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专题 11 数列的极限（典型题型归类训练）
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：概率统计中数列的极限...................................................1
题型二：分形中的极限问题...........................................................3
题型三：数列中其他极限问题.......................................................5
二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练）...............................7
一、典型题型
题型一：概率统计中数列的极限
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要
性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､
市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某
种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，两人约定其中一人比另一人
多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为 .附：当
时， .求：
(1)当 时，甲赢得比赛的概率；
(2) 的数学期望.
学科网（北京）股份有限公司2．（2023高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷 次不连续出现三
次下面向上的概率为 ，
(1)求 和 ；
(2)写出 的递推公式，并指出单调性；
(3) 是否存在？有何统计意义．
3．（2023·四川宜宾·模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传
球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二
次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设
传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为 ，通过三次传球，求 的分布列与期望；
(2)设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，
（i）试证明数列 为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
4．（2002·上海·高考真题）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职
工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到
n排序，第1位职工得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐
一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
(1)设 为第k位职工所得奖金额，试求 ，并用 和 表示 （不必证
明）；
(2)证明 ，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
学科网（北京）股份有限公司(3)发展基金与n和b有关，记为 ，对常数b，当n变化时，求 ．
题型二：分形中的极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，
长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；
第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．
设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：
(1)第三层及第四层的树形图的高度
(2)第n层的树形图的高度
(3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是
“高大”还是“矮小”的？
2．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，将一个边长为 的正三角形的每条边三等分，以
中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪
花曲线．将下面的图形依次记作
(1)求 的周长；
(2)求 所围成的面积；
(3)当 时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无
限增大而面积却有极限的图形．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图， 是边长为 的等边三角形纸板，在 的左下端
剪去一个边长为 的等边三角形得到 ，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前
一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到 、 、 、 、 .
(1)设第 次被剪去等边三角形面积为 ，求 ；
(2)设 的面积为 ，求 .
4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图， 是一块直径为2的半圆形纸板，在 的左下端
剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个
被剪掉半圆的半径）得到图形 ， ，…， ，…，记纸板 的面积和周长分别为 、
，求：
（1） ；
（2） .
学科网（北京）股份有限公司题型三：数列中其他极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）著名的斐波那契数列满足 ， ，证
明 .
2．（2024高三·全国·专题练习）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：
；即3，5，第三行是： 即4，6，6，8； （即从第
二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）
2
3，5
4，6，6，8
5，7，7，9，7，9，9，11
……………………………………
若第 行所有的项的和为 ．
(1)求 ；
(2)试求 与 的递推关系，并据此求出数列 的通项公式；
(3)设 ，求 和 的值．
学科网（北京）股份有限公司3．已知数列 ，其中 ．记数列 的前n项和为 ，
数列 的前n项和为 ．
(1)求 ；
(2)设 （其中 为 的导函数），计算
．
4．（23-24高二上·上海·期中）已知点 在直线 上， 为直线l与y轴的
交点，等差数列 的公差为1（ ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求 的值；
(3)若 ，且 ，求证：数列 为等比数列，并求 的通项
公式．
学科网（北京）股份有限公司5．已知定义在 上的函数 和数列 满足下列条件： ，
， ， ，其中
为常数， 为非零常数．
(1)令 ，证明数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)当 时，求 ．
二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练）
1．（23-24高二上·上海松江·期末）如图所示，设正三角形 边长为 是 的中点三角
形， 为 除去 后剩下三个三角形内切圆面积之和，求 .
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二上·上海徐汇）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片
以 为顶点，任意向上翻折，折痕与 交于点 ，然后复原，记 ；第二步，
将纸片以 为顶点向下翻折，使 与 重合，得到折痕 ，然后复原，记
；第三步，将纸片以 为顶点向上翻折，使 与 重合，得到折痕 ，
然后复原，记 ；按此折法从第二步起重复以上步骤 ，得到 ，
则 .
3．（22-23高二上·上海·期中）定义:对于任意数列 ,假如存在一个常数 使得对任意的
正整数 都有 ,且 ,则称 为数列 的“上渐近值”．已知数列 有
（ 为常数,且 ）,它的前 项和为 ,并且满足 ,令
,记数列 的“上渐近值”为 ,则 的值为
．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一下·上海浦东新）如图，在边长为1的正三角形ABC中， ，
， ，可得正三角形 ，以此类推可得正三角形 、…、正
三角形 ，记 ，则 ．
5．（23-24高二上·上海虹口）我们用 表示内接内接于单位圆的正 边形的边长，那么对
于正 边形的边长 可通过图得到如下关系式 .例如：当 时，
， ， ， ，根据如上叙述以及极限的意义，计算
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6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要
性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､
市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某
种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，两人约定其中一人比另一人
多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为 .附：当
时， .求：
(1)当 时，甲赢得比赛的概率；
(2) 的数学期望.
7．（23-24高二·全国·课后作业）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为
竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的
，且与旧枝成 ，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原
来的 ，且与旧枝成 ，…，依次生长，直到永远．(参数数据： ，
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(1)求第3阶段“黄金数学草”的高度；
(2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）
(3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）
8．（2024高三·上海·专题练习）如图所示，有一列曲线 ．已知 所围成的图形
是面积为1的等边三角形， 是对 进行如下操作：将 的每条边三等分，以每边中间
部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（ ）．记
为曲线 所围成图形的面积．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ．
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