文档内容
专题 11 函数中的同构问题
一、考情分析
近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不
同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，
这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利
用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.
二、解题秘籍
(一)同构函数揭秘
同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如
x+lnx
与 属于“跨阶函数”，而 属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，
一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数
问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：
， 等，在一些求参数的取值范围、零点个数、
不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.
利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如； 等.
【例1】（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试）已知函数 .
(1)当 ，求 的极值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时 ， ，
则 ，
所以在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时 取得极大值， ，故 的极大值为 ，无极小值.
（2）由 ，可得 ，则 ，即 .
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，则 .
令 ，则 ，
在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减，即 ，
所以 ，则 的取值范围为 .
【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数 在 处的
切线 和直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若对任意的 ， ，都有 成立（其中 为自然对数的底数），
求实数m的取值范围.
【解析】（1）由函数 ，可得 ，可得
因为函数在 处的切线l和直线 垂直，所以 ，
即 ，解得 .
（2）解：不妨设 ，则 ，
因为对任意的 ， ，都有 成立，
可得 ，即 ，
设 ，则 ，故 在 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而有 ，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
因为 ，
令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又因为 ，故 在 上最小值 ，所以 ，
实数 的取值范围是 .
(二) 型同构
【例3】（2023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试）已知函数 （e是自然对数的底
数）.
(1)当 时，求 的极值点；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ,则 .
当 时， ，此时函数 递减，当 时， ，此时函数 递增，
所以 极小值点为 ，无极大值点.
（2）求导
①当 时， ， 在 上递增
②当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 在 上递减，
当 时， ，此时函数 在 上递增.
（3）等价于 有两个零点，
令 ，则 在 时恒成立，所以 在 时单调递增，故 ，
所以 有两个零点，等价于 有两个零点.
因为 ，
①当 时， ， 在 上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，
②当 时，令 ，得 ， 单调递增，令 ，得 ， 单调递减，
所以 .
若 ，得 ，此时 恒成立，没有零点；
若 ，得 ，此时 有一个零点.
若 ，得 ，因为 ， ， ，
所以 在 ， 上各存在一个零点，符合题意，
综上， 的取值范围为 .
(三) 型同构
【例4】（2023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷）已知函数 ．
(1)讨论函数 的零点的个数﹔
(2)当 时，若对任意 ，恒有 ，求实数a的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）令 则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，此时 在 单调递减，
当 时， ，此时 在 单调递增，
故当 时， 取极大值也是最大值 ，
又 ，而当 时， ，故当 时， ，当 时， ，作出 的图
象如下：
因此当 时，即 ， 无交点，此时 无零点，
当 或 时，即 或 ， 有一个交点，此时 有一个零点，
当 时，即 ， 有两个交点，此时 有2个零点，
综上可知：当 时， 无零点，
当 或 有一个零点，
当 ， 有2个零点，
（2）当 时，若对任意 ，恒有 等价于：
对任意 ，恒有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则不等式等价于 ，
由于 ，
令 ，
当 单调递减，当 单调递增，所以 ，
故 在 单调递增，
由 得 对任意 恒成立，
两边取对数得 对任意 恒成立，
故 ，所以
故 的范围为
(四) 型同构
【例5】（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求实数a的取值范围.
【解析】（1）依题意，得 .
当 时， ，所以 在 单调递增.
当 时，令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减.
综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在
单调递减.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为当 时， ，所以 ，
即 ，
即 ，
即 .
令 ，则有 对 恒成立.
因为 ，所以 在 单调递增，
故只需 ，
即 对 恒成立.
令 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 .
因此 ，所以 .
(五) 型同构
【例6】已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【解析】 (1) ，当 时， ，即 在 上单调递减，
故函数 不存在极值；
当 时，令 ，得 ，
x
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故 ，无极小值.
综上，当 时，函数 不存在极值；
当 时，函数 有极大值， ，不存在极小值．
(2)显然 ，要证： ，
即证： ，即证： ，
即证： ．
令 ，故只须证： ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，所以 ，从而有 ．
故 ，即 ．
三、典例展示
【例1】（2024届江苏省徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月考）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若方程 有解，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
设 ，则 ，
在 上单调递增，且 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ；
（2） 即 ，
即 ，
设 ，则 ，
，设 ，则 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ，即 ， 在 上单调递增，
所以方程 有解即 在 上有解，
有解，即 有解，
设 ，则 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
所以 ，即实数a的取值范围是 ．
【例2】（2024届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试）已知函数 （ 是自然对数的
底数）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在R上单调递减；
当 时，令 得 ；令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在R上单调递减，无增区间；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增.
（2）由题意 有两个零点，
令 ， ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
故 ，所以 有两个零点等价于 有两个零点，
等价于 有两个不同的实数解，等价于 与 有两个交点，
则 ， 得 ， 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当t趋向于0且为正时， 趋向于负无穷大，当t趋向于正无穷大时， 趋向于0，如图：
由图可知，要使 与 有两个交点，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
【例3】（2024届重庆市渝北中学高三上学期月考）已知函数 ，
．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若任意 、 且 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，其中 ，
则 ，令 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ，
列表如下：
2
0
极小
单调递减 单调递增
值
因此 有极小值 ，无极大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解：因为 ， ，
所以 ，其中 ，
对 、 且 ，不妨设 ，则 ，
得到 ，化为 ，
设 且函数 的定义域为 ，
所以 在 为增函数，
即有 对 恒成立，即 对任意的 恒成立，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 最大值 ，因此实数 的取值范围是 ．
【例4】已知
(1)当 时，求 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
【解析】 (1)解：因为 ， ，
所以 ，
令 ， ，所以 在 单增，且 ，
当 时 ，当 时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增
(2)解：因为
令 ，易知 在 上单调递增，且 ，
故 的零点转化为 即 ， ，
设 ，则 ，
当 时， 无零点；
当 时， ，故 为 上的增函数，
而 ， ，故 在 上有且只有一个零点；
当 时，若 ，则 ； ，则 ；
故 ，
若 ，则 ，故 在 上有且只有一个零点；
若 ，则 ，故 在 上无零点；
若 ，则 ，此时 ，
而 ， ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
故此时 在 上有且只有两个不同的零点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上：当 时，0个零点；当 或 时，1个零点； 时，2个零点；
【例5】已知函数 .
(1)当 时，若曲线 与直线 相切于点 ，求点 的坐标；
(2)当 时，证明： ；
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，请直接写出 的取值范围.
【解析】 (1)当 时， .
设 ，则切线斜率 .
由切点性质，得 ，解得 .
所以点 的坐标 .
(2)当 时， ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，且 ，
当 变化时， 变化情况如下表：
1
0
极小
单调递减 单调递增
值
由上表可知， .所以 .
(3)显然 ，在 上 恒成立，即 恒成立即
恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 恒成立，
构造函数 ，易知 在 上是增函数，
所以 恒成立，即 ，
令 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 .
【例6】已知函数
(1)请讨论函数 的单调性
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围
【解析】 (1)
当 时， 在 上递增
当 时，在 ， 单调递减
在 上 ， 单调递增
(2)原式等价于
设 ，
由（1）当 时， 为增函数 ， ，
∴等式等价于 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时， 成立， 时， ，
设 ， ，
，
设 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以在 上， ， ， 为减函数，
在 上， ， ， 为增函数，
， ．
四、跟踪检测
1.（2023届广东省深圳市光明区高三二模）已知函数 的图象在 处的切线经过点
.
(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)设 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域是 ，
.
所以 在点 处的切线方程为 ，
切线经过点 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，设 ，
是 的极小值点，且 ，
因此 在 恒成立，
所以函数 的单调增区间为 ，无单调减区间.
（2） 在区间 上恒成立，即 ，
令 ，则 ，即 .
由（1），只需要 ，也就是 在区间 上恒成立.
设 ，.
，
故 是 的最大值，
所求 的取值范围是 .
2.（2023届海南省海口市龙华区海南华侨中学高三一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 ，不等式 成立，求实数 的最大值.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
所以 ，∴令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
又∵ ，∴当 时， ，∴ ，
∴函数 在 ， 上单调递减.
（2）∵ ，且 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ .
∵ ，由（1）知，函数 在 上单调递减，
∴只需 在 上能成立，
∴两边同时取自然对数，得 ，即 在 上能成立.
令 ，则 ，
∵当 时， ，∴函数 在 上单调递增，
当 时， ，∴函数 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴实数 的最大值为 .
3．（2024届山东省部分学校高三上学期联考）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1） 定义域为 ， ，
①当 时，令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减；
②当 时，令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减；
综上所述，当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减.
（2）记 ，
由（1）知，当 时， ，
则 ，则 ，
当 时， 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
则 ，即 对 恒成立，
令 ， 对 恒成立，
则 在 单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
4．已知函数 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 在 处的切线方程；
(2)求证： .
(3)当 时， ，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)因为 ，则 ， ， ，
所以， 在 处的切线方程为 .
(2)要证明 ，
即证： ，
即证： ，（*）
设 ，则 ，
所以， 在 内单调递减，故 ，
所以，当 时， ，
所以要证（*）成立，只需证 ，
设 ，则 ，
当 时， ，故函数 在 上单调递增，
当 时， ，故函数 在 上单调递减，
故 ，则 ，
则 ，即 ，故 成立，
所以原命题得证.
(3)由题得 在 上恒成立，
即 ， 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
①若 ， ， 在 上单调递增， ，符合题意；
②若 ，令 ， ，
则 ，所以 在 单调递增，且 ，
（i）若 ， ， 在 上单调递增， ，符合题意；
（ii）若 ， ，
当 时， ，则 ，
取 ，则 ，
则存在 ，使得当 时， ， 单调递减，
此时 ，不合题意；
综上， .
5.已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间：
(2)若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)当 时
设 ，则
即 在 递减，在 递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，当
而当 所以当 递减；
递增.
故函数增区间为 ，减区间为
(2) ，
令
在 递增，而 ，
，使 ，即
当 时， 在 递减，当 时， 在 递增
因为 可变形为
又 在 递增，
由（**）可得
故 取值范围为
6．已知函数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使 对 恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明
理由.
【解析】 (1)因为 ，
所以 ，
即 .
当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，因为 ，
所以，当 时， ， ；当 时， ， ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)设 ， ，易知 在 单调递增.又当 时， ，所以
的值域为 ；
当 时， 的值域为 .
所以 的值域为 .
故对于 上任意一个值 ，都有唯一的一个正数 ，使得 .
因为 ，即 .
设 ， ，所以要使 ，只需 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，因为 ，即 ，所以 不符合题意.
当 时，当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增.
所以 .
设 ， ，
则 ，当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减.
所以 ，所以 ， ，当且仅当 时，等号成立.
又因为 ，所以 ，所以 .
综上，存在a符合题意， .
7．已知函数 ．
(1)若 在 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】 (1) ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以此时 在 上仅有一个零点，符合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
要使 在 上仅有一个零点，则必有 ，解得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，当 或 时， 在 上仅有一个零点．
(2)因为 ，所以对任意的 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立．
令 ，则只需 即可，
则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
因为 ， ，所以 有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ，
则有 ．
所以实数a的取值范围为 ．
8．已知函数 ，其图象在 处的切线过点 ．
(1)求a的值；
(2)讨论 的单调性；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若 ，关于x的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
【解析】 (1)因为函数 ，
所以 ， ，
则 ，
所以函在 处的切线方程为 ，
又因为切线过点 ，
所以 ，
即 ，解得 ；
(2)由（1）知； ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以
即当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递增；
(3)因为x的不等式 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
因为 在 上递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 .
9．已知函数 ， （ ），其中e是自然对数的底数.
(1)当 时，
（ⅰ）求 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求 的最小值；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)若存在 ，使得 成立，求a的取值范围
【解析】 (1)当 时， ， .
（ⅰ） ， ，∴切线方程为 .
（ⅱ） ，令 ，得 ，
∴当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ .
(2)∵ （ ），
令 得， ，
当 时， ， 无零点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，令 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
∴ ，
当 ，即 时， ，函数 在 上无零点，
当 ，即 时， ，函数 在 上有唯一零点，
当 ，即 时， ，又 ， ，
∴函数 在 ， 上各有一个零点，
综上，当 时，函数 在 上无零点，
当 时，函数 在 上有唯一零点，
当 时，函数 在 上有两个零点.
(3)由 得， ，
∴ ，即 ，
令 ，则 在 上有解，
令 ，当 时， ，不合题意；
当 时，则 ，令 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，即a的取值范围为 .
10．已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ；
(2)在（1）的条件下，若 ，比较 与 的大小并证明．
【解析】 (1)解： ，
所以 在 处的切线方程为 ，
比较系数可得 .
(2) .
证明：设 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则
则 是 的极小值点同时也是最小值点，
故 即 （当且仅当 时等号成立）.
令 ，则 ，
当且仅当 ，所以
则有 而 ，
又 单调递增，所以 .
11.已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明： ．
【解析】 (1)令 ，则 ，设
当 时， 时， ，∴ 在 上单调递减，
在 上单调递增，∴ ，
∵ 时， ；当 时， 且 时， ，
∴当 上时， 无零点，当 或 时， 有一个零点，
当 时， 有两个零点．
(2)设 ，则 ，
即证 ，即证 ，
即证： ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时，
，∴ 在 单调递减， 在 单调递增，∴ ，
∴ ，当且仅当 时“=”成立，由（1）知，当 时，存在 ，
使得
∴ ∴ ．
12.已知函数 ．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有 ．
【解析】 (1)解：由题意可得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)证明：由题得， 时，对任意的 ，都有 ，即 ，
等价于 ，即 .
设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立．
设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
则 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ， ，所以 有解，
则 ，当且仅当 时，等号成立．
即 ，即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
