文档内容
2026年菁优中考数学解密之无理数与实数
一．选择题（共10小题）
√1
1．（2025•东河区校级自主招生）估计(3√15-√3)× 的值应在（ ）
3
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（2025•灵武市一模）若实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是
（ ）
A．|a|＞|b| B．ab＞0 C．|a﹣b|＝b﹣a D．a2＞b2
3．（2025•桑植县三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0
4．（2025•灵武市一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满
水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为 34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位
于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（2025•深圳模拟）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（
）
A．√5+2 B．√5-2 C．-√5+2 D．-√5-2
6．（2025•珠海模拟）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：s）称为一个周期，其计算公式为
√ l
T=2π ，l表示摆长（单位：m）．若一台座钟的摆长为0.1m，当 取3时，该摆针摆动的周期为
10
π
第1页（共17页）（ ）
A．0.05s B．0.06s C．0.5s D．0.6s
7．（2025•睢阳区模拟）无理数a在数轴上的对应点如图所示，则a的值可能是（ ）
√2
A．-√2 B． C．√3 D．√5
2
8．（2025•五华区校级三模）按一定规律排列的单项式：a，√2a3 ，√3a5 ，√4a7 ，√5a9 ，⋯；，
第n个单项式为（ ）
A．√n+1a2n B．√n+1a2n+1
C．√na2n-1 D．√nan-1
9．（2025•临川区二模）我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率
22 355
精确到小数点后第七位，还得到了 的两个近似值： （约率）和 （密率），这个记录在世界
7 113
π π
22
上保持了1100多年．其中，约率 是（ ）
7
A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数
10．（2025•南充）如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，
点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是（ ）
A．2﹣2 B． ﹣2 C．5﹣2 D．2﹣
二．填空题（π 共10小题） π π π
√5-1 1
11．（2025•绵竹市模拟）比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
3 3
12．（2025•沙坪坝区校级一模）计算：(√3-1) 0-2-1= ．
13．（2025•广阳区校级二模）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则|a|﹣|b| 0（选填“＞”
或“＜”）．
第2页（共17页）14．（2025•辽阳三模）如图，在以O为原点的数轴上，OB＝1，过点O作直线l⊥OB于点O，在直线l上
截取OA＝2，且点A在OB上方．连接AB，以点B为圆心、AB长为半径作弧交射线OB于点C，则点
C表示的数为 ．
15．（2025•中卫校级二模）如图，点A，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线
段CD=√2，则点A表示的数是 ．
16．（2025•平乡县二模）对于实数P，我们规定：用[√P]表示不大于√P的最大整数，例如：[√3]=1，
[√4]=2，…，则[√1]-[√2]+[√3]-[√4]+.....+[√2023]-[√2024]+[√2025]（其中“+”“﹣”依次
相同）的值为 ．
√ab+a+b
17．（2025•宁波模拟）已知 a，b 满足a*b= ，已知 3*x＝4，x 为正数，则 x＝
3
．
18．（2025•惠州模拟）计算：√4+2sin45°-(π-3) 0= ．
19．（2025•安徽模拟）已知√3的整数部分为a，小数部分为b．那么a﹣b＝ ．
√1
20．（2025•合肥校级二模）√4-3 +sin260°= ．
8
三．解答题（共5小题）
1
21．（2025•英山县校级模拟）计算：(π-2024) 0-√27+|-2|-( ) -1 ．
3
2
22．（2025•湖北三模）计算：|﹣5|-√327+(-2) 2+4÷( )．
3
23．（2025•台江区校级模拟）计算：√576-tan45°+π0-|-√2|．
1 -2
24．（2025•广东校级模拟）计算：|√3-2|+(2025+π) 0+2sin60°-(- ) ．
2
1 -1 3
25．（2025•云南模拟）计算：√12+( ) -4cos30°+(√3+1) 0+ ×(-8)．
3 4
第3页（共17页）第4页（共17页）2026年菁优中考数学解密之无理数与实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B B D C C D D
一．选择题（共10小题）
√1
1．（2025•东河区校级自主招生）估计(3√15-√3)× 的值应在（ ）
3
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．
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【专题】实数；二次根式；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算出结果，再估算无理数的大小即可．
【解答】解：原式＝3√5-1=√45-1，
∵62＝36，72＝49，而36＜45＜49，
∴6＜√45＜7，
∴5＜√45-1＜6，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小以及二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则以及算术
平方根的定义是正确解答的前提．
2．（2025•灵武市一模）若实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是
（ ）
A．|a|＞|b| B．ab＞0 C．|a﹣b|＝b﹣a D．a2＞b2
【考点】实数与数轴；绝对值．
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【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据数轴得到﹣2＜a＜﹣1＜2＜b，结合实数运算法则判断即可得到答案．
【解答】解：实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，﹣2＜a＜﹣1＜2＜b，
第5页（共17页）A、|a|＜|b|，此选项错误，不符合题意，
B、ab＜0，此选项错误，不符合题意，
C、a﹣b＜0，|a﹣b|＝b﹣a，此选项正确，符合题意，
D、由图中数据判断，a2＜b2，此选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的
关键．
3．（2025•桑植县三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．由数轴可知|a|＞|b|，故符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断
a，b的正负，以及绝对值的大小．
4．（2025•灵武市一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满
水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为 34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位
于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
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第6页（共17页）【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】B
【分析】根据正方体体积的计算方法得出正方体棱长为 cm，再根据立方根的定义估算无理数
√334 √334
的大小即可．
【解答】解：由题意可知，正方体铁块的体积为34cm3，
所以正方体的棱长为√334，
∵33＝27，43＝64，而27＜34＜64，
∴3＜√334＜4．
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解立方根的定义是正确解答的关键．
5．（2025•深圳模拟）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（
）
A．√5+2 B．√5-2 C．-√5+2 D．-√5-2
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；数感；运算能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AB，进而得到OC的长即可．
【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝1，
∴AB AC，
=√OA2+OB2=√5=
∴OC＝AC﹣AO=√5-2，
即点C在数轴上所表示的数是√5-2．
故选：B．
【点评】本题考查数轴表示数，勾股定理，理解数轴表示数的意义，掌握勾股定理是正确解答的关键．
6．（2025•珠海模拟）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：s）称为一个周期，其计算公式为
第7页（共17页）√ l
T=2π ，l表示摆长（单位：m）．若一台座钟的摆长为0.1m，当 取3时，该摆针摆动的周期为
10
π
（ ）
A．0.05s B．0.06s C．0.5s D．0.6s
【考点】算术平方根．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意将已知数据代入公式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意可知，
√ l
T=2π
10
√0.1
＝2×3×
10
√ 1
＝6×
100
1
＝6×
10
＝6×0.1
＝0.6．
故选：D．
【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，正确的计算是解题的关键．
7．（2025•睢阳区模拟）无理数a在数轴上的对应点如图所示，则a的值可能是（ ）
√2
A．-√2 B． C．√3 D．√5
2
【考点】实数与数轴；算术平方根；无理数．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】利用实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的定义解答．
【解答】解：根据数轴图可以发现点a的整数部分是1，
∴只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，算术平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握实数与数轴
第8页（共17页）的关系，算术平方根的定义，无理数的估算．
8．（2025•五华区校级三模）按一定规律排列的单项式：a，√2a3 ，√3a5 ，√4a7 ，√5a9 ，⋯；，
第n个单项式为（ ）
A．√n+1a2n B．√n+1a2n+1
C．√na2n-1 D．√nan-1
【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类；单项式．
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【专题】规律型；整式；推理能力．
【答案】C
【分析】通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为√n；由a1，a3，a5，a7，发现第n个单项
式的字母次数是2n﹣1，即可求解．
【解答】解：通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为√n，
∵a1，a3，a5，a7，
∴第n个单项式的字母次数是2n﹣1，
∴第n个单项式为√na2n-1，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的探究规律，解题的关键是找到规律．
9．（2025•临川区二模）我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率
22 355
精确到小数点后第七位，还得到了 的两个近似值： （约率）和 （密率），这个记录在世界
7 113
π π
22
上保持了1100多年．其中，约率 是（ ）
7
A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数
【考点】实数；近似数和有效数字．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】直接根据实数的分类方法即可得到答案．
22
【解答】解：根据题意可知， 是正分数，是有理数．
7
故选：D．
【点评】本题考查了实数，近似数和有效数字，掌握相应的定义是关键．
10．（2025•南充）如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，
点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是（ ）
第9页（共17页）A．2﹣2 B． ﹣2 C．5﹣2 D．2﹣
【考点】π实数与数轴；圆的π周长． π π
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【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】根据题意求出AA′，然后设滚动前点A对应的数为x，根据两点间的距离公式列出关于x的方
程，解方程求出x即可．
【解答】解：由题意可知：AA′＝ ×1＝ ，
设滚动前点A对应的数为x， π π
∴|2﹣x|＝ ，
2﹣x＝ ，π
x＝2﹣π，
∴滚动π前点A对应的数是2﹣ ，
故选：D． π
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
二．填空题（共10小题）
√5-1 1
11．（2025•绵竹市模拟）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
3 3
【考点】实数大小比较．
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【答案】见试题解答内容
【分析】首先确定√5-1与1的大小，进行比较即可求解．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴1＜√5-1＜2，
√5-1 1
∴ ＞ ．
3 3
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需
比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．
第10页（共17页）1
12．（2025•沙坪坝区校级一模）计算： (√3-1) 0-2-1= ．
2
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
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【专题】计算题；实数；运算能力．
1
【答案】 ．
2
【分析】先算零次幂和负整数指数幂，再加减．
1 1
【解答】解：原式＝1- = ．
2 2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数、负整数指数幂的意义是解决本题的关键．
13．（2025•广阳区校级二模）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则|a|﹣|b| ＞ 0（选填“＞”或
“＜”）．
【考点】实数大小比较；绝对值；实数与数轴．
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【专题】实数．
【答案】＞．
【分析】观察数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，根据有理数的加法法则判断a+b的正负，再根据绝对
值的性质化简|a|﹣|b|，然后进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∵|a|﹣|b|
＝﹣a﹣b
＝﹣（a+b），
∴|a|﹣|b|＞0，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和绝对值的性质．
14．（2025•辽阳三模）如图，在以O为原点的数轴上，OB＝1，过点O作直线l⊥OB于点O，在直线l上
截取OA＝2，且点A在OB上方．连接AB，以点B为圆心、AB长为半径作弧交射线OB于点C，则点
C表示的数为 1+√5 ．
第11页（共17页）【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1+√5．
【分析】先根据已知条件和勾股定理求出AB，从而求出BC，再设点C表示的数为x，利用两点间的
距离公式求出答案即可．
【解答】解：由题意可知：AB＝BC，点B表示的数是1，
∵直线l⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵OB＝1，OA＝2，
由勾股定理得： ，
AB=√OA2+OB2=√22+12=√5
∴BC=√5，
设点C表示的数为x，
∴|x-1|=√5，
x-1=√5，
x=1+√5，
∴点C表示的数为：1+√5，
故答案为：1+√5．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．
15．（2025•中卫校级二模）如图，点A，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线
段CD=√2，则点A表示的数是 1-2√2 ．
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】1-2√2．
【分析】先根据线段中点的定义，求出AD，设点A表示的数为y，再根据两点间的距离，列出关于y
第12页（共17页）的方程，解方程求出y即可．
【解答】解：∵C是线段AD的中点，CD=√2，
∴AD=2CD=2√2，
设点A表示的数是y，
∴|1- y|=2√2，
1- y=±2√2，
y=1-2√2或1+2√2（不合题意舍去），
∴点A表示的数是：1-2√2，
故答案为：1-2√2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
16．（2025•平乡县二模）对于实数P，我们规定：用[√P]表示不大于√P的最大整数，例如：[√3]=1，
[√4]=2，…，则[√1]-[√2]+[√3]-[√4]+.....+[√2023]-[√2024]+[√2025]（其中“+”“﹣”依次
相同）的值为 2 3 ．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算．
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【专题】实数；数感．
【答案】23．
【分析】由题意易得[√1]=1，[√2]=1，[√3]=1，[√4]=2，……，[√2023]=44，[√2024]=44，
[√2025]=45，然后问题可求解．
【解答】 解：由条件可得： [√1]=1，[√2]=1，[√3]=1，[√4]=2，[√5]=2，[√6]=2，
⋯⋯[√1936]=44，[√1937]=44，……，[√2023]=44，[√2024]=44，[√2025]=45，
∴[√1]-[√2]+[√3]-[√4]+.....+[√2023]-[√2024]+[√2025]
＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣4+.....+44﹣44+45
＝1﹣2+3﹣4+....﹣44+45
＝1+3+5+...+45﹣（2+4+6+...+44）
＝23；
故答案为：23．
【点评】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是理解新定义．
√ab+a+b 21-3√13
17．（2025•宁波模拟）已知a，b满足a*b= ，已知3*x＝4，x为正数，则x＝
3 2
．
【考点】实数的运算；解一元一次方程．
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【专题】实数；运算能力．
第13页（共17页）21-3√13
【答案】 ．
2
【分析】根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方程即可解答．
√3x+3+x
【解答】解： =4，整理得√3x=9-x，
3
3x＝（9﹣x）2，
x2﹣21x+81＝0，
21+3√13 21-3√13
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
21+3√13
当x = 时，9﹣x＜0，故舍去，
1 2
21-3√13
∴x= ．
2
21-3√13
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，掌握实数的运算法则是关键．
18．（2025•惠州模拟）计算： 1 ．
√4+2sin45°-(π-3) 0= +√2
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，
求出算式的值即可．
【解答】解：
√4+2sin45°-(π-3) 0
√2
＝2+2× -1
2
＝2+√2-1
＝1+√2．
故答案为：1+√2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算
一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，
同级运算要按照从左到右的顺序进行．
19．（2025•安徽模拟）已知√3的整数部分为a，小数部分为b．那么a﹣b＝ 2-√3 ．
第14页（共17页）【考点】估算无理数的大小．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据1＜√3＜√4，可知1＜√3＜2，因此√3的整数部分a＝1，小数部分b=√3-1，再计
算a﹣b的值即可．
【解答】解：∵1＜√3＜√4，
∴1＜√3＜2，
∴√3的整数部分a＝1，小数部分b=√3-1，
∴a﹣b＝1-√3+1＝2-√3，
故答案为：2-√3．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练估算出√3的取值范围是解题的关键．
√1 9
20．（2025•合肥校级二模）√4-3 +sin260°= ．
8 4
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
9
【答案】 ．
4
【分析】原式分别计算 ，√1 1， √3 2 3，然后再进行加减运算即可．
√4=2 3 = sin260°=( ) =
8 2 2 4
【解答】解：原式 1 √3 2
=2- +( )
2 2
3 3
= +
2 4
9
= ．
4
9
故答案为： ．
4
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
三．解答题（共5小题）
1
21．（2025•英山县校级模拟）计算：(π-2024) 0-√27+|-2|-( ) -1．
3
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
第15页（共17页）【答案】-3√3．
【分析】直接利用零指数幂的性质，二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值分别化简得出
答案．
【解答】解：原式=1-3√3+2-3
=-3√3．
【点评】本题主要考查了实数运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2
22．（2025•湖北三模）计算：|﹣5|-√327+(-2) 2+4÷( )．
3
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；
【解答】解：原式＝5﹣3+4+6
＝12．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括
号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
23．（2025•台江区校级模拟）计算：√576-tan45°+π0-|-√2|．
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】24-√2．
【分析】先根据特殊角三角函数值、算术平方根、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可．
【解答】解：原式=24-1+1-√2=24-√2．
【点评】此题考查了实数的运算，掌握相应的运算法则是关键．
1 -2
24．（2025•广东校级模拟）计算：|√3-2|+(2025+π) 0+2sin60°-(- ) ．
2
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先将绝对值，0次幂，负整数幂，以及三角函数化简，再进行计算即可．
√3
【解答】解：原式=2-√3+1+2× -4
2
=2-√3+1+√3-4
＝﹣1．
第16页（共17页）【点评】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，0次
幂和负整数幂的计算方法，以及熟记特殊角度的三角函数值．
1 -1 3
25．（2025•云南模拟）计算：√12+( ) -4cos30°+(√3+1) 0+ ×(-8)．
3 4
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加
减．
1 -1 3
【解答】解：√12+( ) -4cos30°+(√3+1) 0+ ×(-8)
3 4
√3 3
=√4×√3+3﹣4× +1- ×8
2 4
√3
=2√3+3-4× +1-6
2
=2√3+3-2√3+1-6
＝﹣2．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
第17页（共17页）
