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考向 19 三角函数的图象和性
质
1.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求
的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意
要先把 化为正数．
2．（2021·浙江高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得 ，
则 ，所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
1.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成
同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函） 或 ，常见
方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；
（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式 将已给函数化成同函.
2.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同
角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述 或 的形式，有时会化
简为二次函数型： 或 ，这时需要借助二次函数知识求解，
但要注意 的取值范围.
若将已给函数化简为更高次的函数，如 ，则换元后可通过
导数求解.如：解析式中同时含有 和 ，令 ，由关系式
得到 关于 的函数表达式.
3.求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：
（1） ，令 ，则 ；
（2） ，引入辅助角 ，化为 ；（3） ，令 ，则 ；
（4） ，令 ，
则 ，所以 ；
，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数
（5）
形结合法求最值.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R xx∈R，且x
值域 [－1,1] [－1,1] R
[来源:学§科§网
Z§X§X§K]
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
在[2kπ－π，2kπ]
在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z) 在－＋kπ，＋
(k∈Z)上是递增函
上是递增函数，在＋
单调性 数，在[2kπ，2kπ＋ kπ(k∈Z)上是递
2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递
π](k∈Z)上是递减
减函数 增函数
函数
周期是2kπ(k∈Z且
周期是2kπ(k∈Z且 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正
周期性 k≠0)，最小正周期
k≠0)，最小正周期是2π 周期是π
是2π
对称轴是x＝
对称轴是x＝＋
kπ(k∈Z)，对称中
对称性 kπ(k∈Z)，对称中心是 对称中心是(k∈Z)
心是kπ＋，
(kπ，0)(k∈Z)
0(k∈Z)
【知识拓展】1．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模（理））已知函数 在区间
上单调递增，且 在区间 上有且仅有一解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东高三其他模拟）已知函数 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，且过点 ，则需要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
3．（2021·陕西高三其他模拟（理））函数 ，下列描述错误的是（ ）
A．定义域是 ，值域是 B．其图象有无数条对称轴
C． 是它的一个零点 D．此函数不是周期函数
4．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知函数 ，
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A．
B． 在 上存在零点，则a的最小值为
C． 在 上单调递增
D． 在 有且仅有一个极大值点
1．（2021·四川高三其他模拟（理））已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B． 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 的图象关于点 中心对称
D．将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象
2．（2021·全国高三其他模拟（文））把函数 的图象向左平移 个单位后，得到函
数 的图象，若函数 是偶函数，则下列数中可能是 的值的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））将函数 的图象向左平移 个单
位长度得到函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 的周期是
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为C． 在区间 上单调递减 D． 在区间 上有4个零点
5．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））函数 的
部分图象如图所示，则 （ ）
A．1 B． C． D．
6．（2021·福建省南安第一中学高三二模）（多选题）设 ，其中
若 对一切 恒成立，则以下结论正确的是（ ）．
A． ； B． ；
C． 是奇函数； D． 的单调递增区间是 ；
7．（2021·山西大附中高三其他模拟）（多选题）已知函数f(x)=sinx-cosx，g(x)是f(x)的导函数，则
下列结论中正确的是（ ）
A．函数f(x)的值域与函数g(x)的值域相同
B．若x是函数f(x)的极值点，则x是函数g(x)的零点
0 0
C．把函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象D．函数f(x)和g(x)在区间 上均单调递增
8．（2021·广东高三其他模拟）（多选题）已知函数 是偶函数，其中
，则下列关于函数 的正确描述是（ ）
A． 在区间 上的最小值为
B． 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
C．点 是 的图象的一个对称中心；
D． 是 的一个单调递增区间.
9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 ( )，若存在
， ，对任意 ， ，则 的取值范围是___________.
10．（2021·上海高三其他模拟）函数 的最小正周期为___________.
11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 ( ， )，其图象相
邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ，且 是一个极小值点.若把函数 的图象向左平移
个单位长度后，所得函数的图象关于直线 对称，则实数 的最小值为___________.12．（2021·辽宁实验中学高三二模）已知 ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2） ，给出 的一个合适的数值使得函数 的值域为
．
1．（2021·江苏高考真题）若函数 的最小正周期为 ，则它的一条对称
轴是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京高考真题）函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．C． D．
4．（2021·全国高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
5．（2020·全国高考真题（理））设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最
小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·海南高考真题）（多选题）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)=
（ ）A． B． C． D．
7．（2021·全国高考真题（文））已知函数 的部分图像如图所示，则
_______________.
8．（2021·全国高考真题（理））已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．
9．（2020·江苏高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y
轴最近的对称轴的方程是____.10．（2019·浙江高考真题）设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
11．（2014·重庆高考真题（理））已知函数 的图像关于直
线 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 .
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值.
1．【答案】D
【分析】
求出函数的增区间，然后由已知得出 的一个范围，然后由再由方程 在区间 上有且仅有
一解，结合正弦函数的最大值点求得 的另一个范围，两者结合可得结论．
【详解】
因为 ，令 ， ，即 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，
又因为函数 在 上单调递增，
所以 ，得 ，且 ，
又因为 ，
所以 ，又 在区间 上有唯一的实数解，
所以 ，且 ，可得 .
综上， ．
故选：D.
2．【答案】A
【分析】
先根据函数的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，且过点 ，求得其解析式，然后利用平移变换求
解.
【详解】
因为函数 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，
所以 ，所以 ，
因为过点 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
要得到 ，需要 向右平移 个单位．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】
根据正弦型函数值域可确定 ，结合绝对值的含义可知A正确；
根据正弦函数对称轴，采用整体对应的方式可知 是 的对称轴，知B正确；
根据 可知C正确；
由 知 是 的周期，知D错误.
【详解】
对于A，易知 定义域为 ， ， ，，即 的值域为 ，A正确；
对于B，由 得： ，
即 ，
即 ，
是函数图象的对称轴，故有无数条，B正确，
对于C， ， 是 的一个零点，C正确；
对于D， ，
是函数的周期，D错误.
故选：D.
4．【答案】B
【分析】
对于A，由已知条件得 ，由于函数为奇函数，所以 ，从而可求出 的
值；对于B，由 ，得 ，由于 在 上存在零点，所以可求出a的最
小值为 ；对于C， ，然后可求出其单调增区间；对于D，求出，可知当 时， ，当 时， ，由此可
判断出函数的极值
【详解】
解：函数 ，
所以
，
由于函数为奇函数，
所以 ， ，
由于 ，
故 ，故 ，故A错误；
令 ，所以 ，
若 在 上存在零点，则a的最小值为 ，故B正确；
函数 ，
当 时， ，所以函数 不单调，故C错误；对于D：由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 ，在 时， ，函数在 上只有极小值，
没有极大值，故D错误.
故选：B.
1．【答案】C
【分析】
先根据二倍角公式化简 的解析式，
A．根据最小正周期计算公式进行求解；
B．根据 是否为最值进行判断；
C．根据 是否为 进行判断；
D．先求解出平移后的函数解析式，然后进行判断.
【详解】
，
A．最小正周期 ，故正确；
B．因为 为最小值，所以 是 图象的一条对称轴，故正确；
C．因为 ，所以 的图象不关于点 中心对称，故错误；D． ， 的图象向右平移 个单位后得到：
，故正确；
故选：C.
2．【答案】D
【分析】
由平移变换写出变换后函数解析式，再根据诱导公式得出结论．
【详解】
由题意 ，
它为偶函数，则 ， ，只有 时 满足．
故选：D．
3．【答案】D
【分析】
利用三角函数图象变换可得函数 的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正
确选项.
【详解】
由题意可得 ，
对于A，函数 是偶函数，A错误：
对于B，函数 最小周期是 ，B错误；
对于C，由 ，则直线 不是函数 图象的对称轴，C错误；对于D，由 ，则 是函数 图象的一个对称中心，D正确.
故选：D.
4．【答案】D
【分析】
先利用二倍角公式，辅助角公式，对 进行化简，对A，根据函数奇偶性的定义即可判断；对B，根据
计算最小正周期的公式即可判断；对C，根据 的单调递增，单调递减区间即可判断，对D，根据
的周期以及 的图象，即可判断.
【详解】
解： ，
其中 ，
对A， 的定义域为 关于原点对称，
，
故 是非奇非偶函数，故A错误；
对B， ，故B错误；
对C， ，
，又 ，
故 ，
即 ，
在区间 上单调递增，故C错误；
对D， ，
，
，
，
且 ，
故 在 上经历了两个周期，
即 在区间 上有4个零点，故D正确.
故选：D.
5．【答案】A
【分析】
根据函数图象易知 ，即可求出 ，再根据 ，而 ，根据三角函数的
性质即可知 ．【详解】
由图象知， ，又 ， ，所以 .
故选：A.
6．【答案】AC
【分析】
先对函数化简为 ，其中 ，然后由 对一切 恒成
立，知直线 是 的对称轴， 的最小正周期为 ，然后逐个分析判断即可
【详解】
，其中 ， 对一切 恒成立，知直线 是
的对称轴，又 的最小正周期为 ．
因为 可看做 ，加了 个周期所对应的函数值，所以 ．故A正确．
因为函数 周期 ，因为 ，所以 ，故B不正确．
因为直线 是 的对称轴，因为 由函数 平移 ，所以函数 的图像既关于原点
对称，所以函数 既是奇函数，故C正确．
依题意，函数 相邻两条对称轴 ，在区间 上函数 单调，
不能确定是单调递增，还是单调递减，故D不正确．
故选：AC．7．【答案】ABD
【分析】
先用辅助角公式将函数化简，将原函数求导并且用辅助角公式化简，并且原函数和导函数化为同角同符号
的三角函数，进而结合三角函数的图像和性质进行求解.
【详解】
所以A正确；
若 是函数 的极值点，则 ，即
，即 是函数 的零点， 正确；
把函数 的图像向右平移 个单位长度，可以得到函数
的图象， 错误；
令 ，则函数 在 上单调递增，令
，则函数 在 上单调递增， 函
数 和 在区间 上均单调递增， 正确.故选： .
8．【答案】AB
【分析】
根据 为偶函数，求得 的值，由此求得 的解析式，根据三角函数最值、图像变换、对称中心、
单调区间的知识，判断四个选项的正确性.
【详解】
由 得
，
所以 恒成立，
得 是曲线 的对称轴，
所以 ，
由 得 ，
，
对于A： ，
在区间 上的最小值为 ，故A正确；
对于B： ，
函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到 ，故B正确；对于C： ，
所以点 不是 的图象的一个对称中心，故C错误；
对于D： ，
所以 不是 的一个单调递增区间，故D错误
故选：AB
9．【答案】
【分析】
首先利用诱导公式得到 ，根据题意得到 ， ，从而得到
，再解不等式组即可.
【详解】
，
.
因为对任意 ， ，所以 ， ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
10．【答案】2
【分析】
根据正切函数的周期性进行求解即可.
【详解】
解： 的周期为 ，
故答案为：2
11．【答案】
【分析】
利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数 右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就
是对称轴，然后得到 的最小值.
【详解】
相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ，∴ ,∴ ，
∴最小值点 右侧最近的一个最大值点为 ，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过 的最值点，即 右侧第一条对称轴为 ，∴把函数 的
图象向左平移 个单位长度后，所得函数的图象关于直线 对称，则实数 的最小值为
,
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为
四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数 在直线
右侧的第一条对称轴是关键.
12．【答案】（1） ；（2） 的值可取 ．
【分析】
（1）根据 ，结合 ，可得 或 ，再根据
求解；
（2）由 ，根据值域为 ，结合正弦函数的性质求解．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
可得 或 ，可得 或 ，
又 ，所以 ．
（2） ，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
所以由题意可得 ，可得 ，
所以 即可， 的值可取 ．1．【答案】A
【分析】
由 ，可得 ，所以 ，令 ，得
，从而可得到本题答案.
【详解】
由题，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 的对称轴为 ，
当 时， ，
所以函数 的一条对称轴为 .
故选：A
2．【答案】D
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大
值.
【详解】
由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
3．【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
不符合题意， 符合题意．
【详解】
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即
时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，
D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即
可解出．
4．【答案】C
【分析】
利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期为
，最大值为 .
故选：C．
5．【答案】C
【分析】
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图
象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式
即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
6．【答案】BC
【分析】
首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】
由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待
定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
x，则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
7．【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
【详解】
由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】
已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待
定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
x，则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
8．【答案】2
【分析】
先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数
或验证数值可得.
【详解】
由图可知 ，即 ，所以 ；由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得
的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求解 .
9．【答案】
【分析】
先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】当 时
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 的值；
(2)首先整理函数的解析式为 的形式，然后确定其值域即可.
【详解】
(1)由题意结合函数的解析式可得： ，
函数为偶函数，则当 时， ，即 ，结合 可取
，相应的 值为 .
(2)由函数的解析式可得：.
据此可得函数的值域为： .
【点睛】
本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）由函数图像上相邻两个最高点的距离为 求出周期，再利用公式 求出 的值；
由函数 的图像关于直线 对称，可得
，然后结合 ，求出的值.
（2）由（1）知 ，由
结合 利用同角三角函数的基本关系可求得 的值，因为
可由两角和与差的三角函数公式求出 从而用诱导公式求得 的值.解：（1）因 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 的最小正周期 ，从而
.
又因 的图象关于直线 对称，所以
因 得
所以 .
（2）由（1）得
所以 .
由 得
所以
因此
=
考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象
和性质.
