文档内容
2025年河南省郑州外国语中学中考数学三模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）（2018•玉林）﹣4的相反数是（ ）
1 1
A． B．- C．4 D．﹣4
4 4
2．（3分）（2025•广州校级二模）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图1）找到了球体体积的计算
方法．图2所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向
嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图2模型的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2025•五华县一模）据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童
闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用
科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×1011 B．1×109 C．1×1010 D．10×109
4．（3分）（2025•福田区二模）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（x3）4＝x12
C．a2•a3＝a6 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2
5．（3分）（2025•丰台区一模）如图，直线AB和CD相交于点O，直线EF⊥AB，垂足为O，若∠AOD
＝140°，则∠COF的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．（3分）（2025•河南模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋
第1页（共32页）子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随
机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
4 1 5 2
A． B． C． D．
9 2 9 3
7．（3分）（2025•淮安三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买
物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，
每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共
有x人，则可列方程为（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． = D． =
8 7 8 7
8．（3分）（2025•阿荣旗一模）已知点M（6，a﹣3），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，
则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2025•光明区二模）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的
夹角为30°，连接装置转动90°后箱子完全打开，每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层
工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）cm．
15√3 15
A．15√3 B．30√3 C．15√3-15 D． -
2 2
10．（3分）（2025•盐城二模）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a
﹣1，y ），B（a+1，y ），如果y ＞y ，那么a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3
第2页（共32页）二、填空题（共5小题，每小题3分）
11．（3分）（2025•中牟县模拟）请写出一个x的值，使二次根式√5-x有意义： ．
12．（3分）（2025•中原区校级三模）若关于x的方程ax2﹣2x+4＝0有两个实数根，则a的取值范围为
．
13．（3分）（2015•绥化）在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的
中位数是 ．
14．（3分）（2025•西工区一模）如图，在扇形AOB中，点C、D在^AB上，将C^D沿着弦CD折叠后恰
好与 OA，OB 相切于点 E，点 F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，阴影部分的面积为
．
15．（3分）（2025•中原区校级三模）如图，正方形ABCD的边长为4，M为边BC上一动点，作点C关
于DM的对称点C′，射线AC′，DM交于点P，当点M从点B运动到点C过程中，点P运动路径长为
．
三、解答题（共8小题，共75分）
1
16．（10分）（2025•中原区校级三模）（1）计算：(2025-π) 0+√12-4cos30°+( ) -1 ．
2
第3页（共32页）x2
（2）化简： -x+1．
x+1
17．（9分）（2025•中原区校级三模）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔
进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）．
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8.2 8 8.4 8.5 0.84
B 8.3 8.5 10 8.4 8 1.44
（2）样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人
数是 人．
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
18．（9分）（2025•中原区校级三模）如图，在 ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反
▱
k
比例函数y= 在第二象限内的图象经过点C．
x
（1）C点坐标为 ．
（2）求反比例函数的表达式．
（3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
第4页（共32页）19．（9分）（2025•黄山一模）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得
楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°，已知楼AB和楼CD之间的距离BC
为120米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P
在同一平面内）．
（1）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（2）求此时无人机距离地面BC的高度．
20．（9分）（2025•中原区校级三模）如图，在△ABC中，AC＜BC．
（1）实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作 O， O恰好过A，C两点，并与线段BC交于
另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分⊙圆弧⊙，如图所示．请你用尺规作图：作出点 O
与点D，并补全 O．
（2）推理与计算⊙：在（1）的条件下，若2∠C+∠B＝90°．
①求证：直线AB是 O的切线；
②若AB=2√2，BC⊙=6√2，则 O半径的长度为 ．
⊙
第5页（共32页）21．（9分）（2025•濮阳一模）垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业
在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于
兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分．
（1）小明家本周分类垃圾情况
小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？
（2）小区垃圾分类收益优化
背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共
15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每
吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余
垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）．
环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍
（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理
4吨（防止腐败，保障社区卫生）．
问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？
22．（10分）（2023•武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出
发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析
式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根
据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，
N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
第6页（共32页）23．（10分）（2025•盐田区二模）定义：在 ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，
则称这个平行四边形为“N字平行四边形”▱．
（1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有： ；
A．正方形
B．矩形
C．有一个角是60°的菱形
D．有一个角是60°的平行四边形
E．有一个角是45°的平行四边形
AB
（2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则 = ；
BC
（3）如图 1，在“N 字平行四边形 ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点 F 是 AB 边上一点，
FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若 AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值；
（4）如图2，在矩形ABCD中，点E、F分▱别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四
AB
边形”，若AB＝2AF，求 的值．
BC
第7页（共32页）2025年河南省郑州外国语中学中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B B C B A C C
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）（2018•玉林）﹣4的相反数是（ ）
1 1
A． B．- C．4 D．﹣4
4 4
【考点】相反数．
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【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义作答即可．
【解答】解：﹣4的相反数是4．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的知识，注意互为相反数的特点：互为相反数的两个数的和为0．
2．（3分）（2025•广州校级二模）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图1）找到了球体体积的计算
方法．图2所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向
嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图2模型的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】从该几何体上方观察几何体，得到的平面图形就是俯视图．
第8页（共32页）【解答】解：从该几何体上方观察几何体，得到的平面图形就是俯视图，从几何体的上方观察，我们
可以看到左边平躺的圆柱的俯视图为正方形，右边的部分为正方形里面套着圆．
故选：D．
【点评】本题主要考查几何体的三视图，掌握俯视图是从几何体的正上方看到的平面图形是解题的关
键．
3．（3分）（2025•五华县一模）据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童
闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用
科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×1011 B．1×109 C．1×1010 D．10×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：100亿＝10000000000＝1×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2025•福田区二模）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（x3）4＝x12
C．a2•a3＝a6 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2
【考点】平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂乘法法则逐项判断即可．
【解答】解：2a+3a＝5a，则A不符合题意，
（x3）4＝x12，则B符合题意，
a2•a3＝a5，则C不符合题意，
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D不符合题意，
故选：B．
第9页（共32页）【点评】本题考查平方差公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解
题的关键．
5．（3分）（2025•丰台区一模）如图，直线AB和CD相交于点O，直线EF⊥AB，垂足为O，若∠AOD
＝140°，则∠COF的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂线得∠AOE＝90°，由角的和差求得∠DOE的度数，然后应用对顶角相等即可求得∠COF
的大小．
【解答】解：∵EF⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOD＝∠DOE+∠AOE，
∠AOD＝140°，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝140°﹣90°＝50°，
∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠COF＝∠DOE＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线，对顶角，邻补角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
6．（3分）（2025•河南模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋
子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随
机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
4 1 5 2
A． B． C． D．
9 2 9 3
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根
第10页（共32页）据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
5
所以两次摸到相同颜色的棋子的概率= ．
9
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
7．（3分）（2025•淮安三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买
物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，
每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共
有x人，则可列方程为（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． = D． =
8 7 8 7
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x人，
由题意，得8x﹣3＝7x+4．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并
据此列出方程．
8．（3分）（2025•阿荣旗一模）已知点M（6，a﹣3），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，
则这个函数图象可能是（ ）
第11页（共32页）A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】A
【分析】由点N（﹣2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据M（6，a﹣3），N
（2，a），可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，从而排除选项D．
【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、
C不符合题意；
由M（6，a﹣3），N（2，a），可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选
项A符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9．（3分）（2025•光明区二模）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的
夹角为30°，连接装置转动90°后箱子完全打开，每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层
工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）cm．
15√3 15
A．15√3 B．30√3 C．15√3-15 D． -
2 2
【考点】含30度角的直角三角形．
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【答案】C
【分析】如图，AB表示一根连接装置，AB旋转90°后到AC位置，过B作BM⊥MN于M，过C作
第12页（共32页）1 15 1 15
CN⊥MN于N，由含30度角的直角三角形的性质得到MB= AB= （cm），AN= AC= （cm），
2 2 2 2
15√3
求出CN=√3AN= （cm），即可得到答案．
2
【解答】解：如图，AB表示一根连接装置，AB＝15cm，
AB旋转90°后到AC位置，
过B作BM⊥MN于M，过C作CN⊥MN于N，
∵∠BAM＝30°，
∴∠CAN＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠ACN＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AMB＝ANC＝90°，
1 15 1 15
∴MB= AB= （cm），AN= AC= （cm），
2 2 2 2
15√3
∴CN=√3AN= （cm），
2
15√3 15
∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加2×（ - ）＝（15√3-15）cm．
2 2
故选：C．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质求出BM和CN的
长．
10．（3分）（2025•盐城二模）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a
﹣1，y ），B（a+1，y ），如果y ＞y ，那么a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，分a+1≤3，a﹣1＜3＜a+1，及a﹣
1≥3三种情况考虑，根据y ＞y ，即可求出a的取值范围．（其实利用点B到对称轴的距离小于点A到
1 2
第13页（共32页）对称轴的距离来解决很简单）．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立；
当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3，
解得：a＜3，
∴2＜a＜3；
当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立．
综上所述，a的取值范围为a＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数 y＝
ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，抛
物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分）
11．（3分）（2025•中牟县模拟）请写出一个x的值，使二次根式√5-x有意义： 0 （答案不唯一） ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】0（答案不唯一）．
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此求出x的取值范围，然后写出满足条件的一个x
的值即可．
【解答】解：根据题意得5﹣x≥0，
解得x≤5，
所以x的值可以是0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．（3分）（2025•中原区校级三模）若关于x的方程ax2﹣2x+4＝0有两个实数根，则a的取值范围为
1
a≤ 且 a ≠ 0 ．
4
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
第14页（共32页）1
【答案】a≤ 且a≠0．
4
【分析】根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到 a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×4≥0，然后求出
两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×4≥0，
1
解得a≤ 且a≠0，
4
1
即a的取值范围为a≤ 且a≠0．
4
1
故答案为：a≤ 且a≠0．
4
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
13．（3分）（2015•绥化）在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的
中位数是 2 6 ．
【考点】中位数；折线统计图．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据中位数的定义，即可解答．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（26+26）÷2＝26，则中位数是
26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那
个数（或最中间两个数的平均数）．
14．（3分）（2025•西工区一模）如图，在扇形AOB中，点C、D在^AB上，将C^D沿着弦CD折叠后恰
好与OA，OB相切于点E，点F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，阴影部分的面积为 6 ﹣ 9√3 ．
π
第15页（共32页）【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
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【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】6 ﹣9√3．
【分析】根π据对称性，扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，过点E、F分别作OA、OB的垂线相交于点O′，则O′E＝OA＝6，∠O′＝360°﹣
90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴S阴影 ＝S扇形 ﹣S三角形
60π×62 1 √3
= - ×6×（6× ）
360 2 2
＝6 ﹣9√3．
故答π案为：6 ﹣9√3．
π
【点评】本题考查切线的性质，扇形面积的计算，掌握切线的性质、扇形面积的计算方法是正确解答
的关键．
15．（3分）（2025•中原区校级三模）如图，正方形ABCD的边长为4，M为边BC上一动点，作点C关
于DM的对称点C′，射线AC′，DM交于点P，当点M从点B运动到点C过程中，点P运动路径长为
√2 ．
π
【考点】轨迹；轴对称的性质；正方形的性质；弧长的计算．
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第16页（共32页）【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】√2 ．
【分析】如图π，连接AC，BD交于点O，连接DC′，PB，PC，OP．证明∠APC＝90°，推出OP＝OB
＝OC，利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接DC′，PB，PC，OP．
∵点C，C′关于DN对称，
∴DC＝DC′，PC＝PC′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝4，∠ADC＝90°，AC＝BD＝4√2，AC⊥BD，
∴AD＝DC′＝DC，
∴∠DAC′＝∠DC′A，∠DCC′＝∠DC′C，
∵2∠AC′D+∠ADC′+2∠DC′C+∠CDC′＝360°，
∴2∠AC′D+2∠DC′C＝270°，
∴∠AC′D+∠DC′C＝135°，
∴∠PC′C＝45°，
∵PC＝PC′，
∴∠PCC′＝∠PC′C＝45°，
∴∠APC＝90°，
∵AO＝OC，
∴OP＝OA＝OC＝OB＝OD＝2√2，
∴点P的运动轨迹是弧BC，
90π×2√2
∴弧BC的长= =√2 ．
180
π
故答案为：√2 ．
【点评】本题考π查轨迹，轴对称性质，正方形的性质，弧长公式，解题的关键是证明∠APC＝90°．
三、解答题（共8小题，共75分）
第17页（共32页）1
16．（10分）（2025•中原区校级三模）（1）计算：(2025-π) 0+√12-4cos30°+( ) -1 ．
2
x2
（2）化简： -x+1．
x+1
【考点】分式的加减法；实数的运算．
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【专题】分式；运算能力．
1
【答案】（1）3；（2） ．
x+1
【分析】（1）零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数，负整数指数幂的运算法则逐步进行计
算即可；
（2）先进行通分，再对分子进行化简即可．
1
【解答】解：（1）(2025-π) 0+√12-4cos30°+( ) -1 ．
2
√3
＝1+2√3-4× +2
2
＝1+2√3-2√3+2
＝3．
x2 x2 (x+1)(x-1) x2-(x2-1) x2-x2+1 1
（2）原式= -(x-1)= - = = = ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数，负整数
指数幂，分式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则．
17．（9分）（2025•中原区校级三模）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔
进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）．
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8.2 8 8 8.4 8.5 0.84
B 8.3 8.5 10 8.4 8 1.44
第18页（共32页）（2）样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人
数是 14 0 人．
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
【考点】方差；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）8；
（2）140；
（3）作为消费者，我会选择B品牌，理由见解析；
（4）见解析．
【分析】（1）利用众数的概念进行求解即可；
（2）找出符合条件的人数，利用总量乘其占比即可得出符合条件人数；
（3）利用平均数，中位数，众数等作决策即可；
（4）从样本容量或样本的广泛性角度进行分析即可．
【解答】解：（1）通过信息一可知众数是8（分）；
补充如图
统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8.2 8 8 8.4 8.5 0.84
B 8.3 8.5 10 8.4 8 1.44
7
（2）200× =140（人），
10
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人．
故答案为：140；
第19页（共32页）（3）作为消费者，我会选择B品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中B
品牌的平均数，中位数，众数均高于A品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）存在的不足：
样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人．
【点评】本题主要考查了众数，用样本频数估计总数，利用平均数，中位数，众数等作决策，样本的
代表性等知识点，解题的关键是熟练掌握各项概念．
18．（9分）（2025•中原区校级三模）如图，在 ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反
▱
k
比例函数y= 在第二象限内的图象经过点C．
x
（1）C点坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ．
（2）求反比例函数的表达式．
（3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】函数思想；模型思想．
【答案】（1）（﹣3，2）；
6
（2）y=- ；
x
（3）（﹣3，0）或（﹣7，0）．
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，继而求得点C的坐标；
（2）由反比例函数图象经过点C，待定系数法即可求解；
（3）对直角进行分类讨论，点和线段互相转化即可求解．
【解答】解：（1）在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵A（1，0），B（0，2▱），D（﹣2，0），
∴点A与点D、点B与点C的纵坐标相同，AD＝1﹣（﹣2）＝3，
第20页（共32页）∴BC＝AD＝3，
∵点C在点B的左边，
∴点C（﹣3，2）；
k
（2）∵反比例函数y= 在第二象限内的图象经过点C（﹣3，2），
x
k
∴ =2，
-3
解得：k＝﹣6，
6
∴反比例函数的解析式为：y=- ；
x
（3）设x轴上点E的坐标为（a，0），
①当∠CED是直角时，CE⊥x轴，
点C与点E的横坐标相同，
∴a＝﹣3，
∴E（﹣3，0）；
②当∠ECD是直角时，CE2+CD2＝DE2，
∵点C（﹣3，2），点D（﹣2，0），E（a，0）
∴CE2＝（﹣3﹣a）2+22，CD2＝22+12＝5，DE＝﹣2﹣a，
∴（﹣3﹣a）2+22+5＝（﹣2﹣a）2，
解得：a＝﹣7，
∴E（﹣7，0），
当△DCE是直角三角形时，点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）．
【点评】本题考查了坐标系中求点的坐标、反比例函数解析式、勾股定理等知识，把线段转化为点的
坐标或把点的坐标转化为线段，对直角三角形中的直角进行分类讨论是解题的关键．
19．（9分）（2025•黄山一模）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得
楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°，已知楼AB和楼CD之间的距离BC
第21页（共32页）为120米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P
在同一平面内）．
（1）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（2）求此时无人机距离地面BC的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）楼CD的高度为（10+40√3）米；
（2）此时无人机距离地面BC的高度为130米．
【分析】（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝CE＝10米，AE＝BC＝120米，然
后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而进行计算即可解答；
（2）延长BA交MN于点F，延长CD交MN于点G，根据题意可得：FG＝BC＝120米，BF＝CG，然
后设PG＝x米，则FP＝（120﹣x）米，分别在Rt△AFP和Rt△DPG中，利用锐角三角函数的定义求
出AF和DG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝CE＝10米，AE＝BC＝120米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
√3
∴DE＝AE•tan30°＝120× =40√3（米），
3
第22页（共32页）∴CD＝DE+CE＝（10+40√3）米，
∴楼CD的高度为（10+40√3）米；
（2）延长BA交MN于点F，延长CD交MN于点G，
由题意得：FG＝BC＝120米，BF＝CG，
设PG＝x米，则FP＝FG﹣PG＝（120﹣x）米，
在Rt△AFP中，∠APF＝60°，
∴AF＝FP•tan60°=√3（120﹣x）米，
在Rt△DPG中，∠DPG＝45°，
∴DG＝PG•tan45°＝x（米），
∵BF＝CG，
∴10+√3（120﹣x）＝x+10+40√3，
解得：x＝120﹣40√3，
∴CG＝x+10+40√3=130（米），
∴此时无人机距离地面BC的高度为130米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
20．（9分）（2025•中原区校级三模）如图，在△ABC中，AC＜BC．
（1）实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作 O， O恰好过A，C两点，并与线段BC交于
另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分⊙圆弧⊙，如图所示．请你用尺规作图：作出点 O
与点D，并补全 O．
（2）推理与计算⊙：在（1）的条件下，若2∠C+∠B＝90°．
①求证：直线AB是 O的切线；
⊙ 8√2
②若AB=2√2，BC=6√2，则 O半径的长度为 ．
3
⊙
第23页（共32页）【考点】圆的综合题．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的
位置关系；尺规作图；运算能力；推理能力．
8√2
【答案】（1）作图见解析；（2）①证明见解析；② ．
3
【分析】（1）利用圆的有关性质和弦的垂直平分线经过圆心的性质解答即可；
（2）①连接OA，利用圆周角定理，直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
②设 O的半径为r，则 AO＝CO＝r，利用勾股定理列出方程解答即可．
【解答⊙】（1）解：1．作线段AC的垂直平分线MN，MN交BC于点O，
2．以点O为圆心，OC的长为半径画圆，交BC于点D．
如图所示，
则 O、点O、点D即为所求．
（⊙2）①证明：连接OA，如图，
第24页（共32页）∵∠AOB＝2∠C，2∠C+∠B＝90°，
∴∠AOB+∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB，
∵OA为 O的半径，
∴直线A⊙B是 O的切线；
②解：设 O⊙的半径为r，则 AO＝CO＝r，
∴OB=6√⊙2-r，
在Rt△AOB中，
∵AO2+AB2＝BO2，
∴r2+(2√2) 2=(6√2-r) 2，
8√2
解得：r= ．
3
8
∴ O的半径为 √2．
3
⊙
8√2
故答案为： ．
3
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，直角三角形
的性质，勾股定理，尺规作图，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21．（9分）（2025•濮阳一模）垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业
在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于
兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分．
（1）小明家本周分类垃圾情况
小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？
（2）小区垃圾分类收益优化
背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共
15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每
吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余
垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）．
环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍
（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理
4吨（防止腐败，保障社区卫生）．
问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？
第25页（共32页）【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）小明家本周废纸和塑料瓶各6千克、4千克；
（2）每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大．
【分析】（1）设小明家本周收集废纸a千克，则塑料瓶（10﹣a）千克．根据收集废纸和塑料瓶共10
千克，获得42分，列出方程，求解即可；
（2）设每日处理x吨可回收垃圾，（15﹣x）吨厨余垃圾，此时总收益为y元．根据总收益＝可回收
垃圾的收益+厨余垃圾的收益，列出函数关系式y＝50x+30（15﹣x）＝20x+450，再根据可回收垃圾量
{x≤2(15-x)
不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨，列出不等式组 ，求出x的范围，
15-x≥4
再根据一次函数的性质求出y的最大值即可．
【解答】解：（1）设小明家本周收集废纸a千克，则塑料瓶（10﹣a）千克．
∴5a+3（10﹣a）＝42，
∴a＝6，
∴塑料瓶：10﹣a＝4千克．
答：小明家本周废纸和塑料瓶分别6千克、4千克．
（2）设每日处理x吨可回收垃圾，（15﹣x）吨厨余垃圾，此时总收益为y元．
∴y＝50x+30（15﹣x）＝20x+450，
{x≤2(15-x)
∵ ，
15-x≥4
∴x≤10，
∵20＞0，
∴当x＝10时，y有最大值，
第26页（共32页）∴15﹣x＝5（吨），
即：每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程
和一次函数解析式是解题的关键．
22．（10分）（2023•武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出
发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析
式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根
据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，
N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
1
【答案】x＝5t，y=- t2+12t，
2
问题解决：（1）120m．
（2）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数y＝0代入函数解析式即可求解；
第27页（共32页）1
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度 y'=- t2+12t+n．
2
结合 25＜t＜26，即可求解．
【解答】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x＝kt，y＝at2+bt，
{4a+2b=22
由题意得：10＝2k， ，
16a+4b=40
{ 1
a=-
解得：k＝5， 2，
b=12
1
∴x＝5t，y=- t2+12t，
2
1
问题解决：（1）依题意，得- t2+12t＝0．
2
解得，t ＝0（舍），t ＝24，
1 2
当t＝24 时，x＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
1
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′=- t2+12t+n，
2
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．
1
在y′=- t2+12t+n中，
2
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26．
∴12.5＜n＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
23．（10分）（2025•盐田区二模）定义：在 ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，
则称这个平行四边形为“N字平行四边形”▱．
（1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有：C ；
A．正方形
第28页（共32页）B．矩形
C．有一个角是60°的菱形
D．有一个角是60°的平行四边形
E．有一个角是45°的平行四边形
AB
（2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则 = √2 ；
BC
（3）如图 1，在“N 字平行四边形 ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点 F 是 AB 边上一点，
FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若 AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值；
（4）如图2，在矩形ABCD中，点E、F分▱别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四
AB
边形”，若AB＝2AF，求 的值．
BC
【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据选项逐一判断即可；
（2）画出图形，证明△ABD是等腰直角三角形即可得解；
（3）由题易得∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°，则 AFGC为“N字平行四边形”，只能分为两种情况：
①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°，②当CF▱＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，再分别求解即可；
（4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，分两种情况：①当FB＝FE时，②当EB
＝EF时，分别画出图形求解即可．
【解答】（1）解：正方形的对角线是边长的√2倍，故A选项不是；
矩形的对角线是直角三角形的斜边比边长大，故B选项不是；
有一个角是60°的菱形必定包含等边三角形，
会有一条对角线等于边长，故C选项是；
有一个角是60°的平行四边形和有一个角是45°的平行四边形并不必然出现对角线等于边长，故D、E
第29页（共32页）选项均不是；
故选：C；
（2）解：如图，
∵ ABCD是“N字平行四边形”，
∴D▱A＝DB，
∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
AB
∴ =√2，
AD
AB
∴ =√2，
BC
故答案为：√2；
（3）证明：连接AG，CF，
∵在N字 ABCD中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，
∴∠B＝∠▱ACB＝75°，∠BAC＝30°．
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠BCG＝75°，
∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°，
由大角对大边可得AG＞AC，AG＞GC，
若 AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况：
①▱当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°，
第30页（共32页）过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF＝2HF，AH=√3FH，
又∵AC＝8，
1
∴AH= AC=4，
2
4√3 8√3
∴FH= ，AF=2FH= ；
3 3
②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，此时，∠ACF＝120°＞∠ACB矛盾．
8√3
综上，若 AFGC为N字平行四边形，AF= ；
3
▱
（4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝DC＝FN，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴FD＝BE，FB＝DE，
∴AF＝AD﹣FD，CE＝BC﹣BE，即AF＝CE．
∵四边形BEDF为N字平行四边形，
又∵BD＞BE，BD＞DE，
∴有以下两种情况：
①当FB＝FE时，
∵FN⊥BE，
∴N为BE的中点，
∴BN＝NE．
在矩形ABNF中，AF＝BN，
第31页（共32页）又∵AF＝CE，
∴BN＝NE＝CE＝AF，
∴BC＝BN+NE+CE＝3AF，
∵AB＝2AF，
AB 2AF 2
∴ = = ；
BC 3AF 3
②当EB＝EF时，
∵EM⊥BF，
1
∴M为BF的中点，BM= BF，
2
√5
设AF＝t，则AB＝2t，BF=√AF2+AB2=√5t，BM= t，
2
∵EM⊥BF，
∴∠EMB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠MBE，
∴Rt△BAF∽Rt△EMB，
∴AF：AB：BF＝MB：ME：BE＝1：2：√5，
√5 5
由BM= t可得BE= t，
2 2
7
∴BC= t，
2
AB 2t 4
= =
∴BC 7t 7；
2
AB 2 4
综上， = 或 ．
BC 3 7
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性
质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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