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专题11 双曲线中的参数及范围问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 为焦点在 轴上的双曲线，其离心率为 ， 为 上一动点（除顶点），过点 的直线 ， 分
别经过双曲线的两个顶点，已知直线 的斜率 ，则直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设双曲线的方程为 为 上一动点，上顶点 下顶点
离心率为 ，即 可得 直线 为直线PA, 直线 为直线PB,
则 ，
，又 ， ，可得 ，故选：C
2．已知双曲线C： ，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距
离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由双曲线的标准标准方程可知该双曲线的渐近线方程为： ，
即 ，设 ，有 ，
因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，所以有 ，把 代入化简得，
，故选：D
3．已知点 为双曲线 的下焦点， 为其上顶点，过 作垂直于 的实轴的直线
交 于 、 两点，若 为锐角三角形，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析】设双曲线 的半焦距为 ，由双曲线的对称性可知点 、 关于 轴对称，则 ，
因为 为锐角三角形，则 为锐角，
将 代入方程 可得 ，取点 、 ，
易知点 ， ， ，
故 ，即 ，可得 ，
又因为 ，故 .故选：B.
4．平面直角坐标系中， 为坐标原点，给定两点 ，点 满足： 其中
，且 已知点 的轨迹与双曲线 交于 两点，且以
为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于 ，则双曲线实轴长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设点 ，因 ，则 ，又 ，于是得点 的轨迹方程为 ，由 消去y并整理得 ，
而 ，则 ，设 ，
，因以 为直径的圆过原点，则 ， ，
于是 ，
从而有 ， ，而离心率 ，即 ，
整理得 ，此时 ，因此， ， ，
所以双曲线实轴长的取值范围为 .故选：D
5．设双曲线 的离心率为 ，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双
曲线C上异于A，B的动点，直线 斜率分别 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，那么 ，
两式相减得： ，整理得：
即 ，又因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，所以 ，故 ，其中 ，所以 故选：D.
6．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线上位于第一象限的一点，线段 过点
且 ， 的平分线与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【解析】设点 ，由题意可得 ，
则 ，则 ，
∴ ．
如下图，O为坐标原点，连接MO，易知 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ，且 ，∴ ， ，
∵函数 在 上单调递减，∴ ，∴ .故选：C．
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线 上的任意一点，过点 作
双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 ， 两点，若四边形 （ 为坐标原点）
的面积为 ，且 ，则点 的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知,四边形 为平行四边形,
不妨设双曲线 的渐近线为 , ,设点 ,则直线 方程为 ,
且点 到直线 的距离 .联立 ,解得 ,∴ ,∴ ,
设四边形 的面积为 ,则 ,又∵ ,∴ ,
∴ ,∴ ,∴双曲线 的标准方程为 ,
∴ , ,∴ , ,
∴ ,又∵ ,∴ ,解得 ,故选:D.
8．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，
△ 和△ 的内心分别为M，N，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设圆M与△ 的三边分别切于点D，P，E，设E为 ，如下图示：
由圆的切线性质知： ， ， ，
由双曲线的定义知： ，即 ，故 ，
可得 ，即 ，
故圆M切x轴于双曲线的右顶点处，同理圆N也切x轴于双曲线的右顶点处，又 ，
所以 ，则 ，设 ，易知： ，又 分别为 和 的平分线，
所以 ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 .故选：A．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知 为双曲线 上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，记线段 ，
的长分别为 ， ，则（ ）
A．若 ， 的斜率分别为 ， ，则 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【解析】由题意双曲线的渐近线为 ，即 ，
设 ，不妨设 在第一象限， 在渐近线 上，
则 ， ， ，A正确；
在双曲线上，则 ， ，
， ，∴ ，B正确；
，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ，C错误；
渐近线 的斜率为 ，倾斜角为 ，两渐近线夹角为 ，∴ ，
，当且仅当 时等号成立，∴ ，即 最小值为 ，D正确．
故选：ABD．
10．双曲线 的一条渐近线上的点 关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点
，点 是双曲线上的动点，则 的值可能为
A．4 B． C．2 D．
【解析】由双曲线方程得渐近线方程为： ，
在渐近线上 渐近线方程为 ，
设坐标原点为 ，则 ，
当 三点共线且 在双曲线右支上时， 最小，
，
又 为双曲线上的动点 无最大值，
选项中的值均大于 ， 选项中的值小于 ，
选项中的值均有可能取得，故选：
11．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，设点P为C右支上一点，P点到直线 的
距离为d，过 的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为2 B．
C．直线l的斜率的取值范围是 D． 的内切圆圆心到y轴的距离为1
【解析】A：由题设及下图知：当 与右顶点重合时， 最小为 ，错；B：令 且 ，则 ，对；
C：由渐近线方程为 ，过 的直线l与双曲线C的右支有两个交点，
结合图知：直线l的斜率的取值范围为 ，错；
D：若内切圆与 三边相切于 ，如下图，则 ， ， ，
又 ，即 ，
由 ，即 与右顶点重合，易知 的内切圆圆心到y轴的距离为1，对.
故选：BD
12．如图，已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，两条渐近线分别为 ， ，过
， 作 的垂线，垂足分别为A，B，若四边形 的面积为8，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．若 ，则双曲线方程为
C．若 ，则离心率e的范围D．延长 交 于点C，若 ，则
【解析】 ，
∵ ，∴ ，
， ，
，故A正确；
∵ ，即 ①
在 中， ，即 ②
联立①②解得， ，∵b≠0，故无解，故B错误；
∵ 且 ， ， ， ，故C正确；
由题知
∵ ，∴ ，联立 ，
联立 ，∴
由 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，以 为圆心， 的虚半轴长为半
径的圆与 的右支恰有两个交点，记为 、 ，若四边形 的周长为 ，则 的焦距的取值范围为．
【解析】易知点 、 关于 轴对称，且 ，由双曲线的定义可得 ，
由题意可得 ，可得 ，则 ，
所以， ，
所以， ，所以， .当 时， ， ，此时 ，
即此时以 为圆心， 的虚半轴长为半径的圆与 的右支恰有两个交点，合乎题意.
因此， 的焦距的取值范围为 .
14．已知A是抛物线 ： 的准线上的点，B是x轴上一点，O为原点，直线AB与双曲线 ：
两渐近线分别交于不同两点M，N.若双曲线 的离心率为2， ，则
的取值范围为 .
【解析】设 ， ，∵ , ∴ ，即 ，
∴直线 的方程为 ，其中 ，即 ，
分别将 代入 与 得点 、 的坐标分别为 ， ，
∴ ，∵M 与N 不重合，∴ ，
∴ 的取值范围是 .
15．已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，满足，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【解析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，
又因为 ，且 ，所以 ，
因此 ，所以 ，
又因为直线 与圆 有公共点，所以 ，故 ，
即 ，则 ，所以 ，又因为双曲线的离心率 ，所以 .
16．已知双曲线 的左右焦点为 、 ，过左焦点 作垂直于 轴的直线交双曲线的
两条渐近线于 、 两点，若 是钝角，则双曲线离心率的取值范围是 .
【解析】设双曲线的焦距为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由题意可知，点 ， ，且点 、 ，
所以 ， .
因为 为钝角，则 ，得 ，
所以 .故答案为： .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．双曲线 的左顶点为 ，焦距为4，过右焦点 作垂直于实轴的直线交 于 、
两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线 的方程；
(2) 、 是 右支上的两动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，求点 到直线
的距离 的取值范围．
【解析】（1）依题意， ，焦半径 ，由 ，得 ，得 ，
解得： （其中 舍去），所以 ，故双曲线 的方程为 ；
（2）显然直线 不可能与轴平行，故可设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
在条件 下，设 ， ，则 ， ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，
代入韦达定理得， ，
化简可消去所有的含 的项，解得： 或 （舍去），
则直线 的方程为 ，得 ，
又 都在双曲线的右支上，故有 ， ，
此时 ， ，
所以点 到直线 的距离 的取值范围为 .18．已知圆 ，定点 ，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN
交于点P．
(1)证明： 为定值，并求出点P的轨迹 的方程；
(2)若曲线 上一点Q，点A，B分别为 在第一象限上的点与 在第四象限上的点，若
， ，求 面积的取值范围．
【解析】（1）证明：由题意，圆C的圆心 ，半径 ，
由点N与M关于PQ对称，则 ， ，
且 ，
由双曲线定义知，点P的轨迹 为以C，M为焦点，实轴长为 的双曲线，
设双曲线 方程为： ， ， ， ， ，
所以双曲线 方程为 .
（2）由题意知， ， 分别为双曲线 的渐近线,
设 ， ，由 ，设 ．
， ， ， ,
由于P点在双曲线上， ， ，
,又 ，同理 ，设OA的倾斜角为 ，
则 ．,
函数 ， ，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；
当 时， ； ．
19．已知点 分别为双曲线 的左顶点和右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线
第一象限部分交于点 ， 的面积为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，与双曲线的两条渐近线分别交
于 ， 两点，记 ， 的面积分别为 ， （ 为坐标原点）．若 ，求实数 的取
值范围．
【解析】（1）由题意可知 ，所以 ， ，由已知 ，可得
，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ，联立 ，整理可得所以 ，解得 ，由 ， 可得，
，
原点到直线 的距离 ，
所以
设 ， ，易知渐近线方程为 ，不妨设 在渐近线 上，
由 得 ，同理，
所以 ，
到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 ，
，则
令 ，则 ，故 的取值范围是
20．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与双曲线 的右支相交于， 两点，点 关于 轴对称的点为 .当 时， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 的外心为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）设双曲线的半焦距为 ，因为双曲线 的右焦点为 ，所以 ，
因为点 和点 关于 轴对称，所以当 时，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，又 ，所以 ，又 ，
所以 ，故双曲线方程为 ；
（2）若直线 的斜率为0，则直线 与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，
所以可设直线 的方程为 ，
联立 ，消 ，得 ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
，
由已知 ，所以 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
又线段 的垂直平分线方程为 ，所以点 的坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以
所以 的取值范围为 .
21．已知抛物线 与双曲线 相交于两点 是 的右焦点，直
线 分别交 于 （不同于 点），直线 分别交 轴于 两点.
(1)设 ，求证： 是定值；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）由 是直线 与抛物线 的两个交点，
显然直线 不垂直y轴，点 ，
故设直线 的方程为 ，由 消去 并整理得 ，
所以 为定值.（2）由（1）知 ，直线 的斜率 ，方程为
，
令 ，得点 的横坐标 ，设 ，
由 消去 得 ，
，
，
而直线 的方程为 ，依题意 ，
令 ，得点 的横坐标
，因此 ，所以 的取值范围是 .
22．已知双曲线 的离心率为 ，且 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的左顶点，若过点 的直线 与 的右支交于 两点，且直线 与圆
分别交于 两点，记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由题可知 是双曲线 的一条渐近线方程，右焦点为 ，所以右焦点到渐近线的距离 ，又因为 ，所以 ，则依题意可得 ，
由离心率 ，解得 ，所以双曲线 的方程为 .
（2）如图所示，
由（1）知， ，设直线 的方程： ，
由 得 ，
因为直线 与双曲线 的右支交于两点，所以 解得 ，
，所以
，
设 ，且 ，所以 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，由 ，得 ，
所以 ，同理可得 ，由 得 ，
所以 ，同理可得 ，
所以
，
令 ，由 ，得 ，
所以 ，令 ，
因为 在区间 上为增函数，所以 的取值范围为 ，
又因为 ，所以 的取值范围为 .
