文档内容
第 03 讲 一元二次方程的实际应用
知识点1：一元二次方程应用-变化率
知识点2：一元二次方程应用-传染，枝干率
知识点3：一元二次方程应用-单循环和双循环问题
知识点4：一元二次方程应用-销售利润问题
知识点5：一元二次方程应用-几何面积
知识点5：一元二次方程应用-动点与几何问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】
【单例1】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均
为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，
乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，
求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20%(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实
际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价
为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，根据购买资金不
超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，125(1−x) 2=80，
解得x=0.2=20%或x=1.8（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，
由题意得，(125−25×2)m+80(100−m)≤7800，
∴75m+8000−80m≤7800，
解得m≥40，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【变式1】“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道
路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024
年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年
拨款6.25亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？
【答案】25%
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题中的等量关系
是解题的关键．设每年拨款的增长率为x，则2025年的拨款是2024的拨款
乘以(1+x)，2026年的拨款是2025年拨款乘以(1+x)，据此列方程求解即可．
【详解】解：设每年拨款的增长率为x，
依题意得，4(1+x) 2=6.25，
解得：x =0.25，x =−2.25（不合题意舍去），
1 2
答：每年拨款的增长率为25%．【变式2】小刘开了一家奶茶店，八月份盈利5000元，十月份盈利6050元，且
从八月到十月，每月盈利的平均增长率都相同．
(1)求每月盈利的平均增长率；
(2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元．
【答案】(1)10%
(2)6655元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据奶茶店八月份及十月份的盈利额，
即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据今年十一月的利润=十月份的盈利额×(1+增长率)，即可得出答案．
【详解】（1）解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：5000(1+x) 2=6050，
解得：x =0.1=10%，x =−2.1(不合题意，舍去)．
1 2
答：每月盈利的平均增长率为10%．
（2）6050×(1+10%)=6655(元)．
答：预计今年十一月份的盈利将达到6655元．
【变式3】某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324
元的价格出售．
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议：先公布降价5%，然后再降价15%，这样更有吸引力，
请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
【答案】(1)平均每次降价的百分率为10%
(2)售货员的方案对顾客更优惠，理由见解析
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题
意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
（1）设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后
的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意直接计算可得出答案．
【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得：400(1−x) 2=324，
解得：x =0.1=10%，x =1.9（舍），
1 2
∴平均每次降价的百分率为10%；
（2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：
400×(1−5%)×(1−15%)=323<324，
∴售货员的方案对顾客更优惠．
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人
传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
【题型2一元二次方程应用传染问题】
【典例2】有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病．
(1)每轮平均1个人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)患病的人数会超过700人
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后
共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值
即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两
轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x(x+1)=81，
整理，得：x2+2x−80=0，
解得：x =8，x =−10不合题意，舍去
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）
三轮感染后，患病的人数为81+81×8=729（人
∵729>700，
患病的人数会超过700人．
答：患病的人数会超过700人
【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216 人患了流感，则可列
方程（ ）
A．x+x·x=216 B．x−x(1−x)=216
C．1+x+x(1+x)=216 D．1−x−(1−x)(1−x)=216
【答案】C
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找
到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平
均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是
(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=216，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，
∴1+x+x(1+x)=216，
故选：C．
【变式2】若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这
时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后
共有多少人患流感？
【答案】第四轮传染后共有7056人患流感
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144
人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数．本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少
人数是解题关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：(1+x) 2=144，
故1+x=±12，
∴1+x=12或1+x=−12，
∴x=11，x=−13（不合题意，舍去），
144×(1+11−5) 2=7056（人）．
答：第四轮传染后共有7056人患流感．
【变式3】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的
烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博
拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)第三轮将又有448人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64
人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人
数7即可．
【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得
1+x+x(x+1)=64，
解得x=7或x=−9(舍)．
答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有
64人感染．
那么第三轮被传染的人数为64×7=448人．
答：第三轮将又有448人被传染．【题型3一元二次方程应用枝干问题】
【典例3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设
每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．1+x+x2=91 B．1+x+x(1+x)=91
C．1+x+(1+x) 2=91 D．1+(1+x)+(1+x) 2=91
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相
应的方程：主干+支干+小分支=91，进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x⋅x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91．
故选：A．
【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数为57，设每个支干长出x个小分支，则
x的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系列出
方程是解题关键．根据题意可列出关于x的一元二次方程，再求解即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意有：1+x+x2=57，
解得：x =−8（舍），x =7，
1 2
∴x的值为7．
故选B．
【变式2】双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转
发，每个好友转发后，由各组邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共
有241人次参与了转发，则可列方程为 ．【答案】1+x+x2=241
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解
题的关键．根据经过两轮转发后，共有241人次参与了转发，即可得出关
于x的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：1+x+x2=241，
故答案为：1+x+x2=241．
【变式3】某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分
支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是
x，则可列方程为 ．
【答案】1+x+x2=241
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每
个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方
程求解即可．
【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x，
根据题意，得1+x+x2=241，
故答案为：1+x+x2=241．
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)张卡片。
【题型4一元二次方程应用双循环问题】
【典例4】今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生
日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个
生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次
方程解决）【答案】一共有8个人过生日．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，
每个过生日的人要做(x−1)个生日贺卡，即共做x(x−1)个．根据一共赠送
了56个生日贺卡列方程求解即可．
【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做(x−1)个
生日贺卡，即共做x(x−1)个．由题意得
x(x−1)=56
整理可得x2−x−56=0
解得x =8,x =−7（舍）
1 2
答：一共有8个人过生日．
【变式1】某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比
赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
1
A．x(x+1)=240 B． x(x+1)=240
2
1
C．x(x−1)=240 D． x(x−1)=240
2
【答案】C
【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关
系列方程是解题的关键．
设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，
共要比赛240场，列出方程即可．
【详解】解：设参赛队伍有x支，
根据题意得，x(x−1)=240．
故选：C．
【变式2】某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，
设这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为： ．
【答案】x(x−1)=90
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这个小组共有同
学x个，根据题意得x(x−1)=90即可，找准等量关系，正确列出一元二次方
程是解题的关键．
【详解】解：设这个小组共有同学x个，根据题意得：x(x−1)=90，
故答案为：x(x−1)=90．
【变式3】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场
比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为
．
【答案】x(x−1)=90
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场
数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联
赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数
为x(x−1)场，
已知共比赛90场，
所以x(x−1)=90．
故答案为：x(x−1)=90．
【题型5一元二次方程应用单循环问题】
【典例5】国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则
参加聚会的有 人．
【答案】13
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是
解答本题的关键．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可．
【详解】设有x个人参加聚会，
x(x−1)
根据题意可得： =78，
2
所以x2−x−156=0，
解得x=13，x=−12（不合题意舍去），
所以参加聚会的人数是有13人．
故答案为：13．
【变式1】若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一
次，一共通话21次，设这些朋友一共x人，则可列方程： ．1
【答案】 x(x−1)=21
2
【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确找到等量关系是解
题的关键．根据等量关系列出方程即可得到答案．
【详解】解：设这些朋友一共x人，
1
根据题意得， x(x−1)=21．
2
1
故答案为： x(x−1)=21.
2
【变式2】在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加
聚餐的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关
系列出方程．
x−1
设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为 次，根据一共碰杯66次，
2
列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【详解】解：设参加聚餐的人数为x人，
1
依题可得： x(x−1)=66，
2
化简得：x2−x−132=0，
解得：x =12，x =−11（舍去），
1 2
故选：D．
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少
买的数量为【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】
【典例6】列方程（组）解应用题2024年“国庆”假期期间，拉萨某景区某特
产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．
已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B
类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每
降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．则每件A类特产
定价多少元时，A类特产利润能达到640元．
【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
(2)A类特产每件售价为58元时，利润为640元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程的应用，解题的关键
是：
（1）设A类特产的售价为x元/件，B类特产的售价为y元/件，根据“购买
1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需
540元”，列方程组求解即可；
（2）设A类特产每件售价为a元，根据“利润为640元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：设A类特产的售价为x元/件，B类特产的售价为y元/件，
{ x+ y=132 )
根据题意，得 ，
3x+5 y=540
{x=60)
解得 ，
y=72
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件；
（2）解：设A类特产每件售价为a元，，
( 60−x )
根据题意，得(x−50) 60+ ×10 =640，
1
解得x =x =58，
1 2
答：A类特产每件售价为58元时，利润为640元【变式1】某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于
进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关
系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的
利润为160元？
【答案】(1)y=−0.1x+14
(2)当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利
润为160元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，
正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)．
{50k+b=9)
把点(50,9)和(70,7)代入，得 ，
70k+b=7
{k=−0.1)
解得 ，
b=14
∴y与x之间的函数关系式为y=−0.1x+14；
（2）解：根据题意，得(x−40)(−0.1x+14)=160．
解得x =60，x =120．
1 2
∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，
∴40≤x≤80．
∴x=120不符合题意，舍去．
答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的
利润为160元．【变式2】“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的
时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩
斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风
景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所
推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为
了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1
元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y
套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助
云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限
度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？
【答案】(1)y=−10x+500
(2)此时每套辅导书的售价为30元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）根据题意列出y关于x的一次函数即可．
（2）根据总利润为1800+200列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答
案．
【详解】（1）解：由题意可得：y=100+10(40−x)=−10x+500，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−10x+500；
（2）由题意可得：(−10x+500)(x−20)=1800+200
整理得：x2−70x+1200=0，
解得：x =30，x =40，
1 2
∵要最大限度让利消费者，
∴x=30，
答：此时每套辅导书的售价为30元．
【变式3】．
背 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影
景 院积极推送．
素 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，材 正月初三的票房收入达到8.64万元．
1
随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个
素
“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办
材
售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天
2
多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
务
1
任 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求
务 下调后每个手办的售价．
2
任 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价
务 多少元；若不能，请说明理由．
3
【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为
20%；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应
用是解题的关键．
任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，x，
然后根据题意可得方程6(1+x) 2=8.64，进而问题可求解；
任务2：设下调后每个手办的售价为y元，则每个手办的销售利润为(y−30)
元，根据题意得到(y−30)(225−3 y)=1500，进而问题可求解．
任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为a元，
列出方程求解即可．
【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均
增长率为x，
根据题意得：6(1+x) 2=8.64，
解得：x =0.2=20%,x =−2.2（不符合题意，舍去）．
1 2答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%；
任务2：设下调后每个手办的售价为y元，则每个手办的销售利润为(y−30)
元，平均每天可售出30+3(65−y)=(225−3 y)个，
根据题意得：(y−30)(225−3 y)=1500，
整理得：y2−105 y+2750=0，
解得：y =50,y =55，
1 2
又 ∵要尽量减少库存，
∴y=50，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为a元，
则(a−30)(225−3a)=2100，
整理得：a2−105a+2950=0，
Δ=(−105) 2−4×2950<0，
故平均每天不能获利2100元．
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】
【典例7】某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．
扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共
休息区的总面积为192平方米．(1)求这条小道的宽度；
(2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？
【答案】(1)这条小道的宽度为2米
(2)需要56米篱笆
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程
是解题关键．
（1）设这条小道的宽度为x米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积
为192平方米建立方程，解方程即可得；
（2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用
长方形的周长公式计算即可得．
【详解】（1）解：设这条小道的宽度为x米，
由题意得：(8+2x)(12+2x)=192，
解得x=2或x=−12<0（不符合题意，舍去），
答：这条小道的宽度为2米．
（2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为12+2×2=16
（米），宽为8+2×2=12（米），
则2×(12+16)=56（米），
答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆．
【变式1】实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园
ABCD（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为28m，菜园的一边靠墙，另外三
边用总长为60m的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽的入口．
任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为多少米时，菜园的面积为300m2？
任务2：能否围成500m2的长方形菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说
明理由．【答案】任务1：12(m)；任务2：不能，见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，
根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用
28m，舍掉不符合题意的数据．
任务1：根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=x m，则
AB=(60−x+2) m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可；
任务2：利用根的判别式进行判断即可．
【详解】任务1：解：设AB的长为x米，
由题意，得x(60+2−2x)=300，
解得x =25，x =6（舍去），
1 2
所以BC=62−2x=12(m)，
任务2：解：由题意得x(60+2−2x)=500，
方程无解，
∴不能围成500 m2的长方形菜园．
【变式2】如图，有一面墙EF长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用
墙，围成中间有一道铁丝的长方形ABCD
(1)当AB的长是多少时，围成的长方形ABCD的面积为180 m2？
(2)能围成总面积为240 m2的长方形吗？请说明原因【答案】(1)10米
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列
出方程是解题的关键．
（1）设AB的长是x米，则BC的长是(48−3x)米，根据长方形ABCD的面积
为180 m2列出方程，解出x的值，再判断BC的长是否超过墙EF的长即可得
出答案；
（2）设AB的长是x米，则BC的长是(48−3x)米，根据题意列出方程，再利
用判别式判断方程根的情况即可得出结论．
【详解】（1）解：设AB的长是x米，则BC的长是(48−3x)米，
由题意得，x(48−3x)=180，
解得：x =6，x =10，
1 2
当x=6时，48−3x=48−18=30>25，不符合题意，舍去；
当x=10时，48−3x=48−30=18<25，符合题意；
答：当AB的长是10米时，围成的长方形ABCD的面积为180 m2．
（2）解：不能，原因如下：
设AB的长是x米，则BC的长是(48−3x)米，
由题意得，x(48−3x)=240，
整理得：x2−16x+80=0，
Δ=162−4×1×80=−64<0，
∴方程没有实数根，
∴不能围成总面积为240 m2的长方形．
【变式3】新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决
充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，
将矩形停车场的AB边和AD边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于
修建充电桩，剩余停车场的面积为8400平方米，求AB和AD减少的长度是
多少？【答案】AB边和AD边减少的长度是20米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设AB边和AD边减少的长度均为
x米，则剩余停车场是长为(140−x)米，宽为(90−x)米的矩形，根据矩形的
面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】解：设AB边和AD边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为
(140−x)米，宽为(90−x)米的矩形，
根据题意，得(140−x)(90−x)=8400，
整理，得x2−230x+4200=0，
解得x =20，x =210（不符合题意，舍去）．
1 2
答：AB边和AD减少的长度是20米．
键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据
关
面积或体积公式列出方程.
【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】
【典例8】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以
1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C
移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？(2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
【答案】(1)不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2
3
(2)当t为 秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形
2
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，
熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案．
（2）用含t的代数式分别表示图中各线段，在Rt△ADP中，利用勾股定理可
求出DP2，同理，在Rt△DPQ中利用勾股定理也可以求出DP2，联合起来，
得到关于t的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定t的值．
【详解】（1）解：不存在．
设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．
∵S −S −S −S =S ，
矩形ABCD △APD △BPQ △CDQ △DPQ
1 1 1
∴6×12− ×12×x− ×(6−x)⋅2x− (12−2x)×6=8，
2 2 2
∴x2−6x+28=0，
∵ Δ=b2−4ac=36−4×28=−76<0，
∴原方程无实数根，
即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2．
（2）解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴PD2=t2+122，PQ2=(6−t) 2+(2t) 2，QD2=(12−2t) 2+62，
∵△PQD是以DP为斜边的直角三角形，
∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=(6−t) 2+(2t) 2+(12−2t) 2+62，
整理得2t2−15t+18=0，
3
解之得t =6，t = ，
1 2 2
3
即当t为 秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形．
2
【变式1】在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，点P从点A开始沿边AB向
终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点
C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t>0）．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求
出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t=2
(2)t=1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列
出一元二次方程是解此题的关键．
（1）由题意得AP=2tcm,BQ=4tcm，则PB=AB−AP=(10−2t)cm，再由勾
股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解；
（2）根据题意得出关于t的一元二次方程，计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意得：AP=2tcm,BQ=4tcm，则
PB=AB−AP=(10−2t)cm，
由勾股定理可得：PB2+BQ2=PQ2，即(10−2t) 2+(4t) 2=102，
解得：t =0（不符合题意，舍去），t =2；
1 2
当t=2秒时，PQ的长度等于10cm；
（2）解：存在t=2秒，能够使得五边形APQCD的面积等于104cm2．理由如
下：
由题意可得：矩形ABCD的面积是：10×12=120(cm2)，
1 1
S = PB⋅BQ= ×(10−2t)×4t，
△PBQ 2 2
∵使得五边形APQCD的面积等于104cm2，
∴△PBQ的面积为120−104=16(cm2)，1
∴(10−2t)×4t× =16，
2
解得：t =4，t =1，
1 2
当t=4时，BQ=16cm>12cm，不符合题意；
当t=1时，BQ=4cm<12cm，符合题意；
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于104cm2．
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P从点A出发，
以每秒3cm的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒2cm的
速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停
止移动．
(1)经过多少时间时，四边形APQD为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是10cm．
16
【答案】(1)当t= 时，四边形APQD为矩形；
5
(2)当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
8 24
(3)当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm
5 5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数
式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的
代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含
t的代数式表示出各线段的长度；（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即
可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=|16−5t)，利用勾股定理，即可得出
关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为ts时，AP=3tcm，BP=(16−3t)cm，
CQ=2tcm，DQ=(16−2t)cm．
依题意得：3t=16−2t，
16
解得：t= ．
5
16
答：当t= 时，四边形APQD为矩形；
5
1
（2）解：依题意得： [(16−3t)+2t)×6=33，
2
整理得：16−t=11，
解得：t=5．
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）解：过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=|(16−3t)−2t)=|16−5t)，如图
所示．
依题意得：|16−5t) 2+62=102，
即(16−5t) 2=82，
8 24
解得t = ，t = ．
1 5 2 58 24
答：当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm．
5 5
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿边
AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终
点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动
到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(04（舍），t=5−❑√11，
即t=5−❑√11时，△PQC的面积等于10cm2．
一、单选题
1．某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平
均增长率为x，则可列方程（ ）
A．200(1+x)=242 B．200x2=242
C．200(1+x) 2=242 D．200(1+x2)=242
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程．
驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，可列出关于x的一元二次
方程，即可得出结论．
【详解】解：由题意，得
200(1+x) 2=242．故选C．
2．如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米
的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为x分米，那
么所列出的方程是（ ）
A．(10−x)(8−x)=10×8−60 B．(10−x)(8−x)=60
C．(10−2x)(8−2x)=60 D．2(10−x)(8−x)=60
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为
x分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可．
【详解】解：设这个宽度为x分米，则中间小长方形的长为(10−2x)分米，宽
为(8−2x)分米，根据题意得：(10−2x)(8−2x)=60，
故选：C．
3．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三
月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程
（ ）
A．50(1+x) 2=175 B．50+50(1+x) 2=175
C．50(1+x)+50(1+x) 2=175 D．50+50(1+x)+50(1+x) 2=175
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确
列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量=增长前
的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示
出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x) 2，故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x) 2=175．
故选：D．
4．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比
赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ）
x(x−1) x(x−1)
A．x(x−1)=28 B．x(x−1)=14 C． =28 D． =14
2 2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可．
x(x−1)
【详解】解：由题意得： =28，
2
故选：C．
二、填空题
5．有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均一
个人传染了x人，根据题意列出方程为 ．
【答案】2(1+x) 2=98
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中等量关系是解答关键．
设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意列出方程求解．
【详解】解：根据题意得：2+2x+x(2+2x)=98，
整理得2(1+x) 2=98．
故答案为：2(1+x) 2=98．
6．在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在
矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一
半，已知矩形的长和宽分别为80mm和60mm，圆的半径为xmm，根据题意列
方程为 ．1
【答案】2πx2= (80×60−2πx2)
2
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题
意是解题的关键．
根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，
列出方程即可．
1
【详解】解：由题意，得2πx2= (80×60−2πx2)．
2
1
故答案为：2πx2= (80×60−2πx2)
2
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，
主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
【答案】9
【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数
为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系
列出方程．
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：
x2+x+1=91，
解得：x=9或x=−10（不合题意，应舍去）．
∴x=9．
故答案为：9．
三、解答题
8．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今
月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到
7200册．
(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？
【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8640册
【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×
（1+藏书的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取
其正值即可得出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量
×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得5000(1+x) 2=7200
解得x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）
1 2
该校这两个月藏书的月均增长率为20%；
（2）7200×(1+20%)=8640（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
9．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成
中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在
BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，则此
时花圃AB段的长为多少米？
【答案】此时花圃的AB段长为4m．
【分析】设AB=xm，则BC=(20+2−3x)m，根据面积列出方程
x(20+2−3x)=40，解方程后，检验方程的解是否满足题意即可．
【详解】解：设AB=xm，则BC=(20+2−3x)m，
根据题意得：x(20+2−3x)=40，
整理得：3x2−22x+40=0，
10
解得：x =4，x = ．
1 2 3当x=4时，20+2−3x=20+2−3×4=10<11，符合题意；
10 10
当x= 时，20+2−3x=20+2−3× =12>11，不符合题意，舍去．
3 3
答：若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃的AB段长为4m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解
题的关键．
10．“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨
种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
(1)求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．
(2)某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400
千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南
国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果
售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价
应多少元/千克？
【答案】(1)25%
(2)16元/千克
【分析】（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，利
用该南国梨种植基地2022年种植面积=该南国梨种植面积基地2020年种植
面积×（1+该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率）
❑
2，即可得出
关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y-6）元，每周能售出
（560-20y）千克，利用总利润=每千克的销售利润×每周的销售量，即可得
出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，
依题意得：64(1+x) 2=100，
解得：x =0.25=25%，
1
x =−2.25（不符合题意，舍去）．
2
故该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为25%
（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为(y−6)元，每周能售出y−8
400-10× =(560−20 y)千克，
0.5
依题意得：(y−6)(560−20 y)=2400千克，
整理得：y2−34 y+288=0，
解得：y =16，y =18（不符合题意，舍去）．
1 2
故售价应为16元/千克
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
