文档内容
知识点 40： 轻杆连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻杆连接体绕固定轴转动模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
轻杆连接体同轴转动，角速度相等，线速度与半径成正比。
题型一：物体异侧转动模型
【典例1拔尖题】（多选）如图所示，三根长均为L的轻杆组成支架，支架可绕光滑的中
心转轴O在竖直平面内转动，轻杆间夹角均为120°，轻杆末端分别固定质量为m、2m和
3m的n、p、q三个小球，n球位于O的正下方，将支架从图示位置由静止开始释放，下列
说法中正确的是( )
A．从释放到q到达最低点的过程中，q的重力势能减少了mgL
B．q达到最低点时，q的速度大小为
C．q到达最低点时，轻杆对q的作用力为5mg
D．从释放到q到达最低点的过程中，轻杆对q做的功为－3mgL
【典例1拔尖题】【答案】BD
【解析】从释放到q到达最低点的过程中，q的重力势能减少了ΔE ＝3mg(L＋Lsin 30°)＝
P
mgL，故A错误；n、p、q三个小球和轻杆支架组成的系统机械能守恒，n、p、q三个小球
的速度大小相等，从释放到q到达最低点的过程中，根据机械能守恒定律有3mg(L＋Lsin
30°)－mg(L＋Lsin 30°)＝(m＋2m＋3m)v2，解得v＝，故B正确；q到达最低点时，根据牛
1
学科网（北京）股份有限公司顿第二定律可得F －3mg＝，解得F ＝6mg，故C错误；从释放到q到达最低点的过程中，
N N
根据动能定理可得W＋3mg(L＋Lsin 30°)＝·3mv2，解得轻杆对q做的功为W＝－3mgL，故
D正确。
题型二：物体同侧转动模型
【典例2拔尖题】如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在 A处固定质
量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在
平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力
的情况下，下列说法正确的是( )
A．A处小球到达最低点时速度为0
B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
【典例2拔尖题】【答案】BCD
【解析】因A处小球质量大，位置高，所以图中所示三角支架处于不稳定状态，释放后支
架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正
确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也
是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为小球的动能，因而
此时A处小球的速度不为0，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要
继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高
位置还要高，C正确．整体机械能守恒：mg·2R＋2mg(2R＋2R)＝mgh ＋2mg(h ＋2R)，解
2 2
得：h＝R
2
考点二：轻杆连接体滑动模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
轻杆连接体在滑动时，沿杆分速度大小相等，两物体速度大小不一定相等。
题型一：轻杆连接体在固定杆上滑动模型
【典例1拔尖题】（多选）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与
光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，
不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
2
学科网（北京）股份有限公司A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【典例1拔尖题】【答案】BD
【解析】由于刚性轻杆不可伸缩，滑块a、b沿轻杆方向的分速度相等，滑块a落地时，速
度方向竖直向下，沿轻杆方向的分速度为 0，故此时滑块b的速度为0，滑块b的初速度为
0，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系
统的机械能守恒，当a刚落地时，则mgh＝mv＋0，即v ＝，选项B正确；a、b的先后受
a
力如图所示。由a的受力图可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C
错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机
械能最小，这时b受重力、支持力，且F ＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大
Nb
小为mg，选项D正确。
题型二：轻杆连接体其他形式滑动模型
【典例2拔尖题】（多选）如图所示，内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，
一根长度为R的轻杆，一端固定小球甲，另一端固定小球乙，两球质量均为 m，将两小球
放入凹槽内，小球乙恰好位于凹槽的最低点，由静止释放后( )
A．整个运动过程，甲球的速率始终等于乙球的速率
B．当甲、乙两球到达同一高度时，甲球的速率达到最大值
3
学科网（北京）股份有限公司C．甲球在下滑过程，轻杆对甲球先做正功后做负功
D．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
【典例2拔尖题】【答案】ABD
【解析】根据运动的合成与分解可得：v cos45°＝v cos45°，则有：v ＝v 在，所以整
甲 乙 甲 乙
个运动过程，甲球的速率始终等于乙球的速率，故A正确；设甲球与圆心的连线与竖直方
向的夹角为θ，则乙球与圆心的连线与竖直方向的夹角为 90°－θ，对于系统，机械能守恒，
则有：mgRcosθ－mgR(1－sinθ)＝mv＋mv，解得：v ＝v ＝＝，当θ＝45°时，即甲、乙
甲 乙
两球到达同一高度时，甲球的速率达到最大值，故 B正确；甲球在下滑过程中，轻杆对甲
球作用力表现为支持力，力的方向与运动方向相反，轻杆对甲球一直做负功，故 C错误；
根据对称性可知，甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，乙球运动到圆心等高点，对于系统根据
机械能守恒可得v ＝v ＝0，故D正确。
甲 乙
【典例2拔尖题对应练习】（多选）如图所示，倾角为θ的斜面MN段粗糙，其余段光滑，
PM、MN长度均为3d。四个质量均为m的相同样品1、2、3、4放在斜面上，每个样品(可
视为质点)左侧固定有长度为d的轻质细杆，细杆与斜面平行，且与其左侧的样品接触但不
粘连，样品与MN间的动摩擦因数为tan θ。若样品1在P处时，四个样品由静止一起释放，
则(重力加速度大小为g)( )
A．当样品1刚进入MN段时，样品的共同加速度大小为gsin θ
B．当样品1刚进入MN段时，样品1的轻杆受到压力大小为3mgsin θ
C．当四个样品均位于MN段时，摩擦力做的总功为9dmgsin θ
D．当四个样品均位于MN段时，样品的共同速度大小为3
【典例2拔尖题对应练习】【答案】AD
【解析】当样品1刚进入MN段时，以四个样品整体为对象，根据牛顿第二定律得 4mgsin
θ－μmgcos θ＝4ma ，解得样品的共同加速度大小为a ＝gsin θ，以样品1为对象，根据牛
1 1
顿第二定律得F ＋mgsin θ－μmgcos θ＝ma ，解得样品1的轻杆受到压力大小为 F ＝
1 1 1
mgsin θ，故A正确，B错误；当四个样品均位于MN段时，摩擦力对样品1做功W ＝－
1
μmgcos θ·3d＝－3mgdsin θ，摩擦力对样品2做功W ＝－μmgcos θ·2d＝－2mgdsin θ，摩
2
擦力对样品3做功，W ＝－μmgcos θ·d＝－mgdsin θ，此时样品4刚进入MN段摩擦力对
3
样品4不做功，所以当四个样品均位于MN段时，摩擦力做的总功为W＝W ＋W ＋W ＝
f 1 2 3
－6mgdsin θ，故C错误；设四个样品均位于MN段时的共同速度为v，由动能定理得
4mg·6d·sin θ＋W＝×4mv2，解得v＝3，故D正确。
f
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学科网（北京）股份有限公司
