文档内容
2025年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（3分）（2025•路北区二模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（
）
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D
2．（3分）（2025•路北区二模）下列运算结果是负数的是（ ）
A．（﹣2）×（﹣3） B．（﹣3+2）2
C．2﹣3 D．﹣（﹣2）+（﹣3）
3．（3分）（2025•路北区二模）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
4．（3分）（2025•路北区二模）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，将小正方体①移走后，
则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．主视图改变，俯视图改变
C．俯视图不变，主视图不变
D．俯视图不变，左视图不变
5．（3分）（2017•金牛区校级自主招生）下表是某校合唱团成员的年龄分布：
年龄/岁 13 14 15 16
频数 5 15 x 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．众数、中位数 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．平均数、方差
第1页（共36页）x-1
6．（3分）（2025•路北区二模）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x+2
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
7．（3分）（2025•路北区二模）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，a与c相交于O，将直线a绕点
O按照逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）后，a⊥c，则n的值为（ ）
A．60 B．40 C．30 D．20
8．（3分）（2025•路北区二模）将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）（2025•路北区二模）下列结果不正确的是（ ）
A．（﹣33）2＝35
B．32+32+32＝33
C．34÷3﹣2＝36
D．32025﹣32024能被2整除
10．（3分）（2025•路北区二模）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1cm，则点P到
这个正六边形六条边的距离之和为（ ）cm．
A．6 B．3 C．3√3 D．6√3
11．（3分）（2025•路北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D为AB中点，分
别以点A、点C为圆心，AC长为半径画弧，交于点E，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交
于点F，连接DE，DF．则以下4个结论：①F，A，E三点共线；②四边形BDEC为平行四边形；
③AC⊥DE；④S
△ACE
：S四边形BCEF ＝1：6，正确的是（ ）
第2页（共36页）A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
12．（3分）（2014•连云港）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若
k
函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
x
49 25
A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤
4 2
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．）
13．（3分）（2019•安徽）计算√18÷√2的结果是 ．
14．（3分）（2025•路北区二模）点A（1，﹣5）关于原点的对称点坐标为 ．
15．（3分）（2025•路北区二模）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形（改变矩形内角，边长保持
不变）为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内
角的度数为 ．
16．（3分）（2025•路北区二模）如图，已知点A坐标为(√3，1)，B为x轴正半轴上一动点，C是OB
的中点，则在点B运动的过程中AB+BC的最小值为 ．
第3页（共36页）三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）（2025•路北区二模）已知整式P＝x2﹣2（2x﹣x2）+1．
（1）化简P；
（2）若P＝0，利用判别式判断此方程实数根的情况．
18．（9分）（2025•路北区二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除．
例：∵2+3+4＝9，9能被3整除，∴234能被3整除．
尝试试说明537是否能被3整除；
验证设abc是一个三位数，若a+b+c能被3整除，则abc也能被3整除；
应用直接写出三位数81n能被3整除的概率．
19．（9分）（2025•扬州三模）在林业局技术人员帮扶下，周大叔与某公司签订了树苗销售合同，并于
今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为
90%，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图1和图2两个尚不完整的统计图中．
（1）种植B品种树苗有多少棵？
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高？
20．（9分）（2025•路北区二模）如图1是由边长为6cm和8cm的两个正方形拼成的图形，将该图剪成
如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图2）．
（1）求大正方形的边长，并直接写出图1中等于大正方形边长的线段；
第4页（共36页）（2）求证图1中△ADM≌△MEF；
（3）求图1中线段BH的长．
21．（9分）（2014•长春）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，
甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，
甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
22．（9分）（2025•路北区二模）如图，斜坡AB与地面CD的夹角∠BAD＝60°，斜坡顶端BE∥CD．半
径为2的 O相切AB于点P，相切CD于点Q， O上固定的一点G恰在∠BAC的平分线上．某一时
刻， O带⊙动点G沿斜坡AB向上滚动（无滑动）⊙，当 O与AB切于点G时停止滚动，发现此时点G
恰与点⊙B重合，此时圆心记为O′． ⊙
（1）当 O在初始位置时，证明：∠BAD＝2∠PGQ；
（2）求⊙斜坡AB的长（结果保留 ）；
（3）设 O'与EB的延长线交于另π一点H，求BH的长度．
⊙
第5页（共36页）23 ． （ 9 分 ） （ 2025• 路 北 区 二 模 ） 已 知 抛 物 线 L ：y=x2-2ax-2(x≥0)， 抛 物 线
1
L ：y=x2-2ax-4(x＜0)，图象L 与图象L 组合成图象G．
2 1 2
（1）如图，当a＝﹣1时，
①求图象G最低点的纵坐标的值；
②点P（b，4）在图象G上，求b的值；
3
（2）已知A（0，﹣3），B( ，-3)，当此图象G与线段AB只有一个公共点时，确定a的取值范围．
2
（3）若图象G有且只有4个点到x轴的距离等于5时，直接写出a的取值范围．
24．（9分）（2018•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=√7，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将
△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线
m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存
在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
第6页（共36页）第7页（共36页）2025年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D A D A B C C A C B
题号 12
答案 A
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（3分）（2025•路北区二模）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（
）
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D
【考点】数轴；相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数求解．
【解答】解：2与﹣2互为相反数，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，相反数的意义是解题的关键．
2．（3分）（2025•路北区二模）下列运算结果是负数的是（ ）
A．（﹣2）×（﹣3） B．（﹣3+2）2
C．2﹣3 D．﹣（﹣2）+（﹣3）
【考点】负整数指数幂；正数和负数；有理数的混合运算．
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【专题】实数．
【答案】D
【分析】直接利用负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣2）×（﹣3）＝6，故此选项不合题意；
B、（﹣3+2）2＝1，故此选项不合题意；
第8页（共36页）1
C、2﹣3= ，故此选项不合题意；
8
D、﹣（﹣2）+（﹣3）＝﹣1，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
3．（3分）（2025•路北区二模）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】因式分解；运算能力．
【答案】A
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a﹣4），
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
4．（3分）（2025•路北区二模）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，将小正方体①移走后，
则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．主视图改变，俯视图改变
C．俯视图不变，主视图不变
D．俯视图不变，左视图不变
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念；几何直观．
【答案】D
【分析】利用组合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化．
【解答】解：将正方体①移走后，
俯视图和左视图没有发生改变，主视图的第二层由原来的两个小正方形变为一个小正方形，
第9页（共36页）故选：D．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
5．（3分）（2017•金牛区校级自主招生）下表是某校合唱团成员的年龄分布：
年龄/岁 13 14 15 16
频数 5 15 x 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．众数、中位数 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．平均数、方差
【考点】方差；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．
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【专题】统计的应用．
【答案】A
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最
多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
14+14
故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14岁，
2
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平
均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
x-1
6．（3分）（2025•路北区二模）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x+2
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
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【专题】计算题．
【答案】B
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x﹣1＝0且x+2≠0，
∴x＝1．
故选：B．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
第10页（共36页）7．（3分）（2025•路北区二模）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，a与c相交于O，将直线a绕点
O按照逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）后，a⊥c，则n的值为（ ）
A．60 B．40 C．30 D．20
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】先求出∠O的度数，再根据垂直的定义即可得到旋转的度数．
【解答】解：根据三角形外角的性质可得∠AOB＝130°﹣70°＝60°，
已知将直线a绕点O按照逆时针方向旋转n° （0＜n＜90）后，a⊥c，
n＝90°﹣60°＝30°．即则n的值为30°，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性
质是解题关键．
8．（3分）（2025•路北区二模）将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】多边形内角与外角．
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【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】C
第11页（共36页）【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，（n+x）边形的内角和是（n+x﹣2）•180°，
则（n+x﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°＝540°，
解得：x＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和．正确理解多边形的内角和定理，正确对式子进行化简是解决的
关键．
9．（3分）（2025•路北区二模）下列结果不正确的是（ ）
A．（﹣33）2＝35
B．32+32+32＝33
C．34÷3﹣2＝36
D．32025﹣32024能被2整除
【考点】因式分解的应用；负整数指数幂．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据这些知识逐项计算即可判断．
【解答】解：A、根据幂的乘方可知（﹣33）2＝36，计算结果不正确，故符合题意；
B、根据同底数幂的乘法可知32+32+32＝3×32＝33，计算结果正确，故不符合题意；
C、根据同底数幂的乘法可知34÷3﹣2＝34﹣（﹣2）＝36，计算结果正确，故不符合题意；
D、∵32025﹣32024＝3×32024﹣32024＝32024×（3﹣1）＝2×32024，
而2×32024是2的倍数，
∴32025﹣32024能被2整除；
故计算结果正确，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法的正用与逆用等知识，熟练掌握以
上知识点是关键．
10．（3分）（2025•路北区二模）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝1cm，则点P到
这个正六边形六条边的距离之和为（ ）cm．
第12页（共36页）A．6 B．3 C．3√3 D．6√3
【考点】正多边形和圆．
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【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得动点P到这个正六边形六条边的距离之和，即为当点P为正六边形的中心时，
点P到六条边的距离之和，即可解答．
【解答】解：如图，当点P是正六边形的中心时，
连接PB、PC，过点P作PH⊥BC于点H，延长HP交EF于点G，
则点P到这个正六边形六条边的距离之和即为6PH的长．
根据正六边形的性质可知：
△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝60°，
∵PH⊥BC，
1 1
∴∠BPH＝30°，BH= BC= （cm），
2 2
√3
∴PH= （cm），
2
∴6PH＝3√3（cm）．
∴点P到这个正六边形六条边的距离之和为3√3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是理解点 P到这个正六边形六条边的距离之和即
为当点P为正六边形的中心到六条边的距离之和．
11．（3分）（2025•路北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D为AB中点，分
别以点A、点C为圆心，AC长为半径画弧，交于点E，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交
第13页（共36页）于点F，连接DE，DF．则以下4个结论：①F，A，E三点共线；②四边形BDEC为平行四边形；
③AC⊥DE；④S
△ACE
：S四边形BCEF ＝1：6，正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；作图—基本
作图．
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【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】求解∠BAC＝90°﹣30°＝60°，证明AB＝2AC，证明△ACE，△ABF为等边三角形，可得F，
A，E三点共线；可得①符合题意；
证明AD＝BD＝AC＝CE，AB∥CE，可得四边形BDEC为平行四边形；可得②符合题意；
证明AC⊥BC，可得AC⊥DE，可得③符合题意；
证明S四边形BDEC ＝2S
△ADE
＝2S
△ACE
，S
△ABC
＝2S
△ACE
，△FBD≌△BAC，可得S
△ABF
＝2S
△BDF
＝2S
△ABC
，可
得④不符合题意．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AB＝2AC，
由作图可得：AC＝AE＝CE，AB＝AF＝BF，
∴△ACE，△ABF为等边三角形，
∴∠CAE＝∠BAF＝60°＝∠BAC，
∴∠FAE＝3×60°＝180°，
∴F，A，E三点共线；故①符合题意；
∵D为AB中点，AB＝2AC，
∴AD＝BD＝AC＝CE，
∵∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE，
∴四边形BDEC为平行四边形；故②符合题意；
∴DE∥BC，
第14页（共36页）∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∴AC⊥DE，故③符合题意；
∵D为AB中点，CE∥AB，CE＝BD，
∴S四边形BDEC ＝2S
△ADE
＝2S
△ACE
，S
△ABC
＝2S
△ACE
，
∵等边三角形ABF，
∴FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDF＝90°，
∵AB＝BF，BD＝AC，
∴△FBD≌△BAC，
∴S ＝2S ＝2S ＝4S ，
△ABF △BDF △ABC △ACE
∴S四边形BFEC ＝7S
△ACE
，
∴S
△ACE
：S四边形BCEF ＝1：7，故④不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，全等三
角形的判定与性质，熟记以上基础图形的判定与性质是解本题的关键．
12．（3分）（2014•连云港）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若
k
函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
x
49 25
A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤
4 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】压轴题；数形结合．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为
A、与线段BC有交点，由此求解即可．
【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
第15页（共36页）2
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y= ，
x
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，
{y=-x+7
k ，得x2﹣7x+k＝0
y=
x
49
根据△≥0，得k≤
4
49
综上可知2≤k≤ ．
4
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自
变量的取值范围．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．）
13．（3分）（2019•安徽）计算√18÷√2的结果是 3 ．
【考点】二次根式的乘除法．
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【专题】实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质把√18化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：√18÷√2=3√2÷√2=3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
14．（3分）（2025•路北区二模）点A（1，﹣5）关于原点的对称点坐标为 （﹣ 1 ， 5 ） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（﹣1，5）．
【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可得解．
【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴点A（1，﹣5）关于原点的对称点坐标为（﹣1，5），
故答案为：（﹣1，5）．
第16页（共36页）【点评】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解此题
的关键．
15．（3分）（2025•路北区二模）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形（改变矩形内角，边长保持
不变）为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内
角的度数为 30 ° ．
【考点】平行四边形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】30°．
1 1
【分析】设B′C交AD于点E，由题意可知，S平行四边形ABCD =
2
S矩形A′BCD′ ，且CD′＝CD，则BC•CE =
2
1 1 CE 1
BC•CD′，所以CE= CD′= CD，由AD∥BC，得∠CED＝∠BCD′＝90°，则sinD= = ，所以∠D
2 2 CD 2
＝30°，于是得到问题的答案．
【解答】解：设B′C交AD于点E，由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，四[边形A′BCD′是矩形，
且CD′＝CD，
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠BCD′＝90°，
1
∵S平行四边形ABCD =
2
S矩形A′BCD′ ，
1
∴BC•CE= BC•CD′，
2
1 1
∴CE= CD′= CD，
2 2
CE 1
∴sinD= = ，
CD 2
∴∠D＝30°，
∴这个平行四边形的一个最小内角的度数为30°，
故答案为：30°．
第17页（共36页）1
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，推导出sinD= 是解
2
题的关键．
16．（3分）（2025•路北区二模）如图，已知点A坐标为(√3，1)，B为x轴正半轴上一动点，C是OB
的中点，则在点B运动的过程中AB+BC的最小值为 √3 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；解直角三角形；坐标与图形性质．
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【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】√3．
【分析】过点A作A关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点D，过点E作EM⊥OA于点M，交x轴
1
于点B，根据A点坐标，写出AD和OD长，根据三角函数知识求出∠AOB即可，证BM= OB，AB
2
＝BE，得到AB+BC＝BC+BM，然后在Rt△AEM中，根据三角函数知识求出EM即可．
【解答】解：如图，已知点A坐标为(√3，1)，过点A作A关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点
D，过点E作EM⊥OA于点M，交x轴于点B，
∴AD＝1，OD=√3，∠OMB＝∠AMB＝90°，
AD √3
在Rt△AOD中，tan∠AOB= = ，
OD 3
∴∠AOB＝30°，
1
∴BM= OB，
2
∵∠OBM＝∠DBE，
第18页（共36页）∴∠AEM＝30°，
∵A，E关于x轴对称，
∴AB＝BE，AD＝ED＝1，
∴AE＝2，
∵C是OB的中点，
∴AB+BC＝BC+BM，
∴当E，B，M三点共线时，AB+BC有最小值，即EM长，
√3
在Rt△AEM中，EM=AE×cos30°=2× =√3，
2
故答案为：√3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数知
识和证明当E，B，M三点共线时，AB+BC有最小值是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）（2025•路北区二模）已知整式P＝x2﹣2（2x﹣x2）+1．
（1）化简P；
（2）若P＝0，利用判别式判断此方程实数根的情况．
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）P＝3x2﹣4x+1；
（2）方程有两个不相等的实数根．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）根据题意可得3x2﹣4x+1＝0，再计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根
的情况．
【解答】解：（1）∵P＝x2﹣4x+2x2+1
＝3x2﹣4x+1；
（2）当P＝0时，3x2﹣4x+1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0；
∴方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
18．（9分）（2025•路北区二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除．
第19页（共36页）例：∵2+3+4＝9，9能被3整除，∴234能被3整除．
尝试试说明537是否能被3整除；
验证设abc是一个三位数，若a+b+c能被3整除，则abc也能被3整除；
应用直接写出三位数81n能被3整除的概率．
【考点】列表法与树状图法；数的整除；倍数．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
2
【答案】尝试：537能被3整除 验证：见解析 应用：P=
5
【分析】尝试：利用给出的法则进行判断即可；
验证：利用给出的法则对整式进行整理，然后进行判断验证即可；
应用：借助树状图可求出概率．
【解答】解：尝试∵5+3+7＝15，15能被3整除，
∴537能被3整除．
验证abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+(a+b+c)，
∵9能被3整除．（11a+b）是整数，
∴9（11a+b）可以被3整除．
又∵（a+b+c）可以被3整除（已知），
∴这个三位数可以被3整除．
应用，n的取值共有10种等可能的情况，符合条件的情况有4种，
4 2
所以三位数81n能被3整除的概率P= = ．
10 5
【点评】本题考查了有理数运算和整式的加减，简单概率的计算等知识点，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
19．（9分）（2025•扬州三模）在林业局技术人员帮扶下，周大叔与某公司签订了树苗销售合同，并于
今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为
90%，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图1和图2两个尚不完整的统计图中．
第20页（共36页）（1）种植B品种树苗有多少棵？
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高？
【考点】条形统计图；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）75棵；
（2）补全图形见解析；
（3）C品种果树苗的成活率最高．
【分析】（1）由总量乘以B品种树苗所占的百分比即可得到答案；
（2）先计算出C种树苗种植的数量，得到成活的数量，补全图形即可；
（3）分别计算出A，B，D三种树苗的成活率，结合已知的C种树苗的成活率，从而可得答案．
【解答】解：（1）种植B品种树苗有：300（1﹣20%﹣20%﹣35%）＝75（棵）．
（2）300×20%＝60（棵），
所以成活60×90%＝54（棵）．
补全图形如下：
第21页（共36页）84
（3）A成活率为： =80%；
300×35%
60
B成活率为： =80%；
75
C的成活率为90%；
51
D成活率为 =85%，
300×20%
所以：C品种果树苗的成活率最高．
【点评】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取有效的信息，同时考查了对信息的整理与计
算，掌握以上知识是解题的关键．
20．（9分）（2025•路北区二模）如图1是由边长为6cm和8cm的两个正方形拼成的图形，将该图剪成
如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图2）．
（1）求大正方形的边长，并直接写出图1中等于大正方形边长的线段；
（2）求证图1中△ADM≌△MEF；
（3）求图1中线段BH的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力．
【答案】（1）10cm；FM、AM；
（2）证明：由（1）得，AM＝FM＝10cm，
根据正方形的性质得，∠D＝∠E＝90°，
∴∠AMD+∠DAM＝90°，
由图2可得，∠AMD+∠EMF＝90°，
∴∠DAM＝∠EMF，
在△ADM和△MEF中，
{
∠D=∠E
∠DAM=∠EMF，
AM=FM
第22页（共36页）∴△ADM≌△MEF（AAS）；
9
（3） cm．
2
【分析】（1）先计算图1的面积为62+82＝100cm2，利用大正方形的面积等于图1的面积，求出大正
方形的边长，再结合图2，即可写出图1中等于大正方形边长的线段；
（2）利用全等三角形的判定即可证明；
CH CM
（3）利用全等三角形和正方形的性质得到DM＝EF＝8cm，通过证明△MCH∽△MDA得到 = ，
DA DM
代入数据求出CH的长，即可求出BH的长．
【解答】（1）解：∵图1是两个正方形拼成的图形，它们的边长分别为6cm和8cm，
∴图1的面积＝62+82＝36+64＝100cm2，
又∵大正方形的面积等于图1的面积，
∴大正方形的边长为√100=10cm，
由图2得，序号①部分的斜边、序号③④部分的斜边都等于大正方形的边长，
∴图1中等于大正方形边长的线段为FM、AM．
（2）证明：由（1）得，AM＝FM＝10cm，
又∵∠D＝∠E＝90°，
∴∠AMD+∠DAM＝90°，
由图2可得，∠AMD+∠EMF＝90°，
∴∠DAM＝∠EMF，
在△ADM和△MEF中，
{
∠D=∠E
∠DAM=∠EMF，
AM=FM
∴△ADM≌△MEF（AAS）．
（3）解：由（2）得，△ADM≌△MEF，
∴DM＝EF＝8cm，
∴CM＝DM﹣DC＝8﹣6＝2cm，
∵CH∥DA，
∴△MCH∽△MDA，
CH CM 2 1
∴ = = = ，
DA DM 8 4
第23页（共36页）1 1 3
∴CH= DA= ×6= cm，
4 4 2
3 9
∴BH=BC-CH=6- = cm．
2 2
【点评】本题考查了以弦图为背景的计算、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（9分）（2014•长春）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，
甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，
甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 27 0 吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
【考点】一次函数的应用．
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【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270吨；
（2）先求出甲队每小时的清雪量，再求出m．
（3）设乙队调离后y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，把A，B两点代入求出函数关系式．
【解答】解：（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；
故答案为：270．
270
（2）乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为 =90吨；
3
∵乙队每小时清雪50吨，
∴甲队每小时的清雪量为：90﹣50＝40吨，
∴m＝270+40×3＝390吨，
∴此次任务的清雪总量为390吨．
第24页（共36页）（3）由（2）可知点B的坐标为（6，390），设乙队调离后y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b
（k≠0），
∵图象经过点A（3，270），B（6，390），
{3k+b=270
∴
6k+b=390
{k=40
解得
b=150
∴乙队调离后y与x之间的函数关系式：y＝40x+150．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是甲队每小时的清雪量．
22．（9分）（2025•路北区二模）如图，斜坡AB与地面CD的夹角∠BAD＝60°，斜坡顶端BE∥CD．半
径为2的 O相切AB于点P，相切CD于点Q， O上固定的一点G恰在∠BAC的平分线上．某一时
刻， O带⊙动点G沿斜坡AB向上滚动（无滑动）⊙，当 O与AB切于点G时停止滚动，发现此时点G
恰与点⊙B重合，此时圆心记为O′． ⊙
（1）当 O在初始位置时，证明：∠BAD＝2∠PGQ；
（2）求⊙斜坡AB的长（结果保留 ）；
（3）设 O'与EB的延长线交于另π一点H，求BH的长度．
⊙
【考点】圆的综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）如图1，半径为2的 O相切AB于点P，相切CD于点Q，连接OP，OQ，
⊙
第25页（共36页）∴OP⊥AB，OQ⊥AC，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠POQ+∠PAQ+∠APO+∠AQO＝360°，
∴∠POQ+∠PAQ＝180°，
∵∠BAD+∠PAQ＝180°，
∴∠POQ＝∠BAD，
∵∠POQ＝2∠PGQ，
∴∠BAD＝2∠PGQ；
2√3 10π
（2） + ；
3 3
（3）2√3．
【分析】（1）连接OP，OQ，根据切线的性质，得∠APO＝∠AQO＝90°，再根据四边形内角和得出
∠POQ+∠PAQ＝180°，利用邻补角性质，可得到∠POQ＝∠BAD，然后根据圆周角定理知∠POQ＝
2∠PGQ，即可得出结论；
1 2√3
（2）连接OA，AG，求得∠OAP= ∠PAQ=60°，再解直角三角形求出AP= ，然后证明点
2 3
10π 10π
A、O、G三点共线，求出∠POG＝∠OAP+∠OPA＝150°，从而求出^PG长= ，即BP= ，即可
3 3
由AB＝AP+BP求解；
（3）连接O'B，过点O′作O′F⊥BH于F，求得∠O′BH＝30°，解直角三角形求出BF=√3，利用垂径定
理即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，半径为2的 O相切AB于点P，相切CD于点Q，连接OP，OQ，
⊙
第26页（共36页）∴OP⊥AB，OQ⊥AC，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠POQ+∠PAQ+∠APO+∠AQO＝360°，
∴∠POQ+∠PAQ＝180°，
∵∠BAD+∠PAQ＝180°，
∴∠POQ＝∠BAD，
∵∠POQ＝2∠PGQ，
∴∠BAD＝2∠PGQ；
（2）解：如图2，半径为2的 O相切AB于点P，相切CD于点Q，连接OP，OQ，OA，AG，
⊙
∵ O相切AB于点P，相切CD于点Q，
∴O⊙P⊥AB，OQ⊥AC，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∴△OPA和△OQA是直角三角形，
在Rt△OPA和Rt△OQA中，
{OP=OQ
，
OA=OA
第27页（共36页）∴Rt△OPA≌Rt△OQA（HL），
∴∠OAP＝∠OAQ，即AO平分∠PAQ，
∵∠BAD+∠PAQ＝180°，∠BAD＝60°，
∴∠PAQ＝120°，
1
∴∠OAP= ∠PAQ=60°，
2
OP
∵tan∠OAP= ，
AP
OP 2 2√3
∴AP= = = ，
tan∠OPA tan60° 3
∵点G恰在∠BAC的平分线上，
∴点A、O、G三点共线，
∴∠POG＝∠OAP+∠OPA＝60°+90°＝150°，
150π×22 10π
∴^PG长= = ，
180 3
10π
∴BP= ，
3
2√3 10π
∴AB=AP+BP= + ；
3 3
（3）解：连接O'B，过点O′作O′F⊥BH于F，如图3，
∵BE∥CD，
∴∠ABH＝∠BAD＝60°，
∵ O'与AB相切，
∴∠⊙O′BA＝90°，
∴∠O′BH＝30°，
∵O′F⊥BH，
第28页（共36页）∴∠O′FB＝90°，BH＝2BF，
∴BF=cos∠O'BF⋅O'B=cos30°×2=√3，
∴BH=2BF=2√3．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查切线的性质，解直角三角形，求弧长，全等三角形的判定与
性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理．熟练掌握切线的性质、解直角三角形等知识的应用是
解题的关键．
23 ． （ 9 分 ） （ 2025• 路 北 区 二 模 ） 已 知 抛 物 线 L ：y=x2-2ax-2(x≥0)， 抛 物 线
1
L ：y=x2-2ax-4(x＜0)，图象L 与图象L 组合成图象G．
2 1 2
（1）如图，当a＝﹣1时，
①求图象G最低点的纵坐标的值；
②点P（b，4）在图象G上，求b的值；
3
（2）已知A（0，﹣3），B( ，-3)，当此图象G与线段AB只有一个公共点时，确定a的取值范围．
2
（3）若图象G有且只有4个点到x轴的距离等于5时，直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①此函数的最小值为﹣5；②b的值为-1+√7或﹣4；
13
（2）a＝1或a＞ 时函数与线段AB有一个交点；
12
（3）a＜﹣1或a＞√3．
【分析】（1）①分别求出两个函数的最小值，再比较大小即可；
②将P（b，4）分别代入函数解析式，求出b的值即可；
（ 2 ） 根 据 题 意 得 到 公 共 点 在 上 ， 分 两 种 情 况 ： 当 AB 与
L ：y=x2-2ax-2(x≥0)
1
第29页（共36页）相切时，当AB与 相交时，分别计算即可；
L ：y=x2-2ax-2(x≥0) L ：y=x2-2ax-2(x≥0)
1 1
（3）根据题意，只需求x轴下方的图象与y＝﹣5有两个交点即可，分两种情况：a＞0时﹣a2﹣2＜﹣
5，求出a＞√3；a＜0时，﹣a2﹣4＜﹣5，求出a＜﹣1．
【解答】解：（1）①当a＝﹣1时，
L ：y＝x2﹣2×（﹣1）x﹣2＝（x+1）2﹣3，
1
∵x≥0，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，当x≥0，抛物线递增，
∴x＝0时，L 有最小值，最小值为﹣2，
1
L ：y＝x2﹣2×（﹣1）x﹣4＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
2
∵x＜0，
∴x＝﹣1时，L 最小值为﹣5，
2
∵﹣2＞﹣5
∴图象G最低点的纵坐标的值为﹣5；
②∵a＝﹣1，
∴L ：y=x2-2ax-2=x2+2x-2，L ：y=x2-2ax-4=x2+2x-4，
1 2
当P（b，4）在L ：y=x2-2ax-2(x≥0)上时，b2+2b﹣2＝4，
1
解得b=-1±√7，
∴b=-1+√7；
当P（b，4）在L ：y=x2-2ax-4(x＜0)时，b2+2b﹣4＝4，
2
解得b＝﹣4或b＝2（舍去），
∴b的值为-1+√7或﹣4；
3
（2）∵A（0，﹣3），B( ，-3)，图象G与线段AB只有一个公共点，
2
第30页（共36页）如图所示， ，
∴公共点在L ：y=x2-2ax-2(x≥0)上，
1
∴x＞0，对称轴为直线x＝a＞0，
令y＝﹣3，
当AB与L ：y=x2-2ax-2(x≥0)相切时，则x2﹣2ax﹣2＝﹣3，
1
∴x2﹣2ax+1＝0，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4＝0，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去）；
当AB与L ：y=x2-2ax-2(x≥0)相交时，交点在AB之间，如图所示：
1
第31页（共36页）3 3 2 3
当x= 时，( ) -2× a-2＜-3，
2 2 2
1
∴ -3a＜-3，
4
13
∴a＞ ，
12
13
综上所述，a＝1或a＞ 时函数与线段AB有一个交点；
12
（3）两抛物线的对称轴为直线x＝a，
当a＞0时，如图， ，
第32页（共36页）x≥0时，y =-a2-2，
最小
当x＜0时，y最小 ＝﹣4，
∴﹣a2﹣2＜﹣5，
∴a＞√3或a＜-√3（舍去），
当a＜0时，如图，
当x≥0时，y最小 ＝﹣2，
当x＜0时，y =-a2-4，
最小
∴﹣a2﹣4＜﹣5，
∴a＜﹣1或a＞1（舍去），
综上所述，a＜﹣1或a＞√3．
【点评】本题考查了二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、数形结合是解题的关键．
24．（9分）（2018•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=√7，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将
△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线
m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存
在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
第33页（共36页）【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，进而得到BC=√3，依据∠A'BC＝90°，可得cos∠A'CB
BC √3
= = ，即可得到∠A'CB＝30°，∠ACA'＝60°；
A'C 2
√3 3
（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A＝∠A'CM，进而得到PB= BC= ，依据tan∠Q＝tan∠A
2 2
√3 2 7
= ，即可得到BQ＝BC× = 2，进而得出PQ＝PB+BQ= ；
2 √3 2
（3）依据S四边形PA'B′Q ＝S
△PCQ
﹣S
△A'CB
'＝S
△PCQ
-√3，即可得到S四边形PA'B′Q 最小，即S
△PCQ
最小，而
1 √3
S
△PCQ
=
2
PQ×BC=
2
PQ，利用几何法或代数法即可得到S
△PCQ
的最小值＝3，S四边形PA'B′Q ＝3-√3．
【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，
∵∠ACB＝90°，AB=√7，AC＝2，
∴BC=√3，
∵∠ACB＝90°，m∥AC，
∴∠A'BC＝90°，
BC √3
∴cos∠A'CB= = ，
A'C 2
∴∠A'CB＝30°，
∴∠ACA'＝60°；
（2）∵M为A'B'的中点，
∴∠A'CM＝∠MA'C，
由旋转可得，∠MA'C＝∠A，
∴∠A＝∠A'CM，
第34页（共36页）√3
∴tan∠PCB＝tan∠A= ，
2
√3 3
∴PB= BC= ，
2 2
∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，
∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，
√3
∴tan∠BQC＝tan∠A= ，
2
2
∴BQ＝BC× = 2，
√3
7
∴PQ＝PB+BQ= ；
2
（3）∵S四边形PA'B′Q ＝S
△PCQ
﹣S
△A'CB
'＝S
△PCQ
-√3，
∴S四边形PA'B′Q 最小，即S
△PCQ
最小，
1 √3
∴S = PQ×BC= PQ，
△PCQ 2 2
法一：（几何法）取PQ的中点G，
∵∠PCQ＝90°，
1
∴CG= PQ，即PQ＝2CG，
2
当CG最小时，PQ最小，
∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，
∴CG =√3，PQ ＝2√3，
min min
∴S
△PCQ
的最小值＝3，S四边形PA'B′Q ＝3-√3；
法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，
由射影定理得：xy＝3，
∴当PQ最小时，x+y最小，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，
当x＝y=√3时，“＝”成立，
∴PQ=√3+√3=2√3，
∴S
△PCQ
的最小值＝3，S四边形PA'B′Q ＝3-√3．
第35页（共36页）【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综
合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
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