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专题 11 常见函数模型的应用
一、考情分析
有一些常见的函数，如 等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或
利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有
目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.
二、解题秘籍
(一)常见对数型函数模型
1.函数 在 上是增函数，在 是减函数， 在 处取得最大值0，
2. 的图象与直线 在 相切，以直线 为切线的函数有： ，
， ， ， .
3.与对数型函数有关的常见不等式有： ，
， .
4.利用 可得到 ，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.
【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为函数 的极值点，求证：
【解析】（1） 定义域为 ，则 ，
当 时， ， ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，即 时， 在 上单调递减，故 ；
若 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ；
若 ，即 时，则 在 上单调递增，故 .
所以， ；
（2） （ ），
则 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，即 ，
要证 ，
只需证 ，即证： ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 ，即： ，
所以 ，所以 ，
①当 时，因为 ， ，所以 .
②当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，要证 ，
只需证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即证 对任意的 恒成立，
令 （ ），则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
即当 时， 成立.
综上：原不等式成立.
(二)常见指数型函数模型
1.函数 在 上是减函数，在 上是增函数， 在 处取得最小值0，
2.与对数型函数有关的常见不等式有： ， ，
.
【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数 ．
(1)若函数 的图象与直线 相切，求实数 的值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）设直线 与函数 的图象相切于点 ，
因为 ,
所以 ，由②③可得 ④，易知 .
由①得 ，代入④可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，即 ，解得 .
故 .
（2）令 ，可得 ，
由题意可得 只有一个根.
易知 不是方程 的根，所以 ，
所以由 ，可得 .
设 ，则 与 的图象只有一个交点.
，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 .
所以 .
又 ， 时， ， 时， ，
画出函数 的图象如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知，若 与 的图象只有一个交点，
则 .
所以实数 的取值范围是 .
(三) 常见三角函数模型
1.函数 在 上是减函数，函数 在 上是增函数
，
2.与三角函数有关的常见不等式有： ， ，
.
【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数 ．
(1)记函数 的导函数是 ．证明：当 时， ；
(2)设函数 ， ，其中 ．若0为函数 存在非负的极小
值，求a的取值范围．
【解析】 (1) ．令 ，则 ．
∵ ，∴ 恒成立，即 在R上为增函数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，∴ ．∴ ．
(2) ．
由（1）知 在R上为增函数．
∴当 时，有 ，即 ；
当 时，有 ，即 ．
当 时，由 ，解得 ， ，且 在R上单调递减．
①当 时， ．
∵当 时，有 ；当 时，有 ；当 时，有 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数．
∴满足0为函数 的极小值点；
②当 时， ．
∴ 时，有 恒成立，故 在R上为减函数．
∴函数 不存在极小值点，不符合题意；
③当 时， ．
∵当 时，有 ；当 时，有 ；当 时，有 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数．
∴0为函数 的极大值点，不符合题意．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，若0为函数 的极小值点，则a的取值范围为 ．
(四) 或 .
在 上是增函数，在 上是减函数， 时取得最大值 ，利用 性质解题易错点
是该在 上是减函数，但该函数在 上没有零点，因为 时 .
【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)若a=1，讨论函数 的单调性；
(3)若 恒成立，求a的取值范围；
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 是 的极值点，
所以 ，即 ，所以 ，经检验符合题意.
（2）若a=1， .
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ；在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
（3） 的定义域为 ，若 恒成立，则 恒成立，
即 恒成立，
令 ，只需 ，又 ，
令 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时， ，则 单调递增；
时， ，则 单调递减；
所以 ，解得： ；
(五) 或
讨论 的性质要注意 ，该在 和 单调递减，在 单调递增
【例5】设函数 ，其中 是自然对数的底数， .
(1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)解：因为 在 上恒成立，即 ，又 ，故 ，所以
只需 恒成立，故只需 ，
令 ， ，当 时， ，当 时， ，所以 ，
故 ，即 .
(2)当 时, ，
当 时， ，
当 时，令 ，分离参数得 ，
由（1）得 ，在 和 单调递减，在 单调递增，可得图像为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ,即 .
三、典例展示
【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间;
(2)若 ,当 时,证明: .
【解析】（1） 的定义域为 ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ;当 时, ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
（2）由 ,得 ,
所以 ,
则 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要证 ,只需证 ,
即证 ,需证 .
令 ,设 ,则 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,
所以 ,所以 在 上单调递增,
由 ,得 ,则 ,
所以 ,
所以需证 ,即证 .
令 ，则 ,即证 ,设 ,
则 ,
所以 在 上单调递减,则 ,
所以 ,即 成立,
故 .
【例2】（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）依题意， ，
所以 ，
，所以 在区间 上 单调递减；
在区间 上 单调递增，
所以当 时 取得最小值为 .
（2）要证明：对任意正整数 ，都有 ，
即证明 ，
即证明 ，
由（1）得 ，即
令 ，所以 ，
所以
，
所以对任意正整数 ，都有 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）若不等式 恒成立，此时 ，
则 恒成立，
令 ，
令 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，当 时等号成立，
所以 ，
当 时等号成立，所以 .
【例3】（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【解析】（1） ，
当 时， ；当 时，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）设 ， ；
设 ，则 ，
令 ，则 ，
当 ， ，当 ， ，故函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，可得 ，故 在 单调递增时， ；
当 时， ，故 在 上单调递增.
当 时， ，且当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，
若 ，则 ，函数 在 上单调递增，因此 ， ，符合
条件；
若 ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，此时 ，不符合条件．
综上，实数 的取值范围是
【例4】已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 存在两个极小值点 ，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)当 时，函数 ，
可得 ，
令 ，可得 ，所以函数 单调递增，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)由函数 ，
可得 ，
令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
当 时，可得 ，所以 ，
①当 时， ，此时当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值；
②当 时， ，
又由 在 上单调递增，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
因为当 时，令 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递增，
所以函数 有两个极小值点，故实数 的取值范围为 .
【例5】已知函数 ．
(1)当 时，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 为 的两个不同零点，证明： ．
【解析】 (1)当 时， ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，即 在 上恒成立，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减.
故 ，
所以实数 的取值范围是 ．
(2)证明：要证明 ，
即证 ，
只需证 和 ．
由（1）知，当 ， 时， ，即 ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要证 ，即证 ．
因为 为 的两个不同零点，不妨设 ，
所以 ， ，
则 ，
两边同时乘以 ，可得 ，
即 ．
令 ，则 ．
即证 ，即证 ，
即证 ．
令函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ．
所以 ．故 ．
四、跟踪检测
1．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若实数 满足 且 ，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
，由 ，得 ，由 ，得 ，
故 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2） ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
故 在 递增，在 递减， ，
，所以 ，
在 上单调递增， ，
，
的取值范围 ；
（3） ，
又 ， 在 上递增，
所以 ，
下面证明： ，
即证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，
，
在 递减，
，
所以 .
2．（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）已知函数 ，且 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知 ，证明： ．
【解析】（1）函数 定义域为R， ，
由 解得 ，故 在区间 上单调递增，
由 解得 ，故 在区间 上单调递减，
故 的最小值是 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 ．
（2）在（1）中，令 时， ，令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，
所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ．且 不恒为零．
所以，函数 在 上单调递增，故 ，则 ．
所以， ，
所以，
.
3．（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数 ，且 在
处取得极值．
(1)求a；
(2)求证： ．
【解析】（1）由题意可得 的定义域为 ，且 ．
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ，
当 时，则 ， ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
可知 在 处取得极值，符合题意，
所以 ．
（2）由（1）可得 的最大值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
可得 ，当且仅当 时等号成立．
令 ，
则 ，故 ．
所以 ， ， ，…， ， ，
以上式子相加，
得 ，
则 ，
即 ，
所以 ，
即 ，命题得证．
4．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数 ， .
(1)求实数 的值；
(2)证明： 时， .
【解析】（1）因为 ，则 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 有最小值 ，故 .
（2）由（1）可知， ，
当 时，要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则上式等价于 ，
构造函数 则
故当 时， 为增函数；
当 时， 为减函数；
由 得， 故 ，
故 .
当 时，
，
故
又 是 的增区间，而
故 故
即 ，
当 时， ，即
在 上， 为减函数，故
即 ，
故原命题得证.
5．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ， ，.
令 ，方程 的判别式为 ，
①：当 即 时， ， 单调递增，无极值点；
②：当 即 时，函数 有两个零点 ， ，
（i）当 时. ， ，当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增， 有一个极小值点；
（ii）当 时 ， ，
当 与 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减， 有两个极值点.
综上：当 时 无极值点；当 时 有两个极值点；
当 时 有一个极小值点.
（2）不等式 恒成立，即 .
令 ， ，
.
令 ， ，
当 时， ， 单调递增，又 ，
时 ，不合题意， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 单调递减，当 时 单调递增， .
而 ， .
令 ， ，当 时 单调递增，
当 时 单调递减，
，即 .
. .
6．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ．
当 时，由于 ，所以 恒成立，此时 在 上单调递减；
当 时， ，令 ，得 ，
则当 时， ，有 在 上单调递增；
当 时， ，有 在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减．
（2）我们先证明引理： ，恒有 且 ．
引理的证明：
设 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故只需证明 ，恒有 ， ．
由于 ，知当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，恒有 ．
由于 ，知当 ，均有 ，
所以恒有 ，故 在 上单调递增，
则 ．
所以 ，恒有 ．
综上，引理得证．回到原题：
由（1）得 ，
故只需证明：对 ，恒有 ，即 ．
由引理得 ．命题得证．
7．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求实数a的取值范围.
【解析】（1）依题意，得 .
当 时， ，所以 在 单调递增.
当 时，令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减.
综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】单调递减.
（2）因为当 时， ，所以 ，
即 ，
即 ，
即 .
令 ，则有 对 恒成立.
因为 ，所以 在 单调递增，
故只需 ，
即 对 恒成立.
令 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 .
因此 ，所以 .
8．（2024届江苏省镇江市高三上学期考试）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对于任意的 ，关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由 得 ，
令 ，
故当 时， 单调递减，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
（2）由 可得 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
设 ，
当 单调递增，当 单调递减，所以 ，故 ，当且
仅当 时等号成立，
，
当且仅当 时取等号，令 ，注意到 ，
，所以存在 使 ，所以等号取得到，故
9.已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)设 ，当 时， （ 是函数 的导数），求a的取值范围．
【解析】 (1) ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极大值为 ，函数 的极小值为 ．
(2) ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
即 ，
设 ， ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在（0，1）上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，
则函数 在 上单调递增，则由 ，
得 在 上恒成立，即 在 上恒成立．
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在（0，e）上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
故 ．
10．设函数 ， ．
(1)若对任意 ，都有 ，求a的取值范围；
(2)设 ， ．当 时，判断 ， ， 是否
能构成等差数列，并说明理由．
【解析】 (1) 的定义域是 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①若 ，则当 时， ， 在 单调递增， 等价于 ，即
，由 得 ．
设 ， ． ，故 在 单调递减，在 单调递增，而 ，
所以 的解集为 ．
②若 ，则 在 单调递减，在 单调递增， 等价于 ，即
，即 ，矛盾，故a的取值范围是 ．
(2) ．
．
同理可得 ，
．
所以 ．
下面证明 ．
，且由（1）知 ，所以只需证明 时，
．令 ，即证 ．
设 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
设 ， ，故 在（0，1）单调递减，
．
所以 ，故 ， ， 不能构成等差数列．
11．已知函数
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 是两个不相等的实数，且 ．求证：
【解析】 (1)当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ．
由 恒成立可知 ，所以 ．
又因为 ，所以 的取值范围为 ．
(2)因为 ，所以 ，即 ．
令 ，由题意可知，存在不相等的两个实数 ， ，使得 ．
由（1）可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
不妨设 ，则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 在区间 上恒成立．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，且 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ．
12．已知函数 .
(1)若 在 单调，求 的取值范围.
(2)若 的图像恒在 轴上方，求 的取值范围.
【解析】 (1)由题意得 ， .
在 上单调，即 在 上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令 ，则 ，当 时， .
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴由题意得 ，或 ，
解得 或 ，
∴ 的取值范围是 .
(2) 的图象恒在 轴上方，也即当 时， 恒成立.
也即 在 上恒成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ， ，
令 ，则 ，由 得 ，当 时 ，当 时， ，即
时， 有极大值，也是最大值，所以 ，
所以 （当 时取等号），再由 可得： ，
列表如下：
1
0
0
由上表知 为极大值，所以 .
∴ 的取值范围是 .
13．已知函数 .
(1)若函数 ，讨论 的单调性.
(2)若函数 ，证明： .
【解析】 (1)因为，所以 ，
的定义域为 ，
.
当 时， 在 上单调递增.
当 时，若 ，则 单调递减；
若 ，则 单调递增.
综上所述：当 时，f(x)在 上单调递增; 当 时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+ )上单调递
增 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明： .
设 ，则 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
所以 ，
因此 ，当且仅当 时，等号成立.
设 ，则 .
当 时， 单调递减：当 时， 单调递增.
因此 ，
从而 ，则 ，
因为 ，所以 中的等号不成立，
故 .
14．已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，则 ，当 时， ，
单调递增；当 时， ， 单调递减；所以 ；
（2） ，则 ，当 时， ，所
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；所以
，此时函数无零点，不合题意；当 时， ，在 上，
， 单调递增；在 上， ， 单调递减；又 ，由（1）得
，即 ，所以 ，当 时，
，则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；当 时， ，所以 单调递增，又
，所以 有唯一零点，符合题意；当 时， ，在 上， ，
单调递增；在 上， ， 单调递减；此时 ，由（1）得当 时，
， ，所以 ，此时
存在 ，使得 ，所
以 在 有一个零点，在 无零点，所以 有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围
为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
【解析】（1） 的定义域为 ， 令
,得 当 单调递减当 单调递增
，若 ,则 ,即 所以 的取值范围为
（2）由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设 要证 ,即证 因为
,即证 因为 ,即证 即证
即证 下面证明 时，
设 ，则
设
所以 ,而 所以 ,所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 单调递增即 ,所以 令
所以 在 单调递减即 ,所以
；综上, ,所以 .
16．已知函数 ， .
(1)试讨论f（x）的单调性；
(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；
(3)求证: .
【解析】 (1) ,
若 则 ， 在 上单调递减；
若 ，则由 ,得 ,
当 时, 在 上单调递增,
当 时, , 在 上单调递减.
(2)当 时, 符合题意；
当 时,由（1）知 在 上单调递减，
而 ，不合题意；
当 时,结合（1）得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，得 ，
综上， 的取值范围是 ；
(3)证明：由（2）知，当 时， 即
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 得证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
