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专题11 导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用
【练基础】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 ，可判断 ，再利用 ，即可得到答案.
【详解】
，则 ，故函数 在 单调递减， 单调递增，则
则 ，即
由 ，∴ ，故
同理可证
又 ，∴ ，则
故选：C.
2．（2023·江西·校联考一模）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】讨论 的取值范围，利用函数图象，结合导数求出 ，构造函数
，利用导数求出函数的最值，进而得解．
【详解】解：关于 的不等式 对任意 恒成立，
设 ， ，若 ，对任意 恒成立，则 ，对任意 恒成立，
当 时，在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，
显然，由图可知 ，对任意 不恒成立；
当 时，在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，
显然，由图可知 ，对任意 不恒成立；
当 时，在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，
由图可知，临界条件是直线 与曲线 的图象相切时，由 ，求导 ，设 ，解得 ，且 ，
当 的切线斜率为2时，切点坐标为 ，
故 ，所以 ，
即 ，
所以 ，令 ，
求导 ，
令 ，得 ，即 ，
当 ，函数 单调递增，
当 ，函数 单调递减，
所以当 ，函数 取到最大值，且 .
故 的最大值为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的恒成立问题与导数的关系，属于难题．解决本问题的关键为讨论 的取值范围，利用函
数图象，当 时，不等式 恒成立转化为切线问题，设切点坐标，根据导数的几何意义可得
，构造函数 ，利用导数求出函数的最值，进而得解．
3．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）函数 的图像大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.
【详解】解：由 得 或 ，故BD错；
又 ，
所以，当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以， 在 处取得极大值，在 处取得极小值，故A错.
故选：C
4．（2022秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）设 ，若函数
有且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 与 ，先利用导数研究得 的性质，再利用二次函数的性质
研究得 的性质，从而作出 的图像，由此得到 ，分类讨论 与 时 的零点情况，
据此得解.
【详解】令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
又因为对于任意 ，在 总存在 ，使得 ，
在 上由于 的增长速率比 的增长速率要快得多，所以总存在 ，使得 ，
所以 在 与 上都趋于无穷大；
令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，故 ，
.
因为函数 有且只有三个零点，
而 已经有唯一零点 ，所以 必须有两个零点，则 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，
即 在 处取不到零点，故 至多只有两个零点，不满足题意，
当 时， ，则 ，所以 在 处取得零
点，
结合图像又知 与 必有两个交点，故 在 与 必有两个零点，
所以 有且只有三个零点，满足题意；
综上： ，即 .
故选：C.5．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数 （ ），且 在 有两个零点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数 ，再借助导数探讨函数
在 有两个零点作答.
【详解】 ， ，由 得， ，则 ，令 ，
依题意，函数 在 有两个零点，显然 ，而 在 上单调递增，
则有 ，当 或 ，即 或 时， 在 上单调递增或单调
递减，
即有函数 在 只有一个零点1，因此 ，此时当 时， ，当 时，
，
函数 在 上单调递减，在 单调递增，则 ，
要函数 在 有两个零点，当且仅当 在 上有一个零点，即有 ，解得 ，
所以 的取值范围 .
故选：C
6．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知函数 ，若方程 恰好有三个
不等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】将问题转化为 与 的图象有三个交点的问题，利用导数判断 的单调性，数形结合，即
可求得结果.
【详解】当 时， ，故 不是方程 的根；
当 时，方程 恰好有三个不等的实数根即 与 的图象有 个交点；
又 ，
当 时， ，故当 时， 单调递减，在 时， 单调递增；
当 ， 时， ； 时， ；且 ；
又当 时， ，故 在 单调递减，
当 ， 时， ； 时， ；
故在同一坐标系下， 的图象如下所示：
数形结合可得，当 ，即 时满足题意，故 的取值范围为 .
故选：D.
7．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数 （其中 ， ）有两个零
点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程 有
2个不同的解，构造函数 ，利用导数研究函数 的性质可得 ，即函数 与
图象在 上有2个交点，利用导数求出 ，即可求解.
【详解】函数 有2个零点，
则方程 有2个不同的解，
方程 ，
设函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，由 ，
得 ，即 ，则函数 与 图象在 上有2个交点.
设函数 ，则 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
8．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则方程 在区间
上的实根个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用导数分析函数 在 上的单调性与极值，作出函数 在 上的图象，由
可得 或 ，数形结合可得结果.
【详解】由 可得 或 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
且当 时， ，
由题意可知，函数 在区间 上的图象可在 在 上的图
象先向右平移 个单位，再将所得图象的纵坐标伸长为原来的 倍得到，
作出函数 在 的图象如下图所示：
由图可知，方程 、 在区间 上的根的个数分别为 、 ，
因此，方程 在区间 上的实根个数为 .
故选：C.二、多选题
9．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据 转化成 恒成立，构造函数 利用导数求解 的单调性，问题
进一步转化成 恒成立，构造 ，求解最值即可.
【详解】 ，
故 恒成立，转化成 恒成立，
记 ，则 在 单调递增，故由 得 ，故
恒成立，
记 ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，故
当 时， 取最大值 ，
故由 恒成立，即 ,故 ，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的
应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函
数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问
题，同时注意数形结合思想的应用.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令 ，利用导数可求得 单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B
选项中，利用导数可求得 在 上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为 ，令
，利用导数可求得 ，由 可知B正确；C选项中，利用导数可求得 的单调
性，由此确定 ，若 ，可等价转化为 ，令 ，利用导数
可求得 单调性，从而得到 ，知 ，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化
为 ，从而可确定 ，结合 单调性得到 ，由此化简得到 ，
令 ，利用导数可求得 最大值，知D正确.
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，
， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即
，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，
，即 ， ；令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于 （
）的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
11．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 处取得最大值
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 有两个不同的零点
D． 恒成立
【答案】AD
【分析】确定函数的定义域，求导数，判断函数的单调性，即可判断函数的极值点,由此可判断 ;求得函数的最
值，数形结合，判断函数的零点情况，判断C;将 化为 ，从而构造函数，利用导数求函数最值，解决不等式恒成立问题，判断D.
【详解】由题意知函数 的定义域为 ，
，当 时， 递增，
当 时， 递减，故函数 在 处取得极大值，也即最大值，A正确；
由上分析可知当 时， 递增，故B错误；
函数 ，且当 时， ，
当 时， ，作出函数 图象如图示：
由此可知函数 在 上无零点，C错误；
不等式 恒成立即 恒成立，
即 恒成立，
令 ，则 ，
令 ， ，
∴ 在 上单调递增，
，
故 在 上存在唯一零点 ，且 ，
由 ，可得 ，当 ， ，函数 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故函数 的极小值为 ，
而 ，
即函数 在 上恒成立，
所以当 时， 恒成立，D正确，
故选：
12．（2022·全国·校联考模拟预测）对于三次函数 ，给出定义：设 是函数
的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的
“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”
就是对称中心.若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出 ，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据 的解的情况，可判断C项；由
对称中心可推得 ，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.
【详解】由题意知 .
令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
令 ，解得 ，所以在 上单调递减.
又 ， .
所以， 在 处有极大值 ，在 处有极小值 .
所以 的极大值点为-2，A项错误；
又极大值 ，极小值 ，作出 的图象，
有图象可知， 有且仅有3个零点，故B正确；
，令 ，解得 ，
又 ，由题意可知，点 是 的对称中心，故C正确；
因为点 是 的对称中心，所以有 ，即 .
令 ，又 ，
所以
，，所以 .故D正确.
故选：BCD.
三：填空题
13．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式 对 恒成立， 则实
数 的最小值为__________.
【答案】
【分析】将已知条件变形为 ，令 ，则有 ，又因为
，从而确定 的单调性，从而可得 ，令 ，利用导数求出 的
最大值即可得答案.
【详解】解：因为 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
构造函数 ，
所以 ，
又因为 ，
令 ， 解得： ， 令 ， 解得： ，
故 在 上单调递减， 在 上单调递增，
当 时， 与1的大小不定，
但当实数 最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 ,
因为当 时， 单调递减，
故 ，
两边取对数得： ,
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，得： ， 令 ，得： ，
所以 在 单调递增， 在 单调递减，
所以 ，
故 的最小值是 .
故答案为：
14．（2022·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价
和产量 满足关系式 ，则当产量 等于__________时，利润最大.
【答案】200
【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意可知，设利润为 ，则 ，
而 ，当 时， ， 时， ，即 在 单调递增，
单调递减，所以 时，利润最大.
故答案为：15．（2022·上海普陀·统考一模）设 、 、 均为正数且 ，则使得不等式 总
成立的 的取值范围为______．
【答案】
【分析】由已知可得出 ，不妨设 ， ，其中 ，可得出
，令 ，可得出
，利用导数求出函数 在 上的最小值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】因为 、 、 均为正数且 ，则 ，
不妨设 ， ，其中 ，
所以，
，
因为 ，则 ，令 ，
则 ，所以， ，所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，所以， ，
所以， .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
16．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，
若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”，经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，若函数
，则 ______.
【答案】8090
【分析】本题首先可根据 得出 ，从而 ，然后令 ，求出对
称中心 ， ，最后根据 即可求出算式.【详解】由题意因为 ，
所以 ， ，
令 ，解得 ， ，
由题意得对称中心为 ，
所以 ，
，
故答案为：8090.
四：解答题
17．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 为正实数，函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)求证： （ ）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解；
（2）根据（1）可得不等式 可证 ，构建 ，利用导数证明 ，结合裂项相消法可证 .
【详解】（1） ，
①若 ，即 ， ，函数 在区间 单调递增，故 ，满足条件；
②若 ，即 ，当 时， ，函数 单调递减，则 ，矛盾，不符合
题意.
综上所述： .
（2）先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当 时，有 ，则 ，
即 ，即 ，
则有 ，
即 ，右侧不等式得证.
下证左侧不等式，如下：
构建 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
即 ，可得 ，即 ，
则有 ，
即 ，
∵ ，则 ，故 ，左侧得证.
综上所述：不等式 成立.
18．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正整数， ， .
(1)求 的最大值；
(2)若 恒成立，求正整数 的取值的集合.
（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出最值.
（2）由 得出 ，即 ，讨论 的范围，利用导数得出 的最小值，再
由导数得出 成立的正整数 的取值的集合.
【详解】（1）
令 可得： ；令 可得： .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
故 的最大值为 .
（2）因为 恒成立，所以 ，即 恒成立，所以 .
，
当 或 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，此时满足 ，
故 或 满足条件.
当 时，令 可得 ；令 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，令 ，
令 ，
，因为 在 上单调递增，
， ，
所以 在 上存在唯一的零点 .
令 可得： ；令 可得： .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .
综上，正整数 的取值的集合为
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是由 等价于 ，从而将问题转化
为最值问题，利用导数进行求解.
19．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数 的单调递增区间为 ，单调递区间为
(2)
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域是 ，
当 时， ，
令 得 ，所以函数 在 上单递递增；
令 得 ，所以函数 在 上单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递区间为 ．
（2） 恒成立，等价于 恒成立，
令 ，因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 恒成立，等价于 恒成立
令 ，问题等价于 恒成立
①若 时， 恒成立，满足题意；
②若 时，则 ，所以 ，不满足题意；
③若 时，因为 ，令 ，得 ，
， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值 ，
要使得 ，恒成立，只需 ，
解得
综上：
【解法二】 恒成立，等价于 ，
令
①若 时， ，所以 在 上单调递增，
，即 ，满足 ，
②若 时，则 ， ，所以 在 上单调递增，
由 ，函数 在 上单调递增，值域为 ；函数 在 上单调递增，值域
为 ；
所以 ，使得 ，不满足题意．
③若 时，令 ，∴ ，
令 ，则 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，值域为 ；函数 在 上单调递减，值域为 ；
则 ， ； ， ，； ， ，
所以 ， ， ，
， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
只需 即可，
∴ ，∴ ，
令 ， ，∴ 在 上单调递增，
，∴ 时， ， ， ，
所以 在 上单调递增，∴ ，
即 ，
综上：
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问
题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处
理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形
结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断 的单调性，即可确定其最小值；（2）根据（1）的结论即可 ，再利
用对数运算法则即可证明不等式；（3）将参数 与变量 分开，通过构造函数研究其单调性，求出最值即可得出
的取值范围.
【详解】（1）因 ，
则 ，
令 ，得 ，
又 时， ，函数 在 上单调递减；
时 ，，函数 在 上单调递增；
即函数 在 处取最小值，即
所以 的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知 ，当且仅当 时等号成立，
则 时 ，即所以
所以不等式成立.
（3）由题可知 ， 恒成立
等价于不等式 恒成立，
令 ，则命题等价于 ，
由（1）知， ，即有 ，当且仅当 时等号成立，
所以
当 ，即 时能取等号，所以 ，即
的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：求解参数取值范围问题，常用的方法是将参数与自变量分离，再通过构造函数利用导数得出
函数单调性求出其最值，即可求得参数的取值范围.
【提能力】
一：选择题
21．（2022秋·山西阳泉·高三阳泉市第一中学校校考期中）设函数 ，其中 ，若存在
唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可得出
函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围.【详解】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 ，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
22．（2023·全国·高三专题练习） ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，应用导数研究其单调性，进而比较 ， ， 的大小，若
有两个解 ，则 ， ，构造 ，利用导数确定 ，进而得到 ，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令 ，则 ， ， ，
而 且 ，即 时 单调增， 时 单调减，又 ，
∴ ， .
若 有两个解 ，则 ， ，
即 ， ，
令 ，则 ，即 在 上递增，
∴ ，即在 上， ，若 即 ，故 ，有
∴当 时， ，故 ，
综上： .
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的
大小.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将题目转化为函数 的图像与 的图像只有一个交点，利用导数研究函数 的单
调性与极值，作出图像，利用数形结合求出 的取值范围.
【详解】由函数 只有一个零点，等价于函数 的图像与 的图像只有一个交点，，求导 ，令 ，得
当 时， ，函数在 上单调递减；当 时， ，函数在 上单调递增；当 时，
，函数在 上单调递减；故当 时，函数取得极小值 ；当 时，函数取得极大值 ；
作出函数图像，如图所示，
由图可知，实数 的取值范围是
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上
恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为
在 上恒成立．
【详解】∵ ，即 ，（1）当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 函数单增，当 函数单减，
故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立；
综上可知， 的取值范围是 ，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
25．（2023·全国·高三对口高考）函数 在 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：函数 |在[–2,2]上是偶函数，其图象关于 轴对称，
因为 ，
所以排除 选项；
当 时， 有一零点，设为 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数．
故选：D.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上有零点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数 存在零点可知 有解，设 ，利用导数求出
函数的最小值，进而得出结果.
【详解】由函数 存在零点，则 有解，
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
则 时 取得最小值，且 ，
所以m的取值范围是 ．
故选：C
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若关于 的不等式 在 上恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】不等式 在 上恒成立的两个临界状态是 与 相切和与
相切时，故求两种状态下的 值，即可得 的取值范围．
【详解】画出函数 的图像如图所示.
在 上恒成立即函数 的图像恒在直线 的图像的下方，
且直线 过定点 ，
当直线与 相切时，设切点 ， ，
可得 ，解得 ，则直线斜率为 ，即 ；
当直线与 相切时，此时由 ，
得 ，令 ，得 或 （舍），
所以由图像可知
故选：A
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若函数 恰有5个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先研究 时， 的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根
的分布情况，列出不等式组，求出实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
则 时， .当 时， .
作出 大致图象，函数 恰有5个不同零点，
即方程 恰有5个根.令 ，则需方程 .
（l）在区间 和 上各有一个实数根，令函数 ，则 解得 .
（2）方程（*）在 和 各有一根时，则
即 无解.
（3）方程（*）的一个根为6时，可得 ，验证得另一根为 ，不满足.
（4）方程（*）的一个根为1时，可得 ，可知不满足.
综上， .
故选：A
【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图
象，再令 ，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.
29．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数 有两个不同的极值点 ，且
不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把函数 有两个不同的极值点 转化为根的分布求出a的范围，
利用分离参数法得到 .把 转化为
，令 ，利用导数求出 的值域，即可
得到答案.
【详解】 ，因为函数 有两个不同的极值点 ， ，
所以方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 ，解得 .
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立.
，
设 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，所以 .
因此实数t的取值范围是 .
故选：A
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
二、多选题(共0分)
30．（2021·全国·高三专题练习）对于函数 ，下列说法正确的有（ ）A． 在 处取得极大值
B． 有两不同零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】A､根据极值的定义求解判断； B､令 ，结合函数的图象判断； C､利用函数的图象，结合
判断；D､根据 在 上恒成立，由 求解判断.
【详解】A､函数的导数 ，
令 ，得 ，则当 时， ，函数为增函数；
当 时， ，函数 为减函数，
则当 时，函数取得极大值，极大值为 ，故A正确；
B､当 时， ， 时， ，则 的图象如图：
由 ，得 ，得 ，即函数 只有一个零点，故B错误；
C､由图象知 ， ，
故 成立，故C正确；
D､若 在 上恒成立，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
即当 时，函数 取得极大值同时也是最大值，为 ，
∴ ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数法，得到函数的图象而得解.
31．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．若 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ，则
B．曲线 与直线 相切
C．若 为增函数，则 的取值范围为
D． 在 上最多有 个零点
【答案】ACD
【分析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】因为对于任意 ，都有 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又 ，令 ，得 (*)，因为 ， ，所以方程(*)无实数解，
即曲线 的所有切线的斜率都不可能为 ，故B错误.
若 为增函数，则 大于等于0，
即 ， ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，故C正确.
令 ，得 或 ( ).设 ，
则 ，令 ，
则 .当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 为增函数，且 ，所以当 时， ，
从而 ， 单调递增.又因为对于任意 ，都有 ，
所以 为偶函数，其图象关于 轴对称.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则直线 与 最多有2个交点，所以 在 上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则【答案】ABC
【分析】对于A，由 可求出 的值，对于B，由选项A，可求得 ，然后利用导数可求出 在
上的最小值，对于C，由题意可得 ，可求出 的范围，对于D，将问题转化为 在
上恒成立，构造函数 ，再利用导数求出其最大值即可
【详解】对于A，由 ，得 ，因为 是函数 的极值点，所以
，得 ，经检验 是函数 的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知 ，则 ，由 ，得 或 ，由
，得 ，所以 在 和 递增，在 上递减，所以当 时， 时，
取得最小值 ，所以B正确，
对于C，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，得 在 上恒成立，
令 ，则 ，所以 在 单调递增，所以 ，即
，所以 ，所以C正确，
对于D，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，即 在
上恒成立，令 ， ，则 ，所以 上单调
递增，所以 ，所以 ，所以D错误，
故选：ABC
33．（2023·全国·高三专题练习）若 ， 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【分析】分别取函数 与 ，通过求导判断其单调性，即可得出结果．
【详解】令 ，由 ，当 时 ，故 在 上递减，所以
，则A错，B正确；
令 ，由 ，当 时有 ，当 时有 ，所以存在
，有 ，所以 在 上不单调，
在C中， 化为 ，因为 ，故C错，
在D， 化为 ，则D错，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造新函数通过单调来判断不等式是否成立．
三、填空题(共0分)
34．（2022·全国·高三专题练习）设函数 恰有两个极值点，则实数t的取值范围为
___________.
【答案】
【分析】求导可得 的解析式，根据题意，有两个极值点，可得 恰有两个正根，所以 有
唯一正根，即 有唯一正根，设 ，求导可得 的单调性，结合 的图象，综合分析，
即可得答案.【详解】因为 ，
所以 ，
因为 有两个极值点，
所以 恰有两个正根，即 为一个根，
则 有唯一正根，且 ，即 有唯一正根，且 ，
设 ，则 的图象与 图象有一个交点，
，
所以 时， ，所以 在 为增函数，
又 ，
因为 ，所以
所以只需 且 ，即可满足题意，
所以实数t的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】解题的关键是掌握利用导数求函数单调性与极值的方法，并灵活应用，易错点为，根据题意， 已经为
一个根，则 有唯一正根，且 ，故 ，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.35．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值
范围是___________.
【答案】
【分析】设 ， ，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的
单调性与最值，根据已知条件列出关于实数 的不等式（组），综合可求得实数 的取值范围.
【详解】设 ， ，其中 ，则 ，
①当 时， 对任意的 恒成立，此时，函数 在 上单调递减，
当 时， ，
对于函数 ，该函数的对称轴为直线 ，
函数 在 上单调递增，当 时， ，
所以，当 时， ，不符合题意；
②当 时，令 ，可得 ，列表如下：
极小值
所以， .
（i）当 时，即当 时， ，则 ，不符合题意；（ii）当 时，即当 时，则 ，此时 ，即 .
对于函数 ， ，
所以，当 时， ， ，则 对任意的 恒成立.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
36．（2021春·全国·高三专题练习）若 时，关于 不等式 恒成立，则实数 的最大值是
______.
【答案】
【解析】对 分类讨论，当 时，不等式显然恒成立. 当 时，对不等式进行变形为 ，然
后构造函数 ，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数 ，即可求出 的范围，进而求出 的最大
值.
【详解】当 ， 时， 不等式 显然恒成立.
当 时， .
由于 ，即 .所以原不等式 恒成立，等价于 恒成立.
构造函数 ， .
易知 在 上单调递减，在 上单调递增.
则原不等式等价于要证 .
因为 ，要使实数 的最大，则应 .
即 . 记函数 ，则 .
易知 ， .
故函数 在 上单调递减，所以 .
因此只需 .
综上所述，实数 的最大值是 .
故答案为：
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数，把所求问题转化为求
函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从
而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
(3)根据不等式构造函数，由函数的单调性化简所求的不等式是本题关键之步.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情形，利用
方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
四、解答题(共0分)
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高
考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，
往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导
数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
39．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，
即可求得函数的单调区间；
（2）方法一：根据 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定 ，令 ，得到两个极值点
是方程 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
【详解】（1） 的定义域为 ， .
（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
（ii）若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时， .所以 在 单调递减，在
单调递增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于
，
所以 等价于 .设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， ，
所以 ，即 .
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知 且 是方程 的两根，不妨设 ，即 ．此时
．
欲证不等式成立，只需证 ．
因为 ，所以 ，只需证 ．
令 ，
所以， 在区间 内单调递减，且 ，所以 ，即证．
［方法三］：硬算
因为 ，
所以 有两个相异的正根 （不妨设 ）．
则 且 即 ．所以 ．
而 ， ，所以 ．
设 ，则 ．
所以 在 上递减， ，问题得证．
［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用
由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 ．
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ．不妨设 ，则 ．由于
．
由对数平均不等式可得 ，即 ．
故 ．
【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立
问题，属于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一样；
方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；
方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 ，使
得 ，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知 为 在
上的唯一零点；当 时，首先可判断出在 上无零点，再利用零点存在定理得到 在
上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存在定理和 单调性可判断出存
在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证得结论.
【详解】（1）由题意知： 定义域为： 且
令 ，
，
在 上单调递减， 在 上单调递减
在 上单调递减
又 ，
，使得
当 时， ； 时，
即 在 上单调递增；在 上单调递减则 为 唯一的极大值点
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 .
（2）由（1）知： ，
①当 时，由（1）可知 在 上单调递增
在 上单调递减
又
为 在 上的唯一零点
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
又
在 上单调递增，此时 ，不存在零点
又
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，此时不存在零点
③当 时， 单调递减， 单调递减在 上单调递减
又 ，
即 ，又 在 上单调递减
在 上存在唯一零点
④当 时， ，
即 在 上不存在零点
综上所述： 有且仅有 个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是
利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺
一不可.
41．（2020秋·江西南昌·高三南昌大学附属中学校考阶段练习）已知函数 ，
，其中 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）求出函数 的定义域和导数，由 得出 和 ，然后对 和 的大小关系进行
分类讨论，分析导数符号，可得出函数 的单调增区间和减区间；（2）由 ，得出 ，得出 ，构造函数 ，将问题转化为 ，其中
，然后利用导数求出函数 在区间 上的最小值，可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
.
当 时，令 ，可得 或 .
①当 时，即当 时，对任意的 ， ，
此时，函数 的单调递增区间为 ；
②当 时，即当 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 .
此时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
③当 时，即当 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 .
此时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2）由题意 ，可得 ，可得 ，其中 .
构造函数 ， ，则 .
，令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 或 处取得最小值，
， ，则 ， ， .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参
变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.
