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专题 9.9 解析几何
一、单选题
1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，
点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得
点 坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C
上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式
得到 ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思
想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点
B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，
要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上
一点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解
的关键.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距
离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即
可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线 的焦点到直线 的距
离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
试卷第2页，共64页【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率为
， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心
率分别为 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .故选：A
8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设 为椭圆 的两个焦点，点
在 上，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，直线 与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得
到关于 的方程，解出即可.
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
试卷第4页，共64页，解得 或 （舍去），
故选：C.
10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知双曲线 的离心率为
，其中一条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
11．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，
点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式
即可得到答案．【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
12．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 是椭圆 的上顶点，
若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出
的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，
由 可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得，
，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要
根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线
的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线
试卷第6页，共64页的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可
得 ，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径
，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆 的左顶点为A，
点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据
，将 用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
试卷第8页，共64页所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
15．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）己知椭圆 ， 为两个焦点，O
为原点，P为椭圆上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从
而得出 的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公
式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得：
．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速
解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，
还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
16．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四
个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐
项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
试卷第10页，共64页所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
17．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，
则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令 ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 ，
利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设 ，利用圆心到直线的距离小于
等于半径即可.【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
二、多选题
18．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线 与圆 ，
点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离
及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
试卷第12页，共64页若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
19．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点 在圆 上，点 、
，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断
AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判
断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正
确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，， ，由勾股定理可得 ，
CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆
上一点 到直线 的距离的取值范围是 .
20．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公
式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为
，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
21．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴
试卷第14页，共64页为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理
结合三角变换、双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还
是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为
B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
试卷第16页，共64页特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
22．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线
焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则
（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；
表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物
线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ，
为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横
坐标为 ，
试卷第18页，共64页代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，
A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得
，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得
，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则
为钝角，
又 ，则
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
23．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的
知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点
，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
试卷第20页，共64页三、填空题
24．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点 在抛物线C： 上，则
A到C的准线的距离为______.
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为
，最后利用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
25．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )
的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，
则 的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
26．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线
的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
27．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，
P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为
________．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求
出 ，四边形 面积等于 ，即可求解.
【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
试卷第22页，共64页，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
28．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近
线为 ，则C的焦距为_________．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联
立求解 ，再由关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又
双曲线中 ，故 ，解得 （舍去）， ，
故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式
求解是关键.
29．（2021年全国新高考II卷数学试题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线
的渐近线方程___________.
【答案】
【分析】根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线
方程.
【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
30．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）过四点 中的三点的一
个圆的方程为____________．
【答案】 或 或 或
．【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，
解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的
方程为 ，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
试卷第24页，共64页（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则
，所以圆的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方
程 为 ，联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为
，联立得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，
运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
31．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 _________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与
半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径
，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
32．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线 上，点 和
均在 上，则 的方程为______________．
【答案】【分析】设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的
方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线
的交点(1,-1). , 的方程为 .
故答案为：
33．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线 的离心率为
e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
34．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点 ，若直线 关于 对称
的直线与圆 有公共点，则a的取值范围是________．
试卷第26页，共64页【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直
线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
35．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交
于A，B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值______．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面
积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
36．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ，函数 的
图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，
则 取值范围是_______．
【答案】【分析】结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得
， ，化简即可得解.
【详解】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得
解.
37．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆 ，C的上顶点为
A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点，
，则 的周长是________________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得
到直线 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，利用
弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将 的周长转化为 的周长，
利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
试卷第28页，共64页，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的
直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率
倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到：
，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等
于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
38．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆 和 都相
切的一条直线的方程________________．
【答案】 或 或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
试卷第30页，共64页如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
39．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，
B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为
___________．
【答案】
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直
线 ， ， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
试卷第32页，共64页设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即
40．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线 的左、右焦点
分别为 ．点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为
________．
【答案】 /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于
的表达式，从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从
而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将
点 代入双曲线 得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍
去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾
股定理与余弦定理得到关于 的齐次方程，从而得解.
四、解答题
41．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准
线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 .
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
试卷第34页，共64页（2）设 ，由平面向量的知识可得 ，进而可得 ，再由
斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
据此整理可得点 的轨迹方程为 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的方程为 ，则当直线 与抛物线 相切时，其斜率k取到最值．
联立 得 ，其判别式 ，解得 ，所以直线 斜率的最大值为 ．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的斜率为k，则 ．
令 ，则 的对称轴为 ，所以 ．故
直线 斜率的最大值为 ．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设 ．
因为 ，所以 ．
于是 ，所以
则直线 的斜率为 ．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以直线 斜率的最大值为 ．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率
关于 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的
斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线 的斜率k的平方关于 的表达式，利用换
元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线 斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设 ，求得x,y关于 的参数表达式，得到
直线 的斜率关于 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线 斜率的最大值.
42．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦
点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，
试卷第36页，共64页N，F三点共线的充要条件是 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得 ，进而可得 ，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证
；
充分性：设直线 ，由直线与圆相切得 ，联立直线与椭圆
方程结合弦长公式可得 ，进而可得 ，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ,
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题
的重中之重.
43．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率
是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线
段 的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）设直线 的方程，进而可求点 的坐标，结合韦达定理验证 为定值即可.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
试卷第38页，共64页联立方程 ，消去y得： ，
则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，
则
，
所以线段 的中点是定点 .
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数
(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．
44．（2021年全国新高考I卷数学试题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求
出 、 的值，即可得出轨迹 的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求
得直线的斜率，最后化简计算可得 的值.
【详解】(1) 因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 .
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设 ,
设直线 的方程为 ．
试卷第40页，共64页联立 ,
化简得 .
则 ．
故 ．
则 ．
设 的方程为 ，同理 ．
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
[方法二] ：参数方程法
设 ．设直线 的倾斜角为 ，
则其参数方程为 ，
联立直线方程与曲线C的方程 ，
可得 ，
整理得 ．
设 ，
由根与系数的关系得 ．
设直线 的倾斜角为 ， ，
同理可得由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
由题意分析知 ．所以 ，
故直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为 ，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设 ,直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ,
则二次曲线 ．
又由 ，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中 ．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即 .
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问
题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理
解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
45．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与抛物线
交于 两点，且 ．
(1)求 ；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 ；
试卷第42页，共64页（2）设直线 ： ， 利用 ，找到 的关系，
以及 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 的关系，一是为了减元，二是通
过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出
面积的最小值.
46．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与
的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再
利用对称性设出 坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半
径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜
率存在，由 三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由
与圆 相切，得出 与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，
即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）[方法一]：设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
试卷第44页，共64页则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
[方法二]【最优解】：设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．
由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．
因为方程 同时经过点 ，所以 的直线方程为，点M到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表
示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用 的对称性，
抽象出 与 关系，把 的关系转化为用 表示，法二是利用相切等条件得
到 的直线方程为 ，利用点到直线距离进行证明，方法二更为
简单，开拓学生思路
47．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线 的焦点为 ，
且 与圆 上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得
直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的
距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ．
所以 ．
从而有 ．
因为 ，所以当 时， ．
又 ，解之得 ，因此 ．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
试卷第46页，共64页（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到 ．
过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．
．
P点在圆M上，则．
故当 时 的面积最大，最大值为 ．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为 ， ．
设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ．
判别式 ，即 ，且 ．
抛物线C的方程为 ，即 ，有 ．
则 ，整理得 ，同理可得 ．
联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ．
将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．
由弦长公式得 ．
点P到直线 的距离为 ．
所以
，
其中 ，即 ．
当 时， ．
48．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点
到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
试卷第48页，共64页【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设 ，根据题意列出方程 ，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点 ，且 ，分别
令 ， ，且 ，利用放缩法得 ，
设函数 ，利用导数求出其最小值，则得 的最小值，再排除边界值
即可.
法二：设直线 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式
和放缩法得 ，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值
即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即
可证明.
【详解】（1）设 ,则 ，两边同平方化简得 ，
故 .
（2）法一：设矩形的三个顶点 在 上,且 ，
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则 ,令 ，同理令 ，且 ，则 ，
设矩形周长为 ,由对称性不妨设 ， ，
则 . ，
易知
则令 ,
令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
故 ,即 .
当 时, ,且 ，即 时等号成立，矛
盾，故 ,
得证.
法二：不妨设 在 上，且 ，
依题意可设 ，易知直线 ， 的斜率均存在且不为0，
则设 , 的斜率分别为 和 ，由对称性，不妨设 ，
试卷第50页，共64页直线 的方程为 ，
则联立 得 ，
，则
则 ，
同理 ，
令 ，则 ，设 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
，
但 ，此处取等条件为 ，与
最终取等时 不一致，故 .
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线 ,
矩形 变换为矩形 ,则问题等价于矩形 的周长大于 .
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则 ,从而
故
①当 时,
②当 时,由于 ,从而 ,
从而 又 ,
故 ,由此
，
当且仅当 时等号成立，故 ，故矩形周长大于 .
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 ，
试卷第52页，共64页同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
49．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知点 在双曲线 上，
直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线l的斜率存在，设 ，
，再根据 ，即可解出l的斜率；
（2）根据直线 的斜率之和为0可知直线 的倾斜角互补，根据
即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程求出
点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出点A到
直线 的距离，即可得出 的面积．
【详解】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得
，即双曲线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ，
且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由
（1）知， ，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ， ，
试卷第54页，共64页同理， ， ，故 ，
而 ， ，
由 ，得 ，
故
50．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x
轴、y轴，且过 两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
51．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点
，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．
当 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，
再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理
可解.
试卷第56页，共64页【详解】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以
直线 .
[方法三]：三点共线
设 ，
设 ,若 P、M、N三点共线，由
所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
试卷第58页，共64页设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
52．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线 的右焦点为
，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且
．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得 的关系，进而利用
的平方关系求得 的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x,y),由③|AM|=|
0 0
BM|等价分析得到 ；由直线 和 的斜率得到直线方程，结合双曲线的
方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率 ，由② 等价转化为 ，
由① 在直线 上等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，
进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称
性可知 在 轴上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，
已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
试卷第60页，共64页∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
53．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在
第二象限，直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得 的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 与 的方程，
联立直线方程，消去 ，结合韦达定理计算可得 ，即交点的横坐标为定值，据
此可证得点 在定直线 上.【详解】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，
由 可得 ，即 ，
据此可得点 在定直线 上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和
综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运
算，是解题的关键.
试卷第62页，共64页
