专题10磁场带电粒子在磁场中的运动（讲义）（解析版）_03高考英语_2025年新高考资料_二轮复习_01高考语文等多个文件_上好课2025年高考物理二轮复习讲练测（新高考通用）

专题 10 磁场 带电粒子在磁场中的运动 目录 0 1考情透视·目标导航 3 02知识导图·思维引航................................................................................................................................................4 03核心精讲·题型突破................................................................................................................................................5 题型一 磁场的性质.................................................................................................................................................5 【核心精讲】...............................................................................................................................................................5 一、 磁场叠加问题的解题思路..................................................................................................................................5 二、 安培力的分析与计算..........................................................................................................................................5 【真题研析】...............................................................................................................................................................6 【命题预测】...............................................................................................................................................................7 考向一 磁场的叠加......................................................................................................................................................7 考向二 安培力作用下的平衡问题..............................................................................................................................9 题型二 带电粒子在匀强磁场中的运动.................................................................................................................11 【核心精讲】.............................................................................................................................................................11 一、 带电粒子在匀强磁场运动的基本公式............................................................................................................11 二、 带电粒子在匀强磁场运动的“两个确定”....................................................................................................11 三、 带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论................................................................................................11 【真题研析】.............................................................................................................................................................11 【命题预测】.............................................................................................................................................................13 考向一 直线边界........................................................................................................................................................13 考向二 圆形边界........................................................................................................................................................15 考向三 多解问题........................................................................................................................................................16 题型三 带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型....................................................................................................18 【核心精讲】.............................................................................................................................................................18 一、 放缩圆模型........................................................................................................................................................18 二、 旋转圆模型........................................................................................................................................................19三、 平移圆模型........................................................................................................................................................19 四、 磁聚焦模型........................................................................................................................................................19 【真题研析】.............................................................................................................................................................20 【命题预测】.............................................................................................................................................................22 考向一 放缩圆模型....................................................................................................................................................22 考向二 旋转圆模型....................................................................................................................................................24 考向三 平移圆模型....................................................................................................................................................27 考向四 磁聚焦模型....................................................................................................................................................29 命题统计 2024年 2023年 2022年 命题要点 2024·浙江卷·T4、 2023·江苏卷·T2、 2022·湖北卷·T11、 2024·贵州卷·T5、 2023·福建卷·T6、 2022·湖南卷·T3、 热 2024·重庆卷·T13、 2022·全国卷·T5、 考 磁场的性质 2024·福建卷·T6、 2022·江苏卷·T3、 角 2022·浙江卷·T3、 度2024·江西卷·T7、 2023·全国乙卷·T18、 2022·辽宁卷·T8、 2024·湖北卷·T7、 2023·全国甲卷·T20、 2022·广东卷·T7、 2024·河北卷·T10、 2023·湖北卷·T15、 2022·湖北卷·T8 带电粒子在匀 强磁场中的运 动及动态圆问 题 高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题 命题规律 中出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。与安培力 有关的通电导体在磁场中的加速或平衡问题，也应引起足够重视。 预计在2025年高考中，还会以选择题的形式对安培力的大小方向和平衡问 考向预测 题还会有考查，同时重点关注带电粒子在有界磁场中的运动问题。 对于安培力的考查多以导体棒为典型模型予以命题；对于带电粒子在磁场 命题情景 中的运动多以平行边界、圆形边界的磁场命题较多。 常用方法 整体法和隔离法、正交分解法、画图法 磁感强度大小： 磁场的叠加 磁感强度方向：磁场中某点磁感线的切线方向 叠加法则：平行四边形定则 磁场的性质 大小：F=BILsinθ 安培力 方向：左手定则 平衡问题：平衡条件 基本公式： 磁场 两个确定：确定圆心、确定半径 带电粒子在匀强磁场中的运动 四个结论：临界极值 放缩圆模型：速度方向一定，速度大小不同 旋转圆模型：速度大小一定，方向不同 带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型 平移圆模型：速度大小方向一定，但入射点在同一直线上题型一 磁场的性质 一、 磁场叠加问题的解题思路 1.根据安培定则确定通电导线周围磁场的方向。 2.磁场中某点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。 3.磁感应强度是矢量,多个通电导体产生的磁场叠加时,合磁场的磁感应强度等于场源单独存在时在该点磁感 应强度的矢量和。 二、 安培力的分析与计算 1.安培力公式：F＝ILBsin θ。 2．弯曲通电导线的有效长度 (1)当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。 (2)对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。 3.安培力方向的判断 (1)判断方法：左手定则。(2)方向特点：既垂直于B，也垂直于I，所以安培力一定垂直于B与I决定的平面。 4.通电导线在磁场中的平衡和加速问题的分析思路 (1)选定研究对象。 (2)变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意 F ⊥B、F ⊥I；如图所示。 安 安 (3)列平衡方程或牛顿第二定律方程进行求解。 1．（2022·全国·高考真题）安装适当的软件后，利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度B。如图， 在手机上建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为xOy面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量，每次 测量时y轴指向不同方向而z轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知（ ） 测量序号 B /μT B /μT B/μT x y z 1 0 21 - 45 2 0 - 20 - 46 3 21 0 - 45 4 - 21 0 - 45 A．测量地点位于南半球 B．当地的地磁场大小约为50μT C．第2次测量时y轴正向指向南方 D．第3次测量时y轴正向指向东方 【答案】BC 【详解】A．如图所示地球可视为一个磁偶极，磁南极大致指向地理北极附近，磁北极大致指向地理南极附近。通过这两个磁极 的假想直线（磁轴）与地球的自转轴大约成11.3度的倾斜。由表中z轴数据可看出z轴的磁场竖直向下， 则测量地点应位于北半球，A错误； B．磁感应强度为矢量，故由表格可看出此处的磁感应强度大致为B=√B2+B2=√B2+B2计算得B ≈ x z y z 50μT，B正确； CD．由选项A可知测量地在北半球，而北半球地磁场指向北方斜向下，则第2次测量，测量B <0，故y y 轴指向南方，第3次测量B >0，故x轴指向北方而y轴则指向西方，C正确、D错误。 x 故选BC。 【技巧点拨】 （1）题中z轴方向始终为负，说明测量地点磁感应强度竖直分量向下，位于北半球； （2）根据矢量合成法则求得合磁场的大小和方向。 2．（2024·贵州·高考真题）如图，两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内， 导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流 I 、I ，且I >I ，则当导线框中通有顺时针方向的电流时，导线框所受安培力的合力方向（ ） 1 2 1 2 A．竖直向上 B．竖直向下 C．水平向左 D．水平向右 【答案】C【详解】根据右手螺旋定则可知导线框所在磁场方向向里，由于I >I ，可知左侧的磁场强度大，同一竖 1 2 直方向上的磁场强度相等，故导线框水平方向导线所受的安培力相互抵消，根据左手定则结合F=BIL可 知左半边竖直方向的导线所受的水平向左的安培力大于右半边竖直方向的导线所受的水平向右的安培力， 故导线框所受安培力的合力方向水平向左。 故选C。 【技巧点拨】 （1）根据右手安培定则判断导线框里的磁场方向； （2）根据左手定则判断安培力的方向，根据大小，判定合力方向。 考向一 磁场的叠加 3．（2024·江苏镇江·一模）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L、L，L 中的电流方向向左， 1 2 1 L 中的电流方向向上；L 的正上方有a、b两点，它们相对于L 对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁 2 1 2 1 1 场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为 B 和 B ， 0 3 0 2 0 方向也垂直于纸面向外。则（ ） 7 A．流经L 的电流在b点产生的磁感应强度大小为 B 1 12 0 1 B．流经L 的电流在a点产生的磁感应强度大小为 B 1 12 0 3 C．流经L 的电流在b点产生的磁感应强度大小为 B 2 12 0 7 D．流经L 的电流在a点产生的磁感应强度大小为 B 2 12 0 【答案】A 【详解】设L 中的电流在a、b两点产生的磁感应强度大小为B，L 中的电流在a、b两点产生的磁感应强 1 1 2 度大小为B，由安培定则可知L 中的电流在a点产生的磁场方向垂直于纸面向里，L 中的电流在a点产生 2 1 2 的磁场方向垂直于纸面向里；L 中的电流在b点产生的磁场方向垂直于纸面向里，L 中的电流在b点产生 1 2B B 7B 的磁场方向垂直于纸面向外，所以根据已知条件得到B −(B +B )= 0，B −B +B = 0解得B = 0， 0 1 2 3 0 1 2 2 1 12 B B = 0故选A。 2 12 4．（2025·安徽·一模）根据经典电磁理论，运动的电荷会产生磁场。某带电量为+q点电荷以速率v沿x轴 正方向运动，该运动电荷在x轴上各点产生的磁感应强度恰为0、在y轴上距其r处的M点产生的磁感应强 kqv 度大小为 ，方向垂直于平面xOy、其中k是静电常数，c是真空中的光速，据此可以确定半径为R、大 c2r2 小为I的环形电流在其圆心处产生的磁感应强度的大小为（ ） 2πk 2πk 2πkI 2πkI A． B． C． D． c2RI c2R2I c2R c2R2 【答案】C 【详解】设圆环的载流子带电量为q，体密度为n，载流子匀速运动的速率为v，圆环横截面积为S，则环 形电流中包含的载流子个数N=n(2πRS)环形电流产生的磁场可以认为是这N个载流子产生的磁场的叠 kqv 2πkI 加，即B =N 再根据I=nqSv联立可得B = 故选C。 0 c2R2 0 c2R 考向二 安培力作用下的平衡问题 5．（2025·江苏南通·二模）在倾角θ=37°的光滑导体滑轨的上端接入一个电动势E=3V，内阻r=0.5Ω的 电源，滑轨间距L=50cm，将一个质量m=40g，电阻R=1Ω的金属棒水平放置在滑轨上。若滑轨所在空 间加一匀强磁场，当闭合开关S后，金属棒刚好静止在滑轨上，如图所示。已知，下列说法正确的是（ ） sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2 A．磁感应强度有最小值，为0.32T，方向垂直滑轨平面向下 B．磁感应强度有最大值，为0.4T，方向水平向右 C．磁感应强度有可能为0.3T，方向竖直向下 D．磁感应强度有可能为0.4T，方向水平向左 【答案】C E 3 【详解】A．由闭合电路欧姆定律可得I= = A=2A对金属棒受力分析可知，当安培力沿斜面 R+r 0.5+1 向上时，安培力最小，此时F =mgsinθ=0.04×10×sin37°N=0.24N当安培力最小，且磁感应强度方 安 F 0.24 向与电流方向相互垂直时，磁感应强度最小为B = min= T=0.24T由左手定则判断可知，磁感应 min IL 0.5×2 强度的方向为垂直斜面向下，故A错误； B．当磁感应强度方向水平向右，安培力竖直向上，当BIL=mg金属棒刚好静止在滑轨上，可得 mg 0.04×10 B= = T=0.4T但此时磁感应强度并不是最大值，故B错误； IL 0.5×2 C．当磁感应强度方向竖直向下，金属棒受到安培力方向水平向右，金属棒平衡可得 mgsin37° 0.04×10×0.6 B'ILcos37°=mgsin37°解得B'= = T=0.3T故C正确； ILcos37° 0.5×2×0.8 D．当磁感应强度方向水平向左，安培力竖直向下，不可能平衡，故D错误。 故选C。 6．（2022·湖南·高考真题）如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所 在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截 面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ）A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变 C．tanθ与电流I成正比 D．sinθ与电流I成正比 【答案】D 【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有 可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误； BIL BCD．由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sinθ= ，F = mgcosθ则可 mg T 看出sinθ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cosθ减小，静止后，导线对悬线的拉力F 减小，BC错误、 T D正确。故选D。题型二 带电粒子在匀强磁场中的运动 一、 带电粒子在匀强磁场运动的基本公式 v2 1.向心力公式:qvB=m 。 r mv 2.轨道半径公式:r= 。 Bq 2πr 2πm 3.周期公式:T= = 。 v qB θ 4.运动时间公式:t= T。 2π 二、 带电粒子在匀强磁场运动的“两个确定” 1.圆心确定： (1)与速度方向垂直的直线过圆心； (2)弦的垂直平分线过圆心； (3)轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 2.半径确定： mv (1)利用r= 公式确定半径； Bq (2)利用平面几何知识求半径。 三、 带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论 1.刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2.当速率v一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间 越长。 3.当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。 4.在圆形匀强磁场中,若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,则入射点和出射点为磁 场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)7．（2024·广西·高考真题）Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂 直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度 与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（ ） mv 3mv mv ( √2)mv A． B． C．(1+√2) D． 1+ qB 2qB qB 2 qB 【答案】C 【详解】粒子运动轨迹如图所示 v2 mv 在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m 可得粒子做圆周运动的半径r= 根据几何关系可得P r qB r mv 点至O点的距离L =r+ =(1+√2) 故选C。 PO cos45° qB 【技巧点拨】 （1）画出轨迹，根据入射方向和出射方向确定圆心； （2）根据洛伦兹力向心力公式确定半径，通过几何关系确定待求物理量。 8．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、 电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是 （ ）A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 7πm C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 3qB √3qBR D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 3m 【答案】D 【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子 的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误； C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图 4πm 则最短时间有t=2T= 故C错误； qB D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示 √3R v2 设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r= 根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m 可得 3 r √3qBR v= 故D正确。故选D。 3m【技巧点拨】 （1）在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出； （2）根据对称性，画出轨迹，找出时间最短的条件。 考向一 直线边界 9．（2024·江西景德镇·一模）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂 直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad=L，ab=√3L。一质量为m、电荷量为q（q>0） 的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ） πm A．粒子能通过cd边的最短时间t= 2qB 2qBL B．若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v= m 2qBL C．若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v= m 2qBL D．若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度00)(3) y2+(2n+1)y=L(n=0,1,2,⋯) eB2 2mE 【详解】（1）电子能垂直x轴进入第四象限，由左手定则可判定磁场垂直纸面向里。 （2）设电子由静止释放的纵坐标为y，到达边界时的速度大小为v，对应边界上点的坐标为(x,y)，则有 eEx= 1 mv2 ，y= mv 解得y= √2mE x(x>0) 2 eB eB2 （3）能经过A点的粒子轨迹如图所示， eB2 设释放点纵坐标为y，则有x+(2n+1)y=L(n=0,1,2,⋯)即满足 y2+(2n+1)y=L(n=0,1,2,⋯)时 2mE 电子能经过A点。 14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小 为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为+q的粒子从分界线上的P点以速度 v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重 力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入 时速度大小的可能值。 √3mv 2v 【答案】（1） （2） （n=0,1，2，3…） qB 3n+2 v2 mv 【详解】（1）根据牛顿第二定律qvB=m 得r= 粒子运动轨迹如图 r qB √3mv OP长度为l=√3r= qB mv mv r （2）粒子从O点离开一定是从区域Ⅰ与ON相切离开磁场区域，故r = i，r = i = i根据几何关 i qB 1 q⋅2B 2 mv mv mv mv mv' 系(√3r +√3r )n+√3r =OP即(√3⋅ i+√3⋅ i )n+√3⋅ i=OP=√3⋅ ，r= ， i 1 i qB q⋅2B qB qB qB r mv' 2v = 解得v = （n=0,1，2，3…） 2 2qB i 3n+2题型三 带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型 一、 放缩圆模型 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场 速度方向一定，速度 时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变 大小不同 化而变化 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也 越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在 适用条件 垂直初速度方向的直线PP′上 轨迹圆圆心共线 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这 界定方法 种方法称为“放缩圆”法 二、 旋转圆模型 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀 速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v，则圆周运动半径R＝，如图所示 0 适 速度大小 用 一定，方 条 向不同 件 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 轨迹圆圆心共圆 为圆心、半径R＝的圆上 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称 界定方法 为“旋转圆”法三、 平移圆模型 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁 速度大小一 场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v ，则半径R＝，如图所 0 定，方向一 示 适 定，但入射 用 点在同一直 条 线上 件 轨迹圆圆心 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线 共线 平行 界定方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 四、磁聚焦模型 1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为 q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点 射入，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则粒子出射方向与磁场边界在入射点的切线方向平行。 2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹 圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，磁场边界在该点的切 线与入射方向平行。 15．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边 长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A处有一个粒 子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大 小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ）A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 【答案】AD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad边时速 度方向与ad边夹角为45°，在正方形abcd区域中的运动轨迹必平行于AC的连线，可知粒子必经过cd边， 进入正方形abcd区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运 动轨迹如图所示 粒子的运动轨迹均关于直线BD对称，粒子必从C点垂直于BC射出，故A正确； C．若粒子经cd边垂直BC射出，粒子运动轨迹如图所示设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为θ，则图中两段圆弧轨迹的圆心角θ 与θ 的关系为θ +θ =90∘ 1 2 1 2 设两正方形的对应边之间的距离为ΔL，为保证粒子穿过ad边，需满足Rsinθ ≥ΔL且有 1 R−Rcosθ =ΔL联立解得θ ≤60∘为保证粒子穿过cd边，需满足Rsinθ ≥ΔL为保证从BC边射出，需满 1 1 2 足R−Rcosθ ≤ΔL联立解得θ ≥45∘可得粒子经cd边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹 2 1 角范围是45∘≤θ ≤60∘故C错误； 1 BD．粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，作出粒子恰好经过c点的运动轨迹如图所示 设粒子在e点进入正方形abcd区域，线段MN垂直平分轨迹ec，与AB选项的分析同理，粒子的轨迹关于 线段MN对称。线段CE平行于轨迹ec，取圆弧轨迹的中点F，过F点做轨迹ec的平行线分别交AD与BC 于点G和点F'，点E'为点E关于MN的对称点。易知点e为ad的中点，点E为AD的中点，Ee垂直于ad 和AD，设粒子轨迹半径为r，正方形ABCD的边长为2L。由几何关系得rsin60∘=L，FQ=rsin30∘， r PF EP=L−FQ，PF= −rsin60∘ ，tan∠PEF= 联立解得∠PEF=30∘因∠EGF=60∘，故 cos30∘ EP ∠EFG=90∘，即EF垂直于GF'，由对称性可知四边形EFF'E'为矩形，F'E'垂直于CE，可知点F'是点 F关于MN的对称点，即点F是圆弧cH的中点，可知由c到F'粒子的轨迹圆心角为30°，可得粒子垂直BC 射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c点左侧穿过cd，其轨迹如图所示与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC上，故粒子不会垂直BC射出。若粒子速度较小，轨迹 半径较小，则粒子在c点下方穿过cb，其轨迹如图所示。 与粒子恰好经过c点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC射出，故B错误，D正确。 故选AD。 【技巧点拨】 利用不同情况的动态圆的特点，画出轨迹图，找出临界条件； 考向一 放缩圆模型 16．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R的能吸收带电粒子的半圆形装置， 在装置外有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界ab为过圆心O的一水平直线。一群质量 5 为m、电荷量为q的带正电粒子以不同的速率从A点竖直向上进入磁场，AO的长度为 R，粒子重力和粒 3 3 子间的相互作用不计，sin37°= ，下列说法正确的是（ ） 55qBR A．能够被装置吸收的粒子的最大速度为 3m qBR B．能够被装置吸收的粒子的最小速度为 3m 2qBR C．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子速度大小为 3m 53πm D．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子运动时间为 90qB 【答案】BD 【详解】A．粒子从A点进入磁场，运动轨迹半径最大时有最大速度，当粒子从半圆形装置最右面被该装 v2 qBr 置吸收时，其轨迹半径最大，其速度最大，对于粒子有qvB=m 整理有v= 有几何关系可知，其粒子 r m 2 4qBR 的半径设为r ，有2r =2R+ R所以有上述分析有v = 故A项错误； max max 3 max 3m B．当运动轨迹最小时，其粒子的速度最小，即粒子从装置最左侧被吸收其半径最小，由几何关系有 2 qBR 2r = R结合之前的分析可知，有v = 故B项错误； min 3 min 3m CD．粒子进入磁场运动至圆周上，时间最短即为圆心角最小，根据圆心角等于2倍弦切角可知，时间最小， 即运动轨迹圆的弦切角需最小。如图所示 运动时间最短，此时轨迹圆的弦AC与题设半圆相切，由几何关系可知∠OAC=37°，圆心角为根据几何关系 4 结合之前的分析，其中 mv 所以 5qBR， θ=53°×2=106° 2r sin53°= R r = 1 v = 1 3 1 qB 1 6m θ 2πm 53πm t = ⋅ = 故C错误，D正确。故选BD。 1 2π qB 90qB 17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，边长为L的正三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为B。D为BC的中点，有一群带电量为+q、质量为m的粒子从D点以不同速率沿与BC成30∘ 的方向进入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，以下说法正确的是（ ） A．所有从BC边出射的粒子运动时间均相同 B．所有从AC边出射的粒子，出射点越靠近A，运动时间越短 √3qBL C．当入射速度为 时，粒子从AC边出射 2m √3 D．若粒子带负电，则从C点出射的粒子轨迹半径为 L 2 【答案】AC mv2 【详解】A．粒子在磁场中受的洛伦兹力提供向心力，有qvB= 由圆周运动中周期与速度关系有 R 2πR θ θm T= 设粒子在磁场中圆周运动的圆心角为θ，则应有t= T= 可知，粒子做圆周运动的圆心角 v 2π qB 越大，运动时间越长，由题意分析可得，粒子从BC边射出时圆心角相同，运动时间相同，故A正确； C．粒子恰好不从AC射出时，轨迹与AC相切，运动轨迹如图1 mv2 根据图中几何条件分析可知R = L⋅sin60°粒子在磁场中受的洛伦兹力提供向心力，有qv B= 0联 2 2 0 R 2 √3qBL √3qBL 立解得v = 当入射速度为 时，粒子从AC边出射，故C正确； 0 4m 2m B．所有从AC边出射的粒子，出射点越靠近A，圆心角越大，运动时间越长，故B错误； 1 D．若粒子带负电，由几何关系可得，从C点出射的粒子轨迹半径为 L，故D错误。故选AC。 2 考向二 旋转圆模型 18．（2024·山西·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强 度大小为B ，P是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为-q（q > 0）的带电粒子，以相同的速 率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r = 2R， A、C为 圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是 （ ） 2mBR A．粒子射入磁场时速率为v= q πm B．粒子在磁场中运动的最长时间为t= 3qB C．不可能有粒子从C点射出磁场 D．不可能有粒子从A点沿水平方向射出磁场 【答案】BD mv2 2qBR 【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律：Bqv= 且r＝2R，所以v= ，A选 r m 项错误； B．要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的 60° πm 运动轨迹如图甲。由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为t= T= 故B 360° 3qB选项正确； C．当入射速度的方向合适时，是可以确定从C点射出的粒子圆周运动的圆心的，如图乙所示，作PC的中 垂线，以P或C点为圆心以2R为半径画圆弧交PC中垂线于O，O点即为能通过C点轨迹的圆心，故C选 项错误； D．若粒子能从A点水平射出磁场，则在A点作速度方向的垂线，再作AP两点的中垂线，交点即为圆心， 此时圆周运动的半径r≠2R，如图丙所示，故D选项正确。故选BD。 19．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁 感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子 源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射 出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则 （ ） A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为3:2 qBd B．粒子运动的速度大小为 m πm C．粒子在磁场中运动的最长时间为 Bq 4+π D．磁场区域中有粒子通过的面积为 d2 4 【答案】ABD 【详解】如图所示B．粒子带正电不可能从与60度夹角的O点射入经过B点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关 v2 qBd 系可知，粒子做圆周运动的半径r=d由牛顿第二定律qvB=m 解得粒子运动的速度大小为v= 故B r m 正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在 πm 磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为 ，故C错误； 2qB D．由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为d2+ 1 πd2= (4+π) d2 故D 4 4 正确； A．由图可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，如下图所示 由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从AD边射出与从CD边射出的 粒子数之比为90°:60°=3:2故A正确。故选ABD。 考向三 平移圆模型 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场（未 画出），线状粒子源OM与屏ON垂直，ON=2OM=2L，粒子源能发射质量为m、电荷量为+q、速度大√2qBL 小为v，方向与磁场垂直且与OM夹角θ=45°的粒子，已知v= ，不计粒子重力，则屏ON上有粒 2m 子打到的区域长度为（ ） 2−√2 √2−1 A．L B．(√2−1)L C． L D． L 2 2 【答案】D 【详解】如图 粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O O 连线上，M点及O点发出的粒子恰好可打到O点，OM之 1 2 间的粒子均可打到屏上，其中自OM中点发出的粒子圆心位于NO延长线上，该粒子打在屏上的位置距离 v2 √2L O点最远，根据洛伦兹力提供向心力qvB=m 可得R= 根据几何关系可得光屏上有粒子打到的区域 R 2 √2−1 长度为x=R(1−sin45°)= L故选D。 2 21．（2024·江西·模考）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在 bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间 的相互作用力。下列说法正确的是（ ）BqL A．粒子的入射速度为 4m √3BqL B．粒子的入射速度为 6m πL C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 4 πm D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 2Bq mv2 mv 【答案】AC【详解】AB．粒子进入场向上做匀速圆周运动，洛伦力提供向心力，则qBv= 则r= r Bq 因bc边只有一半区域有粒子射出，则ab中某位置的（令位e点）粒子从bc点中点（令为d点）射出，在 ae点之间入射的粒子均不能从bc边射出，且ea间的粒子均不会从dc之间射出。恰好从d点射出的粒子轨 迹如图1、图2中红色实线所示；图2中be'之间有粒子从dc射出，不符合要求，图1满足要求，故粒子的 1 1 轨迹半径r= Lcos60°= L 2 4 BqL 则粒子的入射速度v= 故A正确，B错误； 4mπL C．粒子在磁场中最多做半个圆周，则磁场中场中运动的最长轨迹为s=πr= 故C正确； 4 2π D．与bc边相切恰从bc边射出的粒子轨迹如图1所示红色虚线，其对应的圆心角最大为 ，从bc边射出 3 2πm 的粒子在磁场内运动的最长时间为t= 故D错误；故选AC。 3Bq 考向四 磁聚焦模型 22．（2024·天津·模拟预测）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为 m、电量为q的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R)，半径为R的圆形区域内， 有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中 心位于(2R,R)。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（ ） 2qBR A．粒子速度大小为 m B．所有粒子均能垂直射在光屏上 2πm C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为 3qB D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足45°≤θ≤135° 【答案】C 【详解】A．因为初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，可知在磁场中的运动半径 v2 qBR 为R，则根据qvB=m 解得v= 选项A错误； R mB．画出任意粒子从O点射出时的轨迹如图，由几何关系可知，四边形OO PO 为菱形，则PO 平行y轴， 1 2 2 则从磁场中射出的粒子垂直于y轴，即凡是能射到屏上的粒子均能垂直射在光屏上，但是并不是所有粒子 都能射到屏上，选项B错误； C．达到屏的最上端的粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知在磁场中运动的圆心角为120°，则 120∘ 1 2πm 2πm 最长时间为t = T= ⋅ = 选项C正确； max 360∘ 3 qB 3qB D．由几何关系可知，能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足60°≤θ≤120°，故D错误，选C。 1 23．（2024·江苏南京·模拟预测）空间中有两个区域存在有界匀强磁场，如图所示，甲为半径为R的 圆， 4 乙为边长为R的正方形，磁场方向均垂直纸面向外，现有大量质量为m，电荷量为q(q>0)，速度大小为 BqR 的带电粒子分别从两磁场左侧边界水平向右射入磁场，不计粒子重力及其相互作用，有关粒子的运动， m 下列说法正确的是（ ） A．甲图中粒子从同一位置沿不同方向射出磁场，乙图中粒子从不同位置，沿不同方向射出磁场 B．两图粒子分别从两磁场边界的某一位置射出磁场，且出射方向分别相同C．两图中粒子射出磁场时的位置均分别布满两磁场的某一边界 D．若粒子带负电，两图中粒子射出磁场时的情况分别和带正电粒子相同 【答案】A v2 【详解】ABC．根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m 则可得r=R取1、2两个代表粒子，运动轨迹如下 r 图甲、乙所示。图甲中，根据几何关系可得四边形ACDO与四边形ECDO'均为棱形，由图甲可知，粒子 1、2从同一位置离开，但射出的方向不相同；乙图中，粒子的出射位置和方向都不同。故A正确，BC错 误； D．若粒子带负电，粒子都向上偏转，所以出射情况和带正电粒子规律不同，故D错误。故选A。