文档内容
专题 11 平面向量小题全归类
目 录
01 平面向量基本定理及其应用............................................................................................................2
02 平面向量共线的充要条件及其应用.................................................................................................2
03 平面向量的数量积...........................................................................................................................3
04 平面向量的模与夹角.......................................................................................................................4
05 等和线问题......................................................................................................................................4
06 极化恒等式......................................................................................................................................5
07 矩形大法..........................................................................................................................................6
08 平面向量范围与最值问题................................................................................................................6
09 等差线、等商线问题.......................................................................................................................8
10 奔驰定理与向量四心.......................................................................................................................9
11 阿波罗尼斯圆问题.........................................................................................................................10
12 平行四边形大法.............................................................................................................................1113 向量对角线定理.............................................................................................................................12
01 平面向量基本定理及其应用
1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知 ， 是两个不共线的向量， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图
所示的直角三角形来构造无理数. 已知 与 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， 与
交于点 .设 ， ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
02 平面向量共线的充要条件及其应用
4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在 中，点 满足 ，过点 的直
线分别交直线 于不同的两点 .设 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足 ，若P为
线段CD上一点，且满足 （ ， 为正实数），则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在 中，点O满足 ，过点O的直线分别交射线AB，
AC于点M，N，且 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．403 平面向量的数量积
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 ， ， ，
， ，则
A． B．
C． D．
8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在 中， ， ， ，
，P在CD上， ，则 .
9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量 ，且 的夹角为 ， ，则
在 方向上的投影向量等于 ．
10．（2023·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量 ， ，…， ，若存在单
位向量 满足 ，则称 是向量组 ， ，…， 的平衡向量．
已知 ，向量 是向量组 ， ， 的平衡向量，当 取得最大值时，
的值为 ．
04 平面向量的模与夹角
11．（2023•北京）已知向量 ， 满足 ， ，则
A． B． C．0 D．1
12．（2023•甲卷）向量 ， ，且 ，则 ，A． B． C． D．
13．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形 的边长为 ，设
， ．则 与 的夹角= ．
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ，若实数 满足 ，则 与 的
夹角为 ．
15．（2023·四川广安·高三校考阶段练习）已知向量 ， ，且 在 方向上的投影数量为
，则向量 与 的夹角为 ．
05 等和线问题
16．（2023·湖北·高一校联考期中）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ，点 在
以 为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中 ，则 的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．6
17．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为90°，如图所示，
点C在以O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
18．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）在 中， ， ， . 为 所在平面内的动点，且 ，若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ； ② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ； ④ 的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形 中， ， 的重心、外心、垂心、内心分别为 ，
， ， ，若 （其中 ），当 取最大值时， （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
06 极化恒等式
20．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为 的正方形内有一内切圆， 是内切圆的一条弦，点
为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是_________．
21．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，
， ， ，则 的取值范围为 ________________ ．
22．（2023·陕西榆林·三模）四边形 为菱形， ， ， 是菱形 所在平面的任
意一点，则 的最小值为________．
07 矩形大法23．设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．1
24．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量 ， ， 满足 ， ，若
，则 的最大值是 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 、 满足 且 ，则 的最
大值为 .
08 平面向量范围与最值问题
26．（2022•上海）在 中， ， ，点 为边 的中点，点 在边 上，则
的最小值为 ．
27．（2023•上海）已知 、 、 为空间中三组单位向量，且 、 ， 与 夹
角为 ，点 为空间任意一点，且 ，满足 ，则 最大值
为 ．
28．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知 ， ，
，A，B两点不重合，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 的最大值为2
C．若 ， 最大值为D．若 ， 最大值为4
29．（多选题）（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交
弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长
的积相等，例如，如果交点为 的两条相交直线与圆 相交于 与 ，则 ），如下图，
已知圆 的半径为3，点 是圆 内的定点，且 ，弦 、 均过点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． · B． · 的取值范围是
C．当AC⊥BD时， · 为定值 D．AC⊥BD时， · 的最大值为28
30．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形 中， ，则
的最大值为（ ）
A． B．
C．12 D．15
31．（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系 中，定点A的坐标为
，其中 .若当点 在圆 上运动时， 的最大值为0，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为C． 的最小值为
D． 的最小值为
32．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中， ， ， ，动点P满
足 ，则 的最大值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
33．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量 、 、 满足 ， ，
， ，则 的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
09 等差线、等商线问题
34．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°，点C在以
O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中x、 .则 的最大值为 ； 的取值
范围是 .
35．（2023·山西·高一统考期末）已知在 中，点 满足 ，点 在线段 (不含端点 ，
)上移动，若 ，则 .
36．（2023·高一单元测试）如图，在 中， ， ， ，若延长CB到点D，使
，当点E在线段AB上移动时，设 ，当 取最大值时， 的值是 .37．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在 中，点D满足 ，当点E在射线AD（不含点A）
上移动时，若 ，则 的最小值为 ．
38．（2023·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在 中， ，点 在
线段 上移动（不含端点），若 ，则 的取值范围是 ．
39．（多选题）（2023·辽宁·高一东港市第二中学校联考阶段练习）已知 中，
是边 的中点，动点 满足 ，则（ ）
A． 的值可以等于2
B． 的值可以等于2
C． 的值可以等于
D． 的值可以等于3
40．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在 中，点 满足 ，当 点在线段
（不包含端点）上移动时，若 ，则 的取值范围是A． B． C． D．
41．（2023·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）在 中，E，F分别为 的中点，点D是线
段 （不含端点）内的任意一点， ，则（ ）
A． B． C． D．
42．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中， 是 边上的点，满足 ， 在线段 上
（不含端点），且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
10 奔驰定理与向量四心
43．（多选题）（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
44．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知 ， 在 所在的平面内，且满足
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
45．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）设 为 的外心， ， ， 的
角平分线 交 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
46．（多选题）（2023·高一课时练习）已知 所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则点O是 的外心
B．若 ，则点N是 的重心
C．若 ，则点P是 的垂心
D．若 ，且 ，则 为直角三角形
47．（多选题）（2023·吉林·高一吉林一中校考期中）对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为
H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使
11 阿波罗尼斯圆问题
48．（2023·湖南衡阳·校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两
定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距
离为4，动点 满足 ，则动点 的轨迹所围成的图形的面积为 ； 最大值是
.
49．（2023·浙江·校联考三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
的最小值是 .
50．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知向量 ， ， ，若 且 ，则
的最小值是 ．
51．（多选题）（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系
中， ，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则（ ）
A．轨迹 的方程为
B．在 轴上存在异于 的两点 ，使得C．当 三点不共线时，射线 是 的角平分线
D．在轨迹 上存在点 ，使得
12 平行四边形大法
52．（2023·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取值范围是
____.
53．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切于点 ，
点 ， 分别是圆 ，圆 上的两动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13 向量对角线定理
54．（2023·天津河东·统考一模）在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，
EF= ,CD= ，若 =15，则 的值为
A．13 B．14 C．15 D．16
55．（2023·浙江杭州·高三统考期末）在四边形 中，点 分别是边 的中点，设
， .若 ， ， ，则A． B．
C． D．
56．（2023·浙江温州·瑞安中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设
， ，若 ， ， ，则xy的最小值为 ．
57．（2023·浙江·高一开学考试）在 中， ， ， ，若点 满足 ，则
.
