文档内容
专题 10 数列求和（插入新数列混合求和）
(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：插入新数列构成等差.......................................................1
题型二：插入新数列构成等比.......................................................4
题型三：插入新数混合..................................................................5
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练................7
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)证明数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．
(3)若对于任意 ，数列 的前 项和 恒成立，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司2．（2024·四川泸州·二模）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求 ．
3．（2024·湖南·二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足
，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ，
成等差数列.
（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求
出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由.
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这
样的三项；若不存在，请说明理由.
5．（2024·四川泸州·二模）已知数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 ，与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若
，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司题型二：插入新数列构成等比
1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出
这样的3项；若不存在，请说明理由．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在不同的三项 、 、 （其中 、 、 成等差数列）成等比数列？若存
在，求出所有满足条件的 、 、 ；若不存在，请说明理由.
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列 的前项和为 ，且满足：
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若
不存在，请说明理由.
4．（2023·吉林通化·模拟预测） 为数列 的前 项和，已知 ，且
.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插
入 项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前
100项的和.
题型三：插入新数混合
1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 （ ， ）.
①试确定实数 的值，使得数列 为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个数列 ．设
是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 ．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，
有 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列
，求 的前91项和.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为 的等差数列 和公比 的等比数列
中， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 ；
(3)若在数列 任意相邻两项 之间插入一个实数 ，从而构成一个新的数列 ．
若实数 满足 ，求数列 的前 项和 ．
4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列 的前 项和 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的通项公式 ，若将数列 中的所有项按原顺序依次插入数列
中，组成一个新数列: 与 之间插入
项 中的项，该新数列记作数列 ，求数列 的前100项的和 .
学科网（北京）股份有限公司二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)保持数列 中的各项顺序不变，在每两项 与 之间插入一项 （其中
）组成新的数列 记数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小
值．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列 的前 项和为 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的 和 项之间插入 个数，使得这 个数成等差数列，其中
，将所有插入的数组成新数列 ，设 为数列 的前 项和，求 ．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， 为等比数列，
且 ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项，构成如下的新数列 ；
，记该数列的前n项和为 ，求 ．
4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列 中， 且满足
，数列 的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项构成新数列 ： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，……，求数列 中前50项的和 ．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列 前四项和为30，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入1个数 ，使 、 、 成等差数列；在 和 之间插入2个数
、 ，使 、 、 、 成等差数列； ；在 和 之间插入 个数 、 、 、
，使 、 、 、 、 、 成等差数列．
①若 ，求 ；
②若 ，求 ．
6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且
学科网（北京）股份有限公司.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若数列
满足 ，求数列 的前 项和 .
7．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列 中， ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项递增等比数列 满足 是方程 的
两根．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 依次为 ，规律是在 和 中间插
入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列 ，求数列 的前60项
的和．
学科网（北京）股份有限公司9．（21-22高三上·贵州黔东南·期末）已知等比数列 满足 ，且
成等差数列，记 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若在数列 任意相邻两项 之间插入一个实数 ，从而构成一个新的数列 ．
若实数 满足 ，求数列 的前2n项和 ．
10．（23-24高三上·江西·期中）已知 是正项数列 的前 项和，满足
， .
(1)若 ，求正整数 的值；
(2)若 ，在 与 之间插入 中从 开始的连续 项构成新数列 ，
即 为 ，求 的前30项的和.
学科网（北京）股份有限公司
