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专题 11 常见函数模型的应用
一、考情分析
有一些常见的函数，如 等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或
利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有
目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.
二、解题秘籍
(一)常见对数型函数模型
1.函数 在 上是增函数，在 是减函数， 在 处取得最大值0，
2. 的图象与直线 在 相切，以直线 为切线的函数有： ，
， ， ， .
3.与对数型函数有关的常见不等式有： ，
， .
4.利用 可得到 ，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.
【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为函数 的极值点，求证：
【解析】（1） 定义域为 ，则 ，
当 时， ， ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；若 ，即 时， 在 上单调递减，故 ；
若 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ；
若 ，即 时，则 在 上单调递增，故 .
所以， ；
（2） （ ），
则 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，即 ，
要证 ，
只需证 ，即证： ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 ，即： ，
所以 ，所以 ，
①当 时，因为 ， ，所以 .
②当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，要证 ，
只需证 ，即证 对任意的 恒成立，
令 （ ），则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
即当 时， 成立.
综上：原不等式成立.
(二)常见指数型函数模型
1.函数 在 上是减函数，在 上是增函数， 在 处取得最小值0，
2.与对数型函数有关的常见不等式有： ， ，
.
【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数 ．
(1)若函数 的图象与直线 相切，求实数 的值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）设直线 与函数 的图象相切于点 ，
因为 ,
所以 ，由②③可得 ④，易知 .
由①得 ，代入④可得 ，即 ，即 ，解得 .
故 .
（2）令 ，可得 ，
由题意可得 只有一个根.
易知 不是方程 的根，所以 ，
所以由 ，可得 .
设 ，则 与 的图象只有一个交点.
，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
所以 .
又 ， 时， ， 时， ，
画出函数 的图象如图所示：由图可知，若 与 的图象只有一个交点，
则 .
所以实数 的取值范围是 .
(三) 常见三角函数模型
1.函数 在 上是减函数，函数 在 上是增函数
，
2.与三角函数有关的常见不等式有： ， ，
.
【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数 ．
(1)记函数 的导函数是 ．证明：当 时， ；
(2)设函数 ， ，其中 ．若0为函数 存在非负的极小
值，求a的取值范围．
【解析】 (1) ．令 ，则 ．
∵ ，∴ 恒成立，即 在R上为增函数．∵ ，∴ ．∴ ．
(2) ．
由（1）知 在R上为增函数．
∴当 时，有 ，即 ；
当 时，有 ，即 ．
当 时，由 ，解得 ， ，且 在R上单调递减．
①当 时， ．
∵当 时，有 ；当 时，有 ；当 时，有 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数．
∴满足0为函数 的极小值点；
②当 时， ．
∴ 时，有 恒成立，故 在R上为减函数．
∴函数 不存在极小值点，不符合题意；
③当 时， ．
∵当 时，有 ；当 时，有 ；当 时，有 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数．
∴0为函数 的极大值点，不符合题意．综上所述，若0为函数 的极小值点，则a的取值范围为 ．
(四) 或 .
在 上是增函数，在 上是减函数， 时取得最大值 ，利用 性质解题易错点
是该在 上是减函数，但该函数在 上没有零点，因为 时 .
【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)若a=1，讨论函数 的单调性；
(3)若 恒成立，求a的取值范围；
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 是 的极值点，
所以 ，即 ，所以 ，经检验符合题意.
（2）若a=1， .
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ；在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
（3） 的定义域为 ，若 恒成立，则 恒成立，
即 恒成立，
令 ，只需 ，又 ，
令 得 ，时， ，则 单调递增；
时， ，则 单调递减；
所以 ，解得： ；
(五) 或
讨论 的性质要注意 ，该在 和 单调递减，在 单调递增
【例5】设函数 ，其中 是自然对数的底数， .
(1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)解：因为 在 上恒成立，即 ，又 ，故 ，所以
只需 恒成立，故只需 ，
令 ， ，当 时， ，当 时， ，所以 ，
故 ，即 .
(2)当 时, ，
当 时， ，
当 时，令 ，分离参数得 ，
由（1）得 ，在 和 单调递减，在 单调递增，可得图像为：所以 ，即 ,即 .
三、典例展示
【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间;
(2)若 ,当 时,证明: .
【解析】（1） 的定义域为 ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ;当 时, ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
（2）由 ,得 ,
所以 ,
则 ,要证 ,只需证 ,
即证 ,需证 .
令 ,设 ,则 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,
所以 ,所以 在 上单调递增,
由 ,得 ,则 ,
所以 ,
所以需证 ,即证 .
令 ，则 ,即证 ,设 ,
则 ,
所以 在 上单调递减,则 ,
所以 ,即 成立,
故 .
【例2】（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数 .(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）依题意， ，
所以 ，
，所以 在区间 上 单调递减；
在区间 上 单调递增，
所以当 时 取得最小值为 .
（2）要证明：对任意正整数 ，都有 ，
即证明 ，
即证明 ，
由（1）得 ，即
令 ，所以 ，
所以
，
所以对任意正整数 ，都有 .（3）若不等式 恒成立，此时 ，
则 恒成立，
令 ，
令 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，当 时等号成立，
所以 ，
当 时等号成立，所以 .
【例3】（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【解析】（1） ，
当 时， ；当 时，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）设 ， ；
设 ，则 ，
令 ，则 ，
当 ， ，当 ， ，故函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ；令 ，可得 ，故 在 单调递增时， ；
当 时， ，故 在 上单调递增.
当 时， ，且当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，
若 ，则 ，函数 在 上单调递增，因此 ， ，符合
条件；
若 ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，此时 ，不符合条件．
综上，实数 的取值范围是
【例4】已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 存在两个极小值点 ，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)当 时，函数 ，
可得 ，
令 ，可得 ，所以函数 单调递增，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(2)由函数 ，
可得 ，
令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
当 时，可得 ，所以 ，
①当 时， ，此时当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值；
②当 时， ，
又由 在 上单调递增，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
因为当 时，令 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以函数 有两个极小值点，故实数 的取值范围为 .
【例5】已知函数 ．
(1)当 时，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 为 的两个不同零点，证明： ．
【解析】 (1)当 时， ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，即 在 上恒成立，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减.
故 ，
所以实数 的取值范围是 ．
(2)证明：要证明 ，
即证 ，
只需证 和 ．
由（1）知，当 ， 时， ，即 ，
所以 ．要证 ，即证 ．
因为 为 的两个不同零点，不妨设 ，
所以 ， ，
则 ，
两边同时乘以 ，可得 ，
即 ．
令 ，则 ．
即证 ，即证 ，
即证 ．
令函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ．
所以 ．故 ．
四、跟踪检测
1．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；(3)若实数 满足 且 ，证明： .
2．（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）已知函数 ，且 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知 ，证明： ．
3．（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数 ，且 在
处取得极值．
(1)求a；
(2)求证： ．
4．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数 ， .
(1)求实数 的值；
(2)证明： 时， .
5．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
6．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
7．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求实数a的取值范围.8．（2024届江苏省镇江市高三上学期考试）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对于任意的 ，关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
9.已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)设 ，当 时， （ 是函数 的导数），求a的取值范围．
10．设函数 ， ．
(1)若对任意 ，都有 ，求a的取值范围；
(2)设 ， ．当 时，判断 ， ， 是否
能构成等差数列，并说明理由．
11．已知函数
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 是两个不相等的实数，且 ．求证：
12．已知函数 .
(1)若 在 单调，求 的取值范围.
(2)若 的图像恒在 轴上方，求 的取值范围.
13．已知函数 .
(1)若函数 ，讨论 的单调性.(2)若函数 ，证明： .
14．已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
15．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
16．已知函数 ， .
(1)试讨论f（x）的单调性；
(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；
(3)求证: .
