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专题 9 指数型函数取对数问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可
解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如 的函数取对数可以起到
化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导
数题中有时能大显身手.
二、解题秘籍
(一) 等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数
通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的
结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算
比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.
【例1】（2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得则 ，由 得 ，
若 ，当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单调递增，
若 ，当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减；
所以当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，两边取对数得 ，即 ，
由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，而 ， 时， 恒成立，因此当 时，存在 且 ，满足 ，
若 ，则 成立；
若 ，则 ，记 ， ，
则 ，
即有函数 在 上单调递增， ，即 ，
于是 ，
而 ， ， ，函数 在 上单调递增，因此 ，即 ，
又 ，则有 ，则 ，
所以 .
(二) 等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，
形如 或 的等式或不等式通过两边取
对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.
【例2】（2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考）已知 ， ，函数 和
的图像共有三个不同的交点，且 有极大值1．
(1)求a的值以及b的取值范围；
(2)若曲线 与 的交点的横坐标分别记为 ， ， ，且 ．证明： ．
【解析】（1）因为 ， ，所以当 时， ， ，
所以 在 上单调递增，无极大值；
当 时， ， ，所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 为极大值点，
所以 ，解得 ．
因为 ， 图像共有三个不同的交点，
所以方程 有三个不等正实根．
设 ，则 ，且当 时，t与x一一对应，
所以问题转化为关于t的方程 有三个不等实根．
又0不满足方程 ，
所以方程 有三个实根．
设 ，则函数 与函数 的图像有三个交点，
当 或 时， ，
，所以 在 ， 上单调递增；
当 时， ，
，所以 在 上单调递减．
当 ， 时， ，而 ；
当 时， ，
无论 还是 ，当 时，都有 ，当 时， ．
根据以上信息，画出函数 的大致图像如下图所示，
所以当 时，函数 与函数 的图像有三个交点，
故b的取值范围为 ．
（2）证明：要证 ，只需证 ，
只需证 ．
设（1）中方程的 三个根分别为 ， ， ，
且 ， ， ，2，3，
从而只需证明 ．
又由（1）的讨论知 ， ， ．
下面先证明 ，设 ，
则 ．
当 时， ， 在 上单调递增，当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以当 时， ，
从而当 ， 时， ．
又由（1）知 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减．
所以当 时， ，令 ，解得 ，
由 得 ；
当 时， ，令 ，解得 ，
由 得 ；
当 时， ，令 ，解得 ，
由 得 ．
综上， ，得证．
(三) 把比较 转化为比较 的大小
比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较
的大小，可通过取对数转化为比较 的大小，再转化为比较 的大小，然后可以构造函数 ，利用 的单调性比较大小.
【例3】一天，小锤同学为了比较 与 的大小，他首先画出了 的函数图像，然后取了离1.1很
近的数字1，计算出了 在x=1处的切线方程，利用函数 与切线的图像关系进行比较.
（1）请利用小锤的思路比較 与 大小
（2）现提供以下两种类型的曲线 ，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较
的大小.
【解析】（1）构造函数 ，由f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，得
，即 ，取x=1，得
（2）通过取对数，把比较 的大小转化为比较e 与3的大小，即比较 与 大小
选 ，令 与 公切于e
则有 ，
记 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增,
，下证：
只需证只需证
而 ，即
选 ，通过取对数，把比较 的大小转化为比较e 与3的大小，即比较 与 大小，即较
与 大小
令 与y=kx+t切于 ，则有
令
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减,
，当 取等
下证 ，只需证
，
.
三、典例展示
【例1】（2021全国甲卷高考试题）已知 且 ，函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．【解析】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分
必要条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 ．
【例2】（2023届新疆高三第三次适应性检测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
综上当 时， 在区间 上单调递增，当 时， 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）方程 ，即 ，等价于 ，
令 ，其中 ，则 ，显然 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，且由 时 可得在区间 上 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
因为方程 有两个实根 ，
所以关于 的方程 有两个实根 ， ，且 ， ，所以 ，
要证 ，即证 ，即证 ，只需证 ，因为 ，所以 ，整理可得 ，
不妨设 ，则只需证 ，
即 ，
令 ， ，其中 ，
因为 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，故 ．
【例3】已知函数， ， ．
(1)求 的极值；
(2)若 有两个零点a，b，且 ，求证： ．
【解析】 (1)函数 的定义域为 ， ．
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以函数 的极大值为 ，无极小值．
(2)令 ，则 ．
设 ，
则 ，易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，所以 ，
又 有两个零点，所以 ．
因为 ，所以 ．
要证 ，即证 ，
即证 ．
又 ，则 ，
故即证 ，
即证 ．
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
故 得证．
【例4】设函数 .
(1)设 、 且 ，求证：对任意的 、 ，总有 成立；
(2)设 ， ，且 ，求证： .
【解析】（1）证明：.
不妨设 ，
令 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在区间 上单调递减，
因为 ，则 ，
所以， ，即 ，
所以，当 、 且 ，对任意的 、 ，总有 成立.
（2）证明： ， ，且 ，
要证 .
即证 ，
即 ，
当 时，由（1）可知，不等式成立，
假设当 时不等式成立，
即 ，
则当 时，设 ，
由（1）可得 ，则
，
这说明当 时，结论也成立，
故对任意的 ， ，
所以， ，
因此， ，
故当 ， ，且 时， .
【例5】已知函数
（1）讨论g(x)的单调性；
（2）若 ，对任意 恒成立，求a的最大值；
【解析】（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） 即为 ，即 ，
设 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，
而 ，所以 （两边取对数），即 ，当 时，即为 ，
设 ，则 ，易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
（e） ，
，即 的最大值为 ．
【例6】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且 ，证明： ．
【解析】 (1) ，定义域为 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2)∵a，b为两个不相等的正数，且 ，
∴ ，即 ，
由（1）可知 ，且 ， 时， ，
则令 ，
则 为 的两根，且 ，
不妨设 ，则 ，
先证 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证在 上， ，
则 ，
在 上单调递增，即 ，∴ 在 上恒成立，即 在 上单调递减， ，
∴ ，即可得 ；
再证 ，即证 ，
由（1） 单调性可得证 ，
令 ，
，
在 上单调递增，
∴ ，且当 ，
所以存在 使得 ，
即当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又有 ，
且 ，
所以 恒成立，
∴ ，
则 ，即可证得．
四、跟踪检测
1.已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；(2)当 时，证明：函数 有两个零点；
(3)若函数 有两个不同的极值点 （其中 ），证明： ．
2.形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数
得 ，两边对 求导数，得 ，于是
.已知 ， .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，求 的单调区间；
（3）求证： 恒成立.
3.已知函数 ．
(1)求 的极值点．
(2)若有且仅有两个不相等的实数 满足 ．
（i）求k的取值范围
（ⅱ）证明 ．
4.已知 ， .
(1)记 ，讨论 的单调区间；
(2)记 ，若 有两个零点a，b，且 .
请在①②中选择一个完成.
①求证： ；
②求证：5．已知 ， ，（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，函数 有两个零点 ， ，求证： .
6.已知函数 存在极大值 .
（1）求实数 的值；
（2）若函数 有两个零点 ， ，求实数 的取值范围，并证明： .
7.已知函数 .
（1）若 是曲线 的切线，求a的值；
（2）若 有两不同的零点，求b的取值范围；
（3）若 ，且 恒成立，求a的取值范围.
8．已知函数 ， ．
（1）当 时，
①求 的极值；
②若对任意的 都有 ， ，求 的最大值；
（2）若函数 有且只有两个不同的零点 ， ，求证： ．
9.已知函数 ， ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设 有两个极值点 ， ，证明： ．（ …为自然对数的底数）
10.已知函数 （e为自然对数的底数）有两个零点．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： ．11．已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
12.已知函数
（1）若 是 的极值点，求 的值，并讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：
