鲁木齐﹣4℃ B．郑州6℃
C．呼和浩特﹣3℃ D．成都10℃
【考点】有理数大小比较．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】比较所给的四个数，选出最小的即为所求．
【解答】解：所给的数的大小顺序为﹣4＜﹣3＜6＜10，
∴乌鲁木齐的气温最低，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的大小比较；能够对负数进行正确的大小比较是解题的关键．
2．（3分）（2025•郑州二模）2024年河南粮食总产量达1343.9亿斤，同比增长1.4%，连续8年稳定在
1300亿斤以上，产量占全国的四分之一，数据“1343.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.13439×1011 B．1.3439×1012
C．1.3439×1011 D．13.439×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1343.9亿＝134390000000＝1.3439×1011．
故选：C．
第9页（共35页）【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2025•郑州二模）一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】由俯视图想象几何体的前面的形状即可得．
【解答】解：从俯视图可知，直四棱柱的底面是下底比上底短的梯形，所以从正面看得到的长方形里
应表示出后面2条看到但实际存在的棱，所以应有2条实线，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体和简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视
图．
4．（3分）（2025•郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（
）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6
【考点】根与系数的关系．
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【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】B
【分析】设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案．
【解答】解：
设方程的另一根为x，
∵方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，
∴3x＝﹣3，解得x＝﹣1，即方程的另一根为﹣1，
故选：B．
c
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于 是解题的关键．
a
第10页（共35页）5．（3分）（2025•郑州二模）从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若AD∥BC，BE∥DC，BF平
分∠EBC，交AD于点G．若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
1
【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠1＝70°，∠2＝∠CBG，由角平分线定义求出∠CBG= ∠EBC
2
＝35°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵BE∥DC，
∴∠ABC＝∠1＝70°，
∵BF平分∠EBC，
1
∴∠CBG= ∠EBC＝35°，
2
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠CBG＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠1，∠2＝∠CBG．
1 2
6．（3分）（2025•怀宁县二模）化简 + 的结果是（ ）
x-1 1-x2
1 x+3
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
x+1 x2-1
【考点】分式的加减法．
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【专题】计算题；分式．
【答案】B
【分析】原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
x+1-2 x-1 1
= = =
【解答】解：原式 ，
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1) x+1
第11页（共35页）故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）（2025•郑州二模）小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中
任意选择一个数，然后两人各转动一次转盘（如图），谁事先选择的数等于两人转得的数字之和谁就
获胜；如果两人选择的数都不等于转得的数字之和就再做一次上述游戏，直至决出胜负，如果你是游
戏者，你获胜选择的数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】利用列表法或者树状图列出所有可能性，再找到符合题意的事件，进而得解．
【解答】解：列表可得：
小新和小颖 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
由表格可得，共有25种等可能出现的结果，
其中6出现的次数最多，为5次，即选择6获胜的概率最大，
故如果你是游戏者，你获胜选择的数是6，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两 步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于
所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即
可得解．
8．（3分）（2025•郑州二模）如图，点A，B，C，D为 O上的点，四边形OABC为菱形，点D在优弧
⊙
第12页（共35页）^ADC上，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆内接四边形的性质；菱形的性质；圆周角定理．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，再由圆周角定理得出∠AOC＝2∠D，故可得出∠B＝
2∠D，再由圆内接四边形的性质可得出∠B+∠D＝180°，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形OABC为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∵^AC=^AC，
∴∠AOC＝2∠D，
∴∠B＝2∠D，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即2∠D+∠D＝180°，
解得∠D＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质及圆周角定理，熟知以上知识是解题的关键．
9．（3分）（2025•郑州二模）将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m（m＞0）个单位后，与x轴交于A，B两点，
若AB＝4，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出平移后新抛物线的函数解析式，再
由求出新抛物线与x轴的交点的横坐标，依据AB＝4，即可求解．
【解答】解：新抛物线的解析式为y＝﹣x2+m+1，
第13页（共35页）当y＝0时，﹣x2+m+1＝0，
解得x =√m+1，x =-√m+1，
1 2
∵AB＝4，
∴√m+1-(-√m+1)=4，
解得m＝3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、抛物线的平移等知识，熟练掌握该知识点是关键．
10．（3分）（2025•郑州二模）如图，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（6，0），点A在第一象
限内，点C在边OB上且BC＝2，点D为边AB上一动点（不与点B重合），连接CD，将△BCD沿
CD折叠得到△ECD，当△AOE的面积最小时，点E的坐标为（ ）
4
A．(3，√3) B．(4- √3，1)
3
C．(4-√3，1) D．(2，√3)
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质可得OB＝6，∠AOB＝60°，求出OC＝4，由折叠的性质可得CE＝CB＝
2，推出点E在以C为圆心，2为半径的圆上，作CF⊥AO交AO于F，交 C于E'，此时E'F最小，得
出△AOE的面积最小，据此求解即可． ⊙
【解答】解：∵等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（6，0），
∴OB＝6，∠AOB＝60°，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4，
由折叠的性质可知，CE＝CB＝2，
∴点E在以C为圆心，2为半径的圆上，
作CF⊥AO交AO于F，交 C于E'，如图，
⊙
第14页（共35页）此时E'F最小，即此时△AOE 的面积最小，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OCF＝30°，
1 √3
∴E'G= CE'=1，CG= CE'=√3，
2 2
∴OG＝OC﹣CG＝4-√3，
∴点E的坐标为(4-√3，1)，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质，熟练掌握相关知识是解题
的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）（2025•郑州二模）一次函数y＝kx﹣2（k是常数，且k≠0），y随x的增大而减小，则k的值
可以是 ﹣ 1 （答案不唯一，负值均可） ．（写出一个值即可）
【考点】一次函数图象与系数的关系．
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣1（答案不唯一，负值均可）
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，取值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2（k是常数，且k≠0），y随x的增大而减小，
∴k＜0，
不妨设k＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一，负值均可）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．
12．（3分）（2025•郑州二模）某公司2023﹣2024年的总支出情况如图所示，该公司2023年的工资支出
占总支出的60%，2024年与2023年相比在工资方面的支出金额的变化情况是 变多 ．（填“变
多”“变少”或“不变”）
第15页（共35页）【考点】扇形统计图；条形统计图．
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【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】变多．
【分析】用2024年的总支出金额×工资支出所占比例即可得出工资的支出金额；用2023年的总支出金
额×60%，得出2023年工资的支出金额，再比较解答即可．
【解答】解：2024年工资的支出金额是200×50%＝100（万元）；
2023年该公司的工资支出占总支出150×60%＝90（万元），
∴2024年与2023年相比，工资支出的金额增多了．
故答案为：变多．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．
{x＞3
13．（3分）（2025•郑州二模）若x＝4是一元一次不等式组 的一个整数解，则m的取值范围是
x＞m
m ＜ 4 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m＜4．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据x＝4是一元一次不等式组的一个整数解即可得出答案．
{x＞3
【解答】解：∵x＝4是一元一次不等式组 的一个整数解，
x＞m
∴m的取值范围是m＜4．
故答案为：m＜4．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于m的取值范围是解题的关键．
14．（3分）（2025•郑州二模）如图，已知点P在直线l外，利用如下方法可以作出过点P与直线l平行
的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为
第16页（共35页）圆心，以PA长为半径作弧；以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线PC，则
PC∥l．接BP，AC，若直线PC与l之间的距离为√2，PA＝2，则图中阴影部分的面积为 π-2√2 ．
【考点】扇形面积的计算．
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【专题】运算能力．
【答案】π-2√2．
【分析】过点P作直线l的垂线，结合∠PAB的正弦值求出∠PAB的度数，再用扇形面积减去三角形的
面积可得出阴影部分的面积．
【解答】解：过点P作PH⊥l于点H，
∵直线PC与l之间的距离为√2，
∴PH=√2．
在Rt△PAH中，
PH √2
sin∠PAB= = ，
AP 2
∴∠PAB＝45°．
∵PC＝BA，且PC∥AB，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴S
△APB
＝S
△APC
，S扇形APB ＝S扇形PAC ，
45⋅π⋅22 1
∴S阴影 ＝2（S扇形APB ﹣S
△APB
）＝2×（
360
-
2
×2×√2）=π-2√2．
故答案为：π-2√2．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
15．（3分）（2025•凉州区二模）已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE的直角顶点A重合，
AB=AC=3√2，AD＝AE＝2．连接BE，CD，将△ADE绕点A在平面内旋转，旋转后的三角形为
第17页（共35页）4-√2 4+√2
AE′D′，若点M是BE的中点，当E′，D′，C三点共线时，线段AM的长为 或 ． ．
2 2
【考点】等腰直角三角形；旋转的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
4-√2 4+√2
【答案】 或 ．
2 2
【分析】依题意有以下两种情况：
①当点E'在CD'的延长线上时，延长AM到N，使MN＝MA，连接BN，E'N，设MD的延长线交
D'E'于点H，则四边形 ABNE'是平行四边形，证明△ABN和△CAD'全等得∠BAN＝∠ACD'，AN＝
CD'，由此可证明∠AHC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理分别求出AH＝D'H＝E'H
4-√2
=√2，CH＝4，进而得CD'＝CH﹣D'H=4-√2，据此可得出AM= ；
2
②当点 E'在线段 CD'上时，在 EA 的延长线上上取一点 G，使 AG＝AE'，连接 BG，过点 A 作
AH⊥D'E'于点 H，同①得AH＝D'H＝E'H=√2，CH＝4，则 CD'＝CH+D'H=4+√2，证明△BAG和
1 4+√2
△CAD'全等得BG＝CD'＝4+√2，再证明AM是△ABG的中位线，则AM= BG= ，综上所述即
2 2
可得出答案．
【解答】解：依题意有以下两种情况：
①当点E'在CD'的延长线上时，延长AM到N，使MN＝MA，连接BN，E'N，设MD的延长线交
D'E'于点H，如图1所示：
第18页（共35页）1
∴AM= AN，
2
∵点M是BE'的中点，
∴四边形ABNE'是平行四边形，
∴BN＝AE'，BN∥AE'，
∴∠ABN+∠BAE'＝180°，
由旋转的性质得：△AD'E'是等腰直角三角形，A'D'＝A'E'＝2，∠D'AE'＝90°，
由勾股定理得：D'E'=√AD'2+AE'2=2√2，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC=3√2，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD'+∠BAE'＝180°，
∴∠ABN＝∠CAD'，BN＝AD'，
在△ABN和△CAD'中，
{
AB=AC
∠ABN=∠CAD'，
BN=AD'
∴△ABN≌△CAD'（SAS），
∴∠BAN＝∠ACD'，AN＝CD'，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAN+∠CAH＝90°，
∴∠ACD'+∠CAH＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣（∠ACD'+∠CAH）＝90°，
1
∴AH＝D'H＝E'H= D'E'=√2，
2
在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH=√AC2-AH2=√(3√2) 2-(√2) 2=4，
第19页（共35页）∴CD'＝CH﹣D'H=4-√2，
1 4-√2
∴AM= AN= ；
2 2
②当点 E'在线段 CD'上时，在 EA 的延长线上上取一点 G，使 AG＝AE'，连接 BG，过点 A 作
AH⊥D'E'于点H，如图2所示：
同①得：AH＝D'H＝E'H'=√2，CH＝4，
则CD'＝CH+D'H=4+√2，
∴∠D'AE'＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠GAD'＝∠BAC＝90°，
∴∠GAD'+∠BAD'＝∠BAC+∠BAD'，
即∠BAG＝∠CAD'，
∴AG＝AE'，A'D'＝A'E'＝2，
∴AG＝AD'，
在△BAG和△CAD'中，
{
AG=AD'
∠BAG=∠CAD'，
AB=AC
∴△BAG≌△CAD'（SAS），
∴BG＝CD'=4+√2，
∵AG＝AE'，点M是BE'的中点，
∴AM是△ABG的中位线，
1 4+√2
∴AM= BG= ．
2 2
4-√2 4+√2
综上所述：当E′，D′，C三点共线时，线段AM的长为 或 ．
2 2
4-√2 4+√2
故答案为： 或 ．
2 2
第20页（共35页）【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角
形的性质，图形的旋转变换及其性质，正确地添加辅助线，构造平行四边形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
1
16．（10分）（2025•怀宁县二模）（1）计算：6sin45°-√18+( ) -1-(π-2) 0 ；
2
（2）（a+2b）2﹣b（4a﹣b）．
【考点】实数的运算；单项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函
数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）1；（2）a2+5b2．
【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加
减即可．
（2）利用完全平方式，乘法分配律计算后合并同类项即可．
√2
【解答】解：（1）原式=6× -3√2+2-1
2
＝1．
（2）（a+2b）2﹣b（4a﹣b）
＝a2+4ab+4b2﹣4ab+b2
＝a2+5b2．
【点评】本题主要考查实数运算的综合能力，涉及三角函数、二次根式化简、负整数指数幂、零指数
幂的运算，以及整式的乘法与合并同类项．熟练掌握以上知识点是关键．
17．（9分）（2025•郑州二模）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿
度、光照传感器，结合AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，
随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量（单位：g）、糖度（单位：Brix）进行测评，并对
数据进行整理、描述和分析：
甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 24.1 25.3 22.5 23.9 26.0 21.2 24.7 25.8 20.7 23.4
糖度 9.5 10.3 8.8 9.7 10.6 8.9 11.0 10.2 9.1 10.4
乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 19.5 21.0 18.3 20.6 22.1 17.8 20.2 19.1 21.5 18.4
第21页（共35页）糖度 11.7 10.9 12.0 11.3 10.6 12.2 11.5 10.8 12.1 11.2
甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下：
平均数 中位数 方差
质量 甲 23.76 23.65 3.0204
乙 19.85 19.3 1.9185
糖度 甲 9.85 9.6 0.5225
乙 11.43 11.25 0.2881
（1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？
（2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．
【考点】方差；算术平均数；中位数．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见解答．（答案不唯一）．
【分析】（1）根据平均数、中位数的意义求解即可；
（2）根据统计表数据解答即可．
【解答】解：（1）选择甲种草莓，因为甲种草莓质量的平均数和中位数均比乙种草莓高；
（2）甲种草莓需要提高糖度，并提高产量的稳定性，乙种草莓需要提高产量．
【点评】本题考查频数分布表，中位数，算术平均数，方差，理解中位数、方差的意义是正确解答的
前提．
3 k
18．（9分）（2025•郑州二模）如图，已知一次函数y = x与反比例函数y = (k≠0)的图象相交于点
1 2 2 x
A（m，3）．
（1）m的值为 2 ，k的值为 6 ；
（2）直接写出y ＞y 时自变量x的取值范围；
1 2
（3）以OA为边，在直线 OA的下方作正方形 OABC，请通过计算判断点 B是否落在反比例函数
k
y = (k≠0)上．
2 x
第22页（共35页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）2，6；（2）x＞2或﹣2＜x＜0；（3）点B（5，1）不在反比例函数图象上．
【分析】（1）待定系数法求出m、k值即可；
（2）利用数形结合直接写出不等式的解集即可；
（3）如图，利用一线三直角证明△OMA≌△ANB（AAS），得到OM＝AN＝3，AM＝NB＝2，继而可得
B（5，1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征验证是否在反比例函数图象上即可．
3
【解答】解：（1）∵点A（m，3）在一次函数y = x图象上，
1 2
3
∴3= m，解得m＝2，
2
∴A（2，3），
k
∵点A（2，3）在反比例函数y= 图象上，
x
∴k＝6．
故答案为：2，6；
6
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y= ，
x
6
{ y=
x {x=2， {x=-2
联立方程组得： ，解得 ， ，
3 y=3 y=-3
y= x
2
∴两个函数的交点坐标为A（2，3），D（﹣2，﹣3），
第23页（共35页）由图象可知，当y ＞y 时自变量x的取值范围为：x＞2或﹣2＜x＜0．
1 2
（3）如图，作AM⊥y轴，垂足为M，BN⊥AM交MA的延长线于点N，
在△OMA和△ANB中，
{∠OMA=∠ANB=90°
∠MOA=∠NAB ，
OA=AB
∴△OMA≌△ANB（AAS），
∴OM＝AN＝3，AM＝NB＝2，
∴B（5，1），
6 6
在反比例函数y= 中，当x＝5时，y= ≠1，
x 5
∴点B（5，1）不在反比例函数图象上．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
19．（9分）（2025•郑州二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12．
第24页（共35页）（1）如图（1），点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积平分，并说
明理由；
1
（2）如图（2），若点E为对角线AC上一点，且AE= AC，点F为边AB上一点，作直线EF交边
4
AD于点G，直接写出△AFG面积的最小值．
【考点】矩形的性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）图形见解答过程；
（2）9．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，过点O，E作直线交AD于点M，交BC于点N，则直线MN将
矩形ABCD分成面积相等的两部分，分别证明△OAB和△OCD全等，△MAO和△NCO全等，△NBO
和△MDO全等，则S ＝S ，S ＝S ，S ＝S ，由此可得出直线MN将矩形ABCD
△OAB △OCD △MAO △NCO △NBO △MDO
分成面积相等的两部分；
（2）过点E作EH∥AD交AB于点H，设AF＝x，△AFG面积为y，AE＝a，则AC＝4a，证明△AEH
3 3 6x2
和△ACB 相似得 AH= ，EH＝3，则 HF=x- ，再证明△FHE 和△FAG 相似得 AG= ，则
2 2 2x-3
1 3x2
△AFG面积y= AG•AF= ，整理得3x2﹣2xy+3y＝0，根据点F在AB上，AF＝x得关于x和一元
2 2x-3
二次方程3x2﹣2xy+3y＝0一定有实数根，则该一元二次方程根的判别式（﹣2y）2﹣36y≥0，整理得y
（y﹣9）≥0，再根据y＞0得y≥9，由此求出y的最小值即可得出△AFG面积的最小值．
【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，过点O，E作直线交AD于点M，交BC于点N，如图1所
示：
则直线MN将矩形ABCD分成面积相等的两部分，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，OA＝OB＝OC＝OD，
第25页（共35页）∴∠MAO＝∠NCO，
在△OAB和△OCD中，
{OA=OC
OB=OD，
AB=CD
∴△OAB≌△OCD（SSS），
∴S ＝S ，
△OAB △OCD
在△MAO和△NCO中，
{∠MAO=∠NCO
OA=OC ，
∠MOA=∠NOC
∴△MAO≌△NCO（ASA），
∴S ＝S ，
△MAO △NCO
同理可证明：△NBO≌△MDO（ASA），
∴S ＝S ，
△NBO △MDO
∴S +S +S ＝S +S +S ，
△OAB △OAB △NBO △OCD △NCO △MDO
即S四边形ABNM ＝S四边形CDMN ，
∴直线MN将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）过点E作EH∥AD交AB于点H，如图2所示：
设AF＝x，△AFG面积为y，AE＝a，
1
∵AE= AC
4
∴AC＝4a，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝12，
∴AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ACB，
第26页（共35页）AH EH AE
∴ = = ，
AB BC AC
AH EH a
∴ = = ，
6 12 4a
3
∴AH= ，EH＝3，
2
3
∴HF＝AF﹣AH=x- ，
2
∵EH∥AD，
∴△FHE∽△FAG，
HE HF
∴ = ，
AG AF
∴AG•HF＝EH•AF，
3
∴AG×(x- )=3x，
2
6x
∴AG= ，
2x-3
1 1 6x 3x2
∴△AFG面积y= AG•AF= × ×x= ，
2 2 2x-3 2x-3
整理得：3x2﹣2xy+3y＝0，
∵点F在AB上，AF＝x，
∴关于x和一元二次方程3x2﹣2xy+3y＝0一定有实数根，
∴根的判别式：（﹣2y）2﹣4×3×3y≥0，
整理得：y（y﹣9）≥0，
∴y＞0，
∴y﹣9≥0，
∴y≥9，
∴y的最小值为9，
∴△AFG面积的最小值是9．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．
20．（9分）（2025•郑州二模）在“体育与心率”综合实践活动课上，研究小组选取九年级部分男同学，
通过佩戴同一品牌的运动手环进行运动中即时速度、心率和摄氧量的测量，收集到如下 15组数据，并
给出有氧运动的控制阈值：
第27页（共35页）组别 跑步速度 心率 摄氧量 运动强度
（m/s） （bpm） （ml/kg/min）
第1组 3.0 115 32 低强度有氧
第2组 3.2 122 35 有氧区间
第3组 3.4 128 38 有氧区间
第4组 3.6 135 42 有氧区间
第5组 3.8 142 46 有氧区间
第6组 4.0 148 49 有氧阈值
第7组 4.2 155 52 有氧峰值
第8组 4.3 162 53 混合代谢
第9组 4.4 168 53 无氧过渡
第10组 4.5 175 53 无氧运动
第11组 4.6 178 53 无氧运动
第12组 4.7 182 53 无氧运动
第13组 4.8 185 53 无氧运动
第14组 4.9 188 53 无氧运动
第15组 5.0 192 53 无氧运动
用x表示跑步速度，用y表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，发现速度在 3～4.2m/s时可
用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系：
（1）不妨取表中第1组和第6组数据代入函数模型，求出y关于x的函数表达式；
（2）某位同学跑完1000米用时4分4秒，请通过计算判断该同学的运动强度；
（3）1000米跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间时身体
从有氧向无氧代谢过渡．研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标准需
兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级定男生1000米跑的满分标准，并解释其合理性．
【考点】一次函数的应用．
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第28页（共35页）【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝33x+16；
（2）该同学处于有氧阈值与有氧峰值之间；
（3）满分标准定在3分42秒和4分10秒之间是合理的．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）由y的值计算x的值，再判定求解；
（3）根据要求求出时间，再写结论．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
{3k+b=115
则 ，
4k+b=148
{k=33
解得： ，
b=16
∴y＝33x+16；
1000
（2）由题意得：跑步的速度为： ≈4.1（m/s），
244
∴该同学处于有氧阈值与有氧峰值之间；
1000
（3）当运动强度达到有氧阈值的跑步时间为： =250（秒）＝4分10秒，
4
1000
当运动强度达到无氧运动的时间为： ≈222（秒）＝3分42秒，
4.5
∴满分标准定在3分42秒和4分10秒之间是合理的．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和理解题意是解题的关键．
21．（9分）（2025•郑州二模）在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，过点A作 O的切线
AM，在AM上截取AD＝BC，连接CD交 O于点F． ⊙ ⊙
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理⊙由；
（2）连接AF，若 O的半径为5，AB＝4√5，求AF的长．
⊙
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其
应用；运算能力；推理能力．
第29页（共35页）【答案】（1）证明见解答；
（2）AF的长为8．
【分析】（1）连接并且延长AO交 O于点E，交BC于点L，由AB＝AC，得^AB=^AC，所以AE垂
直平分BC，BC⊥AE，由切线的性质⊙得AD⊥AE，所以AD∥BC，因为AD＝BC，所以四边形ABCD是平
行四边形；
（2）连接BE，因为AE是 O的直径，所以∠ABE＝∠ALB＝90°，而 O的半径为5，AB＝4√5，则
⊙ ⊙
BL BE AB⋅BE
AE＝10，求得BE=√AE2-AB2=2√5，由sin∠BAE= = ，求得CL＝BL= =4，则BC
AB AE AE
＝2BL＝8，可证明∠AFD＝∠ABC＝∠ADC，则AF＝AD＝BC＝8，所以AF的长为8．
【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
理由：连接并且延长AO交 O于点E，交BC于点L，
∵AB＝AC， ⊙
∴^AB=^AC，
∴AE垂直平分BC，
∴BC⊥AE，
∵AD与 O相切于点A，
∴AD⊥A⊙E，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：连接BE，
∵AE是 O的直径，
∴∠ABE⊙＝∠ALB＝90°，
∵ O的半径为5，AB＝4√5，
∴A⊙E＝10，
∴BE=√AE2-AB2=√102-(4√5) 2=2√5，
BL BE
∵sin∠BAE= = ，
AB AE
AB⋅BE 4√5×2√5
∴CL＝BL= = =4，
AE 10
∴BC＝2BL＝8，
第30页（共35页）∵∠AFD+∠AFC＝180°，∠ABC+∠AFC＝180°，
∴∠AFD＝∠ABC＝∠ADC，
∴AF＝AD＝BC＝8，
∴AF的长为8．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、
解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
22．（10分）（2025•郑州二模）郑州市某公园计划要建造一个直径为20m的圆形喷水池，在喷水池的周
边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心 4m处达到最高，高度为6m．
如图，以水平方向为x轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为
多高？
（3）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心4m处达到
最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为y＝a x2+b x+c （a ≠0），若（1）中抛物线表达式为y＝
2 2 2 2
a x2+b x+c （a≠0），则a ＜ a ，b ＞ b ，c
1 1 1 2 1 2 1 2
＜ c （填“＞”“＜”或“＝”）．
1
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
1 4 10 10
【答案】（1）抛物线的表达式为y=- x2+ x+ ；（2）装饰物的高度为 米；（3）＜，＞，
6 3 3 3
＜．
【分析】（1）利用抛物线的顶点式，结合已知顶点坐标和抛物线经过的点，求出参数；
第31页（共35页）（2）通过抛物线的对称性，确定水柱在中心处的高度；
（3）分析喷水池直径变化对抛物线开口方向的影响，结合顶点位置不变的条件，判断参数变化．
【解答】解：（1）由题意，抛物线顶点为（4，6），且经过点（10，0），
∴可设y＝a（x﹣4）2+6．
又∵抛物线过（10，0），
∴0＝a（10﹣4）2+6．
∴0＝36a+6．
1
∴a=- ．
6
1 1 4 10
∴y=- (x2-8x+16)+6=- x2+ x+ ．
6 6 3 3
1 4 10
∴抛物线表达式为：y=- x2+ x+ ．
6 3 3
（2）由题意，∵抛物线关于直线x＝4对称，
∴左侧x＝﹣6处的高度与右侧 x＝14处相同，均为0．
1 4 10 10
∴在中心x＝0处，水柱高度为：y=- (0) 2+ (0)+ = （米）．
6 3 3 3
（3）由题意，喷水池直径减小：半径r减小，但顶点（4，6）不变．
又∵抛物线开口方向由a的符号决定，开口大小由|a|决定，且当r减小时，抛物线需在更短的距离内达
到相同高度，
∴开口更陡峭，即|a |＞|a |，故a ＜a （均为负数）．
2 1 2 1
又∵顶点不变：b和c由顶点坐标决定，
∴b ＞b ，c ＜c ．
2 1 2 1
故答案为：＜，＞，＜．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
23．（10分）（2025•郑州二模）如图（1），点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂
线，垂足分别为D，E，F．试探究AF+BD+CE与△ABC周长的关系．记l＝AF+BD+CE，c＝△ABC的
周长．
第32页（共35页）（1）从特殊情形入手：
①若点P在△ABC的中心，如图（2），此时l与c的关系为 c ＝ 2 l ；
②若点P在△ABC的一条高AG上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由．
（2）若点P不在△ABC的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请写出解
决过程．
【考点】三角形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①c＝2l；
②①中的结论还成立，理由见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）①根据等边三角形的中心是高线的交点，也是中线的交点，由此可解答；
1
②如图（3），根据等腰三角形的三线合一的性质得：∠PAE＝∠PAF＝30°，BD＝CD= BC，由角平
2
分线的性质得：PF＝PE，证明Rt△APF≌Rt△APE（HL），可得AF＝AE，由此可解答；
（2）如图（4），作辅助线构建矩形，证明四边形PDGN是矩形，四边形PFKM是矩形，并根据
（1）中的结论：c＝2（AK+CE+BG），即可解答．
【解答】解：（1）①∵点P在△ABC的中心，△ABC是等边三角形，
1
∴AF＝BF＝BD＝CD＝AE＝CE= AB，AB＝BC＝AC，
2
3
∵l＝AF+BD+CE= AB，c＝3AB，
2
第33页（共35页）∴c＝2l，
故答案为：c＝2l；
②如图（3），①中的结论仍成立，理由如下：
∵点P在等边△ABC的一条高AG上，
1
∴∠PAE＝∠PAF＝30°，BD＝CD= BC，
2
∵PE⊥AC，PF⊥AB，
∴PF＝PE，
∵AP＝AP，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝AC，
∴BF＝CE，
1 3
∴l＝AF+BD+CE＝AF+BF+BD＝AB+ AB= AB，
2 2
∵c＝3AB，
∴c＝2l；
（2）如图（4），过点A作AG⊥BC于点G，交PE于H，过点H作HK⊥AB于K，过点P作PM⊥HK
于点M，作PN⊥AG于点N，
∵∠AGD＝∠PDG＝∠PNG＝90°，
第34页（共35页）∴四边形PDGN是矩形，
∴PN＝DG，
同理得四边形PFKM是矩形，
∴PM＝FK，
∵∠AHK＝∠AHE＝∠PHN＝90°﹣30°＝60°，
∴∠PHM＝60°＝∠PHN，
∴PM＝PN，
∴FK＝DG，
由（1）可得：c＝2（AK+CE+BG），
∴c＝2（AK+CE+BD+DG）＝2（AK+FK+CE+BD）＝2（AF+CE+BD），
∴c＝2l．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分
线的性质，等边三角形的性质，矩形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建全等三角形和矩形是解
本题的关键．
第35页（共35页）
