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第 01 讲 概率的初步
知识点1：事件的类型
知识点2：概率
知识点3：频率与概率
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其
中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【题型1事件类型】
【典例1】下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，其内角和为180°
B．在平面内任意画一个三角形，它是等腰三角形
C．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
D．过平面内不在同一直线上的三点画一个圆【变式1】掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（ ）
A．朝上的数字小于7B．朝上的数字是奇数C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3
【变式2】下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放广告 B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．任意画一个三角形，它的内角和是180°
【变式3】下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，其内角和为360° B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆
【题型2可能性大小】
【典例2】．若气象部门预报明天下雨的概率是85％，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小
C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨
【变式1】不透明的袋子里有10个球，分别标注序号1∼10．从中任意摸一个，摸到号码
是下面哪一种数的可能性最小（ ）
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【变式2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（ ）
A．一定能摸出 B．不可能摸出
C．摸出 的可能性最小 D．摸出 的可能性最大
【变式3】不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任
意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事
件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生
的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) =
．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，
则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越
接近0．
3.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生
的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可
以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果
数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）
时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。【题型3概率的意义】
1
【典例3】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是（ ）
2
A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【变式1】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以
下四位同学说法正确的是（ ）
A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件
B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件
C．丙说某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
2
D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
3
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6是必然事件
1
B．“明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨
2
C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式
【变式3】下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第
2001次一定抛掷出5点
B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生
C．天气预报说明天下雨的概率是50%，意思是说明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
【题型4几何概率】
【典例4】如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这
个点取在阴影部分的概率是 ．【变式1】如图是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼
成一个大正方形.若直角三角形的两条直角边长分别为1和2，在大正方形内任意取一点
P，则点P落在阴影区域内的概率是 ．
【变式2】一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为
．
【变式3】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞
镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【题型5概率公式】
【典例4】2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地
支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、
戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
9 10 12 22
【变式1】一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【变式2】一架钢琴有88个琴键，其中白键比黑键多16个，随机弹下一个琴键，弹中白键
的概率为 ．
1
【变式3】从− ，−1，1，2，−5中任取一个数作为a，则抛物线y=−ax2+bx+c的
2
开口向上的概率是 ．
【题型6列表法与树状图法】
【典例6】一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“数”、
“学”四个字，卡片除文字外都相同、并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到写有“数”的卡片概率是____________；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1
张写有“数”、1张写有“学”的概率．
【变式1】小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月
山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小
滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任
何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到
的机会相等．
(1)小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ；
(2)除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的
概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析）
【变式2】一个不透明的盒子里装有分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节
的4张书签，书签除图案外其余都相同，将4张书签充分混匀．
(1)若从盒子中随机抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为_______；
(2)若从盒子中先随机抽取1张书签，记录季节后放回，将其充分混匀后再随机抽取1
张书签，请你用画树状图或列表的方法，求抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为
“冬”的概率．
【变式3】国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着
神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比
较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心
角为______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将
举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学
的概率．
【题型7游戏的公平性】
【典例7】甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克
牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否
则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由．
【变式1】“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，
而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被
等分成三个扇形，转动转盘两次，若第1次指针指向的数字减去第2次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转
盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平．
【变式2】现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母
A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不
同外其余完全相同．
(1)将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率
是____；
(2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，
取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；
若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规
则对双方是否公平．
【变式3】某校4个社团的情况（每人限参加1个社团）如下：合唱团有36人，民乐队有
30人，足球队有22人，篮球队有12人．
(1)若从4个社团里随机抽取一名学生，则抽到民乐队学生的概率是________．
(2)若篮球队要招收一个新成员，小王、小李都想参加，决定采取抛掷一枚各面分别标
有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则如下：每人各抛掷一次，若小
王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，这次机会给小王，否则给小李．
试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平．
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，
那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【题型8用频率估计概率】
【典例8】一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，
将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试
验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的
个数为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．8
【变式1】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每
次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重
复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为
（ ）
A．20 B．24 C．27 D．30
【变式2】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．
根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数
100 200 300 400 500 600 800
n
近视学生数与n的 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
比值
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
【变式3】如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图
案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为4m，宽为3m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内
的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，
小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 m2．
一、单选题
1．下列事件是不可能事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球
C．三角形两边之和大于第三边
D．掷一次骰子，向上一面的数字是3
2.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝
色的概率为（ ）
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 3 2 4
3．从−2，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 3 6
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球
前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球
实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．21 B．27 C．28 D．30
5．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移
植成活的概率约为（ ）A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
6．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图
所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上
B．任意写一个整数，它能被2整除
C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到
红球
D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”
二、填空题
7．一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，
则摸出的两个球都是黑球的概率是 ．
8．不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机
摸出1个球，则摸出黄球的概率是 ．
9．某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养
皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后
放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下：
实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100
携带显性基因标记果 43 138 226 319 408 451 495
蝇频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45
通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ．
三、解答题
10．一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”，
这些小球除汉字不同之外，没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为_______；
(2)小明同学从口袋中任取一个球，记下标有的汉字后放回，再从口袋中任取一个球，
请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率．
11．济南因泉水众多素有“泉城”之称．某文创店内以“泉水”为主题的文创产品琳琅满
目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了
调查问卷．
调查问卷
年 月
在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（ ）（单选）
A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如
下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次随机抽取的问卷总数是______；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中“创意摆件”对应扇形的圆心角的度数是______度；
【做出合理估计】
（4）若全校共有1200名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？【解决概率问题】
（5）文创店负责人为了宣传以“泉水”为主题的文创产品，国庆节期间设置了抽奖活
动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A
玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．
甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方
法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
