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第 02 讲 圆-垂径定理
知识点1：垂径定理的定义
知识点2：垂径定理的应用
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【题型1利用垂径定理求值】
【典例1】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，OE⊥AB，垂足为E．若AB=8,OE=3，
则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B．5 C．4❑√2 D．5❑√2【变式1】如图，点A,B,C在⊙O上，点A是B´C中点，若∠ABC=35°，则∠BCO的
度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【变式2】如图、已知AB为⊙O的直径，点B为C´D的中点．则下列结论中一定正确的是
（ ）
1
A．BM=OM B．AB⊥CD C．OM= OC D．∠BOC=60°
2
【变式3】如图，⊙P经过点O(0,0)，交y轴于点A，若P(−10,−8)，弦OA长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
【题型2利用垂径定理求平行弦问题】
【典例2】在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB与CD之
间的距离是 ．
【变式1】设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ．
【变式2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF
=4，那么AD = ．
【变式3】已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，
CD=10，则AB，CD之间的距离是 ．
【题型3利用垂径定理求同心圆问题】
【典例3】如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AB=8,BD=1，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．
【变式1】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦
AB和小圆交于C，D两点，若AC=CD=4，则小圆半径是 ．
【变式2】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组
圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【变式3】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．
【题型4利用垂径定理求解其他问题】
【典例4】如图，AB是⊙O的弦．半径OC⊥AB于点D，且AB=8,OC=5．则DC的长
是 ．
【变式1】如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，AP=2，则弦
CD= ．
【变式2】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为 ．
【变式3】如图，AB为⊙O的弦，半径OE交AB于点F，且F为AB的中点，连接OB、
BE、AE，若∠ABO=20°，则∠AEO= °．
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【题型5垂径定理的实际应用】
【典例5】圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国
元素的韵味．如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，
D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆的直径．【变式1】“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点P表示筒车的一个盛水桶，
如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图
②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的一个圆，且圆心始终在水
面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆
上的点距离水面的最大距离）为2米．
(1)求该圆的半径．
(2)若水面下降导致圆被水面截得的弦AB的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水
桶的最大深度为多少米？
【变式2】苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依
河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风
貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱
顶高出水平面4m．
(1)求此圆弧形拱桥的半径；
(2)若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算
判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由．【变式3】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，
AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减
少了多少？
一、单选题
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，C是弧
AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．若这段弯路的半径是100m，CD=20m，则
A、B两点的直线距离是（ ）
A．60m B．80m C．100m D．120m
2．我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图AB⊥CD，点C是AB的中点，测量数据得
AB=6cm，CD=9cm，则圆的半径长为（ ）．A．6cm B．3❑√3cm C．3❑√2cm D．5cm
3．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或
其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图
②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区，已知
种植区的深度为8cm，圆形框架的半径为20cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
4．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的弓形，路面AB=24m，隧道
最高点C到地面的距离CD=8m，则该隧道所在圆的半径OA为（ ）
13
A． m B．13m C．14m D．15m
2
5．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资
源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，
它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若D是弦AB的中点，CD经过圆心O交优弧
ACB于点C，且AB=8m,CD=8m，则⊙O的半径为（ ）A．5m B．6.5m C．7.5m D．8m
二、填空题
6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB=6，OE=4，则直径
CD= ．
7．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球
的半径为13cm，瓶内液体的最大深度CD=8cm，则截面圆中弦AB的长为
cm．
8．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24,CD=10，则AB与CD的距离是 ．
9．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给
出了解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，
1
大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点E,F，连接EF，交A´B于点C，交弦AB于
2
点D，经测量AB=60cm，CD=10cm，则圆形工件的半径为 cm．10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个
“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于
点E，EB=1寸，CD=10寸，则半径OC长为 寸．
三、解答题
11．如图，等腰△OAB的底边AB交⊙O于点C、D．求证：AC=BD．
12．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，求⊙O的半径OA．13．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O分别相交于点E和点C，过点
C作CD⊥AB，交AB于点F，交⊙O于点D，连接PD．
(1)求证：PC=PD；
(2)若PE的长等于⊙O的半径，∠APC=20°，求∠AOC的度数．
14．某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的
高度AE为5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m．在拱顶的M，N处安
装照明灯．
(1)求⊙O的半径OA的长；
(2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为8.5m，求M，N之间的水平距离．
