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知识点 43：传送带模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决传送带问题的技巧：
（1）动力学方法：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式
结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关
系．
（2）能量方法：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因
放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
①传送带与物体产生的内能Q＝f s 其中x 是物体间相对路径长度（同向相减，反向相
相对 相对
加）。
②因传送工件而多消耗电能电机做功的求解方法：
根据动能定理：传送带匀速运动，电动机做的功等于传送带克服摩擦力做的功W＝f x 。
传
根据能量守恒：电机做功等于物块机械能增加量和系统摩擦产生的热W＝ΔE ＋ΔE ＋Q。
k p
考点一：考考考传送带模型的力与能量问题
题型一：滑块静止释放模型
类型一：滑块在传送带上静止释放模型
【典例1a提高题】如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电动机的带动下运
输带始终以恒定的速度v＝1 m/s顺时针传动。建筑工人将质量为m＝2 kg的建筑材料静
0
止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以v＝1 m/s的速度向右匀速运动。已知建筑材料
0
与运输带之间的动摩擦因数为μ＝0.1，运输带的长度为L＝2 m，重力加速度大小为g＝10
m/s2。求：
(1)建筑工人比建筑材料早到右端的时间；
(2)因运输建筑材料电动机多消耗的能量；
(3)运输带对建筑材料做的功。
【典例1a提高题】【答案】(1)0.5 s (2)2 J (3)1 J
【解析】(1)建筑工人匀速运动到右端，所需时间t ＝＝2 s，假设建筑材料先加速再匀速运
1
动，加速时的加速度大小为a＝μg＝1 m/s2，加速的时间为t＝＝1 s，加速运动的位移为x
2 1
＝t ＝0.5 mx ，故小物块之后匀速运动到达P点，匀速运动时间t ＝＝3
2 1 2 3
s，则t＝t ＋t ＋t ，解得t＝9 s(3)小物块从A点到达P，摩擦产生的热量 Q ＝μmg·cos
1 2 3 1 1
37°·L＝32 J小物块第1次从传送带返回P点，v ＝v＝4 m/s物块沿斜面做匀减速运动减速
P
到零后反向做匀加速运动，再次到达P点，动能减小，v ′mgsin θ，货物将做匀速运动，根据运动学公式
得货物匀速运动的时间t ＝，因此货物从底端运送到顶端的时间t＝t ＋t ＝＋，当速度一定
2 1 2
时，θ越大，加速度越小，运送的时间越长，A错误；当θ一定时，加速度一定，速度不同，
运送时间不同，B错误；货物相对传送带运动的位移Δs＝vt －t ＝t ，v和θ一定，加速度
1 1 1
一定，速度一定，由t ＝得货物的加速时间t 一定，货物相对传送带的位移一定，C错误；
1 1
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学科网（北京）股份有限公司摩擦产生的热量为μmgΔs，当倾角θ和速度v一定时，货物质量越大，摩擦产生的热越多，
D正确．
【典例1a提高题对应练习】如图所示，传送带的倾角为30°，以2 m/s的速度运动，将静止
的工件由底端P处传送到顶端Q处。已知工件的质量为1.0 kg，P、Q之间的距离为5 m，
工件与传送带间的动摩擦因数为μ＝，取g＝10 m/s2，则
(1)摩擦力对工件做的功是多少？
(2)工件与传送带间因摩擦而产生的内能是多少？、
【典例1a提高题对应练习】【答案】(1)27 J (2)6 J
【解析】(1)工件先做匀加速运动，由牛顿第二定律有μmgcos θ－mgsin θ＝ma，得出a＝
2.5 m/s2；工件匀加速的位移为x ＝＝ m＝0.8 m，摩擦力对工件做的功为W ＝μmg·xcos
1 1 1
θ，得出W ＝6 J，工件后做匀速运动，位移为x ＝5 m－x ＝4.2 m，摩擦力对工件做的功
1 2 1
为W＝mg·xsin θ，得出W＝21 J，所以摩擦力对工件做的功为W＝W＋W＝27 J。
2 2 2 1 2
(2)工件匀加速的时间为t ＝，得出t ＝0.8 s，在工件匀加速时传送带的位移为s ＝vt ＝1.6
1 1 1 1
m，工件与传送带间因摩擦而产生的内能为Q＝μmg·(s－x)cos θ，得出Q＝6 J。
1 1
类型二：运动的滑块从底端向上运动模型
【典例1b提高题】如图甲所示为倾斜的传送带，正以恒定的速度 v，沿顺时针方向转动，
传送带的倾角为37°。一质量m＝1kg的物块以初速度v 从传送带的底部冲上传送带并沿传
0
送带向上运动，物块到传送带顶端的速度恰好为零，其运动的v-t图象如图乙所示，已知重
力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则下列说法正确的是( )
A．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5；
B．传送带底端到顶端的距离为32m；
C．0～2s内物块的加速度大小为12m/s2
D．全程物块与传送带间由于摩擦而产生的64J热量。
【典例1b提高题】【答案】AB
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由图示图象可知，0～2s内物块的加速度为 ，负号表
示加速度方向与速度方向相反；由牛顿第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma，代入数据解得
μ=0.5选项A正确，C错误；图示图象可知，传送带底端到顶端的距离为
选项B正确；由v-t图象可知，物块在0～2s内向上
做减速运动，当减速到与传送带速度相等时，由于重力沿传送带的分力大于物块受到的最
大静摩擦力，物块继续向上做减速运动，由此可知传送带的速度为4m/s，0～2s内物块与
传送带的相对位移d= ×(24+4)×2−4×2=20m，该过程产生的热量，Q=μmgcos37°•d，代
1 1 1
入数据解得Q=80J，2s-4s内，相对位移d=4×2- ×(4+0)×2=4m，摩擦产生的热量
1 2
Q=μmgcos37°•d 代入数据解得Q=16J，整个过程摩擦产生的热量Q=Q+Q=96J，选项D
2 2， 2 1 2
错误。
【典例1b提高题对应练习】如图所示，在光滑水平面上，质量为m＝4 kg的物块左侧压缩
一个劲度系数为k＝32 N/m的轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线
拴接，使物块静止在O点，在水平面A点与一顺时针匀速转动且倾角θ＝37°的传送带平滑
连接。已知x ＝0.25 m，传送带顶端为B点，L ＝2 m，物块与传送带间动摩擦因数μ＝
OA AB
0.5。现剪断细线同时给物块施加一个初始时刻为零的变力F，使物块从O点到B点做加速
度大小恒定的加速运动。物块运动到A点时弹簧恰好恢复原长，运动到B点时撤去力F，
物块沿平行AB方向抛出，C为运动的最高点。传送带转轮半径远小于L ，不计空气阻力，
AB
已知重力加速度g＝10 m/s2。
（1）求物块从B点运动到C点，竖直位移与水平位移的比值；
（2）若传送带速度大小为5 m/s，求物块与传送带间由于摩擦产生的热量；
（3）若传送带匀速顺时针转动的速度大小为v，且v的取值范围为2 m/sv，取沿传送带向
1 2
上的方向为正方向，已知传送带的速度保持不变，则( )
A．物块在0～t 时间内运动的位移比在t～t 时间内运动的位移小
1 1 2
B．0～t 时间内，重力对物块做正功
2
C．若物块与传送带间的动摩擦因数为μ，那么μ＜tan θ
D．0～t 时间内，传送带对物块做功为W＝mv2－mv2
2 2 1
【典例1c提高题】【答案】B
【解析】由题图乙图像可知，0～t 内图线与坐标轴所形成的三角形面积大于t ～t 内图线
1 1 2
与坐标轴所围成的三角形面积，由此可知，物块在0～t 内运动的位移比在t ～t 内运动的
1 1 2
位移大，故A错误．在t ～t 内，物块向上运动，则有 μmgcos θ＞mgsin θ，解得μ＞tan
1 2
θ，故C错误.0～t 内，由“面积”表示位移可知，物块的总位移沿传送带向下，高度下降，
2
重力对物块做正功，设为W ，根据动能定理得W＋W ＝mv 2－mv 2，则传送带对物块做的
G G 2 1
功W≠mv 2－mv 2，故B正确，D错误．
2 1
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学科网（北京）股份有限公司题型二：传送带向考考考运动模型考考考模型考
类型一：滑块静止考放模型
【典例2a提高题】(多选)在物流货场，广泛应用着传送带搬运货物，如图甲所示，倾角为
37°的传送带以恒定速度逆时针转动，在传送带顶端A处无初速度释放一个质量为m＝2 kg
的货物(可视为质点)，经过2 s到达传送带的B端。货物与传送带的速度随时间变化图象如
图乙所示，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A.0～1 s内物体的加速度为10 m/s2
B.A、B两点相距15 m
C.物体与传送带间的动摩擦因数为0.5
D.0～1 s内货物与传送带摩擦产生的热量为80 J
【典例2a提高题】【答案】AC
【解析】0～1 s内物体的加速度为a＝＝ m/s2＝10 m/s2，故A正确；物体运动总的位移x
＝vt＋vt＝×1 m＋×1 m＝16 m，A、B两点相距16 m，故B错误；前1 s物体向下加速运动
1 2
由牛顿第二定律可得mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma，代入数值可求得μ＝0.5，说明物体与传
送带间的动摩擦因数为0.5，故C正确；0～1 s内物体与传送带运动的相对距离为Δx＝vt－
t＝10×1 m－×1 m＝5 m，货物与传送带摩擦产生的热量为Q＝μmgcos 37°Δx＝
0.5×2×10×0.8×5 J＝40 J，故D错误。
【典例2a提高题对应练习】(多选)在大型物流货场，广泛应用着传送带搬运货物。如图甲
所示，与水平面成θ角倾斜的传送带以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的，将m＝1 kg的
货物放在传送带上的A处，经过1.2 s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带
的速度v随时间t变化图像如图乙所示，已知重力加速度g＝10 m/s2，由v－t图像可知(
)
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学科网（北京）股份有限公司A.货物从A运动到B过程中，摩擦力恒定不变
B.货物与传送带间的动摩擦因数为0.5
C.货物从A运动到B过程中，货物与传送带摩擦产生的热量为4.8 J
D.A、B两点的距离为2.4 m
【典例2a提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由图像可知，传送带的速度为2 m/s，在货物到达与传送带共速之前，即0～0.2 s
内，货物受沿斜面向下的摩擦力；在此之后，货物受沿斜面向上的摩擦力，故A错误；由
图像可以看出货物做两段匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 mgsin θ＋μmgcos θ＝
ma ，mgsin θ－μmgcos θ＝ma ，由图像得到a ＝10 m/s2，a ＝2 m/s2，解得θ＝37°，μ＝
1 2 1 2
0.5，故B正确；货物与传送带摩擦产生的热量为Q＝FΔx ＋FΔx ＝μmgcos 37°(Δx ＋Δx)
f 1 f 2 1 2
＝0.5×1×10×0.8×J＝4.8 J，故C正确；A、B两点的距离就是货物的位移，即货物的v－t图
像与坐标轴围成的面积。所以有s ＝ m＋×1 m＝3.2 m，故D错误。
AB
类型二：运动的滑块从顶端向下运动模型
【典例2b提高题】如图所示，固定的粗糙弧形轨道下端B点的切线水平，上端A与B点
的高度差为h＝1.0 m，一质量为m＝2.5 kg的滑块(可视为质点)从轨道的A点由静止下滑，
1
滑到轨道下端B点时的速度大小为v ＝4 m/s，然后从B点水平抛出，落到传送带上端的C
B
点时速度方向恰好与传送带平行．倾斜传送带与水平方向的夹角为θ＝37°，传送带逆时针
匀速转动，速度大小为v＝2.6 m/s，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.8，传送带足够长
不计空气阻力，不考虑滑块与传送带碰撞时的能量损失，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块从A点滑到B点的过程中克服摩擦阻力做的功W；
f
(2)B点与传送带上端C点的高度差h；
2
(3)滑块在传送带上运动时与传送带因摩擦产生的热量Q.
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学科网（北京）股份有限公司【典例2b提高题】【答案】(1)5 J (2)0.45 m (3)115.2 J
【解析】(1)滑块从A点滑到B点的过程中，根据动能定理得：mgh －W＝mv－0
1 f
代入数据解得W＝5 J.
f
(2)从B到C滑块做平抛运动，到达C点时速度与水平方向的夹角为37°，则滑块到达C点
的速度为 v＝＝5 m/s，根据机械能守恒定律得：mgh ＋mv＝mv，解得 h＝0.45 m.
0 2 2
(3)滑块在传送带上运动时，由于v＞v，所以滑块所受的滑动摩擦力方向沿传送带向上．根
0
据牛顿第二定律得 μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得 a＝0.4 m/s2，方向沿传送带向上，滑块
做匀减速运动，速度减至v＝2.6 m/s的时间 t＝＝ s＝6 s，减速过程滑块的位移 x＝t＝×6
1
m＝22.8 m，传送带的位移 x＝vt＝2.6×6 m＝15.6 m，此过程中摩擦生热 Q′＝μmgcos θ(x
2 1
－x)，解得 Q′＝115.2 J，由于μmgcos θ＞mgsin θ，所以滑块与传送带共速后相对静止，
2
不再产生热量，所以摩擦产生的热量Q＝Q′＝115.2 J.
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